專題02平面向量與復(fù)數(shù)

?111____

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國一卷?高考真題）（l+5i）i的虛部為()

A.-1B.0C.1D.6

2.（2025?全國二卷?高考真題）已知z=l+i,則—=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

3.（2025?北京?高考真題）已知復(fù)數(shù)Z滿足i.z+2=2i,則|Z|=（)

A.72B.2V2c.4D.8

4.（2025?全國一卷?高考真題）帆船比賽中，運動員可借助風(fēng)力計測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航

海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船

行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對

應(yīng)關(guān)系.己知某帆船運動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向

量的大小相同），單位（m/s）,則真風(fēng)為（）

等級風(fēng)速大小m/s名稱

21.1?3.3輕風(fēng)

33.4?5.4微風(fēng)

45.5?7.9和風(fēng)

58.0?10.1勁風(fēng)

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

_.-UL1UUULU

5.（2025?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，|。4|=|。8|=金，|AB|=2.設(shè)C（3,4）,則|2CA+AB|的

取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

二、填空題

6.（2025?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則生=.

1

7.（2025?全國二卷?高考真題）已知平面向量。=（x,l）,b=（x-l,2尤），若。則|刈=

8.（2025?天津?高考真題）VABC中，。為AB邊中點，CE=gcD,AB=a,AC=6,則AE=（用。，b

表示），若|AE|=5,AE1CB,則

9.（2025?上海?高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足z2=（刃2,|z已知則|z-2-3i|的最小值是.

1,x>0

10.（2025?上海?高考真題）已知/（無）=0,X=O,a、b、c是平面內(nèi)三個不同的單位向量.若

—1,x<0

f（a-b）+f（b'C）+f（c-a）=0,則|>+4可的取值范圍是_____.

?需I

,2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?河北石家莊?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=4—3i的共軌復(fù)數(shù)為1則zG=（）

A.-25B.10C.13D.25

7

2.（2025?北京?三模）若復(fù)數(shù)z滿足十二=1,則復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)z=（）

-1-1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

3.（2025?湖南長沙?三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)句對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)Z2=*^對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則4等

1-21

于（）

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

4.（2025?湖南長沙?二模）已知平面向量滿足|〃|=2,〃，（〃+份，則Q2二（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.（2025?江西?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足力2。22=1_口貝”=（）

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

6-（2。25?遼寧?二模）若2=署（。爾的虛部為則"=（）

A.-6B.-4C.2D.6

7.（2025?河北保定?二模）若非零復(fù)數(shù)z滿足（2-i）z=|z/，則彳=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

z+i

8.（2025?湖南岳陽?三模）若復(fù)數(shù)Z滿足==l+i則在復(fù)平面內(nèi)，三對應(yīng)的點位于（)

z-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.（2025?河南?三模）若點A在點。的正北方向，點B在點。的南偏西60°方向，且|出=|。叫=2km,則

向量。A+08表示（）

A.從點。出發(fā)，朝北偏西60°方向移動2j3km

B.從點。出發(fā)，朝北偏西75方向移動2后＜111

C.從點。出發(fā)，朝北偏西60°方向移動2km

D.從點。出發(fā)，朝北偏西75方向移動2km

10.（2025?山東青島三模）若l+2i是關(guān)于尤的實系數(shù)方程尤2+fer+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則6,。的值分別為

（）

A.b=—2,c=5B.b=2,c=5

C.b=—2,c=—5D.b=2,c=—5

11.（2025?湖南?三模）若向量滿足同=2忖=8,且（°-6）々=48,則a,b的夾角為（）

71—兀一兀一2兀

A.-B.-C.—D.—

6323

12.（2025?甘肅金昌?三模）已知a為非零實數(shù)，復(fù)數(shù)4=l-i,其中i為虛數(shù)單位，則（）.

a

A.Z]-2的虛部為a-工

a

B.|zj的最小值為亞

3

C.2]，22的實部為＜^--

a

D.當(dāng)a=—l時，4/2為純虛數(shù)

13.（2025?江蘇蘇州?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（-2,0）,3（2,0）,若點尸滿足|尸A+P3|=2,則

