2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰三角形》專項檢測卷（附答案）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.等腰三角形的一個內(nèi)角為70°,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是（），

A.55°,55°B.70°,40°或70°,55°

C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°

2.如圖，在"BC中，點。乃分別是AB,AC的中點，點R是DE上一點，且NARC=90°,若

3C=12AC=8,則的長為（）.

A

（第2題）

A.lB.2C.3D.4

3.等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是（）.

A.有一個內(nèi)角是60°

B.有一個外角是120°

C.有兩個角相等

D.腰與底邊相等

二、填空題

4.邊長為2的等邊三角形的面積是.

5.如圖，一張三角形紙片A3C,AB=AC=5,折疊該紙片使點A落在邊BC的中點上，折痕經(jīng)過AC

上的點E,則線段AE的長為.

6.已知a,b,c為&ABC的三邊長，瓦c滿足（力2）2+心31=0,且。為方程g4|=2的解，則4ABC的形狀

為三角形.

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三'解答題

7.如圖，在AABC中平分NA4aB垂足為。，過點。作DE〃AC,交A3于點E若AB=5,

求線段DE的長.

(第7題)

能力提升

一'選擇題

1.如圖，點A的坐標(biāo)是(2,2),若點尸在x軸上，且A4P。是等腰三角形，則點P的坐標(biāo)不可能是

().

(第1題)

A.(4,0)B.(1,O)

C.(-2V2,0)D.(2,0)

2.如圖4),CE分別是"BC的中線和角平分線.若A3=AC,NC4D=20°,則NACE的度數(shù)是

().

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A

A.20°

B.35°

C.40°

D.70°

3.如圖，在AABC中,NA3C和NAC3的平分線交于點E,過點E作MN〃BC交AB于點M交AC

于點N.若3M+CN=9,則線段MN的長為（）.

A.6B.7C.8D.9

4.如圖，在AABC^,AB=AC,D是BC的中點AC的垂直平分線分別交AGARAB于點瓦。/，則

圖中全等三角形的對數(shù)是（）.

二、填空題

5.如圖，正三角形ABC的邊長為2,以BC邊上的高A3為邊作正三角形ABC,三角形ABC與三

角形ABiCi公共部分的面積記為Si；再以正三角形ABiCi邊BC上的高AB2為邊作正三角形

A及C2,三角形ABC1與三角形A&C2公共部分的面積記為S2；…，以此類推，則

Sn=.（用含n的式子表示）

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B、

(第5題)

6.下面給出幾種三角形，其中是等邊三角形的有.(填序號)

①有兩個內(nèi)角為60°的三角形；

②外角都相等的三角形；

③一邊上的高也是這邊上中線的三角形；

④有一個角是60°的三角形.

三'解答題

7.如圖，在RtAABC中,AB=AC,NA4c=90。，。為BC的中點.

(1)寫出點0至U/kABC的三個頂點A,3c距離之間的關(guān)系；

⑵如果點MN分別在線段ABAC上移動，移動中保持請判斷△OMN的形狀，并證明你

的結(jié)論.

8.已知NA3C=90°是直線AB上的點,AD=3C

⑴如圖1,過點A作ARLAB,并截取AF=BD,^DC,DR,CR,判斷△CDR的形狀并說明理由.

(2)如圖2,E是直線上一點，且CEFD,直線AE,CD相交于點P,NAPD的度數(shù)是一個固定的

值嗎?若是，請求出它的度數(shù);若不是，請說明理由.

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圖2

（第8題）

參考答案

l.D2.B3.C4.V35.2.56.等腰

7.解由平分NB4c可知NA4D=NC4D

"：DE//AC,：.ZCAD=ZADE.

：.ZBAD=ZADE,：.AE=DE.

'：AD±DB,：.ZADB=90°.

：.ZEAD+ZABD=90°,

ZADE+ZBDE=90°.

：.ZABD=ZBDE,：.DE=BE.

：：

'AB=5,.DE=BE=AE=-2AB=2.5.

能力提升

l.B2.B3.D4.D

5-Txg）"6.①②

7解⑴如圖，連接AO,在RtAABC中,NA4C=90°為BC的中點,

1

故O4=：3C=05=0C,即OA=OB=OC.

