人教A版數(shù)學(xué)一數(shù)列專題三

知識點一等差數(shù)列通項公式的基本量計算，等比數(shù)列通項公式的基本量計算，錯位相減法

求和，

分組（并項）法求和

典例1、已知｛4｝為等差數(shù)列，低｝為等比數(shù)列，4=a=M=5（q-3也=4（/%-&）.

（1）求應(yīng)｝和也｝的通項公式;

（2）記｛可｝的前〃項和為3,求證：S￡+2<S36eN"）；

骰二也，〃為奇數(shù)，

（3）對任意的正整數(shù)〃，設(shè)"2求數(shù)列｛%｝的前2〃項和.

M，〃為偶數(shù).

%

隨堂練習(xí)：已知等比數(shù)列｛%｝的公比g>1嗎+出+/=14嗎+1是4，%的等差中項.等差數(shù)

列他｝滿足

4a=4也=%.

（1）求數(shù)列｛〃”｝,低｝的通項公式;

（2）將數(shù)列｛%｝與數(shù)列也｝的所有項按照從小到大的順序排列成一個新的數(shù)列，求此新

數(shù)列的前50項和;

①，〃為奇數(shù)

求數(shù)列｛6｝的前2〃項和復(fù).

（3）%=h2-4（h（〃wN*）

""—（""一），〃為偶數(shù)1=1

典例2、在等差數(shù)列｛q｝中，已知4+。2=1。，6+/+%=30.

（1）求數(shù)列m｝的通項公式；

（2）若數(shù)列也+制是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列也｝的前〃項和S.；

（3）記。=費，數(shù)列｛qj的前〃項和為5,若對任意的〃丘N「都有

求正整數(shù)4的最小值.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列｛凡｝中,q=l,a2=2,a-—a“=4(〃wN'),數(shù)列｛〃,,｝的前〃項和

為為

（1）求｛可｝的通項公式;

1

(2)已知％=S,“+5〃'c，-4"b”b,，+、

（D求數(shù)列也｝前〃項和%、

（ii）證明：當〃22時，6-親向＜8-貴.

典例3、已知數(shù)列｛6,｝的前〃項和為S“，S”=2（q-1）,〃eN，.

（1）求｛4｝的通項公式;

（2）求數(shù)列，'■，的前＞項和，;

（3）若數(shù)列。2“一1二〃”，。2”=1082q，求匕｝前2〃項和

隨堂練習(xí)：己知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為，，公差為1,且滿足0=36.數(shù)列也J是首

項為2的等比

數(shù)列，公比不為1,月也、■|打、2々成等差數(shù)列，其前〃項和為

（1）求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式；

（2）若2szi+（＞!+?..+￡）=〃+皿,求正整數(shù)〃的值；

（3）記%=（-1）"吟+求數(shù)列｛%｝的前〃項和

Un\Un十?八”“十乙）外

典例5、已知數(shù)列風｝,4=3,%=5,數(shù)列他｝為等比數(shù)列,滿足%=4也-*,且憶

24，4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式;

,、為奇數(shù)）

（2）記數(shù)列｛%｝滿足：為偶數(shù),求數(shù)列｛叫的前2〃項和匕?

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，數(shù)列也,｝為正項等比數(shù)列，且修=3,

4=1也+。2=9,。5_a3=2b2.

（1）求數(shù)列何｝和也｝的通項公式;

!7（〃為奇數(shù)），

（2）若q,=｛s,設(shè)｛%｝的前〃項和為r.，求凡.

包（〃為偶數(shù)），

112

典例6、已知等比數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，且滿足7-7=7，s,=30,數(shù)列也｝滿足：4=1,

C<?Cl-yv<

仇+<4+7,(〃eN').

23n''

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列間的通項%=〃“+(-1)〃他+1),求數(shù)列上｝的前〃項和4.

隨堂練習(xí)：已知正項數(shù)列｛叫的前〃項和為S”，且4sLm-1)&+3乂女⑻).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式;

(2)將數(shù)列｛q｝和數(shù)列｛2"］中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列也｝,

求低｝的前50項和.

人教A版數(shù)學(xué)一數(shù)列專題三答案

4"6〃+54

典例1、答案：（1）%=n，b=2-；（2）證明見解析；（3）

n2/1+19x4”9

解?：（1）設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為乙等比數(shù)列依｝的公比為4.

由q=l,6=5（q-4），可得力L從而｛叫的通項公式為%=〃

由4=1也=4(%-4)，又qWO,可得/-44/+4=0,解得干2,

從而也｝的通項公式為a=2"L

⑵證明：由（I）可得邑=妁羅

故Sb.=；〃(〃+1)(〃+2)(〃+3),5喜=；(〃+1y(〃+2)2,

從而-S'=-；(〃+1)(〃+2)<0,所以S.S*<S3.

