物理群論試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.群的定義中不包含以下哪個性質(zhì)？A.封閉性B.交換性C.結(jié)合律D.存在單位元答案：B2.一個群中單位元有幾個？A.1個B.2個C.多個D.不確定答案：A3.下列哪個集合對于普通乘法構(gòu)成群？A.全體整數(shù)B.全體正整數(shù)C.全體非零實數(shù)D.全體偶數(shù)答案：C4.群中元素的逆元（）。A.不一定存在B.唯一C.有多個D.與單位元相同答案：B5.若群\(G\)的階為\(n\)，子群\(H\)的階為\(m\)，則\(m\)與\(n\)的關(guān)系是（）。A.\(m>n\)B.\(m=n\)C.\(m\)整除\(n\)D.無關(guān)系答案：C6.循環(huán)群一定是（）。A.阿貝爾群B.非阿貝爾群C.有限群D.無限群答案：A7.置換群\(S_3\)的階是（）。A.3B.6C.9D.12答案：B8.群\(G\)到自身的一一映射且保持群運(yùn)算的映射稱為（）。A.同態(tài)B.同構(gòu)C.自同構(gòu)D.滿同態(tài)答案：C9.若群\(G\)與群\(H\)同態(tài)，\(G\)的單位元\(e\)對應(yīng)\(H\)中的元素是（）。A.\(H\)的單位元B.任意元素C.零元D.無對應(yīng)元素答案：A10.以下哪種群一定是簡單群？A.素數(shù)階群B.偶數(shù)階群C.奇數(shù)階群D.無限階群答案：A多項選擇題（每題2分，共10題）1.群的基本性質(zhì)包括（）。A.封閉性B.結(jié)合律C.存在單位元D.每個元素有逆元答案：ABCD2.下列集合對于特定運(yùn)算構(gòu)成群的有（）。A.全體有理數(shù)對于加法B.全體非零有理數(shù)對于乘法C.全體整數(shù)對于減法D.全體\(n\)階可逆矩陣對于矩陣乘法答案：ABD3.關(guān)于子群，以下說法正確的是（）。A.子群本身也是群B.群的平凡子群有兩個C.子群的階一定小于群的階D.任意多個子群的交還是子群答案：ABD4.循環(huán)群的生成元（）。A.一定唯一B.可能不唯一C.個數(shù)與群的階有關(guān)D.生成元的冪可以表示群中所有元素答案：BCD5.置換群\(S_n\)的性質(zhì)有（）。A.階為\(n!\)B.包含所有\(zhòng)(n\)元置換C.一定是非阿貝爾群D.有很多重要的子群答案：ABD6.群同態(tài)的性質(zhì)包括（）。A.保持單位元B.保持逆元C.保持運(yùn)算D.一定是一一映射答案：ABC7.以下哪些是判斷一個集合\(G\)對于運(yùn)算\(\circ\)構(gòu)成群的條件（）。A.對任意\(a,b\inG\)，\(a\circb\inG\)B.存在\(e\inG\)，對任意\(a\inG\)，\(a\circe=e\circa=a\)C.對任意\(a\inG\)，存在\(b\inG\)，\(a\circb=b\circa=e\)D.對任意\(a,b,c\inG\)，\((a\circb)\circc=a\circ(b\circc)\)答案：ABCD8.阿貝爾群具有以下哪些特點（）。A.運(yùn)算滿足交換律B.所有子群都是正規(guī)子群C.一定是循環(huán)群D.同階阿貝爾群結(jié)構(gòu)可能不同答案：ABD9.有限群\(G\)的元素\(a\)的階\(m\)與群\(G\)的階\(n\)的關(guān)系是（）。A.\(m\)整除\(n\)B.\(n\)整除\(m\)C.\(m\leqn\)D.\(m\)與\(n\)互質(zhì)答案：AC10.群的陪集性質(zhì)有（）。A.左陪集和右陪集個數(shù)相等B.不同陪集要么相等要么不相交C.陪集元素個數(shù)與子群元素個數(shù)相等D.陪集可以覆蓋整個群答案：ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.任何一個群都至少有兩個子群。（）答案：對2.所有有限群都是循環(huán)群。（）答案：錯3.群同構(gòu)是一種特殊的群同態(tài)。（）答案：對4.置換群\(S_4\)中所有偶置換構(gòu)成\(S_4\)的一個子群。（）答案：對5.若群\(G\)是阿貝爾群，那么\(G\)的所有子群都是正規(guī)子群。（）答案：對6.一個元素的階一定小于群的階。（）答案：錯7.群中單位元的逆元是其本身。（）答案：對8.所有無限群都不是簡單群。（）答案：錯9.若兩個群同態(tài)，那么它們的階一定相等。（）答案：錯10.一個集合對于某種運(yùn)算只要滿足封閉性和結(jié)合律就構(gòu)成群。（）答案：錯簡答題（每題5分，共4題）1.簡述群的定義群是一個集合\(G\)以及定義在\(G\)上的二元運(yùn)算\(\circ\)，滿足封閉性、結(jié)合律、存在單位元、每個元素有逆元這四個性質(zhì)。2.什么是循環(huán)群？若群\(G\)中存在一個元素\(a\)，使得\(G\)中任意元素都能寫成\(a\)的整數(shù)次冪的形式，則\(G\)是循環(huán)群，\(a\)為生成元。3.簡述群同態(tài)與群同構(gòu)的區(qū)別群同態(tài)是保持群運(yùn)算的映射，但不一定是一一映射；群同構(gòu)是雙射的群同態(tài)，不僅保持運(yùn)算，還在元素間建立一一對應(yīng)關(guān)系。4.說明拉格朗日定理內(nèi)容若\(H\)是有限群\(G\)的子群，那么子群\(H\)的階\(m\)整除群\(G\)的階\(n\)，且\(G\)可以分解為\(n/m\)個\(H\)的左（或右）陪集的并。討論題（每題5分，共4題）1.討論群論在物理學(xué)中的應(yīng)用舉例在量子力學(xué)中，群論用于描述對稱性。如旋轉(zhuǎn)群描述原子、分子的對稱性，可確定能級簡并度；晶體結(jié)構(gòu)可用空間群分析，幫助理解晶體的物理性質(zhì)，像導(dǎo)電性、光學(xué)性質(zhì)等與對稱性的關(guān)系。2.探討如何判斷一個給定集合和運(yùn)算是否構(gòu)成群需依次驗證封閉性，即運(yùn)算結(jié)果仍在集合內(nèi)；結(jié)合律，運(yùn)算順序不影響結(jié)果；存在單位元，與集合中元素運(yùn)算不變；每個元素有逆元，與該元素運(yùn)算得單位元。全部滿足則構(gòu)成群。3.分析阿貝爾群在物理問題中的特殊意義阿貝爾群運(yùn)算可交換，在物理中意味著某些操作順序不影響結(jié)果。例如在一些線性疊加問題中，物理量的疊加順序無關(guān)