空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題七

知識點一錐體體積的有關(guān)計算，證明線面垂直,已知面面角求其他量

典例1、如圖所示，圓錐的高20=4,底面圓0的半徑為R,延長直徑A8到點C,使得8C=R,

分別過點A、。作底面圓。的切線，兩切線相交于點E,點。是切線CE與圓。的

切點.

（1）證明：久_1平面「。0；

（2）若平面與平面"上所成銳二面角的余弦值為孚，求該圓錐的體積V.

隨堂練習(xí)；已知平面四邊形"CD,AB=BC=CD=2,/如。=60。，/28=90。（如圖1

所示），現(xiàn)將“AC沿BC邊折起，使得平面A8C/平面8C。，點尸為線段AC的

中點，M為線段8。上一點，（如圖2所示）.

（1）求證：4P_L平面ACZ）；

（2）若二面角尸-CM-8的余弦值為?，求三棱錐P-8cM的體積.

圖I圖2

典例2、如圖，在三棱柱43。-AUG中，8cl平面A84A,四邊形4/狙A為菱形.

(1)證明：平面ABC；

⑵若N4陰=60°,48=4,二面角。-AS-A的余弦值為叵，求三棱錐C

ABB1的體

7

積.

隨堂練習(xí)：如圖所示，在三棱錐P-AAC中，AB=BC=2&PA=PB=PC=AC=A,O為AC

的中點.

(1)證明：PO工平面A8C；

(2)若點M在棱8C上，且二面角M-PA-C為30、求三棱錐的體積.

典例3、如圖，在四棱錐A—8COE中，AC_L平面8COE,底面8CDE為矩形，CD=2BC=6,

G為△回￡的重心，”為線段C力的中點，BM與CE交于點、兄

(1)當(dāng)AC=3時，證明：G/J"平面ABE；

(2)當(dāng)平面GCE與平面ADE所成銳二面角為60。時，求三棱錐-八GK的體枳.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱鉞夕-河8中，底面八次笫為矩形，側(cè)面以D是正三角形，側(cè)

面E4/3_L底面

ABC。，M是PZ)的中點.

(1)證明：平面PCD;

(2)若AZ)=2,且二面角M-8C-。的大小為30°,求四棱錐尸-ABC。的體積.

典例5、已知四棱錐P—/WCO中，24_L底面A3CO，平面以。_L平面PC。，AB//CD,

PE=2EL).

(1)求證：平面2A。；

(2)若%=4B=AO=gcQ=l,求二面角A—EC—O的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面A8CO為正方形，側(cè)面幺。為等邊三角形

且垂直于底面

ABCD,分別為P&C。的中點.

(1)證明：P3_L平面AE/；(2)求二面角C-依-廠的正弦值.

AB

典例6、如圖，已知等邊AABC中，E,尸分別為4反邊的中點，/V為成邊上一點，且

CN=BC,將△4樣沿外折到ZW所的位置，使平面AE/F平面EFC8,"為

4

EF中點.

(1)求證：平面A'MN_L平面(2)求二面角￡-AE-3的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，等腰梯形A8CD中，AD//BC,A3=〃C=CZ)=gAZ),現(xiàn)以AC為折痕把“8C

折起，使

點4到達(dá)點5的位置，且PA_LQ).

P網(wǎng)

2、若M為PD上一點、,且三棱錐。-ACM的體積是三棱錐P-ACM體積的2倍，求平面

PAC與平面ACM夾角的余弦值.

【正確答案】1、證明見解析2、年

2

空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題七答案

典例1、答案：（1）證明見解析；（2）手.

解：（1）由題設(shè)，底面圓。，又。是切線CE與圓。的切點，

???CEu底面圓0,則尸O_LCE,且OD_LCE,而2。口。。=。，,C￡J■平面尸0。.

（2）由題設(shè)，若可構(gòu)建。為原點，如、0C.而為X、八z軸的空間直

角坐標(biāo)系，

dCDCO03口

X—,可得AE=CD=ED=&rR,

CACEEA

/?」R,0）,E（也R,-R,0）,有麗=（正R」R,-4）,而=（MR、-R,-4）,

??.P（0,0.4）,

222

正.PD=—R.X+—/?y-4z=0

若m=（x,y,z）是面PDE的一個法向量,則，22

in-PE—\[?）Rx—R.v-4z=0

令x=20,則〃;=（2瓜2,R）,又面外〃的一個法向量為，；=（1,0,0）,

?，.Icos＜m,n＞H'11=,可得R=2,二該圓錐的體積

l〃；ll〃lJ16+R25

y=g.|0“.萬心等

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）此

6

解：（1）證明：因為"=ACNBAC=60。，所以△A8C為等邊三角形，

因為。為AC的中點，所以BPLAC.因為平面A8C_Z平面80

平面/WCc平面伙7）=AC,CDA.I3C,CQu平面8CQ,所以CO_L平面ABD,

又4Pu平面ABD,所以CDJ.BP,

又因為COAAO=DCO/Ou平面AC。，所以BP_L平面ACD.

