專題12直線的點(diǎn)斜式方程

力內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué);；教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01：直線的點(diǎn)斜式方程

1、點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)

-Q]x

如圖，直線/經(jīng)過點(diǎn)《(％,%),且斜率為左.

設(shè)p(x,y)是直線I上不同于點(diǎn)Po的任意一點(diǎn)，因?yàn)橹本€I的斜率為k,

由斜率公式得左=2二匹,即y—%=k(x—兀).

x-xQ

2、直線的點(diǎn)斜式方程

方程y—%=左(%—%)由直線上一個(gè)定點(diǎn)(％,%)及該直線的斜率左確定，我們把它叫做直線的點(diǎn)斜式方

程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式.

注：(1)點(diǎn)斜式的前提條件：①斜率必須存在；②已知直線上一點(diǎn)(九0,%)和直線的斜率左.

(2)當(dāng)左任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程y—%=左(1—%)表示恒過定點(diǎn)(%,%)的無數(shù)條直線.

3、兩種特殊的直線：

傾斜角圖象特征斜率直線方程

y

Pp(Wo)f

0°tan0°=0,即左=0y-y0=o>即y=%

0X

yI

,P(?o?ro)tan900無意義，

90°x-xG=0,即x=%o

□_____?即左不存在

0X

4、求直線點(diǎn)斜式方程的一般步驟：

（1）求直線點(diǎn)斜式的步驟為：定點(diǎn)「（毛，陽(yáng)）—定斜率左—寫出方程y一%=左（大一％0）

（2）點(diǎn)斜式方程y一為二左卜;一天^可表示過點(diǎn)/^:^^^的所有直線，但x=x（）除外.

知識(shí)點(diǎn)02：直線的斜截式方程

1、斜截式方程的推導(dǎo)

如圖，如果斜率為左的直線/過點(diǎn)片（03），這時(shí)凡是直線/與y軸的交點(diǎn)，代入直線的點(diǎn)斜式方程，得

丁一/?=左（］一0）,即丫=區(qū)+/?.

2、直線的斜截式方程

我們把直線/與y軸的交點(diǎn)為（O,Z?）的縱坐標(biāo)叫做直線I在y軸上的截距.這樣，方程y^kx+b由直線的斜

率上與它在y軸上的截距確定，我們把方程y=Ax+人叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式.

注：斜截式方程適用于斜率存在的直線，不能表示斜率不存在的直線，故利用斜截式設(shè)直線方程時(shí)要討論

斜率是否存在.

3、斜截式的幾種特例

b=Oy=kx表示過原點(diǎn)的直線

左=0,Z?w0y=Z?表示與x軸平行的直線

左=0,b=Oy=0表示％軸

型強(qiáng)知識(shí)

【題型01：直線的點(diǎn)斜式方程】

一、單選題

1.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)尸（0,2）且斜率為2的直線的方程為（）

A.y=-2x-2B.y=2x-2C.y=2x+2D.y=-2x+2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出即可.

【詳解】由點(diǎn)斜式可得直線的方程為＞-2=2（%-0）,

化為y=2x+2.

故選：C.

2兀

2.（24-25高二上?廣東廣州?期中）已知直線/傾斜角為鼻，且過點(diǎn)44,1）,則直線/的方程為（）

A.y-l=—（x-4）B.y-l=-^-（x-4）

C.y-l=-V3（x-4）D.y-l=V3U-4）

【答案】C

【分析】利用斜率定義及點(diǎn)斜式直線方程即可得到選項(xiàng).

【詳解】由直線/傾斜角為g,得直線/的斜率為左=tang=-后，

又由直線/過點(diǎn)44,1）,則由點(diǎn)斜式直線方程可得：y-l=-6（x-4）,

故選：C.

3.(24-25高二上?甘肅酒泉?期末)過點(diǎn)P(-2,l)且方向向量為(1,0)的直線方程為()

A.x=lB.x=—2

C.y=-2D.y=l

【答案】D

【分析】根據(jù)方向向量得到直線的斜率，從而得到直線的方程.

【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為(1,0),所以直線的斜率為0,

又直線過點(diǎn)所以直線方程為y=l.

故選：D

二、解答題

4.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))寫出滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程：

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-1),斜率為收；

(2)經(jīng)過點(diǎn)網(wǎng)也1),傾斜角是120。；

(3)經(jīng)過點(diǎn)C(0,5)且與無軸垂直.