AP.BP=（）

A.-3B.0C.1D.4

14.（2025?湖南岳陽?三模）己知不共線的向量a,。,c,滿足同=1,a-b=2,\a-c\=\2a+c\,則的最

小值為（）

15.（2025?浙江?二模）已知向量，=（2,1）,b=（2,-1）,則m=Xa+6,〃=a+〃）（A,〃eR）,則下列表

述正確的是（）

A.存在唯一的實數(shù)對（4〃），使得機〃"B.存在唯一的實數(shù)對（尢〃），使得加，”

C.存在唯一的實數(shù)對（4〃），使得小=〃D.存在唯一的實數(shù)對（4〃），使得由=同

二、多選題

16.（2025?江西?一模）已知i為虛數(shù)單位，虛數(shù)z滿足Z?-3iz-l+3i=0,則（）

A.|Z|=A/WB.z+N=2

C.z2=-8-6iD.iz=3-i

17.（2025?吉林?三模）已知向量M=（cosa百），b=（l,sin8）,若卜+b卜,一W，則夕可能為()

A71B.如c11兀

A--6CD.—

3-T6

18.（2025?浙江金華?二模）已知復(fù)數(shù)4，z?互為共輾復(fù)數(shù)，則（）

A.|zi|=|z2|B.4烏=|訃閆

19.（2025?貴州黔南?三模）已知向量a=（2,l）力=（心,-2）,且b在。方向的投影向量為c,則（）

A.若&〃6，貝!]〃z=-3B.若卜―川=卜+61則%=1

C.若c=2a，則"2=5D.若6=-ga,則a-b=T

20.（2025?江蘇南通?三模）已知復(fù)數(shù)Z-z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為4,Z2,則下列說法正確的有（）

A.若Z「Z2<0,則％<z?

B.若z；+z；=0,則Izg|z2|

C.若IZ]+Z2]=lZ-Z2I,貝l]OZ/OZ2=0

D.若。ZjLOZ?,則z/Z2=。

21.（2025?四川巴中?二模）已知復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)記為N,對于任意的三個復(fù)數(shù)40,4與下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.復(fù)數(shù)z="的共軌復(fù)數(shù)N=-5-2i

-1

B.若z=（l+2iy,則復(fù)平面內(nèi)彳對應(yīng)的點位于第四象限

C.已矢口復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+l|,則|z—l+i|的最小值為2

D.若21H0,且Z[Z2=Z]Z3，則Z2=Z3

三、填空題

22.（2025?天津?二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)步過=______.

2V3-i

23.（2025?安徽合肥?三模）已知向量。=（尤,1）,&=（-2,1）,若（a-xb、//b,則》=.

24.（2025?上海?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z2=4-3i（其中i為虛數(shù)單位），則同=.

25.（2025?天津濱海新?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+2i）=|3-4i|（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z為.

26.（2025?北京昌平?二模）己知向量a,6,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1，貝;（2a+6）?e=

27.（2025甘肅金昌三模）已知向量.*，其中［=2,6為單位向量，且4為=0，則853+6,3a-2日=―

28.（2025?寧夏銀川?三模）在直角梯形ABCD中，AB//CD,CD=2AB,ABLAD,E是CO的中點，若

AC=ABD+piAE,則2+〃=.

29.（2025?黑龍江佳木斯三模）已知復(fù)數(shù)z滿足則|z-i|的最小值為.

30.（2025?河北衡水?三模）已知向量a=Z?=（1,-1）,若（a+勸）_L+且4>0,則幾-〃的最小

值為.

31.（2025?上海寶山?三模）已知復(fù)數(shù)聞=4,集合｛z||z-z0|=2,zeC｝所構(gòu)成區(qū)域的面積是.

32.（2025?天津?二模）在邊長為1的菱形48CD中，ZA=60°,記AB=a,A。=B,點M是線段上一點，

AN3_——11

點N是線段。C上一點，且A,M,N三點共線.若L，則用a,b表示AN=_______；^AN-CM^--,

AM212

則AN*的值為.

專題02平面向量與復(fù)數(shù)

?111_____

2025高考真題

一、單選題

1.（2025.全國一卷?高考真題）（l+5i）i的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.

【詳解】因為（l+5i）i=i+5i2=-5+i,所以其虛部為1,

故選：C.