（2）如圖所示以C為坐標(biāo)原點，分別以瓦，也為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),8(2,60),0(020),4(1,0,6),P(-,0,—).所以C戶=(；,0,9),

2222

加=(-2,2,0),

設(shè)BM=ABD(O<Z<1),則CM=CB+BM=(2,0,0)+1(-2,2,0)=(2-24,22,0),

En-CP=0—X+--2=0

設(shè)平面PCM的一個法向量為G=（x,y,z）則<一,，即22

n-CA/=O

(2-2川+2河=0

取X=2,有y=4-l,z=——A,即A=（九九一『

平面8CM的一個法向量〃2=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-CM-3的平面角為0,則Icos昨魯替二3.日

解得義=；，即M為8。中點.此時LBC”=^A-BCM[km，

：!±

又因為匕-88=匕＞-說=35八8（?又。。=；＞＜（￥乂2）＞＜2=^,所以

典例2、答案：（1）證明見解析；（2）詈.

解：（1）因為四邊形A88/為菱形，所以4814叫

因為BC1平面A網(wǎng)A，ABq平面A8B|A，所以ABJBC.

又因為A8I8C=B,A8u平面ABC,8Cu平面ABC,所以A4_L平面A^C.

（2）以8為坐標(biāo)原點，分別以8瓦，比、所在的直線為x軸和z軸，

以過8點垂直平面的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

LUIR1

設(shè)8。=6(/>0),則5(0,0,0),4(4,0,0),A(6,2G、O),C(0,0,/;).所以4c=(-4,0,/?),

UlUIUL

4A=(2,260).

n-BC=0

設(shè)平面54的法向量為”=（x,y,z）,貝I卜,

小B[A=o

-4x+/?z=0rf,64]

B|J令X=1,得〃=

2x+2y/3y=0〃=r'訃

由條件知8c=（0,0,力）為平面刖4的一個法向量.

設(shè)二面角C-AS-A的平面角為。，易知。為銳角.

解得分=4.

所以匕.八叫=!，8。'5乂即=-x4x-x4x4xsin60°=-------

323

8

2

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析)9-

解:（1）在三棱錐/?-48。中，???%=尸。=47=4,0為￡的中點.「.尸0_14?,且00=2后,

連接。B,

VAB=BC==4,AC2=AB2+BC2,得ABBC,

則O8=：AC=2,又PB=4,BO?+PO'=PB?,得PO_LBO,-：AC[}BO=O,

.?.PO_L平面ABC.

（2）如圖，以。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)ROCOP所在直線為x，Xz軸建立空間直角坐

標(biāo)系。-不z

由已知得。（（），0，。），"（2,0,0）,八（0,2,。）,。（0,2,0）,。（0,0,2百），

47=（。,2,26），取平面PAC的一個法向量方=（2,0,0）.

設(shè)M（a,2-a,0）（0〈④2）,貝ljAM=（?,4-67,（））.

、fh弘一jitr、\n-~AP=2y+2\f3z=0

設(shè)n平面PA用的法向量為〃=z（x,y,z）,I

n-AM=av+（4-tz）y=0

取z=-a,得”=（島一4石,石

二面角加一以一。為30,「Jcos（。反萬）|=-2"（"4）=cos30=9，

?"2衣（〃一4）2+31+"2

解得：a=T（舍去）或〃=：,則8M=J2-g）+6+0=1應(yīng)，

所以=1488例==；PMB=Vp_AMB=gx3*26=3百

典例3、答案：（1）證明見解析（2）66

解：（1）延長EG交相于A；連接NC,

EG

因為G為△ABE的重心，所以點N為A8的中點，且=2,

GN

因為CM〃BE,故KMFS.EBF,所以余需;2,故鼠糕，故GF//NC,

因為AC_L平面8COE,所以4C_L8E,因為底面8C以：為矩形，所以AC_L/?E,

又因為ACn§C=C，所以AEJ■平面ABC,故CN上BE,

因為AC=BC,所以CNJ./W,又因為AB=B,所以CNJ_平面ABE,所

以Gf_L平面ABE.

