識記手冊高考總復習！第1輪）數學

第一章集合與常用邏輯用語

一、集合的含義與表示

1.元素與集合

元素與集合的關系：集合是由元素構成的，元素與集合的關系是屬于（七）或不屬于（幻關系.

2.常見集合的符號

常用數集自然數集正整數集整數奧有理數集實數集

符號NN*或N+ZQR

3.集合中元素的特征

（1）確定性；（2）無序性；（3）互異性.

4.集合的表示方法

（1）列舉法；（2）描述法；（3）Venn圖法.

二、集合間的基本關系

1.子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元素，我們說這

兩個集合的包含關系，就稱集合A是集合4的子集，記作或43A）,用Venn圖表示如右圖.

2.集合相等：若AC&BGA,則集合A與集合B中的元素是一樣的，稱為集合4與集合B相等，記

作A=B.例如，集合A={1,-1}與集合8={x|『一l=0}就是相等的集合.

3.真子集：若4a氏但存在元素xWB,且依A,就稱集合人是集合B的真子集，記作A"（或說30.

4.空集：我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記作。.規(guī)定：空集是任何集合的子集.

三、集合的基本運算

1.并集：由所有屬于集合A或屬于集合8的元素組成的集合，稱為集合A與集合8的并集，記作AU

B,即或用Venn圖表示如右圖.

2.交集：由所有屬于集合A且屬于集合8的元素組成的集合，稱為集合A與集合8的交集，記作AC

B,即AA8={x|x￡A,且八{8},用Venn圖表示如右圖.

3.全集與補集

(1)全集：如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記

作U.

(2)補集：對于一個集合A,由全集。中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于。的

補集，簡稱為集合A的補集，記作［M，即且居4},用Venn圖表示如右圖.

4.集合的運算律

(1)交換律：AQB=BQA,AUB=BUA.

(2)分配律：An(BUO=(AnB)U(AnQ,AU(BnC)=(4UB)n(AUC).

(3)結合律：An(Bnc)=(AnB)nc,AU(BUC)=(AUB)UC.

5.集合子集的個數

集合M={0,。2,S，…，的子集的個數為2〃；真子集的個數為2”一1；非空真子集的個數為2〃一2.

四、充分條件與必要條件

1.⑴若p=q，且q=p，記作〃=q，則稱p與q互為充要條件.

(2)若p=q,但p,則稱p是q的充分不必要條件.

(3)若qnp,但〃q,則稱〃是q的必要不充分條件.

(4)若pw>q,且qH>p,則稱〃是4的既不充分也不必要條件.

2.從集合的觀點看，設集合A={x|x滿足條件"，B={?小?滿足條件內：

(1)若AqB,則〃是q的充分條件或q是〃的必要條件；

(2)若A=8,則p是q的必要條件或q是p的充分條件；

(3)若4呈B,則〃是q的充分不必要條件；

(4)若8呈A,則〃是q的必要不充分條件；

(5)若A=6,則p,夕互為充要條件；

(6)若A%8,且A?8,則〃是夕的既不充分也不必要條件.

五、全稱量詞與存在量詞

全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

命題類型全稱量詞命題存在量詞命題

形式p(x)3p(x)

否定3xeM,-ip(x)Vx￡M,->p(.v)

全稱量詞命題的否定是存在量存在量詞命題的否定是全稱量

結論

詞命題詞命題

Pal第二章一元二次函數、方程和不等式.

一、不等式的性質

1.比較大小

a>b=a-b>0；a〈bna-b<0；a=bna-b=O.

2.不等式的基本性質

(1)對稱性：a>b=b<a.

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c.

(3)可加性：@a>/?=>a+c>b+c；②a>b,c>du>a+c>b+d.

(4)可乘性：@a>b,(?>0<=>flc>Z?c；@a>b,C<O<=>AC<Z>C；③心%>0,c>d>0<^ac>bd.

(5)可方性：①a>》>0o/>〃X)(〃￡N,〃22)；②^X)(〃￡N,〃22).

二、基本不等式

1.基本不等式

如果〃>0,b>0,那么。+人即，色芋產)，當且僅當。=力時等號成立，不等式(*)為基本不

等式.

2.已知X,y為正數，x+y=S,盯=尸，則

(1)如果?是定值，那么當且僅當x=y時，S取得最小值2#.