2.（2025?全國二卷?「國考真題）已知z=l+i,則---=（）

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.

【詳解】因為z=l+i,所以工=1J=!=3=-i.

Z-11+1-111

故選：A.

3.（2025?北京?高考真題）3知復(fù)數(shù)z滿足i.z+2=2i,則|z|二（）

A.V2B.272C.4D.8

【答案】B

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出.

【詳解】由i-z+2=2i可得，z==3=2+2i,所以目=萬識=2拒，

故選:B.

4.（2025?全國一卷"高考真題）帆船比賽中，運動員可借助風(fēng)力計測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航

海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船

行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對

應(yīng)關(guān)系.己知某帆船運動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向

量的大小相同），單位（m/s）,則真風(fēng)為（）

等級風(fēng)速大小m/s名稱

21.1?3.3輕風(fēng)

33.4?5.4微風(fēng)

45.5?7.9和風(fēng)

58.0?10.1勁風(fēng)

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

【答案】A

【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，

得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.

【詳解】由題意及圖得，

視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為：〃=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，

船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，

設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為“,船行風(fēng)速對應(yīng)的向量為供，

H=4+4，船行風(fēng)速:^=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

nA=n—n2=(—3,—1)—(—1,—3)=(—2,2),

|nj=J(-2『+2。=2①a2.828,

.?.由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，

故選：A.

.—ULUlUUU1

5.(2025.北京.高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,|。4|=|08|=虎,|AB|=2.設(shè)C(3,4),則|2CA+AB|的

取值范圍是()

A.[6.14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)AB=08-。4,求出〈0408〉，進而可以用向量04,08表示出2cA+AB,即可解出.

【詳解】因為|。4|=|。8|=0,|AB|=2,

_TT

由AB=02-OA平方可得，OAOB=0>所以〈。^，。約二萬.

2CA+AB=2^OA-OC^+OB-OA=OA+OB-2OC,|oc|=732+42=5,

所以，|2CA+Afi|2=O/A2+OB2+4OC2-4（OA+OB）.OC

=2+2+4x25-4（<9A+OB）-OC=104-4（（9A+OB）-OC,

X|（OA+OB）OC|<|OA+OB||OC|=5xj2+2=10,即-10<（OA+C>B）OC<10,

所以|2CA+A@2e[64,144],即12c4+e[8,12],

故選：D.

二、填空題

6.（2025?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則出=.

1

【答案】M

【分析】先由復(fù)數(shù)除法運算化簡出，再由復(fù)數(shù)模長公式即可計算求解.

1

【詳解】先由題得—=T（3+i）=l-3i,所以目=#+（一3）2=加

故答案為：聞

7.（2025?全國二卷?高考真題）已知平面向量。=（乂1）力=0-1,2；0,若。乂。-6）,則|。|=

【答案】a

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運算得。->=（U-2x）,再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】a-b=（l,l-2x）,因為a_L（a-6）,則分（"6）=0,

貝！IJV+1—2x=0,解得x=l.

則〃=（1,1）,則I&|=V2.

故答案為：72.

8.（2025?天津?高考真題）VABC中，。為邊中點，CE=^CD,AB=a,AC=b,?ljAE=（用。，b

表示），若|AE|=5,AELCB,^AE-CD=

19

【答案】"+"；-15

O3

【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運算律計算求解空二.

【詳解】如圖，

A

BC

111Q

因為CE=§CD,所以AE-AC=m(AO—AC),所以AE=§AO+§AC.

1212

因為。為線段AB的中點，所以AE=：A3+：AC=：Q+：b；

o3o3

又因為|A目=5,AE,C2,所以4石2=(工。+261=，/+2。為+w從=25,

11(63J3699

AE-CB=^^-a+^b\-(a-b^=^-a-+^-a-b-^b2=Q,所以7+34.6=4/

所以a+4〃2=180，

所以AEC0=L+z——

(63JI2)126312、

12

故答案為：—a+—b；—15.

63

9.（2025?上海?高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足z2=（三）2,|z已1,則|z-2-3i|的最小值是.

【答案】2&

【分析】先設(shè)z=a+歷，利用復(fù)數(shù)的乘方運算及概念確定必=0,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計算即

可.