(3%-2)2=(3〃-2)22二2向

⑶當〃為奇數(shù)時,

的”+2〃(〃+2)〃+2n

當〃為偶數(shù)時，。二署二黑，

對任意的正整數(shù)〃，有^-7-lr-=-.

jt=iA=iINK+I/K-I/-

S"2k-\1352，L32n-\三

和？“盲丁丁不+不++—+—?

1

由JO①/日得1/厘%*+不3+5/+”+二2/7-^3+彳2/?十-l②-

2〃-1_4(一下)1

由①②得幅“卜》??十,-2n-1

L一~~,~i44n+1

，-4

由于j412??-12211M-1156〃+5

---------=———X-2---------X-=—―----------

4""334"44"4123x4*1

4

56n+5

從而得：￡%=

6-94”

k=\乂，

2”〃.4"6〃+54

因此，ZG=Z4T+ZC2A

2〃+l9x4"9

4"6〃+54

所以，數(shù)列｛%｝的前2〃項和為

2/?+19x4"9

“、1018，/-6〃-5

隨堂練習(xí)：答案：⑴4=2”,/”〃(〃eN)(2)1097；(J)1--------

918x4n""—

q+a2+%=142

q+aiq+aiq=14

解：(1)依題有n,，因為“>1,解得：4=2,4=2

2(生+1)=6+%[2(〃聞+1)=%+。悶2

4“=4,,4=1,

勺=2".數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,-A+74=8,解得:<d=l也=〃.

(2)數(shù)列｛qj與數(shù)列也｝都是遞增數(shù)列，〃=5q=32<50,〃=64=64>50,

2-2645x(1+45)

=1035,

a,+a2+a3+a4+t/5=——=62,偽+a++b45

I-z2

新數(shù)列的前50項和為：1+2+2+3+4+4+5+6++45=62+1035=1097.

久，〃為奇數(shù)

〃6J,〃為奇數(shù)

以一4叱2)；為偶數(shù)戒一色二生,〃為偶數(shù)

T2“一2

2n

=。+。2+,?.。2”=(。+C34-..+C2?_1)+(C2+C4+..-+C2n)

；=1

、3/I、1W-1

+3x1-+5x-+?+(27?-1)—

2J[2,

2714-1

X=lx[J+3x(3)+5x(；)++⑵-哈

?I2n-l

兩式相減有彳Aft=?+2x

z?\2n+l

156〃+5

=—+4K幺-(2〃-1)-

2,466x4"

106//+5

,’+Gn

918x4"T?

222222

2O-4-2~64⑵。2⑵T(In)04/

+4-+n

一（尹一下）（夢一寵）（下一尹22”22^2。4〃

31()6〃+5n2_10即2-6〃-5

馬9一%+w~~9~\Sx4n-l+4^~~9+ISx^'-1

典例2、答案：(1)2〃+2(2)y-n2-3n-l(3)9

4+%=2修+d=10,解得丁;

解:（1）設(shè)口｝公差為小則

ay+a4+a5=3q+9d=30a=2

所以%=4+2(〃-1)=2〃+2；

(2)由題意a“+2=3-,所以d=3"'-(2〃+2),

W,3"

S?=(1+3+--?4-3-)-[4+6+.--+(2Z7+2)]=---4+(筋+「)n=----n--2--3/1；

1—3222

2n+2-2n

(3)由(1)q,=

X-友'

,12n1.12T

=+一n

T—I---r+4----,-T“=--H—r+L9

“2222n222232"2〃+i

相"或得十（2+/?

i-±-A=1-

2〃2",2〃2"

2+n2+n2+n1

2---------*2|=‘由亍‘通'得2"-4〃(〃+2)之0,

2"T

令/(〃)=2"-4〃(〃+2),則

/(〃+1)—f(n)=2,,+l-4(〃+1)(〃+3)-2"+4〃(〃+2)=2"-4(2〃+3),

設(shè)g(〃)=f(n+l)-f(n)=2"-4(2〃+3),則g(-+1)-g(〃)=2"-8,

當〃<3時，g(〃十1)-g(〃)v。，

當〃=3時，g(〃+l)=g(〃)，即g(3)=g(4),

當〃>3時，g(〃+l)>g(〃),

^(1)=-18<0,g(5)=-3O〈O,g(6)=4>0,所以當〃工5時，gW<0f當“N6時，

g(〃)〉0,

當〃<6時，/(〃)遞減，當〃26時，/'(〃)遞增，

/(1)=-10<0,/(8)=-64<0,/(9)=116>0,因止匕當〃W8時，fW<0,當相N9

H寸，f(n)>0,

所以滿足上-2|*；的〃的最小值是9,即近勺最大值是9.