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c

（第7題）

（2）A0MN是等腰直角三角形.理由如下：

,：ZCAB=90°AC=AB,OC=OB,：.OA=OB,ZNA0=ZB=^5°.

在△AON與中，

AN=BM,

乙NAO=乙B,：.xA0N/4B0M.

,OA=OB,

：.ON=OM,ZNOA=ZMOB.

：.ZNOA+ZAOM=ZMOB+ZAOM.

：.ZNOM=ZAOB=90°.

故△OMTV是等腰直角三角形.

8.解（1）AC￡）P是等腰直角三角形.

理由:如圖1,VZABC=90°AF.LAB,

：.ZFAD=ZDBC.

,:AD=BC,AF=BD,

.".AFAD^ADBC,

：.FD=DC,Z1=Z2.

VZ1+Z3=9O°,

.,.Z2+Z3=90°，即NCDE=90°.

故△CDR是等腰直角三角形.

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圖2

（第8題）

（2）ZAPD的度數(shù)是一個固定的值.如圖2,過點A作AfUAB,并截取AR=3￡）,連接DF,CF.

,：ZABC=9Q°AF±AB,：.AF//CE.

又BD=CEAF=BD,:.AF=CE.

故四邊形ARCE是平行四邊形//AE,

.../4。。=//?！?gt;,由（1）知,/4/5。=45°.

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《特殊的平行四邊形綜合》專項檢測卷（附答

案）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.如圖，將矩形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中AD邊在x軸上，點B坐標(biāo)為。,2），直線:y=x-4

沿X軸的負(fù)方向以每秒1個單位的長度平移，設(shè)在平移過程中該直線被矩形ABC。的邊截得的線段長度為

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(1)點。的坐標(biāo)為；點c的坐標(biāo)為;

⑵求4,6的值；

(3)在平移過程中，當(dāng)直線掃過矩形ABCD部分的面積為4時，求/的值.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)的圖象與矩形ABCD對角線的兩個端點相交，則定義該函數(shù)為矩形

ABCD的“友好函數(shù)”

⑴如圖，矩形ABCD,成〃了軸，經(jīng)過點A(Tl)和點C(3,3)的一次函數(shù)％=履+6是矩形ABCD的“友

好函數(shù)”，求一次函數(shù)％=入+》的解析式；

(2)已知第一象限內(nèi)矩形ABCD的兩條邊的長分別為2和4,AB〃x軸經(jīng)過點。和點2的反比例函數(shù)y2=~

是矩形ABCD的“友好函數(shù)”，求矩形ABCD距原點最近的頂點坐標(biāo)；

⑶若丫3=加+法+。("0)是矩形A5CD的“友好函數(shù)”且經(jīng)過A,C兩點，點8的坐標(biāo)為。,-3),點。

的坐標(biāo)為(—3,5),軸.

①若為=62+及+。(。彳0)的圖象與矩形ABCD有且只有兩個交點，求。的取值范圍；

②點尸(無0,％,)是丫3=加+阮+c(a*°)圖象上一點，且(■""與/，當(dāng)。＞0時，”的最大值和最小

值的差是3,求”的值.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4CE為矩形，A。",。)，￡(0,/2),連接AE.

圖1圖2

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⑴如圖1,A3平分NC40交.V軸于點8，交CE于點。，直接寫出點8、C、。的坐標(biāo)：B(_)C(_)

￡>(_,_)；

OF

⑵如圖1,在(1)的條件下，/為8。的中點，求/AEC+N3O尸的值，并直接寫出片的值；

AE

⑶如圖2,點"從。點出發(fā)沿射線0E運(yùn)動，點N從A點出發(fā)沿A0運(yùn)動，若M、N兩點以相同的速度

同時出發(fā)運(yùn)動，當(dāng)加=4,〃=2時，試求出EN+AM的最小值.

4.閱讀理解.

如圖，已知矩形。40c,以點。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A(2,0),C(0,3),點P以每秒1

個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運(yùn)動連接BP試點2作破，PB交x軸于點E連接PE交直線

于點尸，設(shè)運(yùn)動時間為f秒.

