專題03平面直角坐標系

內容導航

nt串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢

23重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

j復習提升：真題感知+提升專練，全面突破

思維導圖串知識

：平面內兩條相互垂合的數軸儂平面直角坐標系

L坐標軸：水平的數軸稱為橫軸（x軸），豎直的數軸稱為縱軸（y軸）

一坐標原點：兩條坐標軸的交點是平面直角坐標系的原點

相關元素

象限：坐標軸把坐標平面分成了四個部分，每一個部分稱為象限,

J第一象限表示為（+,+）,第二象限表示為（-,+）

第三象限表示為（?，,第四象限表示為（+,-）

平

平面直角①x軸上的所有點的縱坐標等于0,可表示為（x,0）。

面L坐標軸上的點

坐標系②y軸上的所有點的橫坐標等于0,可表示為（0,y）。

直

①一、三象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標相等.

-象限角平分線上的點一

角②二、四象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標互為相反數.

坐平行與X軸（垂直于y軸）的直線上的所有點的坐標縱坐標相等.

-平行坐標軸直線上的點

標一平行與y軸（垂直于x軸）的直線上的所有點的坐標橫坐標相等。

系點到橫坐標軸的距離等于該點的縱坐標的絕對值.

J點到坐標軸的距離

點到縱坐標軸的距離等于該點的橫坐標的絕對值.

左右平移，橫加減，縱不變，右加左減

上下平移，縱加減，橫不變，上加下減

i右加左減，縱不變；上加下減，橫不變

???重點速記<<<

【知識點1平面直角坐標系有關概念】

1.平面直角坐標系的概念：

平面內兩條相互垂直且原點重合的數軸組成平面直角坐標系。

①坐標軸：水平的數軸稱為橫軸（X軸）；豎直的數軸稱為縱軸（V軸）。

②坐標原點：兩條坐標軸的交點是平面直角坐標系的原點。

③坐標平面：坐標軸所在的平面為坐標平面。

2.象限：

,軸

4

3

第二象限2?第一象限

1

0123

-4-3-2-k

—1

第三象限-2第四象限

-3

-4

如圖，坐標軸把坐標平面分成了四個部分，每一個部分稱為象限，從右上角為第一象限;逆時針一次得到

第二象限、第三象限以及第四象限。特別地，坐標軸不屬于任何一個象限。

【典例1】在平面直角坐標系中，點尸（1-機,9-2m）（加為實數）不可能在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【知識點2平面直角坐標系內點的坐標及其特征】

1.點的坐標：

橫坐標：過平面內一點做x軸的垂線，垂足在x軸上對應的數為這個點的橫坐標；

縱坐標：過平面內一點做y軸的垂線，垂足在v軸上對應的數為這個點的縱坐標;

2.象限內的點的坐標特點：

第一象限內的所有點的坐標，橫坐標縱坐標均大于0;可以表示為（+,+）。

第二象限內的所有點的坐標，橫坐標小于0,縱坐標大于0;可以表示為（一，+）。

第三象限內的所有點的坐標，橫坐標小于的縱坐標小于的可以表示為（一，一）。

第四象限內的所有點的坐標，橫坐標大于0,縱坐標小于0；可以表示為（+,一）。

3.坐標軸上的點的坐標特點：

①x軸上的所有點的縱坐標等于旦，可表示為（x,0）。

②y軸上的所有點的橫坐標等于旦，可表示為（0,v）。

4.象限角平分線上的點的坐標特點：

①一、三象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標相等。

②二、四象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標互為相反數。

5.平行與x軸（垂直于y軸）的直線上的點的坐標特點：

平行與x軸（垂直于y軸）的直線上的所有點的坐標縱坐標相等。

6.平行與y軸（垂直于x軸）的直線上的點的坐標特點：

平行與J軸（垂直于x軸）的直線上的所有點的坐標橫坐標相等。

7.點到坐標軸的距離：

點到橫坐標軸的距離等于該點的縱坐標的絕對值。

點到縱坐標軸的距離等于該點的橫坐標的絕對值。

【典例2】已知直線軸，M點的坐標為（1,2）,并且線段MV=5,則點N的坐標為（）

A.（-4,2）B.（6,2）

。（7,2）或（6,2）D.（1,7）或（1,一3）

【典例3】已知點（。一L2。一4）在夕軸上，點8（3。-6,6+4）在x軸上，則點C（a,b）的坐標為.

