專題12.38《全等三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）

【知識(shí)點(diǎn)一】全等三角形的性質(zhì)

（|）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.

（2）：全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)島?相等.

（3）：全等三角形的周長(zhǎng)等、面積等.

【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定

一般三角SSSSAS（兩邊和ASA（兩角和AAS（兩角和其中一

形全等（三邊對(duì)它們的夾角對(duì)應(yīng)它們的夾角對(duì)應(yīng)個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等）

應(yīng)相等）相等）相等）44

A△a

直角三角⑴斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）卜K

（2）證明兩個(gè)直角三角形全等同樣可以用In'In'

形全等

S4S/S4和AAS.

【知識(shí)點(diǎn)三】全等三角形的運(yùn)用

（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長(zhǎng)、求角度：將特征的邊或角放到兩個(gè)全

等的三角形中，通過(guò)證明全等得到結(jié)論.在尋求全第的條件時(shí)，注意公共角、公共邊、

對(duì)頂角等銀行條件.

（2）全等三角形中的輔助線的作法：

①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構(gòu)造全等.

②倍長(zhǎng)中線法：用于?證明線段的不等關(guān)系，如圖②，由SAS可得A4CD;MBD,則

在石中，AB+BE>AE,AB+AC>2AD

③截長(zhǎng)補(bǔ)短法：適合證明線段的和差關(guān)系，如圖③、GD.

.°。#。江

cD

圖①圖②圖③圖④

【典型例題】

類型一、全等三角形的性質(zhì)

@>1.如圖，將三角形ABC沿射線3c平移后能與三角形OE/重合(點(diǎn)B、C分別

與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)),如果的長(zhǎng)為12,點(diǎn)E在邊3c上,且2VECV4,求邊8c長(zhǎng)的取值

范圍.

【答案】7<BC<8

【分析】根據(jù)平移得到兩個(gè)三角形全等，再分別求出行EC=2或EC=4時(shí)8C的值即

可得出結(jié)論.

解：???將AA8C沿射線8。平移后與ADE/重合，

MBC^ADEF,

：.BC=EF,

：,BE=CF,

當(dāng)EC=2時(shí)，BE=CF=-x(12-2)=5,

2

???BC=5+2=7,

當(dāng)EC=4時(shí)，BE=CF=-x(12-4)=4,

2

???BC=4+4=8,

/.7<BC<8.

【點(diǎn)撥】本題考查平移變換，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，。，A,七在同一條直線上，BD工DE于D,CE上DE于E,且

△A8O0△CAE,AD=2cm,BQ=4cm,求

(1)。上的長(zhǎng);(2)NH4C的度數(shù).

【答案】⑴。七=6cm；⑵NB4C=90'

【分析】

(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論：

(2)根據(jù)垂直的定義得到/力=90。，求得/。84+/朋。=90。，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到NO8A=NCAE等量代換即可得到結(jié)論.

(1)解：V^ABD^ACAE,AO=2cm,BD=4cm,

/.A￡=BD=4cm,

/.DE=AD+AE=bcm.

(2)V?D±DE,

???/。=90。，

：.ZDBA+ZBAD=90°,

：.ZDBA=ZCAE

???NZMQ+NCA￡=90。，

???N8AC=90°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，。、4、E三點(diǎn)在同一條直線上，BD工DE于點(diǎn)、D,CE_LZ)E于點(diǎn)E,

且AAB。絲AC=4.

(1)求Z6AC的度數(shù)；(2)求△46。的面積.

【答案】(1)90。(2)8

【分析】

(1)根據(jù)垂直的定義得到NO=90。，求得NOM+NZMD=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

到NQ/M=NC4￡等量代換即可得到結(jié)論；

⑵根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AC=/1B=4,再根據(jù)三角形的面積求出答案.

(1)解:；BDLDE,

???N3=NBAD+ZABD,

JZ3=ZI+Z2.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握

全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，/AO8是一個(gè)任意角,

在邊04、03上分別取點(diǎn)M、N,使得0M=0M移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別

與點(diǎn)M、N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線0C便是NA0〃的平分線.

B

(1)求證：0c平分NA0B；

(2)已知N4MC=40。，NMCN=30。，求NA08的度數(shù)；

【答案】(1)見分析(2)50。

【分析】

(1)由“SSS'可證△0MC咨△0NC,可得NMOC=NNOC,可得結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/MCO=NNCO=15。，由外角的性質(zhì)可求解.