圖1備用圖

(1)當(dāng)f=2時，NCBP=,AE=;

S1

(2)當(dāng)產(chǎn)生=時，求運(yùn)動時間/的值；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在以P、。、E為頂點的三角形與ABE相似.若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

5.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中有長方形。RC，點C(0,4),將長方形Q4BC沿AC折疊，使得點5落在

點。處，C。邊交x軸于點E,NQ4c=30°.

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y,yy

c

M

oE

DD

圖1圖2備用圖

（1）求點D的坐標(biāo)；

⑵如圖2,點N為OC的中點，在直線AC上是否分別存在點M，使得的周長最小？如果存在，求

出3N周長的最小值；如果不存在，請說明理由；

⑶點戶為》軸上一動點，作直線AP交直線CD于點。，存在點尸使得-CPQ為等腰三角形，請直接寫出

NO4P的度數(shù).

6.如圖在平面直角坐標(biāo)系方刀中，多邊形。4BCDE的頂點坐標(biāo)分別是。（0,0）,A（0,6）,B（4,6）,C（4,4）,

D（6,4）,E（6,0）,

（1）若以A,B,C,歹為頂點的四邊形是平行四邊形，則點尸的坐標(biāo)為

（2）尸、。分別是直線＞=2犬和丫=-彳上的點，若以A,8,尸、。為頂點的四邊形是平行四邊形，則點P

的坐標(biāo)為

（3）若直線/經(jīng)過點M（2,3）,且將多邊形。ABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線/的函數(shù)表達(dá)式為

7.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)矩形A0BC的頂點A、B分別在云軸、了軸的正半軸上，點C的坐標(biāo)為（8,6）,

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⑴求直線AB的表達(dá)式：

（2）點E在x軸上，連接的.點。、F、G分別是A3、BE、AE的中點，連接。G、FD、FG.若DFG

是等腰三角形，求點E的坐標(biāo).

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊8C落在無軸上，點B的坐標(biāo)為（T,。），AB=3,BC=6,

邊AD與＞軸交于點E.

⑴直接寫出點A,C,。的坐標(biāo)；

⑵在x軸上取點歹（3,0）,直線丫=履+6（左H0）經(jīng)過點E,與x軸交于點M，連接跖.

①當(dāng)NMEF=15。時，求直線＞=辰+6（%*0）的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形ABCD的邊所在直線相切時，求點M的坐標(biāo).

2

9.如圖，矩形。4BC的頂點A、C分別在x、＞軸的正半軸上，點8的坐標(biāo)為（6,8）,一次函數(shù)y=—x+b

的圖像與邊OC、分別交于點。、E,并且滿足=，點M是線段DE上的一個動點.

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（1）求得人=—;

⑵連接31,若△OO0的面積與四邊形。4EM的面積之比為1:5,求點M的坐標(biāo)；

⑶設(shè)點N是x軸上方平面內(nèi)的一點，以A、M、E、N為頂點的四邊形為菱形時，請求出點N的坐標(biāo).

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABIx軸，垂足為A,80軸，垂足為C,已知A（a,0）,C（0,c）,

其中。，c滿足關(guān)系式g-6）2+赤工？=。，點尸從0點出發(fā)沿折線Q4-AB-BC的方向運(yùn)動到點C停止，

運(yùn)動的速度為每秒2個單位長度，設(shè)點尸的運(yùn)動時間為/秒.

⑴當(dāng)點尸在。4上運(yùn)動時，若點P到A3的距離為2個單位長度，求/的值；

（2）在點尸的運(yùn)動過程中，用含f的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)點P在線段上運(yùn)動時，射線AO上一點E（不與0重合），射線0C上一點/（不與C重合），

連接尸E,PF,使得/EPF=70°,求NPE4與/PPC的數(shù)量關(guān)系.

11.如圖，在VABC中，AC=3,AB=4,BC=5,尸為8c邊上一動點，「6,4。于點6,尸〃，于

點H.

⑴求證：四邊形AGPH是矩形；

⑵在點尸的運(yùn)動過程中，G8的長是否存在最小值?若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

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(3)如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，2C和x軸重合，點C和坐標(biāo)原點重合，若四邊形ABCD是平行四邊形，

直接寫出點。的坐標(biāo).