(2)如果S是定值，那么當且僅當x=y時，戶取得最大值與.

利用這兩個結論可以求某些函數的最值，求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的條件.

三、二次函數與一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式與相應的一元二次方程、二次函數的聯系如下表：

(3)利用函數單調性求函數的最大(小)值.

如果函數)，=/")在區(qū)間［。，切上單調遞增，在區(qū)間g,c］上單調遞減，那么函數)，=/"),c］在x

=b處有最大值fib).

如果函數)，=危)在區(qū)間小加上單調遞減，在區(qū)間g,C］上堂調遞增，那么函數尸危)，C］在X

=人處有最小值八〃).

3.利用定義判斷函數奇偶性的步驟

第一步，首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱.

第二步，確定大一幻與;U)的關系.

第三步，得出相應結論：若人一x)=/(x)或人一幻一yu)=o,則人幻是偶函數；若次一%)=—//)或./(—x)+

yu)=o,則凡I)是奇函數.

三、寨函數

塞函數廠3V-F￡y=x]

(一8,0)

定義域RRR[0,+°°)U(0,+

°°)

(—8,0)

值域R[0,+°0)R[0,+°°)U(0,+

°°)

非奇非偶函

奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數

數

在［0,+在(0,+

°°)上是增在［0，+8)上是減

在R上是在R上是

單調性函數，在8)上是增函數，在

增函數增函數

(—8,0］函數(—8,0)

上是減函數上是減函數

公共點(1,1)

四、常用結論

i.函數奇偶性的常用結論

(1)如果函數K6是偶函數，那么/U)=/(M).

(2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.

(3)在公共定義域內：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇.

2.函數周期性的常用結論

(1)若/U+〃)=—/U),則T=2a(a>0).

⑵若./U+〃)=而，則T=2a(a>0).

(3)若./U+a)=一而，則7=2a(a>0).

3.對稱性的常用結論

(1)若函數y=/U+〃)是偶函數，則函數)，="?)的圖象關「直線對稱.

(2)若對于R上的任意X都有人2〃一］)=/5)或直一力=火2〃+“)，則)，=/5)的圖象關于直線對稱.

(3)若函數是奇函數,則函數)，=/")的圖象關于點(40)中心對稱.

第四章指數函數與對數函數

一、指數函數

1.〃次方根

⑴定義

一般地，如果那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃￡N*.

(2)

心0x>0

n是奇數4=0x=0x僅有一個值，記為如

a<0x<0

,e=a

a>0x有兩個值，且互為相反數，記為土缶

〃是偶數

4=0x=0

a<()X不存在

2.根式的定義

式子缶叫做根式，這里〃叫做根指數，。叫做被開方數.

3.根式的性質

①(%)”=0(〃>1,且〃WN?)：

②(缶^)={a，〃為奇數，間，〃為偶數.

4.分數指數幕的意義

W

分數正分數指數暴

規(guī)定：a''=y[^'(a>0,〃?，〃>1)

指數累

規(guī))：〃〃

負分數指數累Ea—m—(?>0>in,￡N,>1)

fl-M1f

0的分數指數幕0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意義

5.有理數指數塞的運算性質

(1)爐爐=/、3>0,r,S￡Q).

(2)(aT=/(a>0,r,s￡Q.

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r=Q).

6.指數函數的圖象和性質

二、對數函數

1.對數與指數間的關系

若a>0,且nW1,則a'=Nnlog?N=x.

對數恒等式：logz#=x；川og“N=N(〃>0,且N>0).

2.對數的基本性質

(1)負數和0沒有對數.

(2)logJ=0,log“a=l.

3.對數的運算性質

如果〃>0,且aWl,M>0,NX),那么：

(1)lo&(AfA/)=log"+log“M

M

(2)log.^=logzpW-logzA;

,

(3)logaAf=nlogaAf(n￡R).

4.對數換底公式

logj?=jo￡(〃>0,且aWl；b>0,c>0；且cHl).

特別地，log“b?log由=1(d>0,且aKl；b>0,且〃Wl).