(1)解：在△0MC和AO/VC中，

0M=0N

0C=0C,

CM=CN

:.△OMgRONC(555),

JZM0C=ZN0C,

J0c平分NA08；

(2)解：'：△OMC§AONC,NMCN=30°,

：.ZMCO=ZNCO=\5°t

ZAMC=ZMCO+ZMOC=4()0,

,NM0C=4MC-/MC0=25。，

JZAOB=2ZMOC=50°.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在四邊形44co中，C8_LA8于點(diǎn)從CD工AD于點(diǎn)、D,點(diǎn)、E,F分

別在A8,AQ上，AE=AF,CE=CF.

(1)若AE=8,CD=6,求四邊形AEC尸的面積；

⑵猜想N/MB,NECF,NOFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】(1)48⑵NQA3+NEb=2N。?',證明見分析

【分析】

(1)連接八C證明AACE0△AC凡貝I」Sa八CE=S“1CE根據(jù)三角形面積公式求得

5MC廠與S^ACE,根據(jù)S碑"AEC產(chǎn)=5&4。/+544。石求解即可；

(2)由△ACEg/XACF可得NFC4=NEC4,ZFAC=ZEAC,ZAFC=^AEC,根據(jù)

垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得NOFC+N8EC=NFCA+N^C+NEC4+NE4C

=NDAB+/ECF.可得/DAB+NECF=2NDFC

(1)解：連接AC,如圖,

EB

AE=AF

在aACE和△ACF中，CE=CF

AC=AC

AAACE^AACF(SSS).

：.SAACE=SAACF,ZFAC=ZEAC.

*：CBLAB,CDLAD,

:?CD=CB=6.

：,S^ACF=SAACE=^AECB=^XSX6=24.

:.S瞰形AECF=SAACF+S/ACE=24+24=48.

(2)/OA8+NECF=2ZDFC

證明：?:XkCE/△hCF,

：.ZFCA=ZECA,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC.

???/OR:與NA尸C互補(bǔ)，/BEC與NAEC互補(bǔ)，

：,ZDFC=ZBEC.

VZDFC=ZFCA+ZMC,NBEC=NEC4+NEAC,

JZDFC+NBEC=ZFCA+ZMC+NEC4+NE4C

=NDAB+NECF.

J.ZDAB-\-NECF=2NDFC

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等

的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)譴.

@^3.如圖，四邊形ABCD中，BC=CD=2AB,ABHCD,N8=90。，E是BC的中

點(diǎn)，AC與QE相交于點(diǎn)八

(1)求證：ABC^ECDx

(2)判斷線段AC與QE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見分析(2)AC_L"&見分析

【分析】

(1)由E是的中點(diǎn)，BC=248可證明由平行線的性質(zhì)得出/B+NEC。

=180°,得出NECD=9(T=NB,最后由S4s證明△ABCg/kECQ即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出，/CED=/CAB,再由NC48+NAC8=90。推導(dǎo)NCEO

+N4CB=90。，進(jìn)而得出NEFC=90。，即可得出結(jié)論.

(1)證明：???E是8c的中點(diǎn)，

JBC=2EC,

;BC=2AB,

：.AB=EC,

'：AB!/CD,

???N8+NECO=180。，

VZB=90°,

：,ZB=ZECD=90°,

在△A4c和^ECQ中，

AB=EC

?NB=NECD,

BC=CD

:.AABCWAECD(SAS)；

(2)AC_LQ￡.理由如下：

,:△ABC9XE3(SAS),

:?NCED=NCAB,

???NC4B+N4C8=90。，

/.ZCED+ZACB=90°,

???ZEFC=90°,

：.ACVDE.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，AE與BC交于點(diǎn)D,AD是AABC的中線，且DE=AD.

(1)求證：AABD^ECD

(2)若△AB力的面積為5,求△ACE的面積.

【答案】(I)見分析⑵三角形ACE的面積為10

【分析】

(1)根據(jù)定理SAS證=即可；

(2)因?yàn)锳。是△48C的中線得與加=SMCD,由得=5A￡CD即可求

解；

(1)證明：??工。是△4BC的中線

；,BD=CD

乂〈DE二AD,ZADB=ZCDE

：.AABD^AECD(SAS)

(2)?；A。是△A8c的中線

???q°MHD―一q°

■:一ABI運(yùn)一ECD

S'ABD=^\ECD

??q—s

.0XABD-J

??S1Ma=S1Me+S&ICD=5+5=1。

答：三角形ACE的面積為10.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的全等證明、中線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在△A8c和△4OE中，ZABC=NDBE=90。,NC8E為銳角，AB=BC,

BE=BD,連接AE、CD,AE與C。交于點(diǎn)M,AE與BC交于點(diǎn)、N.