12.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。4BC的邊與x軸正半軸重合，點2的坐標(biāo)為(。，b),且滿足

X-4A/3)2+|6-4|=0,AC與08相交于點。，E為Q4的中點，點尸為線段上的一點，連接PE,點

A關(guān)于直線尸E的對稱點為點A,連接。V.

(1)請直接寫出點8的坐標(biāo)，并求出直線AC的解析式；

(2)求線段C4'長度的取值范圍；

⑶若直線AC與y=x相交于點。，在x軸負(fù)半軸有一動點”(加，0),在y軸正半軸上有一動點N(0,〃)，

分別連接M。，NQ,且/MQN=90°,請求出機(jī)與“之間的函數(shù)關(guān)系式.

13.如圖，矩形。40C的頂點。在原點上，點A在x軸的負(fù)半軸上，點C在，軸的正半軸上，直線AC的

解析式為y=2X+4.

⑴求點A,B,C的坐標(biāo).

⑵連接08交AC于點。,P是了軸上一動點，求△聲)尸周長的最小值.

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（3）若橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫作格點.現(xiàn)將直線AC向上平移機(jī)（m>0）個單位長度后記為直線/,

當(dāng)直線/與坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域中（不含邊界）有且只有四個格點時，請直接寫出〃，的取值范圍.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC為矩形，A（a,O）,C（O,c）,且J10-a+（c-8,=0.點E從8點

出發(fā)沿BC運(yùn)動，點廠從8點出發(fā)沿54運(yùn)動，點G從。點出發(fā)沿OC運(yùn)動.

（1）如圖1,將AOF沿O/折疊，點A恰好落在點E處，則E點的坐標(biāo)為一，尸點的坐標(biāo)為一；

⑵如圖2,若E,尸兩點以相同的速度同時出發(fā)運(yùn)動，使NEOE=45°,求OC+CE的值；

⑶如圖3,已知點。為4。的中點，若F,G兩點以相同的速度同時出發(fā)運(yùn)動，連接bG，作AN,歹G于

H,直接寫出￡>7/的最大值.

15.如圖1,將矩形ABOC放置于第一象限，使其頂點。位于原點，且點2,C分別位于x軸，y軸上.若

（1）求點A的坐標(biāo)；

⑵取AC中點M，連接MO,△000與關(guān)于所在直線對稱，連接AN并延長，交x軸于點尸.

①求AP的長；

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②如圖2,點。位于線段AC上,且CD=8.點E為平面內(nèi)一動點，滿足DELOE,連PE.請你求出線

段PE長度的最大值.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，過點4(8,6)分別作x軸、y軸的平行線，交V軸于點8，交x軸

于點C,點P是從點8出發(fā)，沿3fAfC以2個單位長度/秒的速度向終點C運(yùn)動的一個動點，運(yùn)動時

間為/(秒).

為

B-------------|力

~OCx

(1)直接寫出點8和點C的坐標(biāo)B(,)、C()；

(2)當(dāng)點尸運(yùn)動時，用含r的式子表示線段AP的長，并寫出r的取值范圍；

⑶點。(2,0),連接PnAZ),在(2)條件下是否存在這樣的/值，使四邊形的℃，若存在，請求

O

出/值，若不存在，請說明理由.

參考答案

1.(1)(-3,0),(-3,2)

(2)a=3,b=9

⑶t=6

【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象的平移，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，函數(shù)解析式的確定等，理解題意，

根據(jù)題意作出相應(yīng)圖象求解是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)8的坐標(biāo)即可求得A的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象可知：當(dāng)t=7時，直線經(jīng)過點￡＞，將平移7

個單位后得到y(tǒng)=x+3，令y=0,即可得出。的坐標(biāo)，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)，即可求解.

(2)先求得M的坐標(biāo)為(4,0),則40=3,即可得出。=3,當(dāng)直線"N經(jīng)過點C時，直線交了軸于

點尸,進(jìn)而求得平移后的直線"N的解析式為＞=x+5，得出點尸的坐標(biāo)為(-5,0),即可得出匕=9

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（3）過點8作BG〃MN,過點8作3G〃MN.得直線MN的解析式為>=》+1,進(jìn)而求得BG=f-5,根

據(jù)s=sBEFG+SAABG=4,即可求解.