5.對數函數的圖象和性質

條件a>\0<?<1

>>；v=logXa>l)IU=1

圖象\7。，。)一

/(h0)]°

0IV=1O&A^

1'((Ra<l)

定義域(0,4-°°)

值域R

單調性在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

共點性圖象過點(1,0),即log,』=0

當x￡(0,1)時，yG(-oo,當x￡(0,1)時，)，￡((),+

函數值0);°°);

特點當xW",+8)時，)，￡[0,當+8)時，ye

+0°)(-8,0]

對稱性函數y=logd與)=1。戰(zhàn)的圖象關于x軸對稱

三、函數的應用

1.三種函數的增長速度比較

⑴在區(qū)間(0，+8)上，函數尸爐(〃>1),尸10gds>1)和y=.1〃>0)都是增函數，但增長速度不同.

(2)在區(qū)間(0,+8)上，隨著x的增大，函數的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=

廣(心0)的增長速度，而函數y=lo&Ma>l)的增長速度則會越來越慢.

⑶存在一個須，使得當Qxo時，有Iogd33.

2.利用零點存在定理確定函數零點所在區(qū)間的步驟

第一步，判斷給出的函數人幻的單調性.

第二步，確定區(qū)間端點對應的函數值符號.

第三步，通過貝a)A〃)vo得到函數零點所在的區(qū)間(。，b).

3.用二分法求函數零點近似值的步驟

給定精確度亂用二分法求函數7U)零點近似值的步驟如下：

第一步，確定零點項的初始區(qū)間小b],驗證AM〃)VO.

第二步，求區(qū)間(小〃)的中點C.

第三步，計算次c),并進一步確定零點所在的區(qū)間；

(1)若HC)=O(此時M)=C)，則C就是函數的零點；

(2)若兒7加c)vO(此時祀￡(〃,c)),則令b=c：

(3)若代、皿?)＜0(此時點xo￡(c,/?)),則令a=c.

第四步，判斷是否達到精確度￡：若|。一切＜￡,則得到零點近似值〃(或力)，否則重復第二至第四步.

四、常用結論

1.函數圖象自身的軸對稱：若函數)，=凡。的定義域為R,且有八。+幻=/(2一x),則函數)=/U)的圖象

關于直線工=等對稱.

2.函數圖象自身的中心對稱：J(a^x)=2b-J(a-x)=＜幻=25一42。一幻=函數y=/U)的圖象關于點

3，〃)中心對稱.

3.兩個函數圖象之間的對稱關系

h——a

(1)函數y=X〃+x)與^^(力一口的圖象關于直線人^^一對稱(由a-\-x=b-x得對稱軸方程)；

(2)函數y=yU)與y=2力一/(一行的圖象關于點(0,/?中心對稱.

?第五章三角函徽

一、任意角和弧度制

1.角度制與弧度制間的關系

360°=2nrad；1°rad；1rad=(攀

°七57.300.

2.弧度制卜的弧長公式為/=|a|R：扇形的曲枳公式為S=，/R=±R2

二、三角函數的概念

1.在平面直角坐標系中，設a的終邊上任意(異于原點)點尸的坐標為(x,歷，則點P到原點的距離

所以sina=J,cosa=-_,tana=?(xW0).

，，人

2.熟記下列特殊角的三角函數值.

角度a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

角a的

7U7T兀2兀3兀5n3兀

07C兀2兀

6432346T

弧度數

1亞亞應

sina0也10-10

222222

11

cosa1近啦0.正—亞-101

222222

tana01——一小-1邛0——0

三、同角三角函數的基本關系式

1.平方關系：sin2a4-cos2a=l.

2.商的關系：若tana=；\：.

3.sina+cosa,sina—cosa?sinacosa之間的關系:

(l)(sina+cosa)2=1+2sin?cosa：

(2)(sina-cosa)2=1-2sinacosa；

(3)(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2.

四、三角函數的誘導公式

1.三角函數的誘導公式

公式—?二三四五六

7171.

角2H+a伏￡Z)7i+a-an-aa2+a

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosu.—cosacosa—cosasina—sina

正切tanu.tana—tana—tana————

口訣函數名不變符號看象限函數名改變符號看象限

2.利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的基本步驟

記憶口訣：負角化正角，大角化小角，小角化銳角，銳角再求值.

五、三角函數的圖象與性質

)，max=l；當X=2E苫=1；當x=2E+兀時，

>'min=~?