(1)△A4:與△C8。全等嗎？為什么？

(2)人E與C。有何特殊的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)全等，見分析(2)AE與C7)互相垂直，見分析

【分析】

(1)利用利AS”可判斷A48E烏△CBD；

(2)利用△48E空△CB。得到再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到

NNMC=NABN=9伊,即可判斷A￡_LC。

(1)解：4ABE與工CBD全等;

理由如下：

?;ZABC=NDBE=9()。,

ZABC+NCBE=ZDBE+NCBE,即ZABE=Z.CBD,

在△715七和4C8D中，

8A=6c

ZABE=NCBD

BE=BD

:./XABE沿MBD(SAS)：

(2)解：AE與CO互相垂直；

理由如下：

△ABEg&BD、

ZBAE=ZBCD,

?/ZNCM+ZNMCEBAN+ZABN,

ZNMC=ZAI3N=9O°,

/.AE1CD.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟悉以上定理是解

題的關(guān)鍵.

.已知：如圖1,Z4BC=60°,3。平分NABC,/BCD=/BAD,過(guò)點(diǎn)A作直

強(qiáng)MN〃BC,延長(zhǎng)CO交MN于點(diǎn)￡

(1)當(dāng)C/)_L4C時(shí)，ZAOE的度數(shù)為.

(2)如圖2,當(dāng)N8CQ=45。時(shí)，求NA/%的度數(shù)；

(3)設(shè)/BCD=A,用含x的代數(shù)式表示ZADE的度數(shù).

圖】圖2

【答案】⑴60。⑵3()。(3)ZADE=|2x-l20°|

【分析】

(1)根據(jù)題意證明△BAOgABC。，進(jìn)而可得N4DB=NCO4,根據(jù)C￡>_L/3C,即可

求解.繼而可得乙M沼=120。，即可求得NADE：

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NB4￡>=N8CZ)=45。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

ZB￡)C=105°,進(jìn)而根據(jù)NA￡)f=NAD8-N8Z如即可求解.

(3)根據(jù)(1)(2)的方法分類討論即可求解.

(1)解：8。平分ZA8C,ZABC=60°,

ZABD=NCBD=30。，

NBCD=/BAD,BD=BD,

△840也△BCD,

??.ZADB=^CDB,

CD工BC,

:?/BAD=/BCD=90°,

/.ZADC=360°-/BAD-ZABC-/BCD=360°-90°-60°-90°=120°,

ZADE=60°,

故答案為：60°,

(2)解：由(I)可知△朋。之△BCO,

;/次。=45°,

:.Z.BAD=^BCD=45°t

??ZABC=60°,ZDBC=30°,

NBDC=180°-NDBC-ZD=180°-30°-45°=105°,

/./ADE=ZADB-NBDE=ZADB-(1800-ZBDC)=105°-(180°-105°)=30°,

ZADE=30°,

(3)解：設(shè)=

NDBC=30。,

.\Z/?ZX7=I80O-30O-X=(I50°-X),

?ABAD學(xué)ABCD,

/BDA=NBDC=(150°-x),

當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí),

ZADE=2ZBDC-180o=2(150o-x)-l80o=(120°-2x),

當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，

Z4DE=180°-2/BDC=180°-2(150°-x)=2x-120°,

ZADE=|2.￥-120°|.

【點(diǎn)撥】本題考查了仝等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握仝等

三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，在AA4C中，。是8c的中點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)的直線EG交A8于點(diǎn)E,交

A8的平行線CG于點(diǎn)G,DF1EG,交4C于點(diǎn)巴

(1)求證：BE=CG；

(2)判斷BE十CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見分析(2)BE+CEF,見分析

【分析】

(1)根據(jù)題中條件，證得△(ASA),可證得BE=CG：

(2)先連接AG,再利用全等的性質(zhì)可得OE=OG.再根據(jù)OF_LGE,從而得出FG=

EF,依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出8E+CQER

(1)解：???。是8C的中點(diǎn)，

:,BD=CD,

*：AB//CG,

:?/B=NDCG,

在^BDE和ACOG中，

?:/BDE=4CDG,BD=CD,ZDBE=ZDCGt

:?△BDE//\CDG(ASA),

：?BE=CG：

⑵BE+CF>EF.理由：如圖，連接尸G,

'：4BDE學(xué)ACDG,

:.DE=DG,

又?：FD^EG,

，尸。垂直平分EG,

:,EF=GF,

又?.?△C尸G中，CG+CF>GF,

：,BE+CF>EF.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形三邊

關(guān)系的運(yùn)用，本題中求證△BOEgACDG,得出8E=CG是解題的關(guān)鍵.