【詳解】（1）解：?.?點8坐標(biāo)為（1,2）,四邊形ABCD是矩形，AD邊在x軸上，

ABLAD,則A（1,O）,

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)。=7時，直線經(jīng)過點。，

沿x軸的負(fù)方向平移7個單位后與矩形ABC。相交于點。,

?.?y=x-4沿?zé)o軸的負(fù)方向平移7個單位后直線的解析式是：y=x-4+7=x+3,

.,.當(dāng)y=0時，x=-3,

.??點O的坐標(biāo)為（—3,0）.

,/CD=AB=2,

.,.C（-3,2）；

故答案為:（-3,0）,（-3,2）.

（2）解：令、=尤-4=0得：%-4=0,

解得：x=4,

.??點/的坐標(biāo)為（4,0）.

???點A的坐標(biāo)為（1,0）.

：.AM=3,

當(dāng)直線MN經(jīng)過點A時，。=3;

如圖所示，當(dāng)直線MN經(jīng)過點C時，直線MN交x軸于點尸.

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???點。的坐標(biāo)為(—3,0),點C的坐標(biāo)為(—3,2).

設(shè)平移后的的解析式為y=x+d,

將(—3,2)代入得：—3+4=2,解得1=5.

.??平移后的直線的解析式為y=x+5.

當(dāng)y=。時，得x+5=0,解得x=-5.

???點廠的坐標(biāo)為(一5,0).

.”=4-(-5)=9；

(3)：矩形ABC。的面積=AB-AD=4x2=8;

當(dāng)直線MN掃過矩形ABCD部分的面積為4時，5Mt<7,

將點8的坐標(biāo)代入得：l+c=2,

C=1,

???直線MN的解析式為y=x+l.

將y=。代入得：x+l=0,解得x=—l,

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.,.點G的坐標(biāo)為（—1,0）.

FG=t-5,

4=SBEFC+SAABC=2(?-5)+—x2x2=2f-8;

即2-8=4,

解得：f=6.

2-⑴％=1%+|

⑵(2,1)或(1,2)

111

(3)①a的取值范圍為0＜。4彳或一;@a=-

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；

(2)分為AD=2,AB=4或AD=4,AB=2設(shè)點。的坐標(biāo)為,表示點8的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)

求出x的值，即可解題；

（3XD先得到點A和C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得到頂點坐標(biāo)為一丁,——-——，然后分為a>0

和。<0兩種情況列不等式組解題即可;

②根據(jù)函數(shù)的增減性求出最大值和最小值，根據(jù)題意列方程求出。的值即可.

【詳解】（1）解：一次函數(shù)弘=丘+》經(jīng)過點A（-U）和點C（3,3）,

j_

-k+b=l2

3左+6=3,解得：’

3,

2

（2）解：①如圖，當(dāng)AT>=2,A8=4時，

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設(shè)點。的坐標(biāo)為（X，：），則點8的坐標(biāo)為、+4,3-2

/.（x+4）^—-2^j=6.

解得：占=2,無2=-6（不合題意，舍去）.

二點。的坐標(biāo)為（2,3），點2的坐標(biāo)為（6,1）.

矩形ABCD的兩條邊的長分別為2和4,

，點A的坐標(biāo)為（2,1），點C的坐標(biāo)為（6,3）,

，矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)A的坐標(biāo)為（2,1）；

②如圖當(dāng)AD=4,筋=2時，

設(shè)點。的坐標(biāo)為（x,,則點8的坐標(biāo)為1+2怖-4

.1（工+2）（￡-4）=6.

解得：為=1,%=-3（不合題意，舍去）.

二點。的坐標(biāo)為（1,6），點2的坐標(biāo)為（3,2）.

矩形A8CD的兩條邊的長分別為2和4,

二點A的坐標(biāo)為（1,2），點C的坐標(biāo)為（3,6）,

，矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)A的坐標(biāo)為（1,2）;

綜上，矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)為（2,1）或（1,2）.