(A￡Z)時，jmin=-l

周期性2兀2兀7t

奇偶性奇函數偶函數奇函數

在［2E一52E+

在［2Ef2E］(k￡Z)上jrjr

頹IWZ)上是增函數,在在(E—5，E+5)(A￡Z)

單調性是增函數，在［2履，2H

［2E+，，2E+與］(kWZ)上是增函數

+7C］(kWZ)上是減函數

上是減函數

對稱中心(E+，，

對稱中心(E,0)(k￡Z),kn

對稱中心(乙弓,o)gz),

對稱性伏對稱軸

對稱軸—布+舞0)￡Z),4=

x&Z)無對稱軸

E(k$Z)

六、三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

cos(a-0)=cosacos夕+sinasin民(Cg-6))

cos(a+//)=cosacos夕一sinasin，(C(a+/j))

sin(a+/?)=sinacos夕+cosasin仇(S(4+3))

sin(a-/?)=sinacos/?—cosasin/?<S<?_2))

門tana+tan^、八tana-tanli、

tan(a+p)=~~~■~~1-y~~T(T<?^))>tan(?-/?)=.—1%(Tp-0)).

'1—tan?tanppr1+tanatanpp

2.輔助角公式

asinx+Z?cosx=y]a2-\-lrsin(X+Q)(其中).

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinacos/(S%)

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a_1=I_2sin2a.(C2a)

2tana，一、

lan2a=~.(T2a)

—tan-a'

4.半角公式(實質上是二倍角的余弦公式的變形)

.?—/1-cos

s,n2=±A/-~

1—cosasina1—cosa

tan'\j1+cosaI+cosasina

七、函數），=Asin（①x+*）（A>0,co>0）的性質

函數名y=Asin(o)x+夕)(4>0,切>0)

定義域R

值域[一A，A]

_2兀

周期性

T-0)

對稱性對稱中心（二￡，（））（%EZ）

kit.?！?@八

對稱軸X—,+<),丫(kGZ)

co2cov'

當e=EQWZ）時是奇函數，當e=E

奇偶性

+界￡Z）時是偶函數

由2E—卜口x+°W2E+，，keZ,

解得單調遞增區(qū)間，由2E+^W公t+

單調性

K2E+苧，kGZ,解得單調遞減區(qū)

間

六、三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

cos(a-^)=cosacos^+sinasin

cos(a+#=cosacos0-sinasinA(Cg+.))

sin(a+/?)=sinacos^4-cosasin，(S0+Q

sin(a-/0=sinacos夕-cosasinfi.(S(a/?))

tana+tanBtana-tan"

tan(a+/?)=.々(Tg+M，tan(a—/7)=

l1—tanatan^尸1+tanatan於廿加，

2.輔助角公式

ab、

asinZ?cosx=yja2+Z>2sin(x4-M4cos(p=sm。-亞―

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinacos?.(Sz?)

cos2a=cos2?—sin2?=2cos2?-1=1-2sin2a.?〃)

c2tana—.

tan-.(T2”)

1—tan-a7

4.半角公式(實質上是二倍知的余弦公式的變形)

/1—cosa.a/1+cosa

sin}土八\l2，8S2-±y2

aI-cosasina1-cosa

tang=t*\14-cosa1+cosasina'

七、函數y=Asin(a)x+p)(A>0,Q)>0)的性質

函數名)，=Asin(car+3)(A>0,QJ>0)

定義域R

值域［一4川

_2TI

周期性T-

(1)

對稱性對稱中心(/())(&￡Z)

冗吃,~

對稱軸kn,—2

X—'(o+"o2a)('2￡Z)'

奇偶性當e=E(&￡Z)時是奇函數，當e=E+界&Z)時是偶函數

由2E—90工+/2也+親kRZ,解得單調遞增區(qū)間，

單調性

由2E+彩5+*W2E+率k￡Z,解得單調遞減區(qū)間

八、三角函數的應用

由函數產sinx的圖象通過變換得到.v=Asin(s+0的圖象有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先

伸縮后平移”.

(1)先平移后伸縮

糧型標變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

)，=sinx的圖象的呈黑黑=sin(x+0)的圖象縱坐標不變"y=sin(s+伊)的圖象

縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，./.、g網缶

而疏穆)，=Asin(c?+9)的圖象.