【變式2】在一ABC中，若最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的〃倍(〃為大于1的整數(shù))，則稱,ABC

為〃倍角三角形，例如，在一ABC中，ZA=20°,Zfi=40°,ZC=120°,則稱4ABe為6

倍角三角形.

(I)在-ABC中，4=30。，N4=60。，貝為倍角三角形；

(2)若一個(gè)等腰三角形是4倍角三角形，求最小內(nèi)角的度數(shù)；

(3)如圖，點(diǎn)石在。戶上，BE交AD于點(diǎn)C,AB=AD,ZBAD=ZEAF,ZB=ZD=25°,

//=75。.找出圖中所有的〃倍角三角形，并寫出它是幾倍角三角形.(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)3(2)20?；?0。(3公43(7和ADEG5倍角三角形

【分析】

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出NG再利用〃倍角一:角形的定義即可求解.

(2)設(shè)最小內(nèi)角的度數(shù)為"，則最大內(nèi)角為4x。，分兩種情況：一是當(dāng)最小內(nèi)角為等

腰三角形的頂角時(shí)，二是當(dāng)最小內(nèi)角為等腰三角形的底通時(shí)，利用三角形內(nèi)角和即可求解.

(3)利用ASA證明AMEg/XDAF,得至ljAE=A凡求得NEAF,進(jìn)而得到乙4CB,即

可得到△ABC為5倍角三角形，同理可得4DEC為5倍角三角形.

(1)解：在一48c中，ZA-300,28=60。，

???ZC=180°-ZA-ZB=\80o-30°-60o=90°,

V90°-30°=3,

???一ABC為3倍角三角形，

故答案為：3.

(2)設(shè)最小內(nèi)角的度數(shù)為X。，則最大內(nèi)角為4.1。，

當(dāng)最小內(nèi)角為等腰三角形的頂角時(shí)，則底角為以\得：

4x+4x+x=180,解得A-20,

當(dāng)最小內(nèi)角為等接三角形的底角時(shí)，則頂角為心。，得：

4x+x+x=180,解得x=30,

???最小內(nèi)角的度數(shù)為20。或3()。.

(3Y：ZBAD=ZEAF,

在4加萬(wàn)和4D4廠中,

^BAE=^DAF

AB=AD

NB=ND

：.ABAE^/\DAF(ASA)t

：.AE=AF,

■:NF=75。,

.,.ZE4F=180°-75°x2=30°,

???ZBAD=ZEAF=30°,

VZB=25°,

???ZACB=\S00-ZB-ZBAD=\25°,

???125。+25。=5,

???△48C為5倍角三角形，

VZD=25°,NDCE=NACB=125。,

JZCED=180°-ZD-ZDCE=30°,

V125°-25°=5,

???△QEC為5倍角三角形，

???圖中的〃倍角三角形有△48。和aDEC,它們都是5倍角三角形.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三足形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是理解〃

倍角三角形的定義.

AD=BC,ZC=ZD=90°.

⑵若NA5c=31。，求NC40的度數(shù).

【答案】（I）見分析（2）28。

【分析】

（1）利用斜邊直角邊定理證明兩個(gè)三角形全等即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明乙48c=/R4D=31。，再求解？8AC59?,再利用角的

和差關(guān)系可得答案.

(I)證明：VZD=ZC=90°,

???△48。和484。都是直角三角形,

在放△A8C和心△84。中，

AD=BC

AB=BA'

：.RIAABCWRI&BAD(HL)；

(2)*.?/?/△ABgRlMBAD,

：.N/WC=NH4/>31。，

???ZC=90°,

/.Z5AC=59°,

???ZCA0=ZCAB-ZBAD=2S°.

【點(diǎn)撥】本題考查的是利用斜邊直角邊定理證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)，掌握

“斜邊直角邊定理''是解本題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式I】如圖，已知4。是△反(7的邊8C上的高，點(diǎn)石為上一點(diǎn)，且8E=AC,

DE=DC.