4〃

隨堂練習(xí)：答案：（1）%=

丁2〃-2,〃為偶;數(shù)"（2）（i）-4J（〃i+n1）；⑴）證明見解

析

解：（1）由題意可知，數(shù)列｛q｝的奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,

偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為2,公差為4的等差數(shù)列.

二當n為奇數(shù)時,%=%=1+4(1)=4"3=21；

為奇數(shù)

當〃為偶數(shù)時,4=%=2+4僅-1)=必-2=2〃-2...4

2〃-2,〃為偶數(shù)

(2)(i)S2n=(6T,+ay￥...+a2n_l)+(a2+a4+...+a2n')=(%+：2〃-J八+(q=4〃2一〃,

22

,I1111、

b=—；----=--------=—(--------),

477~+4〃4〃(，?+1)4n/?+1

??T=Z>|+/?,+...+b=—(1——+———+-----------)=—(1--------)=------

4223n〃+14/t+14(〃+1)

(〃+2產(chǎn)

▼奇r鏟則

〃+1

?向（景（〃=1時等號成立）?.當〃22時，Z不向<2向~

2"“*=|乙*=|*=1乙

（八234〃+2

?7嗔五丁丁一十

￡-1-Ar-I~2"一?

l(i—!—)

1C，3477+2I6,”+2J11、，“+2,2U2nl)〃+4

S=3+(+++)=4----

2'>=]+>+…+"■2"--2^-r^^~,4T

〃+4

?.?*=8—2〃一】

T巨力+27=’，擊=8一祟=S-^^-2(\-^)=6-〃+3

2〃-1

-2

..,一?,n+3白/—八〃+4

綜上，當〃22時，6-行<ZE<8-不了.

乙*=1N

典例3、答案：（1）q=二（2）『2一竽（3）必=2川+3?-2

解：（1）當”=1時，q=SI=2q—2,可得q=2,

當〃之2時，由S.=2%-2可得S,i=21-2,

上述兩個等式作差得冊=2%-2%」，可得%=,

所以，數(shù)列｛4｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，故M=2X2"T=2”.

?.A-Arr.u^123.n1Tl2〃-1〃

⑵1子所以‘Tn=y+27+2y+L源所以‘產(chǎn)=齊+獷+L+—+

上述兩個等式作差得,='L+±-*=述號"貴，

~~1--2—

因此，(=2一亨.

(3)由題意可得。21=%=2",c2n=log2an=n,

所以，&=伍+6+丁,”,1）+（。2+。4+d?飛〃）

2(】一2")〃(〃+|)

=(2+22+23++2")+(1+2+3+2，“餐_2

1-22

/c、c13/3〃+21、/1、“

隨堂練習(xí)：答案：（1）4=〃，々=2"；⑵4；⑶凡=中『句./

8x7

解：（1）依題意，S8=M+x1=36,解得4=1,則見=1+(〃-1)x1=〃，

2

設(shè)數(shù)列｛2｝的公比為S因&，,打，成等差數(shù)列，則4+物=3打,

有2cr-6c/+4=。，而解得〃=2,bn=T,

所以數(shù)列｛6｝和也｝的通項公式分別為：〃”=〃，bn=2\

(2)由(1)知，7；=^|2=2用-2,

Z1-2

2y,,+ln+2

Ti+T2+---+Tn=(2+2++2)-2/?=2-4-2/?,

依題意，〃（〃+1）+2*2-4一2〃=2〃+4x2",整理得〃2一3〃一4=0,而〃eN?，解得幾=4,

所以正整數(shù)〃的值是4.

⑶由⑴知…F修品總后"夕+E”黑翟瑞

n(--r+(-l)n[—J——

2"5+2。

22”T(〃+1)

令數(shù)列｛〃（一L）”｝的前〃項和為4,z.數(shù)列（/I+｛（I-）1）"zI（“十；"、+而'1）的前〃項和為紇,

則Al=]?(一g)+2?(—g)2+3?(—g)3+…+〃(_g)

于是得=，（一9+2?（-；y++（〃-1）（-夕+小（-3嚴

-』［1-（-3”）I3〃+2T嚴

兩式相減得:1=得）+（-夕+（-夕++（_夕_*夕"=--叫尸=-

:j33

ELLx23n+2/I、”

囚止匕，A.=--+-7—(--)，

XX乙

&=--+￡)+(￡+力卜(力-)+(￡+力)+

+(-1)”[—-——+—!—]=--+(-1),

2"|(〃+1)2"(〃+2)22"(〃+2)

數(shù)列｛.｝的前〃項和4=人…春平(一夕一梟合片=-身(容+土)(-夕.