（3）解：①?5（1,-3）,0（-3,5），且回〃），軸，

.■,A（l,5）,C（-3,-3）,

將A和C代入%=方？+bx+c得，

第19頁共62頁

a+b+c=5\b=2a+2

9a-3b+c=-3'解得jc=3-3a

_y3=辦2+2（。+1）尤+3—3。

，頂點坐標(biāo)為

當(dāng)。＞0時，如圖,

當(dāng)。＜0時,如圖,

11

綜上，。的取值范圍為。<。4萬或-1Va<o.

2a+a

②由①知y3=ax+2（a+l）x+3-3a!=a（無+<+]+~^--

Q>0,

Q+1a—1

?,-------<------,

a2a

當(dāng)■時，K最小~->1+2（<?+l）----+3-3a,

2aI2aJ2a

當(dāng)8=^~^時，力最大=-->1+2（fl+l）-――-+3-3A,

2a12aJ2a

力的最大值和最小值的差是3,

第20頁共62頁

(3ct-1)/\3〃—1—/\tz—1

tz-------+2(〃+1)--------F3-3ct—ci-------+2(。+1)--------F3-3ct=3,

\la)2a\2a)la'

解得.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)，理解“友好函數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵.

3,(1)0；加；加；〃；m-n；n

(2)NAEC+NBO尸的值為45°,空的值為自

AE2

⑶2713

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)得到AC=OE=〃,CE=OA=m,NC4O=90°,CE〃OA，得到，

再利用角平分線的定義推出OB=Q4,得到3(。，〃2),再利用平行線的性質(zhì)得到=,得到

D(m-n,n),即可解答；

(2)過點/作Ef/Lx軸于點H,并在切的延長線上截取=4尸,過點M作GMLFM交尸。的延長

線于點G,連接取，由(1)中的結(jié)論證出△。鉆和VBDE都是等腰直角三角形，結(jié)合尸為3。的中點，

可得EFLBD,EF=BF=^BD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出點尸的坐標(biāo)和O歹的長，進(jìn)

而得出點M的坐標(biāo)和直線。尸的解析式，則可得出點G的坐標(biāo)，再通過證明.FGM沿-AEF,得到

ZGFM=ZEAF,即可求解；

(3)以Q4為邊向下作正方形。4G",連接NG、EG,利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求出EG的長，再

通過證明ANGaOM4得到GN=AM,最后利用EN+GNNEG即可求出EN+A”的最小值.

【詳解】(1)解：A(m,0),E(0,n),

:.OA=m,OE=n,

四邊形Q4CE為矩形，

：.AC=OE=n,CE=OA=m,ZC4O=90°,CE〃OA,

AB平分/C4O,

第21頁共62頁

ZBAO=-ZCAO=45°,

2

又QNAQ3=90。,

:.ZOBA=90°-ZBAO=45°,

.\ZOBA=ZBAO,

/.OB=OA=m,

,BE=OB—OE=m—n,

QCE〃OA,

,\ZBDE=ZBAO=45°,

/.ZOBA=ZBDE,

:.DE—BE—m—n,

二,

二綜上所述，B（O,m）,C（m,ri）,D（m-n,n）.

故答案為：0;機(jī)；機(jī)；〃；m-n；n.

（2）解：如圖，過點/作切，x軸于點4，并在切的延長線上截取FN=AF，過點/作GM,引0交

尸。的延長線于點G，連接所，

由（1）得，DE=BE,OA=OB,

QCE//OA,

第22頁共62頁

.\ZBED=ZBOA=90°,ZOAE=ZAEC,

.?.△Q4B和班。都是等腰直角三角形，

AB=V2OA=y[2m,BD=EBE=五(m-9,

尸為的中點，

<Q

:.EF±BD,EF=BF=-BD=—(m-n),

J?