【詳解】設(shè)z=a+Z?i（a,b￡R）,:.z=a-bi9

由題意可知z2=a1+2abi—b1-z-a1-2abi-b2，則必=0,

又|z|=J/+〃wi,由復(fù)數(shù)的幾何意義知Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點z（a,6）在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸

上運動，如圖所示即線段4氏CD上運動，

設(shè)E（2,3）,則|z-2-3i|=磔,由圖象可知|明=而＞|儂=2，,

所以|ZEL=2&?

故答案為：20

1,x>0

10.(2025?上海?高考真題)已知/(x)=，o,x=0,八ae是平面內(nèi)三個不同的單位向量.若

—1,x<0

f(a-b)+f(b.c)+f(c.5)=(),貝!!Ia+〃+c|可的取值范圍是.

【答案】(1,如)

【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得,/(。皿={-1,0,1),再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出a也

坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.

【詳解】若/(“引=//?c)=/(ca)=0,貝！JaW=6.c=cz=0，

又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量a也c兩兩垂直，顯然不成立;

故/?〃)}={T,?！箎.

f(a-b^=\

不妨設(shè)*/僅"c)=0,則

不妨設(shè)人=(1,。),0=(0,1)，?=(COS0,sin[0,2TI),

\a-b=cos9>0?(3

則1.qz則/2兀,

[(??〃=sin8<012)

貝”〃+6+=|(1+cos31+sin則=yj(l+cos6)1+(1+sin0)2=j3+2cose+2si+6

=j3+20sin(6+四)，

由de1,兀,2兀],0+[兀,\兀)，

2―，~-192V2sin(6>+^)e(-2,2)

則sin(6+；)G

故u+6+<?k(1,右).

故答案為：（1,喬）.

?胡|

2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?河北石家莊?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=4-3i的共朝復(fù)數(shù)為2貝%三=（）

A.-25B.10C.13D.25

【答案】D

【分析】先求出N,再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算即可.

【詳解】由z=4-3i可得2=4+3i,貝！Jz】=（4-3i）（4+3i）=16-9i2=16+9=25.

故選：D.

7

2.（2025?北京?三模）若復(fù)數(shù)z滿足：=i,則復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)z=（）

-1-1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

【答案】D

【分析】通過復(fù)數(shù)的運算得出z=l-i,然后根據(jù)共輯復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】根據(jù)題意，z=i（-l-i）=l-i,

所以5=l+i.

故選：D

3.（2025?湖南長沙?三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)Z2=#對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則為等

~1-21

于（）

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求出復(fù)數(shù)Z2,再由Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的對稱性求得4即可.

-3+i_(-3+i)(l+2i)-5-5i

【詳解】由Z2=-1-i,所以4=—1+i.

l-2i-(l-2i)(l+2i)5

故選：C.

4.（2025?湖南長沙?二模）已知平面向量a/滿足|〃|=2,〃，（〃+份，則a2二（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運算律求解.

【詳解】由〃_!_(〃+b),得〃?([+，)=a+6Z-Z?=0,所以a-b=-a=-4?

故選：C

5.(2025?江西?三模)已知復(fù)數(shù)z滿足短。22=1一i，貝|z=()

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

【答案】A

【分析】首先求出i2M的值，然后利用復(fù)數(shù)的除法計算出復(fù)數(shù)z.

【詳解】因為？=心一"=一心1,所以i2儂=/=-!.

所以z=1-=T+i.

故選：A.

6.(2025?遼寧?二模)若z=—i(awR)的虛部為1，則。=()

1+12

A.-6B.-4C.2D.6

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算先求復(fù)數(shù)Z,根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部為|■即可求解.

(a-i)”i)a—1早的虛部為

【詳解】因為ig,

d+i)(l-i)

所以--二|,解得

故選：A.

7.(2025.河北保定?二模)若非零復(fù)數(shù)z滿足(2-i)z=|z/，則彳=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】C

【分析】由|zF=z；結(jié)合條件即可求解.

【詳解】由題意(2-i)z=|z『=z-z,因為z#0,所以]=2-i.

故選：C.

z+i_

8.(2025?湖南岳陽?三模)若復(fù)數(shù)z滿足---l+i,則在復(fù)平面內(nèi)，I對應(yīng)的點位于()

z-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算求z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.