(1)證明BE_LAC

(2)若AE=4,CO=2,求"3C的面積.

【笞案】(1)證明過(guò)程見詳解(2)24

【分析】

(1)延長(zhǎng)8￡交8。于尸點(diǎn)，證明RQBOE會(huì)放△4。。(”￡)即可得證；

(2)根據(jù)絲山△AQC(HL)可得3。=4。，即有AQ=4￡+OE,BC=BD+DC,結(jié)

合AO_L/3C即可求解.

⑴延長(zhǎng)BE交AC于/點(diǎn)，如圖,

根據(jù)題意有AO_L8C,

???NBDE=NADC=90。,

???3E=AC,DE=DC,

.,./?/△BDE^RtLADC(HL),

：,BD=AD,NDBE=NDAC,

???ZC+ZD4C=Z>4DC=90°,

???ZME+ZC=90°,

JZBFC=90°,

：.BELAC；

(2)V/CZABDE^RtLADC(HL),

:.BD=AD,

V/1E=4,CD=2,

.??AQ=AE+DE=AE+CO=4+2=6,

.?.BD=AD=6,

???BC=8D+C￡>=6+2=8,

??.△ABC的面積為：CBX4OXL=6X8X1=24.

22

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形中兩銳角互

余等知以，證得Rt>BDEm對(duì)△A。。("d是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，△48C中，AB=BC,NA8c=90。，尸為A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在

6c上，且4E=C”.

(1)求證：/?/△ABE卸化CBF；

(2)若NC4E=3O。，/B4C=45。，求/AC/的度數(shù).

【答案】(1)見分析⑵60。

【分析】

(1)由“”〃'可證心△ABEgR/ZkCBF；

(2)由題意先求得/AC8的度數(shù)和NB4E的度數(shù)，再由R/"8Eg即ZkCBF,即可求得

N8CF的度數(shù)，則由NAb=N6CF+/AC8即可求得答案.

(1)證明：VZABC=90°,

，NCBF=/45七=90。，

在RtAABE^RtAC8/中，

AE=CF

AB=BC'

:?RmABE@RSCBF(HL)；

(2)解：VZABC=90\N8AC=45°,

JZACB=45%

乂?：NBAE=/CAB-ZCAE=450-30o=15°,

*.*7?/△ABE@Ri△CBF,

：.ZBCF=ZBAE=\50,

,ZACF=ZBCF+ZACB=45°+\5°=6QO.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所要證明結(jié)論需要的條件.

類型三、角平分線的性質(zhì)

.己知：如圖，在二ABC中，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊A8上，NAGb=,

延長(zhǎng)尸G交3c于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)A作A?！唇?c于點(diǎn)。.

求證：A。平分/BAC.

F

G

D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC4D=/EZBAD=ZAGF,根據(jù)已知及等量代換

即可求解.

證明：\'AD//EF,

???NCAZ);NF,ZBAD=ZAGF,

???ZAGF=ZF,

：,ZCAD=ZBAD,

???4Q平分N8AC.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)及角平分

線的判定是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，在AABC中，AD是它的角平分線，且8D=CD,DE-LAB,DF1AC,

垂足分別為E、F,求證：AB=AC

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。石二DF,證明陽(yáng)△8。代用△根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

證明：???A。是AABC的角平分線

又???OEJ_A8于E,。/_LAC于產(chǎn)

:,DE=DF,NBED=NCFD=90°

又?；BD=CD

???/?/△BED郃小CFD(HL)

：.AB=AC.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些

性質(zhì)定理進(jìn)行證明.

【變式2】如圖，在8c中，ZC=90°,AO是NBAC的平分線，DELATE,尸在

AC上，且BD=DF.

(I)求證：CF=EB；

(2)若A尸=6,AB=8,不用寫過(guò)程直接給出。產(chǎn)的值.

A

【答案】(1)見分析(2)1

【分析】(1)根據(jù)NC=90。，A。是N8AC的平分線，DE上AB于E,得至ljQK=OC,

結(jié)合BD=DF,證明△C/)/W△切B即可.

(1)先證明△COAg/kEOA,得至ljAE=4C=4廣+CT=A尸+BE,結(jié)合

AB=AE+BE=AF+BE+BE,彳弋入計(jì)算即可.