【答案】⑴y+l=0(x+3)

⑵yT=-g(尤-

(3)x=0

【分析】(1)直接將點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率代入點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；

(2)利用傾斜角計(jì)算出直線斜率，再代入點(diǎn)斜式方程即可；

(3)由直線與x軸垂直，斜率不存在，不能使用點(diǎn)斜式方程.

【詳解】(1)直線的點(diǎn)斜式方程為：y+l=0(x+3).

(2)由傾斜角是120。，則直線的斜率為左=tan120。=-有，

所以直線的點(diǎn)斜式方程為：y-l=-73(x-V2).

(3)由于直線與x軸垂直，斜率不存在，

所以該直線的方程為尤=0.

5.(24-25高二上?安徽亳州?月考)已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,6),B(-1,—2),C(6,3).

(1)求邊BC上的中線所在直線的方程；

(2)求邊上的高所在直線的方程.

【答案】⑴lk+3y-29=0

⑵7x+5y-37=0

【分析】(1)求出2C的中點(diǎn)O坐標(biāo)，求出中線AD所在直線的斜率，代點(diǎn)斜式即可求解；

(2)求出直線BC的斜率，即可得到BC邊上的高線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解.

【詳解】（D由題意得，邊5C的中點(diǎn)。

211

則中線AD所在直線的斜率為左5=

3

2

所以邊3c上的中線所在直線的方程為y-6=-?（x-l）,即lk+3y-29=0.

3-（-2）57

（2）由題意得，kBC=-^-=~,則邊5C上的高所在直線的斜率左=-：,

6-（-1）75

7

所以邊3C上的高所在直線的方程為=即7x+5y-37=0.

【題型02:直線的斜截式方程】

一、單選題

1.（24-25高二上?黑龍江牡丹江?期中）直線'=3犬+2斜率是（）

A.xB.yC.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的斜截式方程可得答案.

【詳解】根據(jù)直線的斜截式方程可知，直線y=3x+2斜率是3.

故選：C.

2.（23-24高二下?四川廣元?開學(xué)考試）直線/：>=立尤-1的傾斜角為（）

3

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】由題意可知直線的斜率，根據(jù)直線的斜率求解傾斜角即可.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為。，0。46<180。，

由題意可知，直線/的斜率為也，所以tan0=立，即。=30。.

33

故選：A.

3.（24-25高二上?江蘇鹽城?期中）直線/的方程是y=2尤-4,則直線/的縱截距是（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，令x=O代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€/的方程是y=2x-4,令％=0,貝！I'M-4,

所以直線/的縱截距是T.

故選：D

4.(24-25高二上?廣東深圳?期中)已知直線/的傾斜角為120。，在y軸上的截距是3,則直線/的方程為()

C.y=—j3x+3D.y=-y/3x-3

【答案】C

【分析】代入直線的截距式方程即可.

【詳解】因?yàn)橹本€/的傾斜角為120。，所以直線/的斜率上=tanl2(T=-g.

又直線/在＞軸上的截距是3,由斜截式方程得＞=-瓜+3.

故選：C

二、解答題

5.(23-24高二上?陜西寶雞?月考)根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程.

(1)斜率為2,在y軸上的截距是5；

⑵傾斜角為150。，在y軸上的截距是-2.

【答案】⑴y=2x+5；

(2)y=-^-x-2.

3

【分析】(D利用直線的斜截式方程直接寫出方程即可.

(2)求出直線的斜率，再利用直線的斜截式方程寫出方程即可.

【詳解】(D由直線的斜截式方程知，所求直線方程為y=2無+5.

(2)因?yàn)橹本€的傾斜角a=150。，則該直線的斜率左=tanl5(T=-3.

3

所以該直線的斜截式方程為y=-立尤-2.

3

【題型03：斜截式的圖像特征】

一、單選題

1.(23-24高二上.江蘇南京?開學(xué)考試)如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線＞=工+々與＞=?正確的是

【答案】C

【分析】由y=x+a與y=G中a同號(hào)，分類討論>=◎遞增與>=依遞減，得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)a>0時(shí)，直線y=◎過原點(diǎn)，且單調(diào)遞增，

直線y=x+a單調(diào)遞增，且縱截距為正數(shù)，

沒有符合的圖象.

當(dāng)a<0時(shí)，直線>="過原點(diǎn)，且單調(diào)遞減，

直線y=x+a單調(diào)遞增，且縱截距為負(fù)數(shù)，

C選項(xiàng)符合.