(2)先伸縮后平移

橫飛標交為原來的」■倍

._?6M1d面向左9>0)或向右(然0)一...*因伺縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍

y=sinx的圖象縱坐標不變)'一加5的圖象平移名不余長度9(5+仍的圖象橫訴於)'

=4sin(s+0)的圖象.

—-1I「=^,■

一、平面向量的線性運算

1.向量加法的運算律

交換律：a+b=b^-a.

結合律：(a+A)+c=〃+(b+c).

2.向量數乘的運算律

(l)；.(^a)=(z/z)a.

(2)(A4-//)a=za4-//a.

(3)2(。+力)=/。+勸.

3.(1)若力=〃(。工0),且力與。所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.例如，若向量n=次?，則

B，啟共線，又后與公有公共點4從而A,B,C三點共線，這是證明三點共線的重要方法.

(2)已知。，A,8是不共線的三點，且5>=〃?a+〃5h(m,〃￡R),A,P,B三點共線=〃?+〃=l.

二、平面向量的數量積

1.平面向量數量積的性質

設向量。與b都是非零向量，它們的夾角為夕

⑴。人"。力=0.

⑷則,。與力同向；

(2)當在時，ab=\._,

一⑷網，。與b反向.

(3)°口=|°F或

a'b

(4)COS0=麗?

(5)“WW|.

2.求投影向豉有兩種方法

設非零向量。與力的夾角為優(yōu)與向量。方向相同的單位向量為e,則

(1)。在b方向上的投影向量為kdcos8e；

(2)G在b方向上的投影向量為缶e.

3.平面向量數量積的運算律

(1)。山="。(交換律).

(2)(府)力="。。)=。(勸)(數乘結合律).

（3）（a+b）?c=a?c+6c（分配律）

三、平面向量的坐標運算

1.若〃=（?,yi）,b=（x2r”）,2是實數,則“+b=（xi+x2,y+1），。一力=（內一小》一＞2），m=（屆，

加.

2.若A（x”yi）,8（M,%），則AB=（X2—為，/一yi），\AB\=yj（X2-x\）2+（y?-yi）2.

3.平面向量共線的坐標表示：設。=（xi，yi）,b=（M，）2）（。/。），貝iJ〃"＞（。刈）的充要條件是片》2—也少

=0.

4.數量積、長度、夾角和垂直的坐標表示

已知兩個非零向量。=8,6）與》=（也，”），。為。與力的夾角，則

（1）。山=即12+），。'2.

（2）|0="后+）彳,.=++=.

…、八X|X2+yiy2

⑶2布所福■

（4）GJLAO川12+巾”=0（。，b為非零向量）.

四、平面向量的應用

1.余弦定理

在△ABC中，角A,從C的對邊分別是〃，h,c,則有。2=/+/—2〃ccosA,加=/+/—2〃ccos8,

c2=a24-Z?2-2a/x:osC.

出.人/〃〃2+/一/〃2+%2一/

推定：cosA=------------,cosli--------------,cosC-......2^----?

2.判斷三角形的形狀時，經常用到以下結論：

①△ABC為直角三角形="2=/+^或廿二片+/或。2=廿+三

②AABC為銳角三角形O?2+^＞?且從+。2＞，且^+。2＞匕2

③△ABC為鈍角三角形?；驈?（?＜/或/+。2＜匕2.

④若sin2A=sin28,則A=Z?或A+8=g.

3.正弦定理

斯=品品2期為AABC外接圓的半徑）.

變形：

（l）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（R為△ABC外接圓的半徑）.

(2)sinA=盤，sin8=4，sin。=或(/?是△ABC外接圓的半徑).

(3)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比,即a：b：c=sinA：sinB：sinC.

____a+-+c_______a____b_____c

⑷sin4+sinB+sinC-sinA-sinsinC

(5)asinB=bs\nA,asinC=csinA,OsinC=csinB.

4.三角形面積公式

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則S3tBC=；"sinC=：bcsinA=%csin8.

.第七章復數

一、復數的分類

實數S=O),

z=a+bi(a,/?€R),非純虛數(aWO),

虛數(bWO)

純虛數3=0).

二、復數的幾何意義

根據復數相等的定義，任何一個復數z=“+6i都可以由一個有序數對(〃")唯一確定，由于有序數對3,

份與平面直角坐標系中的點一一對應，因此復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應的關

系.還可以用平面向量宓來表示復數.

|復數z=a+切復平面內的點Z(a,b)

復數z=a+Z?i平面向量OZ

三、共拆復數

當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數互為共扼復數，且z?3=憶|2=3|2.