（2）以C為原點，以C3,CD,CA所在直線分別為刈必z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)點G到平面8CDE的距離為"經(jīng)（））,則

A(0,0,31),4(3,0,0),E(3,6,0),6(2,2,f),D(0,6,0),

故re=(2,2J),在=(3.6,0),AD=(0,6,-3/),DE=(3,0,0),

設(shè)平面GCE的法向量為J?=(x，y,z3則J",黑U，即?：;'十？”

m-CE=0［3$+OV］=()

2(2、

取y=l,則Z|=_,.=_2,即玩=-2,1,-,

tI，1

設(shè)平面ADE的法向量為5=(孫力㈤,則匕祟=［即［；必-："二°'

n-DE=0［女2="

人4

取z?=2,貝心，2=/,貝IJ萬=(01,2),所以cos600=^^=j「—

WI-IMI4/T—

J5+^xVr+4

解得產(chǎn)=12J=26，又。G=(2,-4,2百)，

故點G到平面ADE的距離為人華n=￥=6,

I斤I4

因為AC=3/=6\/5,所以4）=12,所以LAGE=%TCE=3X5x3x12x73=6后.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）V3.

解：（1）因為側(cè)面24O_L底面ABCQ,側(cè)面PAOc底面ABCD=AD,

又底面A8CD為矩形，所以8_LA。，CDu平面”8,

C0_L平面尸40,AA/u平面FA。，所以CDJ.AM,

又側(cè)面FAD是正三角形，材是尸。的中點，

所以PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,所以AWS平面尸CO.

(2)取A。中點0,過點。作AB的平行線"連接OP,由(1)同理知OPJL平面ABCD,

以。為原點，OAfON,。夕分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則。(0,0,0),A(1,O,O),8(1,a,0),C(—,D(—1,0,0),P(0,0,\/3),

M」,0,

2

記平面用8C的法向量1=(x，)，”zj,則]_L沅，

吊=0

從而)3后八，則可得*=(0,6,%),

一耳％_@+5-4=0

因為QP_L平面ABCO,則平面ABCD的法向量跟而共線，可取后=(0,0,1),

因為二面角M-8C-。的大小為30°,

cos30°=cos<晨后>|=口,&=]2a,解得〃=

?網(wǎng)?同,3+4/2

所以四棱錐尸—AS8的體積為K=：x2x巧xK=V5.

典例4、答案：(1)證明見解析(2)且？

21

解：(1)因為在和Rt^BC。中，

tan/BAM皇J顯，3NCBD=^4,所以/84M=NCBD,

AB2bC2

因為NCBO+ZA3O=90。，ZB/U/+ZABD=90°,所以

因為血)，=M,平面/WW,所以R)工平面AAA/,

因為附u平面E4M,所以E4J.E),

因為小J_4),ADC\BD=DfAO,8Ou平面ABC。，所以尸A_L平面488.

(2)因為A8=2,所以40=2立，

因為尸A_L平面48c。，8Cu平面A8C。，所以PA_L8C,

因為AB/BC,P/\C\AH=AfE4,ABu平面附8,所以8cl平面以8,

所以/CPB為PC與平面FA4所成的角，則NCPB=45。，所以總=BC=2a,

由勾股定理知：PA=ylPB2-AB2=2，

可如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-冷2,所以8(2,0,0),D(0,272,0),W0,2),

M(2,立0),

所以麗=(2,&,-2),ZW=(2,-x/2,0),

由(1)知，平面RU/的一個法向量為加=(-2,2&,0),

….一，，A^PM=0[ix+4ly-lz=0

設(shè)平面?皿的一個法向量為m=(.*)，,z),則有—，即《「

m-DM=02x-V2y=0

一同?布|歷

取x=1,得碗=(1,&2),所以CO"西皿=溫=廿

2VI05

設(shè)二面角尸河-。的大小為。,則sin?=1l一

21

⑵*

隨堂練習(xí)：答案：(1)證明見解析:

解：(1)四邊形A8CD是正方形，有ACJ.BD,而OE上平面ABC。，ACu平面A8CO,

則4CJ.OE,

又BDcDE=D,8D,0Eu平面BOE,所以4cl平面瓦)￡

(2)由(1)知,QADCQE兩兩垂直，以。為原點QAQC/犯分別為Xy,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(4Q0),B(4,4,0),C(O,4,O),￡(0,0,4),—4,0,1),

即有8/=(-4,-4,4),8戶=(0,-4,1),AC=(T4,0),

由（1）知衣是平面瓦花的一個法向量，設(shè)平面座F的法向量為三=（兀y,z）,

/1.BE——4x—4y+47=Q

一一一，令），=1,得正=（3,1,4）,設(shè)平面孔陀與平面8所夾角

{in-I3F=-4y+z=0

為。，

\m-AC\|-4x3-h4xl+0|

則有cos3=|cos〈〃?,AC)|：

M\AC\V26x4x/213

所以平面8Z）E與平面BEF夾角的余弦值為叵.