：.ZEFA=90°,AF=AB-BF=^-{m+n),

軸，

,\ZFHA=90°,FHy軸,

,\ZHFA=ZOBA=45°,ZGFM=ZBOF,

.\ZHFA=ZOAB=45°,

.，加五是等腰直角三角形，

AFm+n

...FH=AH=

V2-2

m+nm—n

:.OH=OA-AH=m-

22

m-nm+nd2mz+2/

:.F,OF=^OH2+FH2=

222

又FM=AF,

m-n1-0

(加+〃),

I22

J

GM±FM,

:.ZM=90°,GM〃X軸，

I-A/2

「?點G的縱坐標(biāo)與點M的縱坐標(biāo)相同，為m+n),

2

設(shè)直線0月的解析式為丁=丘，

m-nm+nm-n.m+n

代入尸，得--------k=--------

2222

第23頁共62頁

即07m+n

解得：k=-------

m-n

，直線。尸的解析式為》=——X,

m-n

令v=lz^W+”)，貝ijlz^l(〃z+”)=3

2V72V7m-n

解得：x=lf(m—叫,

:.G

\7

.\GM=EF,

在dFGM和zXAEF中，

GM=EF

<ZM=ZEFAj

FM=AF

.\FGM^AEF(SAS),

/.ZGFM=ZEAF,

,\ZBOF=ZEAF,

ZAEC+ZBOF=NOAE+NEAF=NOAB=45。,

OA=m,OE=n,

AE=yjo^+OE2=yjnr+n2,

.OF_27_,

'AE冊?+-2

.??綜上所述，NAEC+/3OP的值為45°,空的值為變.

AE2

(3)解：如圖，以04為邊向下作正方形OAG”,連接NG、EG,

第24頁共62頁

:.EH=OE+OH=2+4=6,ZGAN=ZAOM=90°,

二.在Rt△石"G中，EG=^EH2+HG1=V62+42=2713,

由題意得，AN=OM,

在ANG和OM4中，

'AN=OM

</GAN=ZAOM

J

AG=OA

:.,ANG^OMA（SAS）,

:.GN=AM,

:.EN+AM=EN+GN>EG,

.-.EN+AM>2^/13,

.?.加+4〃的最小值為2而.

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求函

數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、勾股定理與最短路徑問題，熟練掌握相關(guān)知識點，學(xué)會結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o

助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.本題屬于函數(shù)與幾何綜合題，需要較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合和推理論證能力，

適合有能力解決難題的學(xué)生.

4.⑴45°;3

第25頁共62頁

⑶存在，點尸的坐標(biāo)為］。,”一：13］或(0=后)

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)、一元二次方程，熟練掌握以上知識點，結(jié)合

圖形找到相似三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)通過證明3cp和A組是等腰直角三角形，即可解答；

Ap1

(2)先證明_AFE^OPE,利用相似三角形的面積比是相似比的平方，可得"事=”,再證明

On.2

△BCPs^BAE，得到CP三B=C/，代入數(shù)據(jù)求出CP的長，即可求出f的值；

AEBA

33

(3)由(2)得△BCPs^BAE,可得短=不，，OE=2+-t,根據(jù)以P、0、石為頂點的三角形與相

似且NPO石=NB4E=90。，需要分4種情況①點尸在線段CO上，且OPE^ABE②點尸在線段CO上，

且OEPsABE;③點尸在CO延長線上，且OPEs二ABE；④點P在C。延長線上，且OEP^ABE;

分別利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程，求出，的值即可得到點P的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：由題意得,當(dāng)U2時，CP=2,

在矩形6HBe中,BC=OA=2,AB=OC=3,ZBAO=ZABC=ZBCO=90°,

.\BC=CP=2,

BC尸是等腰直角三角形，

:.ZCBP=45°,

ZABP=ZABC-ZCBP=45°,

BELPB,

:.ZPBE=90°,

ZABE=ZPBE-ZABP=45°,

又440=90。，

第26頁共62頁

ZAEB=ZBAO-ZABE=45°,

,\ZAEB=ZABE,

.\AE=AB=3.

故答案為：45。；3.

(2)解：QAF//OP,

ATES.OPE,

.S./A盯」

"S0PEVOE)4'

AE1

---二—，即OE=2AE,

OE2

又OE=OA+AE,

：.AE=OA=2,

由(1)得，ZABC=ZPBE=9Q0,

ZCBP+ZPBA=ZABE+ZPBA,

:.ZCBP=ZABE,

又ZBCP=ZBAE=90°

:.BCPsBAE,

CPBCCP2

—=——即nn一=-

AEBA523

4

解得:CP=-,

4

*,.t=-

3

4

???運(yùn)動時間/的值為1.