四、復數的模

|z|=10%=|a+bi|=7。2+業(yè)

五、復數代數形式的四則運算

設zi=a+/?i,Z2=c+t/i.

(l)zi+z2=(a+〃i)+(c+M)=ia+c)+(A+d)i：

(2)Z1—Z2=(〃+〃i)—(c+M)=[a-c)+(〃一”)i；

(3)ziZ2=(a+bi)(c+di)=ac+bc\+ad\+bd?=(ac-bd)+(ad+bc)\；

a-\-b\(a+歷)(c-di)ac-\-bd,be-ad,,八

(4)zi=z2=m+〃D=(c+M)=7T^=(c+di)"_，m=7T^+7TZKc+&#()).

?I第八章立體幾何初步.

一、空間幾何體的表面積與體積

名稱側面積（S惻）全面枳（S金）體枳（V）

直棱柱chS抵+2S底S底?/?

倒,|s?,h

正棱錐S同+Sa

（5上底+S下底+

J(c+c?/

正棱臺S愀+SHft+S卜底

St：底.S卜底）

圓柱271rl2M(7+r)nrh

營辦

圓錐nrlnr(/4-r)

兀（門+r2）/+兀（H(rf+ri，2+

圓臺兀（力+—2）/

+“）

d)

球—4成2加3

二、空間點、直線、平面之間的位置關系

1.平面的基本性質

基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

利用基本事實1和基本事實2,再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：

推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2；經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.

(1)(2)(3)

2.空間中直線與直?線的位置關系

位置關系共面情況公共點

相交在同i平面內有且只有一個公共點

平行在同一平面內沒有公共點

異面不同在任何一個平面內沒有公共點

3.空間中直線與平面的位置關系

(1)直線在平面內一一有無數個公共點，記作au〃.

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點，記作

(3)直線與平面平行一一沒有公共點，記作?！╝

4.空間中平面與平面的位置關系

(1)兩個平面相交一一有一條公共直線，記作。0少=/.

(2)兩平面平行一一沒有公共點，記作a〃4

三、線面、面面位置的判定與性質

平類型直線與平面平行的判定平面與平面平行的判定

行如果平面外一條直線與此平面內的一

如果一個平面內的兩條相交直線與另

的判定定理條直線平行，那么該直線與此平面平

一個平面平行，那么這兩個平面平行

判彳r

定au[j,bu0,aCb=P,a/!a,

符號表示ag,bua旦a"b=a〃a

與b//a=^a//°

\r

圖形表示zf

質

類型直線與平面平行的性質平面與平面平行的性質

一條直線與一個平面平行，如果過該

兩個平面平行，如果另一個平面與這

性質定理直線的平面與此平面相交，那么該直

兩個平面相交，那么兩條交線平行

線與交線平行

符號表示a〃a,ciup,aCB=ga〃ba〃6，ariy=a,/ir\y=b=>a//b

\

>\

圖形表示

c:r―:ni-------1

1II1

垂類型直線與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定

直如果一條直線與一個平面內的兩條相

一個平面過另一個平面的垂線，則這

的判定定理交直線都垂直，那么該直線與此平面

兩個平面垂直

判垂直

定mca,nua,mC\n=P,

符號表示Ila,luga邛

1J/_L〃=/_La

性/

質圖形表示

垂類型直線與平面垂直的性質平面與平面垂直的性質

直兩個平面垂直，如果一個平面內有一

的性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行直線垂直于這兩個平面的交線，那么

判這條直線與另一個平面垂直

定符號表示a_La,b>a=a〃baC0=l,aua,a_U=a邛

與

>1>[

性圖形表示CZJ「1

[=]fj

質

四、三類空間角

類型定義圖形表示取值范圍

已知兩條異面直線小b,經過空間

異面直線任一點O作直線"〃小b7/b,我

1~~J110°<6^90°

所成的角們把能與勿所成的銳角（或直角）叫做

異面直線a與b所成的角（或夾角）

定義：平面的一條斜線和它在平面

直線與平上的射影所成的銳角，圖中/以0

面所成的規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們o°w?W9o°

角