人教A版數(shù)學(xué)一數(shù)列專題二

知識點一等差數(shù)列通項公式的基本量計算，等比數(shù)列通項公式的基本量計算，錯位相減

法求和，

分組（并項）法求和

典例1、已知等差數(shù)列｛q｝各項均不為零，s”為其前〃項和，點甩+1，邑在函數(shù)

/（X）=（X-的圖像上.

（1）求也｝的通項公式；

（2）若數(shù)列色｝滿足么=含,求也｝的前〃項和小

（3）若數(shù)列匕｝滿足%=（-1尸不^,求上｝的前〃項和的最大值、最小值.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足:S—（T）",兒.1.

（1）求數(shù)列｛?“｝的前3項4M2，%;

2

（2）求證：數(shù)列上是等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列｛（6〃-3）乜,｝的前〃項和

典例2、己知數(shù)列乩｝中，4=4,。2=10，q.2=4q+1-3%.

（1）證明：數(shù)列｛--總和數(shù)列｛-—34｝都為等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（3）求數(shù)列的前〃項和S“.

隨堂練習(xí)：在數(shù)列｛q｝中，4=1，。川=[1+,）可+

（1）設(shè)〃,求證：%-4=￡;

（2）求數(shù)列低｝的通項公式;

（3）求數(shù)列｛6｝的前〃項和S“.

典例3、己知等差數(shù)列｛同｝的公差1/0,它的前.〃項和為"，若$5:70,且《，小,叼成

等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）｛q｝中的第2項，第4項，第8項，…，第2”項，按原來的順序排成一個新數(shù)列也｝,

求低｝的前〃項和紇.

1q

（3）已知數(shù)列匕,｝,不，若數(shù)列￡｝的前〃項和為7；,求證：^<7；,<1.

%6o

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列｛q｝的前F項和S“=3”-l,其中〃eN'.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若數(shù)列例｝滿足4=1,〃=說|+?（〃之2）,求數(shù)列低｝的前〃項和，；

（3）若存在〃eN「使得a”《〃（〃+l）4成立，求實數(shù)彳的最小值.

典例5、已知數(shù)列伍”）的前〃項和為S“,S,,=黃一生,〃eN*,且％=1.數(shù)列也｝為等比數(shù)列,

U=%-4也=%+1.

（1）求｛凡｝和色｝的通項公式；

（2）設(shè)c*5,〃w*,數(shù)列￡｝的前〃項和為7；,求1的最小值.

隨堂練習(xí)：已知正項數(shù)列｛%｝滿足卮五-內(nèi)瓦=2々川，且q二%=1,設(shè)"=

（1）求證：數(shù)列出｝為等比數(shù)列并求｛%｝的通項公式;

2

（2）設(shè)數(shù)列數(shù)｝的前〃項和為S”,求數(shù)列，的前〃項和Pn.

典例6、已知數(shù)列｛%｝的前八項和S“滿足區(qū)=6,2S”=〃+9,〃sN*.

（1）求｛叫的通項公式；

2

（2）數(shù)列出｝,｛%｝,⑷滿足％=景—…:短片也,且4=號,求數(shù)列｛4｝

（q+IJ-1n-2

的前〃項和J

隨堂練習(xí)：己知數(shù)列｛4｝M=1,前〃項和為工，對任意的正整數(shù)/?,都有2s+恒

成立.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）已知關(guān)于〃的不等式~--—1…，一＜-^=〒對一切〃之3,〃￡N*恒成立，求實數(shù)

。34anV2/7+1

a的取值范圍；

（1Y2

（3）已知C=,數(shù)列｛。｝的前〃項和為試比較。與?的大小并證明.