【典例4】在平面直角坐標系中，將點尸向左平移了5個單位后得到點P,點P到x軸的距離為6,到了軸

的距離為8,請你寫出符合條件的所有點P的坐標.

【知識點3利用坐標表示位置】

1.建立平面直角坐標系表示地理位置：

第一步：建立坐標系，選擇合適的參照點作為原點，確定x軸與y軸的正方形。

第二步：根據具體問題確定單位長度。

第三步：在平面直角坐標系內畫出待表示的點，寫出各點的坐標與名稱。

2.用“表示方向的角+距離”表示平面內物體的位置：

以一點為參照點，用某個方向加上與該參照點的距離來確定一點的位置。

【典例5】在如圖的中國象棋盤中若建立直角坐標系后，棋子“士”所在位置的坐標為棋子“帥”所在

的位的坐標為（0,-1）,那么棋子“炮”所在位置的坐標為（）

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(3,2)D.(-2,3)

【知識點4點在坐標系中的平移】

左右平移：點在平面直角坐標系中進行左右平移時，縱坐標不變，橫坐標進行加減。向右平移時加，

向左平移時減。

巧記：左右平移，橫加減，縱不變，右加左減。

上下平移：點在平面直角坐標系中進行上下平移時，橫坐標不變，縱坐標進行加減。向上平移時加，

向下平移時減。

巧記：上下平移，縱加減，橫不變，上加下減。

【典例6】平面直角坐標系中，線段NB經過平移得到線段4?,若點/(T,2)的對應點/的坐標為(1,-1),則

點的對應點笈的坐標為()

A.(加+2,〃-3)B.(m-2,n-3)C.(m+2,n+3)D.(，"-2,〃+3)

【知識點5圖形在坐標系中的平移】

在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數a,相應的新圖形就是把

原圖形向曲或值田平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數a,相應的新圖形

就是把原圖形向上(或向上1平移a個單位長度.

【易錯點剖析】

平移是圖形的整體運動，某一個點的坐標發(fā)生變化，其他點的坐標也進行了相應的變化，反過來點的坐標

發(fā)生了相應的變化，也就意味著點的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減,

橫不變”.

【典例7］如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，V/5C的頂點均在格點上.

⑴請建立合適的平面直角坐標系，使點/，2的坐標分別為(0,3)和(-4,2),并寫出點C的坐標為.

(2)在(1)的條件下，VN8C中任意一點尸(X。,")經平移后對應點尤°+2,%-4),將V/2C作同樣的平移

得到△44G，請畫出△44G，并直接寫出點G的坐標.

/\

>>>核心考點舉一反三<<<

考點一：平面直角坐標系中點的坐標特征

「、1例L在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2加+1,-機+5).

⑴若點A在第一象限內，且到無軸、V軸的距離之和為7,求點A的坐標;

(2)若將點A向右平移2個單位長度后，恰好落在V軸上，求點A的坐標.

【變式1-1］在平面直角坐標系中，已知點尸的坐標為(3。-2,。+6).

(1)若點P在第二象限，且到兩個坐標軸的距離相等，請求出點尸的坐標；

⑵若點M的坐標為(2,3),且M〃X軸，試求點尸的坐標.

【變式1-2】已知點尸(2。-2,。+5),解答下列各題:

(1)若點P在x軸上，求出點P的坐標;

(2)若點。的坐標為(4,5),直線尸Q〃x軸，求出點尸的坐標;

(3)若點尸在第二象限，且它到x軸，了軸的距離相等，求。的值.

【變式1-3】已知點尸(2x,3x-l)是平面直角坐標系中的點.

(1)若x=內+V-8，求點P的坐標;

(2)若點P在第一象限的角平分線上，求x的值;

(3)若點P到兩坐標軸的距離之和為14,求x的值.