_|_;

【詳解】因為7矢=l+inz+i=(l+i)(z-l)nz+i=(l+i)z-(l+i)

z—1

l+2i-2+i

所以l+2i=(l+i—l)znz=

i-1

所以$=2+i.

所以I對應(yīng)的點位于第一象限.

故選：A

9.（2025?河南?三模）若點A在點。的正北方向，點B在點。的南偏西60。方向，且1cM=|。同=2km,則

向量。4+02表示（）

A.從點。出發(fā)，朝北偏西60°方向移動2j3km

B.從點。出發(fā)，朝北偏西75方向移動2\/§km

C.從點。出發(fā)，朝北偏西60°方向移動2km

D.從點。出發(fā)，朝北偏西75方向移動2km

【答案】C

【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系,

標(biāo)出題中所給信息，再利用向量加法的平行四邊形法則求出OA+O8即可.

【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

依題意可得ZAO3=180-60=120,

設(shè)OC=OA+O8,因為|3|=|OB|=2km,所以四邊形0AC5為菱形，

貝（J/AOC=；xl20=60,則△AOC為正三角形，所以|oq=2km,

故向量。4+02表示從點O出發(fā)，朝北偏西60。方向移動2km.

10.（2025?山東青島?三模）若l+2i是關(guān)于無的實系數(shù)方程尤2+fer+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則。，。的值分別為

()

A.b=-2,c=5B.b=2,c=5

C.b=—2,c=—5D.b=2,c=—5

【答案】A

【分析】根據(jù)實系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根的性質(zhì)求出方程的另一個根，再利用韋達定理求出6、c的值.

【詳解】已知l+2i是實系數(shù)方程尤2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，根據(jù)實系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根成對出現(xiàn)的性質(zhì),

可知方程的另一個根為1-2i.

對于方程/+灰+。=0,由韋達定理可得兩根之和陽+彳2=-6,其中X1=l+2i,x2=l-2i,則

(1+2i)+(1—2i)=—b,即2=-〃，解得b=-2.

由韋達定理可知兩根之積再％=。，則(1+2i)(l-2i)=c.

可得：(1+2i)(l-2i)=I2-(2i)2=1-4i2=5,即c=5.

b的值為-2,c的值為5.

故選:A.

11.(2025?湖南?三模)若向量滿足同=2忖=8,且(°-6)”=48,則凡6的夾角為()

兀一兀一兀c2兀

A.—B.-C.—D.—

6323

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義計算即可得出結(jié)果.

［詳解】?.?同=2忖=8,(a-b)-a=48.

a-b161

.?.忖=8,慟=4,-b=16,：.^s[a,b

aPp=8^4"2)

故選：B.

12.(2025?甘肅金昌?三模)已知a為非零實數(shù)，復(fù)數(shù)4=4+上0=l-i,其中i為虛數(shù)單位，則().

zrz2的虛部為。-一

㈤的最小值為血

3

zi-z2的實部為a—

D.當(dāng)a=—l時，為烏為純虛數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)的概念判斷ACD,根據(jù)復(fù)數(shù)的模及基本不等式判斷B.

【詳解】由題意，4—2ClH------Fi,實部為a+—,虛部為―—a,故A,C錯誤;

a

人(1)2=&(當(dāng)且僅當(dāng)〃=二，即口=±1時取等號)，故B正確;

當(dāng)a=-1時，4%=-2,為實數(shù)，故D錯誤.

故選：B

13.(2025?江蘇蘇州三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點4(—2,0),8(2,0),若點尸滿足|9+尸8|=2,則

AP.BP=()

A.-3B.0C.1D.4

【答案】A

【分析】設(shè)點尸(羽田，得至!］尸4尸民尸4+尸8的坐標(biāo)，由|PA+P3|=2,可得x2+)?=l,將其代入AP.5P即

可得解.