l+a.3

人教A版數(shù)學(xué)一數(shù)列專題二答案

典例1、答案：()ci,=2n-\(2)[=3-招(3)最大值為:最小值為爭

解:⑴因為點應(yīng)+L為Q在函數(shù)/。)=(工-1)2的圖像上,所以522=(4+1-1)2=q2,

又?jǐn)?shù)列上｝是等差數(shù)列，所以$22=筆2K(2〃-1)=蜉x(2〃-1),

即S2“T=(2〃-1)4，所以％2=(2〃-1)勺，

q產(chǎn)0，「"=2〃-1；

(2)解法1：.=當(dāng)二=-y+2=黑一號+擊,

...7>0_4+44+...+/_々+23二_4+3-3二3-空

〃3。3。q3"23〃一]—13"-3"-3"一

...,、1?52〃—32/7—1l、

角/IT牛法2:/“=9+9+至+?“+3丁+〒T，①

nJ。v。

①-②得)=1+嗎+?+/+...+擊)一竽=2一擊一竽，,?.方=3

⑶品=1尸F(xiàn)=1尸…尸—）

記｛%｝的前〃項和為M，

則WC+C3+...+%=（出）—（*）++；）+...+（一1尸（七

+2〃+1）

=1+(—1嚴(yán)-----,

2〃+1

當(dāng)〃為奇數(shù)時此=1+丁=隨著，的增大而減小，可得1＜叱《：,

當(dāng)〃為偶數(shù)時此=1-備隨著〃的增大而增大，可得《工也＜1,

所以%的最大值為4最小值為孩4.

JJ

隨堂練習(xí)：答案：(1)4=1?=。，%=2；(2)證明見解析；(3)

_13+(2〃-3)2-2〃,〃為偶數(shù)

”=13+(2〃—3)x2"+2〃,〃為奇數(shù)，

解：(1)當(dāng)〃=1時，有：￥=4=%+(-1)=>4=1；

2

當(dāng)〃=2時，有：5,=?1+a2=2a2+(-1)=>?2=0；

當(dāng)〃=3時，有：&=4+/+%=2%+(-1)'=%=2；

綜上可知4=1,生=。，。3=2；

(2)由已知得：-N2時,q=3-3_尸2勺+(-1)。一2%_「(-1)"\

化簡得:勺=2—+2(-1產(chǎn)

上式可化為：產(chǎn)京T)”=2k*+；(-l尸]

791

故數(shù)列｛q+；(-?｝是以4+永-『=：為首項，公比為2的等比數(shù)列.

7112

(3)由(2)知4+可(-1)"=QX2"T,A^=-X2H-,--X(-1)\

JJJJ

當(dāng)〃為偶數(shù)時，丁產(chǎn)

[lx20+3x2'++(2〃-l)x2”-1-2[-1+3-5+…-(2〃-3)+(2〃-1)]

令A(yù),=lx2°+3x)++(2〃-1)X2"T,B?=2[-l+3-5+一(2〃-3)+(2〃一川

4=1x204-3x21+5X22++(2〃-3)X2A2+(2〃-1)X2"T①

24=1X2'+3X22++(2〃-3)X2"T+(2〃-1)X2”②

則①-②得一4=20+2X2、2X22+2X2”T-(2〃-1)X2"

=1+2(3+22+21)—(2〃—1)X2"=I+2X2(：：)_(2〃_1)X2"=-3+(3-2/;)X2〃,

A=3+(2〃-3)x2"r紇=2]一1+3-5+…一(2〃-3)+(2〃-l)]=2x〃=2〃,

所以1=4-紇=3+(2〃-3)x2"-2〃.

當(dāng)〃為奇數(shù)時,4=3+(2〃-3)X2〃，

3“=2[-1+3-5+(2/1-5)+(2/7-3)-(2/1-1)]=2x2-2//+I=-2n,

所以T?=A,-Br,=3+(2〃-3卜2"+2〃.

冰上，“=[3+（2〃-3）x2"+2〃,〃為奇數(shù).

典例2、答案：（1）證明見解析.（2）4=3〃+1（3），=（2〃-1）弋2〃2+2〃+3

4

解：（1）由q+2=4。,用一3《得4,+2一4+1=3?用一初“=3（4向一凡），

所以數(shù)列｛〃「〃”｝是首項為%-4=6,公比為3的等比數(shù)列，

所以〃,川-%=6x3'“=2x3、

由%+2=4〃向-3%-an+2-3an+l=an+t-3%,

所以數(shù)列匕川-3q｝是首項為4-3卬=-2,公比為1的等比數(shù)列.

（2）由（1）得4,“一%=6X3"T=2X3",

則見一%=2x3〃T(心2),所以4=q+(%-q)+(%-%)+…+(%-%)

=4+2X(3I+32+<><+3W-|)=4+2X3X^"^=3"+1,

4=4也符合上式，所以勺=3"+1.