考點二：坐標系中的平移變換

“例2.己知三角形/3C的邊上任意一點尸(%,%)經過一次平移后的對應點為耳(%+4,%+3).

LJ

（1）將三角形ABC作同樣的平移得到三角形4月G，在圖中畫出三角形4月G，并直接寫出4、耳、G的坐標;

（2）三角形4月G的面積為；

⑶連接/G，。為上的動點，直接寫出。長的最小值.

【變式2-1］如圖，在平面直角坐標系中三角形/8C,其中4-2,3）,8（-4,-1）.

（1）按照題目條件，在圖中建立平面直角坐標系，寫出點。的坐標；

（2）點尸（尤0,比）是三角形48c上任意一點，將三角形48c平移，得到三角形/4G，尸（X。,%）平移后的對應

點為月（％+5,%+3）.畫出平移后的三角形4耳G，并寫出點4，綜G的坐標.

【變式2-2］在平面直角坐標系中，三角形/3C各頂點的坐標分別為/（T4）,5（-4,-1）,C（l,0）,若將三

角形N8C平移后得到三角形48c，點A的對應點4的坐標是（3,a），點C的對應點。的坐標是（4-2）.

⑴直接寫出。，b的值及點片的坐標；

⑵畫出平移后的三角形48c；

（3）若點P在x軸上，且三角形/CP的面積等于三角形4耳G面積，請直接寫出點尸的坐標.

【變式2-3］如圖，三角形A8C中任意一點尸（加⑼經平移后的對應點為0（加+4,"+2）,將三角形N8C作同

樣的平移得到三角形。所，點4B,。的對應點分別為點。，E,F.

⑴畫出三角形。跖，并直接寫出點。、E、尸的坐標；

⑵請說明三角形。斯是由三角形N8C經過怎樣的平移得到的；

⑶若點M(。-6,6)是三角形4BC內部一點，則平移后對應點N的坐標為(26,26-a),求點"的坐標.

考點三：坐標系中的新定義問題

］例3.在平面直角坐標系中，對于點力(x,y),若點B的坐標為(nix++my),其中m為常數，則稱

點B是點4的“加級關聯(lián)點”.例如，點4(一1,3)的“4級關聯(lián)點”點B的坐標為(-1X4+3,-1+4x3),即

B(—1,11).

(1)若點C(2,a)的“2級關聯(lián)點”點。在x軸上，求點。的坐標；

(2)在(1)的條件下，若存在點E,使得EC||y軸，且EC=5,求點E的坐標.(提示：先由(1)求出點C

的坐標)

【變式3-1］在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P到無軸、y軸的距離的較大值稱為點P的“長距”，點Q

到x軸、y軸的距離相等時，稱點Q為“完美點”.

⑴點4(-3,5)的“長距”為；

(2)若點B(4-2a,-2)是“完美點”，求a的值；

(3)若點C(—2,3b-2)的長距為4,且點C在第二象限內，點。的坐標為(9-2b,-5),試說明：點。是“完美點”.

【變式3-2］在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，定義點M和點N的相關系數［M,N］如下：若點。，M,N

在一條直線上，則［M,N］=O；若點。，M,N不在一條直線上，貝"M,N］=S4MON.如圖，已知點力的坐標

為(3,0),點8的坐標為(0,4),點P(x,y)為平面直角坐標系內一動點，請回答下列問題：

⑴[4司=.

⑵若[P,4]=3,[P,B]=0,求點P的坐標.

⑶點P在第二象限，若[P,B]=2[P,川，且點P的縱坐標為2,求點P的坐標.

⑷當[P,B]=：[4用時，直接寫出點P的橫坐標.

【變式3-3]若點P(x,y)的坐標滿足x-2y=-2,我們稱點PQ,y)為“橫和點”.

(1)已知點Q(q,3)為“橫和點”，求q的值；

(2)在平面直角坐標系中，將三角形ABC平移得到三角形DEF,點的對應點分別是點D,E,F,已知點

力(犯死)，點B(0,b),點。(t,6),點4為“橫和點”，點E的橫坐標為m.