典例4、答案:(1)勺=2"“(2)4/2

解：(1)由題意得2In/=lnq+lna3，所以①，

又住+4｝是等比數(shù)列，所以⑸+/f=(S+q)應(yīng)+4),

因為4=1,所以他+2)2=2(2+3+引②,

又巴＞0,故由①②聯(lián)立解得見=2,

又｛Inq,｝是等差數(shù)列，所以lnq「ln%=lnF(〃之2)為定值，即詈(〃之2)為定

an-\an-l

值，

故幾｝為等比數(shù)列，首項4=1，公比夕=，=2,所以何｝的通項公式為凡=2”、

a\

(2)由(1)得?！?2，

2w112n1

所以，=log2a2n_t+log2aln=log22+log,2=2〃-2+2〃-1=4〃一3,

即依｝是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，

令C〃二(一1)"也，則c2n_]+C2,t=-b2n7+bln=-(8/?-4-3)+8/?-3=4,

記?｝的前〃項和為r“，所以&=(G+G)+…+(G”T+G“)=i±±=1i=4〃，

n

數(shù)列數(shù)列｛(T)間的前2〃項和為4〃.

隨堂練習(xí)：答案：(1)%=〃(2)7＞當W-k)g2(〃+l)

解：(1)設(shè)公差為d,則g=54+101=15,即4+21=3,

因為4,一%成等比數(shù)列,所以嬉二%%，

即(4+df=4(4+3"),整理得/=axd,

因為400所以d=4，代入q+2d=3,解得d=%=l,所以%=%+(〃-l)d=〃.

=1

(2)^°g2—+=log2*+〃=log2〃_log2(〃+l|+〃，

所以

T?=b｝+b2++bn=(log21-log22+1)+(log22-log,3+2)++[log2,2-log2(n+1)+

=(log21—log22)-f-(log22—log23)+…+pog2n—log2(〃+l)]+l+2+???+〃

=〃(丁)]Og?(〃+]).

4

典例5、答案：(1)q=2〃+l(〃eN'),〃,=2"(2)弓=2/+〃+,(4"-1)

解：(1)由題意,%=勺也-a也，1=3,%=5,令〃=1得24=打，又數(shù)列｛仇｝為等比

數(shù)列，

所以配=2b,，即數(shù)列也｝為公比為2等比數(shù)列.

所以由%=4他-。也可得所=%+以-。也即。向一凡=2,

數(shù)列｛q｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，

數(shù)列｛凡｝的通項公式：4=3+2(〃-l)=2〃+l(〃eN”).

由打，2(，打成等差數(shù)列，得："+么=4《，24+16。=36,4=2,有"=2".

+為奇數(shù))

(2)由(1)知&=上”,(〃為偶數(shù)),數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是首項為3,公差為4的等

差數(shù)列,

偶數(shù)項是以首項為4,公比為4的等比數(shù)列.

4(1-4")

T2n=(4+/+/4------Ha2n-\)+(力2+d+2-------hh2n)=3/Z+~~-4+

1-4

4

=2〃2+〃+—(4”-1).

3

隨堂練習(xí)：答案：(1)/=2〃+1也=2"、(2)'=匕二一工

32〃+1

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為乙等比數(shù)列也｝的公比為明

4=3,由=1，4+S[=12,4-%=羽，/.<72+3+t/=9,2d=2q

???夕二一3或q=2,?.也｝是正項等比數(shù)列，:.d=2,q=2,a.=In+1也=2M.

.,〃(3+2〃+1).、-二僅為奇數(shù))

(2)由(1)知5“=-^----------^=〃(〃+2),「?5=｛〃〃+2、),

2[2小(〃為偶數(shù))

2,+23+2s+

1+2?向1

2〃+1

2用-2+即，〃為偶數(shù)

2

典例6、答案：(1)二2"也二〃(2)7；=

2加一3一即巨〃為奇數(shù)”N

2

解：(1)設(shè)數(shù)列｛叫的公比為Q，

112112

因為廠一7=:，BP——=——得爐-g-2=0,解得"=-1或4=2,

aaa、，

%i3\aqatq

當“=T時，S4=0,不合題意，舍去，所以q=2,

由邑=30=坐*，解得4=2,所以勺=2”，

對于｛"｝，因為優(yōu)++，%=%-a,

乙D〃

當〃=1時，bx=b2-\,則力2=2,

當〃>1時，〃+；立+:4++-^?%=2T②，

23〃一1