13

典例5、答案：（1）證明見解析（2）-叵

21

解：（1）證明；因為平面asj?平面PCQ,平面平面

在平面抬。內(nèi)作AH_L叨，則AH_L平面PC。，COu平面PCO,所以

AHLCD.

因為陽，底面力比〃COu平面48c。，所以P4_LC。,

=AA”,P4u平面PAO,則COJ?平面PAO,

因為/W〃CO,工A3S平面PAO.

（2）由（1）可知A8上平面尸AO,AOu平面PAD,所以

以力為原點A8MDAP分別為M），,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

I__21

因為PA=48=A。=-CO=1,PF=2￡7).，貝lj4(0,0,0),C(2,kO),Q(0,1,0),石(0,一,一)，

33

所以〃二(2,1,0),通="),|,；)覺=(2,0,0),詬=(0，Tg),

7.正=0]2%+y=0

設(shè)平面NEC的法向量為勺=(%,)[,zj,則，即121,

■?AE=0|-.Vi+-21=0

令王=1,則取1=（1,一2,4）.

一~DC~0?x?=0

設(shè)平面OEC的法向量為a=CW2，z,），則2.—一，即11n

一一-小￡>E=0一在+,=。

一33

令為=1,則取區(qū)=Q1,1）.

lx0+(-2)xl+4xl_叵

所以8式強(qiáng)〉=3后x6~~2]~

由圖可知所求二面角為鈍角，故二面角A-EC-D的余弦值為-

21

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）日.

解：（1）如圖，取AO中點G,連接尸G/G,

則PG1AD,因為平面正AD_L平面A8CD,且平面正AOc平面/WCD=AD,

PGu平面P/V）

所以PG_L平面A6C￡）,

因為Afu平面A8CD,所以PG_L",又因為尸為⑦的中點，所以"FBG,

又BGCPG=G,BG,PGU平面PG&所以AF_L平面尸G8,P8U平面尸G8,

所以P8_L",PA=AB,E為PB的中點,

所以依_LAE,又AEDAF'nAF',AEu平面A￡7LA/u平面AE尸，所以尸3，平

面4￡凡

(2)不妨設(shè)正方形43C￡>的邊長為2,以點G為坐標(biāo)原點，G4為x軸，

垂直于A。的直線G”為y軸，GQ為z軸建立空間坐標(biāo)系，

則P(0,2,0),C(-1,2,0),F(-l,l,0),

CP=(1,-2,>5),CB=(2,0,0),FP=(IT我,而=(2,1,0),

設(shè)平面PBC與平面PBF的法向量分別為初=(N,y,z)萬=(5,%，z?),夾角為。,

mCP=X]—2y-x/3z=0n?FP=x-y+V3Z=0

則)tt222

m-CB=2x)=0ri-FB=2/+乃=0

不妨設(shè)X=6,毛=-1,所以詡=(0,6,2),”=(-1,2,百)，

cos?=吁可=6=^^，所以sin<9=Jl-cos2g=且.

|〃M〃|瓜2&77

典例6、答案：(1)證明見解析；(2)Ml

13

解：(1)證明：因為￡尸為等邊小8C的A8,AC邊的中點，

所以ZWE廠是等邊三角形，且E”〃BC,EF=；BC,

因為M是族的中點，所以4'M_L斯，加r=3"，

又由于平面AMJL平面"CB,AMu平面4痔，所以AM_L平面歷CB,

又3Fu平面EFCB,所以

因為CN=；BC,所以MF=CN,且MF"CN,則四邊形MVC”是平行四邊形，

則MW/CF,

在正中，知8/_Lb,所以B尸，MN,而4McMN=M,所以8戶,平

面AMN.

又因為8尸u平面ABF,所以平面KMN1平面ABF.

(2)設(shè)等邊“WC的邊長為4,取AC中點G,連接MG,

由題設(shè)知MG_LE/,由(1)知4"，平面EFC3,

又MGu平面EFCB,所以4M_LMG,如圖建立空間直