故選：C

2.（23-24高二上?浙江金華?期中）已知直線4：y=辦-4/2：V=bx+a，當(dāng)。力滿足一定條件時(shí)，它們的圖

形可能是圖中的（）

【答案】B

【分析】由兩直線的解析式可得直線4的斜率為縱縱截距為-6,4的斜率為從縱截距為a,再逐一判斷

四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).

【詳解】選項(xiàng)A,由乙的圖象可知，a<0,-b>0,由的圖象可知，b>0,a>0,

不成立，A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,由《的圖象可知，a>0,-b>0,由4的圖象可知，b<0,a>0,

可能成立，B正確；

選項(xiàng)C,由4的圖象可知，a<0,-b>0,由6的圖象可知，b<0,a>0,

不成立，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,由4的圖象可知，a>0,-b>0,由4的圖象可知，b>0,a>0,

不成立，D錯(cuò)誤.

故選：B.

3.（24-25高二上?吉林?月考）若直線/的方程為y=-，尤+］曲>0,ac<0,則此直線必不經(jīng)過（）

bb

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】由條件。6>0,改<0判斷直線的斜率和縱截距的正負(fù)，結(jié)合圖象分析即得.

【詳解】由a6>0,ac<0可得，_9<0,9<0,

bb

即直線/的斜率為負(fù)數(shù)，在y軸上的截距為負(fù)數(shù)，

故直線經(jīng)過第二、三、四象限，即不經(jīng)過第一象限.

故選：A.

4.（24-25高二上?湖北十堰?月考）如圖所示，直線4：y=-ax-6與6：，=法+。的圖象可能

【分析】根據(jù)斜截式方程的系數(shù)的幾何意義，逐一判斷各選項(xiàng)即得.

【詳解】對(duì)于A,由4:y=-ax-b,PJ知|-a>0,-b<0,艮口a<0,b>0,

而由/2：V=bx+a的圖象，可知6>0,a>0,產(chǎn)生矛盾，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由4:y~—-b的圖象.，nJ知|—a<0,—b>0,即a>0,b<0,

而由，2：y=b尤+。的圖象，可知6>0,a>0,產(chǎn)生矛盾，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由4:y-—ax-b,可知|-a>0,—b<0,艮口a<0,b>。,

此時(shí)由4：y=bx+a的圖象，可知Z?>0,a<0,兩者一致，故C正確；

對(duì)于D,由4：，=一辦一6的圖象，可知-a>0,-b>0,即。<0,b<0,

而由4：V=b尤+。的圖象，可知b>0,a>0,產(chǎn)生矛盾，故B錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（24-25高二上?湖北黃岡?月考）已知直線（a-2）y=（3a-l）x-l,為使這條直線不經(jīng)過第二象限，則實(shí)

數(shù)。的范圍是（）

A.（-co,2）B.（-oo,2]

C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【答案】D

【分析】對(duì)直線分斜率存在和不存在兩種情況討論，由直線不經(jīng)過第二象限，得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，

求解不等式，即可得到答案.

【詳解】若a-2=0,即a=2時(shí)，直線方程可化為尤=g,此時(shí)直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件；

若2/0,直線方程可化為丫="》-一工，此時(shí)若直線不經(jīng)過第二象限，則”>0且一二20,

a—2a—2a—2a—2

解得a>2,

綜上滿足條件的實(shí)數(shù)。的范圍是[2,+e）.

故選：D

【題型04:點(diǎn)斜式與斜截式的應(yīng)用】

一、單選題

1.（24-25高二上?湖南?開學(xué)考試）已知兩點(diǎn)M（a,6）,N（a+2,3）,以下各點(diǎn)一定在直線上的是（）

A.（a+4,0）B.（a+4,2）C.（a+4,4）D,（a+4,6）

【答案】A

【分析】利用兩點(diǎn)可求出直線MN的斜率上MN，再利用點(diǎn)斜式寫出直線MN的方程，最后代入x=a+4即可

得解.

【詳解】因?yàn)椤?6）,N（a+2,3）,

3

所以直線MN的方程為：y-6=-—（x-a）,

33

即y=——x+—a+6,

22

3333

當(dāng)％=a+4時(shí)，y=——（a+4）+—〃+6=——〃一6+—〃+6=0,

2222

所以點(diǎn)（。+4,0）在直線腦V上.

故選：A.

