第頁第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一．指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)1．根式的概念：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。注意：(1)(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）題型一：根式的化簡求值例1：下列運(yùn)算中正確的是（

）A．B．C．D．舉一反三1.式子的計(jì)算結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．化簡________.題型二：指數(shù)冪的運(yùn)算例2：計(jì)算：___．舉一反三1．（多選）下列化簡結(jié)果中正確的有（m、n均為正數(shù)）（

）A． B．C． D．2．計(jì)算：(1)；(2).題型三：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化例3：已知，為正數(shù)，化簡_______．舉一反三1．（

）A．1 B． C． D．2.若，則等于（

）A． B． C． D．題型四：指數(shù)冪的化簡、求值例4：化簡：，并求當(dāng)時(shí)的值.舉一反三已知，則=__________.二指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，叫底數(shù)，函數(shù)定義域是．2．指數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種情況下的圖象和性質(zhì)：圖象性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過定點(diǎn)，即時(shí)（4）在上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)3.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域及值域問題（1）求由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí),可能涉及解指數(shù)不等式(即未知數(shù)在指數(shù)上的不等式),解指數(shù)不等式的基本方法是把不等式兩邊化為同底數(shù)冪的形式,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將冪的形式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式.（2）求由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的值域,一般用換元法即可,但應(yīng)注意中間變量的值域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。4.指數(shù)式的大小比較（1）比較同底不同指數(shù)冪的大小,利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較（2）比較不同底同指數(shù)冪的大小，可利用兩個(gè)不同底指數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行比較.（3）比較既不同底又不同指數(shù)冪的大小，可利用中間量結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.題型一：指數(shù)函數(shù)的概念例5：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且舉一反三若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則指數(shù)函數(shù)的解析式為___．題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像例6：在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能為（

）A．B．C．D．舉一反三如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C．D．題型三：指數(shù)函數(shù)的定義域例7：函數(shù)的定義域?yàn)開__________舉一反三1.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t_________．2．函數(shù)的定義域?yàn)開________.題型四：指數(shù)函數(shù)的值域例8：函數(shù)的值域?yàn)開________________.舉一反三函數(shù)且的值域是，則實(shí)數(shù)____.題型五：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例9：不等式恒成立，則的取值范圍是_________．舉一反三1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.2．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題例10：函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．舉一反三函數(shù)圖象過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則最小值為___________.題型七：指數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題例11：已知函數(shù)為奇函數(shù)，則方程的解是________．舉一反三已知的最小值為2，則m的取值范圍為______________題型八：指數(shù)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用例12：企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%舉一反三我國某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時(shí)間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)1．對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：（a—底數(shù)，N—真數(shù)，—對(duì)數(shù)式）說明：1.注意底數(shù)的限制，a>0且a≠1；2.真數(shù)N>03.注意對(duì)數(shù)的書寫格式．2、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：（1）常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù),；（2）自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù),．3、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化對(duì)數(shù)式指數(shù)式對(duì)數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對(duì)數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪結(jié)論：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)（2）logaa=1,loga1=0特別地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)對(duì)數(shù)恒等式：例1：1．已知，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則__________．舉一反三1．十六?十七世紀(jì)之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運(yùn)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即（且），已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．方程的解是（

）A．1 B．2 C．e D．3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，a1，M>0，N>0有：1、兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)和2、兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)差3、一個(gè)正數(shù)的n次方的對(duì)數(shù)等于這個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)n倍說明:1)簡易語言表達(dá):”積的對(duì)數(shù)=對(duì)數(shù)的和”……2)有時(shí)可逆向運(yùn)用公式3)真數(shù)的取值必須是(0,＋∞)4)特別注意：例2：1．計(jì)算：（

）A．10 B．1 C．2 D．2．計(jì)算：（

）A．0 B．1 C．2 D．33．計(jì)算：___________．4．計(jì)算(1)(2).舉一反三1．計(jì)算：________.2．計(jì)算=________.3．若，則__________4．計(jì)算下列各題：(1)已知，求的值；(2)求的值.換底公式利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論①②③例3：1．已知，則下列能化簡為的是（