①若點8為“橫和點”，且三角形48。的面積為8,求點E的坐標；

②若點C的坐標是(a-m—3，a+；m),點E在x軸上，判斷點F是否為“橫和點”，并說明理由.

考點四：坐標系中點的坐標規(guī)律探索

|\例4.如圖，動點M按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(2,2),第2次運動到點(4,0),

第3次運動到點(6,4),…，按這樣的規(guī)律運動，則第2025次運動到點()

O(4.0)(8.0)(12.0)(16.0)(20.0)(24.0>x

A.(2025,2)B.(4050,0)C.(2024,4)D.(4050,2)

【變式4-1]如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，

得到點41(1,1)；把點力i向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點42(-1,3)；把點%向下平移3個

單位，再向左平移3個單位，得到點43(-4,0)；把點4向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點

人4(0,—4),…；按此做法進行下去，則點力2025的坐標為()

%

A.(-2024,1)B.(2024,1)C.(-2025,1)D.(2025,1)

【變式4-2］如圖，在平面直角坐標系中，有一個“機器跳蚤”，第一次從點力(1,0)跳動至點4(-1,1),第二次

從點&跳動至點42(2,1)，第二次從點兒跳動至點43(-2,2),第四次從點出跳動至點力式3,2),……依此規(guī)律

跳動下去，貝!］點力2025與點42026之間的距禺是.

【變式4-3］如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數的點，其順序為(1,0),(2,0),(2,1),

(1,1),(1,2),(2,2),…，根據這個規(guī)律，第121個點的坐標為.

O\12345X

考點五：坐標與圖形綜合(已知面積求點的坐標)

"例5.如圖，在平面直角坐標系中,已知4(0,Q),B(瓦0),C(3,c)三點，且q、b滿足關系式一2|+(b-

3)20,BC=2OA.

(3)是否存在點P(m,爪)使得△4。2的面積為四邊形力08。面積的2倍？若存在，求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

圖1圖2

(1)求4點，B點坐標；

(2)如圖1,將線段力B平移，使點力平移到C,點B平移到E在線段CD上，

過E作EFlx軸于點F,延長EF至H使EF=若三角形HCD的面積等于10,求H點坐標；

(3)如圖2,將線段平移使點4平移到D(4,l),點B平移到C(0,-2),E(—2,4),點P在直線OE上，且S^PCD=

|SMPC+6,直接寫出P點坐標.

【變式5-2］如圖，在平面直角坐標系中，A(a,-1)、其中a,6滿足而不+|b+3|=0.

圖I圖2

(1)求4、B的點坐標；

⑵如圖1,點E(t,2t+2)為第二象限內一點，若△力BE的面積為9,求t的值；

(3)如圖2,過點力，B分別向工軸作垂線，垂足分別為C,在坐標平面內是否存在點P(m,n),使得△PAD

與aPBC的面積相等，且△PCD與△P4B的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

【變式5-3］在平面直角坐標系中4(—a,6)、B(a,a),a、b滿足J(2a—4)+|3a+b—12|=0.

(1)如圖1,求點A8的坐標；

(2)如圖2,y軸上有一點￡,△ABE的面積是6,求點￡的坐標；

(3)如圖3,將線段力B沿x軸的正方向平移4個單位長度，過/、2兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為。、

C,在坐標平面內是否存在點P(x,y)(0<x<6),使得△PAD與aPBC的面積相等，且△2(?￡)與aPAB的面

積相等？若存在，請求P點的坐標；若不存在，請說明理由.

考點六：坐標與圖形綜合(探究角的數量關系)

6.如圖，在平面直角坐標系中，點N,3的坐標分別為4(a,0),B(b,0),且a,6滿足Ia+31+

Va—2b+7=0,現(xiàn)同時將點42分別向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，分別得到點力,

(2)在y軸上是否存在點M,使三角形M4D的面積與三角形4CD的面積相等？若存在，請求出點M的坐標;

若不存在，試說明理由.

(3)如圖2,點P是線段4C上的一個動點，點Q是線段CD的中點，連接PQ,P。，當點P在線段AC上移動時(不

與A,C重合)，請直接寫出NPQD,乙OPQ,NBOP的數量關系.