【詳解】設(shè)點尸(x,y),則PA=(-2-尤，一y),AP=(x+2,y),

PB=(2—x,—y^,BP=(x-2,y),所以PA+PB=(-2x,-2y),

因為|P4+PB|=2,所以J(_2X)2+(-2?=2,

整理可得V+y2=l,

所以AP.3P=(x+2)(x_2)+y2=%2-4+y2=-3

故選：A

14.(2025?湖南岳陽?三模)已知不共線的向量。也°,滿足阿=1,Q.0=2,卜一4=|2儀+。|,則|的最

小值為()

,395

A.—B.2C.—D.一

242

【答案】D

【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律可得分。=-;，設(shè)A(l,0),C(x,y),b=(ni,n),進而知點C

在直線x=-1上，點3直線x=2上，結(jié)合|一|=詞計算即可求解.

2IImmIlimn

【詳解】由區(qū)/=3+石,得|a-c「=|2a+c「，

即-2a-c+c~=4a"+4a-c+J，又同=1，

整理得=-”

^a=OA,b=OB,c=OC,貝心-c=02-OC=CB,

設(shè)A(l,0),C(x,y),則G=(1,0),c=(x,y),

所以a-c=x=4,即點C在直線x=-g上；

設(shè)b=(九〃)，由〃-。=2，得m=2,即點6直線x=2上，

而卜-c|=|c@的幾何意義為直線尤=2上的點5到直線X=-；上的點C的距離，

所以1-比=\CB\.=2-(-1)=]

IIminIImin''

即M-W的最小值為g.

故選：D

15.(2025?浙江?二模)已知向量G=(2,l),b=(2,-\),^\m=Aa+b,n=a+^b(A,〃eR),則下列表

述正確的是()

A.存在唯一的實數(shù)對(4〃)，使得加〃〃B.存在唯一的實數(shù)對(Z〃)，使得相

C.存在唯一的實數(shù)對(/〃)，使得〃z=〃D.存在唯一的實數(shù)對(Z〃)，使得同=同

【答案】C

【分析】由題意〃?=而+6=(22+2,彳-1),〃=。+〃6=(2+2〃/一〃)，由向量平行的充要條件判斷A；由

向量垂直的充要條件判斷B；由向量相等的充要條件判斷C,由向量模的計算公式判斷D.

【詳解】因為向量°=(2,1),b=(2,-1),貝!j〃2=九4+。=(24+2,4-1),n=a+/jb=(2+2/z,l-/z),

對于A,"2〃〃當(dāng)且僅當(dāng)+=2(力-1)(〃+1),即1+彳_〃_2〃=幾〃一〃+彳―],

即〃/=1,由此可知存在無數(shù)組實數(shù)對(4〃)，使得加〃72,故A錯誤；

對于B,加上〃當(dāng)且僅當(dāng)4(幾+1)(〃+1)+(2一1)(1—〃)=0,

即4(4〃+；1+〃+1)+(；1—1一初+〃)=0,即(34+5)〃=一(52+3),

當(dāng)力=-；時，該方程不成立，此時不存在實數(shù)對(4"),使得〃

當(dāng)彳=-|時，此時〃=0,由此可知存在實數(shù)對(-訓(xùn)，使得"山，

35

當(dāng)彳且2二一|時，此時存在無數(shù)對實數(shù)對(4〃)，使得加，”，故B錯誤；

f24+2=2+2〃

對于C,機=〃當(dāng)且僅當(dāng)111,解得4="=1,故C正確；

對于D,同=時=4(2+1)2+(2一1)2=4(〃+1)2+0_〃)2,

即5/12+6X=5〃2+6〃，進而可得(％—〃)(54+5〃+6)=0

故當(dāng)2=〃或者54+5〃+6=0時，此時有無數(shù)組實數(shù)對(％〃)，使得悶=同，故D錯誤.

故選：C.

二、多選題

16.(2025?江西?一模)已知i為虛數(shù)單位，虛數(shù)z滿足z2—3iz-l+3i=0,則()

A.|z|=V10B.z+z=2

C.z2=—8—6iD.iz=3—i

【答案】AC

【分析】首先對式子進行因式分解，解得z=-l+3i,再分別對每個選項逐個計算得答案.

【詳解】由z?_3iz-l+3i=0得，(z-l)[z-(3i-l)]=0,

所以z=-l+3i或z=l(舍)

選項A,因為z=-l+3i,所以忖=麗，A正確；

選項B,z+z=(-l+3i)+(-l-3i)=-2,B錯誤；

選項C,z2=(-l+3i)2=-8-6i,

所以C正確；選項D,iz=i(—l+3i)=-3—i,所以D錯誤.