2.（24-25高二上?四川成都?期中）已知點(diǎn)尸（2,—3）,Q（—3,—2）,直線y=履一左+1與線段P。相交，則實(shí)數(shù)上

的取值范圍是（）

【答案】A

【分析】由直線y=依-左+1恒過定點(diǎn)MCM),分別計(jì)算3.，發(fā)3,結(jié)合圖象即可得上的范圍.

【詳解】直線，=6-左+1經(jīng)過定點(diǎn)M(U),如圖所示，

因?yàn)橹本€，=履-左+1與線段P。相交,

3

所以由圖可知左e(-00,-4]U[T,+00).

4

3

故答案為：(-°°,-4]o[―,+oo).

4

3.(23-24高二上?湖北武漢?期中)一束光線從點(diǎn)4卜6,3)射出，沿傾斜角為150。的直線射到x軸上，經(jīng)x

軸反射后，反射光線所在的直線方程為()

A.y=-J3x-2B.y=-y/3x+2

C.y=-^-x+2D.y=^-x-2

33

【答案】D

【詳解】先求得入射光線所在直線與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求得反射光線所在直線方程.

【分析】?jī)A斜角為150。的直線，斜率為一也，

3

所以入射光線為y-3=-q(x+6)=-^x-l,y=_qx+2f

令y=0,解得尤=2石，所以入射光線與X軸的交點(diǎn)為(2g,0),

反射光線的斜率為坐，貝！I反射光線的方程為y-0=￥(x-26),y=#x-2.

故選：D

4.（23-24高二上?河南?月考）已知直線I過點(diǎn)”（1,3）,且分別交兩直線y=x,y=-x于％軸上方的A,3兩點(diǎn)，

。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則VAOB面積的最小值為（）

A.8B.9C.3MD.20

【答案】A

【分析】判斷直線斜率存在并設(shè)直線,的方程為、-3=左（》-1）,求出AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出三角形的

面積，并化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求得答案.

【詳解】由題意知直線/的斜率一定存在，斜率設(shè)為#,則直線/的方程為y-3=左（*-1）,

分別與y=尤，y=-%聯(lián)立可得AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)：,

l-kk+1

故亞尾|?閨=L/卜葉.渭，A,8兩點(diǎn)都在X軸的上方，

2.L—K/C+1

故一1＜左＜1,

_^,3^_r1+2^ir4+40-^)+1^>4+2

^OBk+\l-k[_k+\JL1-^Jk+1l-k~\k+1l-k

當(dāng)且僅當(dāng)?？?當(dāng)，即左=J時(shí)等號(hào)成立，

k+1l-k3

故VAQB面積的最小值為8,

故選：A.

【題型05：點(diǎn)斜式與斜截式中兩直線的平行、垂直問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?吉林?期末）過點(diǎn)尸（4,3）且與直線y-2=-2（尤-1）垂直的直線方程為（）

A.y-3=1（x-4）B.y_3=2（x-4）

C.y-3=-1(^-4)D.y-3=-2(x-4)

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1可得所求直線斜率，利用點(diǎn)斜式可得結(jié)果.

［詳解］..?直線y_2=_2(D的斜率為_2,

...所求直線斜率為

...直線方程為y-3=g(x-4).

故選：A.

2.(23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知直線卜y=2x+3a,/2：y=(1+l)x+3,若〃4，貝U。=()

A.0B.-1

C.1D.±1

【答案】B

【分析】由斜率相等、截距不相等得出”的值.

【詳解】因?yàn)椤?,所以/+1=2,/=1,所以。=±1,

又，兩直線h與12不能重合，

則3aw3,即aw1,故a=—1.

故選：B

二、解答題

3.(23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知直線乙的方程為y=—2x+3.

⑴若直線4與4平行，且過點(diǎn)(-L3),求直線乙的方程；

(2)若直線與乙垂直，且/2與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4,求直線乙的方程.

【答案】⑴y=-2x+i

⑵y=Jx+2或y=；x-2

【分析】(D設(shè)4的方程為V=-2x+6,代入點(diǎn)(T3)得出所求方程；

(2)設(shè)4的方程為y=^x+m,求出在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)，進(jìn)而由面積公式得出=±2.