解：(l)???NC=90。，A。是㈤C的平分線，DELATE,

：.DE;DC,

BD=DF,

:.2CDF迫kEDB,

:,CF=EB.

(2)VZC=90°,4)是㈤。的平分線，。￡_1人8于￡：,

：.DE=DC,

,/AD=AD,

：,AE=AC=AF+CF=AF+BE,

???AB=AE+BE=AF+BE+BE,

???8=6+8E+8E,

解得8E=1,

故C"=l.

【點(diǎn)撥】本題考查了先平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形

全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型四、三角形的作圖

@>7.尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，已知△A8C,請(qǐng)根據(jù)“SAT基

本事實(shí)，求作△DEF,使ADEFW4ABC.

【分析】作NE=N8,ED=BA,EF=BCHPnJ.

解：△/）￡尸即為所求.

【點(diǎn)撥】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

舉一反三：

【變式1】尺規(guī)作圖

已知：Na,N#和線段a,求作-A8C,使NA=Na,N3=2N/7,AB-a.

要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母.

【分析】首先作射線進(jìn)而截取再分別以A,8為端點(diǎn)，作NA=Na,NB=2N￡,

兩條射線交于點(diǎn)C,即可得到所求的^ABC.

解：如圖，4ABC即為所求.

【點(diǎn)撥】本題考杳了作圖■復(fù)雜作圖,正確掌握作一角等于己知角的方法是解題關(guān)犍.

【變式2】已知：線段m人和“，求作：”4C,使5C=a,AC=b,4c=邛.

【分析】先作射線C。，然后做出NC=//J可以。為圓心，分別以?、〃的長(zhǎng)為半徑。

NC的兩端交于8、A,連接A8即為所求.

解：如圖所示，先作射線CO,

以/尸的頂點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧與〃的兩點(diǎn)分別交于M、M以/尸的頂點(diǎn)

到M的距離為半徑，再以C為圓心以夕的頂點(diǎn)到M的距離為半徑畫弧與射線CO交于E,

再以石為圓心，以MN的長(zhǎng)為半徑畫弧與圓C交于。，作射線C/),再以。為圓心，以〃為

半徑畫弧，與射線。。交丁點(diǎn)6，以〃為半徑，以C為圓心，畫弧與射線CO交丁點(diǎn)A,連

接A8,三角形ABC即為所求.

【點(diǎn)撥】本題主要考態(tài)了作三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握作三角形的方法.

類型五、全等三角形的應(yīng)用

.(1)如圖1,已知&A8C中，NB4C=9()。，AB=AC,直線，〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)AB。_L

直線點(diǎn)_1直線〃"垂足分別為點(diǎn)RE.求證：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在。中，=三點(diǎn)都在直線期匕

并且有N3D4=NAEC="AC.請(qǐng)寫出。三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖①圖②

【答案】(1)證明見分析；(2)DE=BD+CE,證明見分析

【分析】

(I)利用已知得出NC4E=N/W。，進(jìn)而利用/US得出則即可得出

DE=BD+CE；

(2)根據(jù)Z6OA-/4EC-/6AC,得出/CAE-Z工6。，在AAOb和ACEA中，杈據(jù)

A4s證出△AO8絲△CE4,從而得出AE=B。，AD=CE,即可證出QE=8￡>+CE：

解：(1)DE=BD+CE.理由如下：

13D1.w,CEL,

???NBZM=NAEC=90。

又???NE4C=90。，

/.N/MO+NCA￡=9U",N8AO+NA?L>=9(r,

：.ZCAE=ZABD

在△AB。和△CAE中，

/ABD=NCAE

/ADB=NCEA=90：

AB=AC

AAABD^ACAE(AAS)

:?BD=AE,AD=CE,

f：DE=AD+AE,

：?DE=CE+BD；

(2)DE=BD+CE.理由如下：

ZBDA=ZAEC=ZBACt

ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE,

LNCAE=NABD,

在AAOB和中，

ZBD=/CAE

■ZADB=ZCEA,

AB=AC

:?△ADBgXCEA(人AS),

:?AE=BD,AD=CE,

???BD+CE=AE+AD=DE；

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形

全等的方法有“SSS"、“SAr、“ASA”、“AAS，：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.也考查了等邊三

角形的判定與性質(zhì).

舉一反三：

【變式I】如圖，A。為二A8C中AC邊上的中線(4B>AC).

(1)求證：AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)若A8=8cm,AC=5