故選：AC

17.(2025?吉林?三模)已知向量a=(cos。,道)，b=(l,sin。)，若,+可=卜-6，貝I」?？赡転?)

A.」B.里C.變D.業(yè)

6366

【答案】ACD

【分析】由卜+司=卜-6|,得到。工6,再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出等式求解即可.

【詳解】卜+6卜卜-可，以為臨邊的平行四邊形對角線相等，

aA-b9

。=cosO+Gsin。=2—cos^+^-sin^=2sin（8+=0,

122JL6；

八11,7八YCrt八兀57r11兀

0=-----1-kit,kQZ,左=0,1,2時，0=—,—,---

66669

故選：ACD.

18.（2025?浙江金華?二模）已知復(fù)數(shù)4，Z2互為共軌復(fù)數(shù)，則（）

A.|zi|=|z2|B,4丁2=|訃閆

2(Y

C.|Z[-Z2『=-(Z]-z2yD.2=」

Z2<Z27

【答案】ABC

【分析】根據(jù)共甄復(fù)數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設(shè)4=a+bi,貝J]z2=a-歷，

22

A選項，\Zl\=\z2\=^a+b,所以A選項正確.

2222

B選項，ZjZ2=a+Z?,|z1|-|z2|=fl+Z>,所以B選項正確.

C選項，Z「Z2=2歷，|z「Z2「=（2，）2=4ZA—（Z1_Z2）2=_（2歷）2=4〃，

所以C選項正確.

D選項，設(shè)z=l+i,Z2=l-i,則五=二=（I：?=i,

則=|i|2=l,^=i2=-l,所以D選項錯誤.

故選：ABC

19.（2025?貴州黔南?三模）已知向量。=（2,1）力=（%-2）,且。在。方向的投影向量為e,則（）

A.若a〃b，則〃z=-3B.若卜-可=卜+61則〃z=l

C.若c=2a，則”2=5D.若。=-+，則。-6=-；

【答案】BD

【分析】對于A,由向量共線的坐標(biāo)形式求解〃z=T后可判斷正誤；對于B,由向量垂直的坐標(biāo)形式求解

機=1后可判斷正誤，對于CD,利用投影向量公式計算后可判斷正誤.

【詳解】對于A,因為a〃b,故2x（—2）=lxm,故加=-4,故A錯誤；

對于B,因為1-囚=1+N，故（a+bj=（“-》）-,整理得“3=0,

故2〃?+lx（-2）=0,故〃2=1,故B正確；

a-b八a-b八

對于C,由題設(shè)有匕在々方向的投影向量為了丁〃=2〃，故y=2,

故之展=2即加=6,故C錯誤，

a-b15

對于D,由C的分析可得廳=一鼻，故。心=-：，故D成立.

1?133

故選：BD.

20.（2025?江蘇南通?三模）已知復(fù)數(shù)4,z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z-Z2,則下列說法正確的有（）

A.若Z]-Z2<0,則Z[<Z2

B.若z；+z：=0,則Iz」=|z2|

C.^1zt+z2l=l2,-zJ,貝l]0Z/OZ2=O

D.若OZjLOZ2,則z/Z2=。

【答案】BC

【分析】由復(fù)數(shù)不能比較大小，即可判斷A,由復(fù)數(shù)的模長公式即可判斷BC,舉出反例即可判斷D.

0

【詳解】Zj-z2<>如4=l+i,z2=2+i,此時Z[與Z2無大小關(guān)系，A錯.

z；+z；=O,，z；=-z；,二片口一z；|,;.團2=閭2,.,.團=%],B對.

Zj=a+tA,z2=c+cH[a,b,c,deR),+z,|=|z1-z,|,

即J(a+c)2+0+療=J(a-c)2,

貝(Iac+H=O,OZl-OZ^=ac+bd-0,C對.

設(shè)OZ]=(1,1),OZ2=(1,-1),此時OZ「OZ2=0但Z]Z2=2HO,D錯，

故選：BC.

21.(2025?四川巴中?二模)已知復(fù)數(shù)z的