【詳解】(1)由直線4與4平行，可設(shè)4的方程為y=-2x+6,

將X=-Ly=3代入，得3=(-2)x(-1)+6,

即得6=1,所以直線4的方程為了=-2x+l

(2)由直線4與4垂直，可設(shè)4的方程為y=：x+〃z,

令y=°，得x=—2m,令x=0,得＞

故三角形面積S=；|-27刈山川=4,

所以相2=4,解得加=±2,所以直線4的方程是y=gx+2或y=gx-2

，串知識(shí)識(shí)框架

方程的推導(dǎo)

_、直線的點(diǎn)斜式方程y_n。=g_如）

斜率存在

使用的條件

直線上一點(diǎn)和直線的斜率

直線的點(diǎn)斜式方程

方程的推導(dǎo)

二、直線的斜截式方程y=kx+b

過原點(diǎn)

幾個(gè)特例

與X軸平行

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

一、單選題

1.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知直線/過點(diǎn)（4,5）,且一個(gè)方向向量為（-1,2）,則直線/的方程為（）

A.y-5=-^-（x-4）B.y-5=^-（x-4）

C.y-5=-2（x-4）D.y-5=2（x-4）

【答案】C

【分析】由方向向量得到直線斜率，再用點(diǎn)斜式計(jì)算即可.

【詳解】由題可得勺=彳=-2.又直線/過點(diǎn)（4,5）,代入點(diǎn)斜式方程得'-5=-2（》-4）.

故選：C.

2.（23-24高二下?四川成都?開學(xué)考試）過點(diǎn)P（2,3）,且傾斜角為90。的直線方程為（）

A.x=2B.x=3C.y=2D.y=3

【答案】A

【分析】根據(jù)傾斜角為90。的直線的方程形式，即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)尸。3）的直線傾斜角為90。，即直線垂直于x軸，

所以直線方程為尤=2,

故選:A.

3.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）方程尸依—1）/不）表示（）

A.過點(diǎn)（一1,0）的一切直線

B.過點(diǎn)（1,0）的一切直線

C.過點(diǎn)（1,0）且不垂直于x軸的一切直線

D.過點(diǎn)（1,0）且除x軸外的一切直線

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的斜率為左分析.

【詳解】直線的點(diǎn)斜式方程尸如一1）表示經(jīng)過點(diǎn)（1,0）且斜率為左的直線，

顯然不垂直于X軸，

故選:C.

4.（24-25高二上?廣東深圳?期中）己知直線/的傾斜角為120。，在y軸上的截距是3,則直線/的方程為（）

A.y=+3B.y=—：x+3

C.y=—yf3x+3D.y=—\[3x—3

【答案】C

【分析】由傾斜角得斜率，再根據(jù)斜截式方程可得.

【詳解】因?yàn)橹本€/的傾斜角為120。，

所以直線I的斜率k=tanl200=-6.

又直線/在＞軸上的截距是3,

由斜截式方程得y=+

故選：C.

5.（24-25高二上?江蘇南京?期中）過兩點(diǎn)（-2,4）和（4,-1）的直線在x軸上的截距為（）

14147

A.—B.-----C.-D.—

5533

【答案】A

【分析】由點(diǎn)斜式寫出直線方程，然后令＞=?？傻媒Y(jié)論.

【詳解】直線的斜率左=±土2=-*,.?.直線的方程為y-4=二（》+2）,即y=-x+。，

-2-46663

令y=0,解得元蘭14，???直線在x軸上的截距為914，

故選：A.

6.（23-24高二上?廣東惠州?期末）已知直線4的方程是y=公+〃，4的方程是〉二法一〃（a人w0,a手b）,

則下列圖形中，正確的是（）

【分析】由圖象判斷參數(shù)范圍，根據(jù)參數(shù)范圍是否矛盾即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,由4的圖象知a<0,b>0,由4的圖象知。<0，b>0,故A正確；

對(duì)于B,由《的圖象知a<0,b>0,由4的圖象知。<0，b<0,矛盾，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由4的圖象知。>0,b<0,由。的圖象知。<0,b>0,矛盾，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由4的圖象知。>0,b>0,由。的圖象知a<0,b<0,矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：A

7.（24-25高二上?湖北?期中）已知定點(diǎn)M（5,0）,若直線乙過定點(diǎn)M且方向向量是］=（-5,5）,直線乙過定

點(diǎn)河且方向向量是或=（5,-3）,直線乙在》軸上的截距是。，直線4在丁軸上的截距是6,則a-6=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)“的坐標(biāo)以及方向向量分別求解出/的方程，由此可求結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?：y=,（x-5）,即/|：y=f+5,所以。=5,

因?yàn)?：y=g（x-5）,即4：y=-gX+3,所以%=3,

所以a-6=5-3=2.

故選:A.