）A． B． C． D．2．______．（用數(shù)字作答）舉一反三1．計(jì)算：_____2．計(jì)算：等于___________.對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：一般地，形如的函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù).2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。圖像性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過定點(diǎn)：（4）在上是增函數(shù)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過定點(diǎn)：（4）在上是減函數(shù)3.指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向x軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）過定點(diǎn)（0，1）0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x<0時(shí),y>1圖象上升趨勢(shì)是越來越緩函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x>0時(shí),y>1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x<0時(shí),0<y<1圖象上升趨勢(shì)是越來越陡函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；4.反函數(shù)：一般地,設(shè)A,B分別為函數(shù)y=的定義域和值域,如果由函數(shù)y=f(x)可解得唯一也是一個(gè)函數(shù)(即對(duì)任意一個(gè),都有唯一的與之對(duì)應(yīng)),那么就稱函數(shù)是函數(shù)y=的反函數(shù),記作.在中，y是自變量,x是y的函數(shù),習(xí)慣上改寫成的形式.指數(shù)函數(shù)(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。注意：指數(shù)增長模型：y=N(1+p)x指數(shù)型函數(shù)：y=kax考點(diǎn)：（1）ab=N,當(dāng)b>0時(shí)，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時(shí)，a,N在1的異側(cè)。（2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時(shí)候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較冪的大小，同底找對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a0)進(jìn)行傳遞或者利用（1）的知識(shí)。（3）求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求法用單調(diào)性。（4）分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用a1=a，用x=1去截圖象得到對(duì)應(yīng)的底數(shù)。4.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)。（2）形如的函數(shù),定義域由來確定。（3）形如的復(fù)合函數(shù)在求定義域時(shí),必須保證每一部分都要有意義。5.對(duì)數(shù)式的大小比較：（1）若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.（2）若底數(shù)為同一字母,則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論(分0<a<l,a>1).（3）若底數(shù)不同、真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較,也可以畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,再進(jìn)行比較。（4）若底數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助0,1等中間值進(jìn)行比較。題型一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念例4：下列函數(shù)中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x舉一反三若函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則=_______．題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域例5：函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．舉一反三1．函數(shù)的定義域是_______．2．已知函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域例6：已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．舉一反三1．函數(shù)的值域是________.2．若函數(shù)的最大值為0，則實(shí)數(shù)a的值為___________.題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像例7：已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，舉一反三函數(shù)與的大致圖像是（

）A．B．C．D．題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例8：1．滿足函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．2．已知，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．舉一反三1．若是定義在上的增函數(shù)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____題型六：反函數(shù)例9：已知函數(shù)，它的反函數(shù)為，則_______．舉一反三已知，分別是方程，的根，則（

）A．1 B．2 C． D．題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例10：人們常用里氏震級(jí)表示地震的強(qiáng)度，表示地震釋放出的能量，其關(guān)系式可以簡單地表示為，2021年1月4日四川省樂山市犍為縣發(fā)生里氏級(jí)地震，2021年9月16日四川省瀘州市瀘縣發(fā)生里氏級(jí)地震，則后者釋放的能量大約為前者的（

）倍．(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．舉一反三（多選）某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生以函數(shù)為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下，其中研究成果正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)B．對(duì)于任意的，都有C．對(duì)于任意的a，，都有D．對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，總滿足題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的過定點(diǎn)例11：已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的最大值為_____．舉一反三已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過該點(diǎn)，則_______________________．題型九：對(duì)數(shù)函數(shù)的參數(shù)問題例12：已知，，，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．舉一反三若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．題型十：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合例13：1.若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．2.（多選）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．舉一反三1．春天是一個(gè)美麗、神奇，充滿希望的季節(jié)，我們每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)保持像春天一樣朝氣蓬勃的生命力，去創(chuàng)造屬于我們自己的美好生活．隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每經(jīng)過一天的生長，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)）（

）A．17天 B．15天 C．12天 D．10天2．（多選）已知函數(shù)，若，則的所有可能值為（

）A．1 B． C．10 D．第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（A卷·基礎(chǔ)提升練）一、選擇題：。1．函數(shù)，已知，則（

）A．3 B．4 C．5 D．62．上高中的小黑為弟弟解答《九章算術(shù)》中的一個(gè)題目：今有田，廣15步，縱16步，此田面積有多少畝？翻譯為：一塊田地，寬15步，長16步，則這塊田有多少畝？小黑忘記了畝與平方步之間的換算關(guān)系，只記得一畝約在200—250平方步之間，則這塊田地的畝數(shù)是（

）A． B．1 C． D．23．設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．若，則（

）A． B．C． D．5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．雙曲正弦函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)之一，已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（且），若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．選擇題：9．已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)镽 B．是R上的增函數(shù)C．是R上的奇函數(shù) D．有最大值10．已知函數(shù)，，其中a，，則下列說法正確的是（

）A．有最小值B．可能是偶函數(shù)C．有兩個(gè)零點(diǎn)D．若，對(duì)，，使得成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是11．已知，則a，b滿足（

）A． B． C． D．三．填空題12．已知，，，則的最小值是___________.13．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則__________．14．已知函數(shù)，若對(duì)任意，存在使得恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．四．解答題：15．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧螦.(1)求A；(2)已知集合，其中，若，求的取值范圍16．春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時(shí)間段內(nèi)車流量（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（單位：千米/小時(shí)）、平均車長（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時(shí)時(shí)，車流量為1萬輛/小時(shí)．(1)求該車型的平均車長；(2)該車型的汽車在該時(shí)間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量達(dá)到最大值？17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域，并判斷其奇偶性；(2)若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求不等式的解集；(3)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的一個(gè)上界，已知函數(shù)，奇函數(shù)；(1)求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；(2)若函數(shù)在上是以5為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（B卷·能力提升練）一、選擇題：1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.63．己知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（

）A．B．C．D．5．已知，則（

）A．25 B．5 C． D．6．若，則（

）A． B． C．1 D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)