(3)〃〃“=〃(3"+1)=〃.3"+〃，

23

令9=1x31+2x32++〃x3",37；f=lx3+2x34-+〃x3向，

兩式相減得—2,=31+3?++3"ix3M=乂匕2一〃x3向=(L-〃]X3向一？,

1-3U)2

(2n-l)x3"+,+3

所以7；=

4

u匚z0,人,\(2〃-l)x3"”+3+(2〃-l)x3"”+2，/+2〃+3

所以S“=1+(l+2++n)=---------------------+12=---------——J----------------

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）2=2-擊；（3）3=〃2+〃+4一（〃+2）（《

5/Y、一乃/,L—r0|,1|w+l77+1H+\4”

解：（1）由條件可知：凡“=1+—M+▼，?."“+產(chǎn)——4+k，

\nJ2n2n+\n

,?〃,=￡'?'也八一勿=*；

（2）由第（1）問可知，n.

當(dāng)〃=1時，，b2-/?,=y,當(dāng)〃=2時，&一仇=5，當(dāng)〃=3時，d一”=盤,

當(dāng)〃=〃-1時，擊，

1

1-

122

以上各式相加，得〃,+廣二一

！42

x//-I1

4=1,=1,：.b=2-

，偽斗it即4=2

（3）由第（1）、（2）問知，02=2-擊，則q=2〃一n

設(shè)數(shù)列｛c〃｝的通項公式C“=/2X，前〃項和為

.孕=lx田+2x(3+3x(9+…+"X

5,

兩式相減,12,

口-nx

2

\n-\/[、"-1

T唱=4一(〃+2)匕，

二數(shù)列｛凡｝的前〃項和

S=2x(l+2+3++〃)f=2x”"；l)+〃―44H--〃-十--2

n2"

典例3、答案：（）1〃“=4/2（〃eN）（2）2”+3+2〃-8（3）證明見解析.

解：（1）解：因為數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列，所以q,=4+（〃-l）d,s.=叫+若」

⑸=70,5q+10d=70,

依題意，有\(zhòng),即/。\2/皿、解得4=6,4=4.

所以數(shù)列｛6｝的通項公式為4=4〃+2(〃eN).

(2)由題意：或=%=4?2"+2=2?2+2,

紇=4+a+A+-+a=(23+2、25+―+2”+2)+2〃=2〃=2*3+2〃—8

（3）證明：由m可得S“=2〃2+4〃.所以q=彳匕=五&=；（：-總）,

L+d+J=l(i-l)+l(l-I)+l(l-l)++i(J---L"(L_L_)

S\S2S.S“TS“434244354〃-]”+】4〃〃+2

--q=3_if_L+o

412〃+lw+2j84^+1n+2)'

囚為J9TW+擊卜°，所以7

因為*-4=4匕-白卜0,所以數(shù)列億｝是遞增數(shù)列.

所以(的二.所以黃小|.

ooX

隨堂練習(xí)：答案：(1)G”=2.3"T(2)7>(〃-1)-3"+1(3)I

解：(1)當(dāng)〃=1時，q=5=2,

當(dāng)〃22時，S.=3TS.T=3"T-1,兩式相減并化簡得%=2.3”T(讓2),

當(dāng)〃=1時，上式也符合，所以％=2?3M.

(2)數(shù)列也｝滿足4=1,〃=3%+%=3%+2?3"(心2),

則區(qū)=2+2l_^L=Z(n>2),

八43〃3”-33n3〃T3、)

所以數(shù)列出]是首項為亭=]公差為W的等差數(shù)列，所以與

所以包=；〃?3"-3一，

設(shè)數(shù)列￡卜滿足q產(chǎn)〃守，且前〃項和為M.，

M“=l3+2?32+?+〃.3”,3%=1?32+23+.?+小3"，

兩式相減得-2/%=3+32++3”_〃?3e=3(1-3")_〃3，川=(1—2〃),3”+「3,

1-32

所以此=—+3=2.3叫2.

“444

設(shè)數(shù)列⑷滿足4=3向，則⑷的前〃項和N”=仁='：3〃-g,

1—3222

所以=竽-3川+￡|-七3”-￡]=5-1).3"+1.