8.（24-25高二上?廣東湛江?月考）若過點(diǎn)P（3,2〃z）和點(diǎn)。（-*2）的直線與過點(diǎn)“（2,-2）和點(diǎn)N（-3,-7）的

直線平行，則機(jī)的值是（）

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】D

【分析】由兩直線平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解加，注意驗(yàn)證是否重合.

【詳解】過點(diǎn)M（2,-2）和點(diǎn)N（-3,-7）的直線"N斜率為一9=1,

-3—2

由兩直線平行，則直線PQ的斜率J三=1,解得〃2=5,

-m-3

驗(yàn)證，當(dāng)相=5時(shí)，尸（3,10）,則直線w的斜率為整=12制，

P,Q,M,N四點(diǎn)不共線，即兩直線平行.

故選：D.

9.（23-24高二上.河北保定.期中）一條光線從點(diǎn)尸（5,8）射出，與y軸相交于點(diǎn)。（0,-1）且被>軸反射，則

反射光線所在直線在x軸上的截距為（）

A.3B.二C.2D.-2

9955

【答案】B

【分析】由入射光線和反射光線對(duì)稱求出反射光線方程，進(jìn)而求出截距.

【詳解】以5,8）關(guān)于獷軸的對(duì)稱點(diǎn)為「（-5,8）,則反射光線所在直線為PQ,

因?yàn)閗p，L—8+1；=9所以反射光線所在直線的方程為y+1=-J9尤，

-5-055

令y=o,解得尤=-1,所以反射光線所在直線在*軸上的截距為-京.

故選：B

10.（23-24高二上?廣東東莞?期中）直線/經(jīng)過點(diǎn)A（-U）,在無軸上的截距的取值范圍是（-2,1）,則其斜率

的取值范圍為（）

【答案】D

【分析】設(shè)出直線方程，求得其在在x軸上的截距，建立不等式，解出即可.

【詳解】設(shè)直線的斜率為3

則直線方程為，T=?x+l）,

令y=o,得x=/-i,

故直線在x軸上的截距為,

k

令

k

得%>1或者左<4，

故選：D.

11.(24-25高二上?湖南郴州?月考)已知過點(diǎn)尸(1,1)的直線/與無軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于點(diǎn)

8,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝|」|。4『+|0葉的最小值為()

A.12B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知直線/的斜率存在設(shè)為左(左＜0),分別解出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出「的表

達(dá)式由基本不等式即可求得最小值.

【詳解】由題意知直線/的斜率存在.設(shè)直線的斜率為左(左＜。)，

直線I的方程為＞一1=Mx-1),則A(1-0),2(0,1-幻，

k

191

所以|QA|?+\OB\9=(1--)2+(1-^)2=l--+—+l-2k+k2

—2+(---2A:)+—+A:2＞2+2^(--)(-2k)+2^—xk2=8,

當(dāng)且僅當(dāng)-t=-2匕/=/,即左=一1時(shí)，取等號(hào).

所以的最小值為8.

故選：B.

二、解答題

12.(23-24高二下?全國(guó)?課堂例題)求分別滿足下列條件的直線方程，如果能用點(diǎn)斜式表示的，請(qǐng)用點(diǎn)斜

式表示.

⑴過點(diǎn)尸(T3),斜率％=—3；

⑵經(jīng)過點(diǎn)(2,-3)，傾斜角是直線y=*的傾斜角的2倍；

⑶經(jīng)過點(diǎn)(-5,2),且平行于y軸.

【答案】⑴廣3=-3(尤+4)

⑵y+3=Vs(x-2)

(3)不能用點(diǎn)斜式，x=-5

【分析】(1)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可求得直線方程；

(2)由已知求得所求直線的傾斜角和斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可求得直線方程；

(3)由于與y軸平行的直線，其斜率化不存在，由直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)可求得直線方程；

【詳解】(1)因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(-4,3),斜率左=-3,

由直線的點(diǎn)斜式方程得直線方程為y-3=-3(x+4).

(2)因?yàn)橹本€y=3x的斜率為正，貝恒線y=3x的傾斜角為30。，

-333

可知所求直線的傾斜角為60。，故其斜率為山.

所以所求直線方程為y+3=百(x-2).

(3)因?yàn)橹本€平行于y軸，則直線的斜率不存在，

所以不能用點(diǎn)斜式方程，直線方程為x=-5.

13.(23-24高二下?全國(guó)?課后作業(yè))已知點(diǎn)4(3,3)和直