(3)解：存在,

由題意得，CP=t,

第27頁共62頁

由（2）得，ABCP^ABAE,

，￡=生，即上二，

AEBAAE3

3

/.AE=-t,

2

3

:.OE=OA+AE=2+-t,

2

以尸、。、E為頂點的三角形與AB石相似，且NR9￡=NR4石=90。，

，下面分4種情況討論：

①當(dāng)點P在線段CO上，且OPE^ABE,

.OPOE3-tz2+—2t

此Ll時罰=而，即an亍

2

整理得：r=一4,無實數(shù)解，舍去；

②當(dāng)點尸在線段CO上，且OEPsABE,

解得：4+2舊，小土件1（負(fù)值舍去）

33

132

,■,Op=3-f=-^,

3

③當(dāng)點尸在CO延長線上，fiOPE^ABE,

第28頁共62頁

2

解得：％=3+\/13,f2=3-V13（負(fù)值舍去）,

:.OP=t-3=y/13,

.”（0,-反）；

④當(dāng)點尸在CO延長線上，且OEP^.,ABE,

3

,,_,OEOP2+Z

Qn2￡-3

此時法二族,即工~T~

一t

2

整理得：產(chǎn)=-4,無實數(shù)解，舍去；

二綜上所述，點P的坐標(biāo)為［，生|巫］或（。，-而）.

5.⑴（2曲,-2）

⑵2四+2扃

3

（3）N。4P=15?；?0。

【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和4c=30。得到49=4百，/C4B=60。,再由折疊的性質(zhì)AD=4,

4X0=30。，過點。作AO于歹，可求得DF、AF,進(jìn)而可求得點D坐標(biāo)；

（2）過點E作EGLAC并延長交8C于點H,連接N",交AC于點M,利用全等三角形的判定與性質(zhì)

得到點E與點H關(guān)于AC對稱，由將軍飲馬模型可知：此時EMN的周長最小.最小值為NH+NE;利用

直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得EN,NH即可得出結(jié)論；

第29頁共62頁

(3)利用分類討論的思想方法解答：當(dāng)點尸在點。的下方時，①CP=CQ時，利用等腰三角形的性質(zhì)和

直角三角形的性質(zhì)解答即可；②CQ=PQ時，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；存在

PC=P。的情形；當(dāng)點尸在點。的上方時，此種情況不存在；當(dāng)點尸在點C的上方時，同樣也不存在一CP。

為等腰三角形.

【詳解】(1)解：四邊形49。是矩形，點C(0,4),

/.OC=AB=4,

ZOAC=30°,

/.AC=2CO=8,AO=y/3CO=4y/3,ZCAB=60°,

長方形Q4BC沿AC折疊，使得點8落在點。處，

.-.AD=AB=4,ZC4D=60°,

:.ZDAO=30°,

如圖1,過點。作。尸，49于F,

圖1

1LL

-DF=-AD=2,AF=6DF=26,

:.OF=AO-AF=273,

二點。坐標(biāo)(26,-2);

(2)在直線AC上存在點M,使得一的周長最小.

過點E作EGLAC并延長交于點H,連接NW,交AC于點M，如圖2,

第30頁共62頁

將長方形。鉆。沿AC折疊，使得點6落在點。處,

圖2

:.ZDCA=ZBCA,

在4CGE和一CGH中，

NDCA=NBCA

<CG=CG

ZCGE=ZCGH=907

:.^CGE^CGH（ASA）,

:.CE=CH,EG=HG,

???點七與點”關(guān)于AC對稱，

???此時的周長最小.最小值為NH+NE.

點N為0C的中點，

..ON=CN=-OC=2,

2

ZOAC=30°,AO//BC

二ZACB=30°

折疊，

??.ZACD=30°

/.ZOCE=90°-30°-30°=30°

/.OE=-CE,

2，

在RtOCE中，OE2+OC?=CE?,

第31頁共62頁

OE2+OC2=40爐，

oc=MOE

OE=—OC=^~,CE=2OE=—

333

2V21

NE=^JON2+OE2=

3

CH=CE~

7

NH=^CH2+CN2=

EMN的周長最小值為2屈+2叵；

3

(3)存在點尸使得為等腰三角形，

ZACB=ZACD=30°,

:.ZOCE=30°,

①若CP=CQ，如圖3,