(3)依題意,存在〃wN",使得4,W〃(〃+l)2成立,

2則只需求各的最小值。

2.3"T?〃(〃+1)//1之/、

/?(//+1)

232-3--a3_________1

(〃+1)(〃+2)n(n+1)(〃+1)(〃+2)n(/z+l)

4____3__口=2?3小4/?(〃+2)_3〃(〃+1)-(〃+1)(〃+2)

n+\〃+2n〃(〃+1)(〃+2)

23"?

當(dāng)〃印或〃“時，麗而取得最小值為說5所以2的最小值為L

典例4、答案：（1）〃”=〃（2）證明見解析

解：（1）由已知，時，2sliq“，

與己知條件作差得：％=（"+】）“人所以

所以"…?！?*沙=〃（"22）,n=l成立

…，111(111

（2）證明:因為包=----=/-=7---------F，

%氏+2〃(〃+2)2(〃n+2)

III11III1

所。-+------+-------++---------------+-----------

32435Z2-1〃+1n〃+2

3〃2+5〃

隨堂練習(xí)：答案：（1）〃“=5〃-4,（〃eN?）；(2)

1005+1)5+2)

an_5/7-4q_1a2_6_11%二5/L9

解:(1)=—,=,=

a6a11a16a5n-4'

?n+i1+5〃2yxn

a.16II5〃一91

."xax2xn‘4=5”4；

,?4%4an~6II165/2-4-5w-4

當(dāng)〃=1時，q=l滿足上式，所以4=5〃-4,（〃wN）

、,、一,…111f1\\

⑵由(1)可得“-4+4)(q+14)-5〃x(5〃+⑼一%《一'

=_L(C]=33

5012n+1n+2)100(〃+1)(〃+2)，

典例5、答案：(1)q,=KF，〃GN‘；2=2"，〃WN；(2)7；=|,

解：(1)S”=^^a"，4=l.

當(dāng)“N2時，4=S”-S”T“一怨&T，為'=岑(〃22),

33n-\

即e"%"2%12n-2n-\2'

上式對〃=1也成立，則q=如展

-｝為公比設(shè)為0的等比數(shù)列,力產(chǎn)…,%=%+1.

可得4=6-4=2,b,=15+1=16,則g=y,即^=2,.?也=2",〃eN";

nb2/1+22向

為“5+1)(〃+2)〃+2〃+1'

,3,2,403

刖〃項和為5=q------+-------+…H---------------=------―2,

3243〃+2〃+1n+2

2二>0,即加>(,可得，遞增，則。的最小值為

(“+2)(〃+3)3

1,〃=12

隨堂練習(xí)：答案：（1）生=222M2⑵么2-不『

1X3X7X..X(2-'-1),/7>2z-1

所以加二芯匚

解:（1）因為"=

7^7+血，

因為向高一向N=，所以瘋五=2&川+M+&，

所以今師（歷+阮）。川+7^74川+”4XJ且

2?川+2,凡4川2’

h_虱,

，=^^=2,

所以數(shù)列｛2｝是以3為公比，g為首項的等比數(shù)列，即我=

/1、,可得單+1=2"，也=（2”-1）\

a

也4

所以4時，回令……（?？?

即a“=/x32x72xx(2"T-l),而此時〃=1時，=(2|-|-1)=0,

1,/1=1

所以""二卜x32x7x…x(2

(2)由(1)b所以s

nn

所以

S”+[S”

3II

典例6、答案：（1）。叱（〃eN*）；（2）T.=X——7--7

2n+in+2

解：（1）由題意知2sL〃+“，2S“」=〃-1+（〃-1）（，（n>2）

兩式相減得（〃一1）%一（〃一2）4=1,（心2）,故（〃-2”“_2-（〃-3）?i=1,（〃N3）,

兩式相減得2（〃-2）%=（〃-2）4+（〃-2）-（心3）,

即24T=4+-6N3），可知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，

又$3=6,則4+.+又=3%=6,解得電=2,

又因為2s?=l+q,所以q=l,等差數(shù)列｛q｝的公差d=%-4=1，故N*）.

⑵由題易知，,,=胸”,（在2）,又因為“蕭1r監(jiān)告"翳,

所以旦=貼注。"=殺?內(nèi)?31.早去=當(dāng)?，（〃22）

cn_｝1-32-43-5〃（〃+2）n+2

由累乘法可得：,2=幺粵，（H>2）

q4c25%〃+2

c3.2"T、4on+l