【變式6-1］如圖1,在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點為A(a,0),B(b,3),C(c,0),且滿足(a+

2______

b)+yjb—2+|4—c|=0,線點E從。點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿y軸負半軸

方向運動(點E不與點。重合).

(2)在y軸上是否存在這樣的E點，使△ACE的面積等于△ABC的面積的|?若存在，請求出點E坐標，若不存

在，請說明理由.

(3)如圖2,若點E為y軸負半軸上一動點，過點E作EFII4B,分別作NC4B,NOEF的平分線交于點M,試問

在點E的運動過程中，NAME的度數是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變，請求出乙4ME的值.

【變式6-2］如圖1,點M(0,a-3),N(瓦0),且滿足(b-a+81+(5-a=0.

⑴直接寫出M、N的坐標：M,N；

(2)點P以每秒2個單位長度從點"向y軸負半軸運動，同時，點。以每秒3個單位長度從N點向x軸正半

軸運動，直線NP,MQ交于點。，設點尸，。運動的時間為/秒.

①當t=3時，求△MOQ的面積；

②當1<t<2時.

(I)用代數式表示aMOQ的面積和aNOP；

(n)求證：

③如圖2,當“MN+NPNM=180。時，在線段MQ上任取一點E,連接E。.點G為NOEQ的角平分線上一

點，且滿足4GNP=[NONG,請將圖2補全，并直接寫出NNOE、乙OEG、NG之間的數量關系.

【變式6-3】己知，在平面直角坐標系中，力軸于點B,點力(a,b)滿足而7+g-3|=0.平移線段4B

使點4與原點重合，點B的對應點為點C.

⑴直接寫出點4的坐標為，點B坐標為，點C坐標為；

⑵如圖(1),點D(m,n)是線段CB上的一個動點.

①連接OD,利用△OBC,AOBD,△OCD的面積關系，可以得到小、n滿足一個固定的關系式，請求出這個

關系式；

②過點力作直線2|低軸，在/上取點M,使得=4,若△CDM的面積為5,請求出點。的坐標.

(3)如圖(2),以。8為邊作NBOG=乙4。8,交線段BC于點G,E是線段。8上一動點，連接CE交。G于點尸，

當點E在線段OB上運動過程中，試說明”?乎的值是定值，并求出該定值.

Z.OEC

???復習提升<<<

1.大雁在南飛時保持嚴格整齊的隊形即排成“人”或“一”.如圖是大雁南飛時的平面網格圖，如果最后兩只

大雁RG的坐標為尸(―1,4),G(—1,-2),那么頭雁/的坐標是()

B

A.(3,1)B.(4,1)C.(4,2)D.(5,1)

2.下列結論正確的是()

A.點P(—2024,2025)在第四象限

B.點M在第二象限，它到％軸，y軸的距離分別為4,3,則點M的坐標為(-4,3)

C.平面直角坐標系中，點P(K,y)位于坐標軸上，那么xy=0

D.已知點P(-4,6),<2(-3,6),則直線PQIIy軸

3.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC內部有一點若將△力BC先向右平移，再向下平移，平移后

點M對應點M的坐標是(m+2,n-3),已知點/的坐標是(一3,2),則平移后點力'的坐標是()

C.(-1,-1)D.(-5,-2)

4.如圖，已知4,8兩點的坐標分別為4-4,2),8(2,-1),將線段A8平移得到線段OC,若點4的對應點是

0(-1,4).則點B的對應點C的坐標是()

A.(5,2)B.(5,1)C.(4,1)D.(4,2)

5.如圖，在平面直角坐標系中，將△AB。繞點/順時針旋轉到△ABiCi的位置，點8、。分別落在點劣、Ci

處，點當在x軸上，再將△481。繞點為順時針旋轉到△久邑。2的位置，點。2在x軸上，將△43道2繞點

順時針旋轉到△AB2c2的位置，點4在x軸上，依次進行下去...，若點。4=1.5,OB=2,AB=2.5,則

A.(6070,0)B.(6072,2)