變速行程問題二變速行程問題二知識點知識點行程問題中的比例關(guān)系（六下）

變速行程問題（六下）1、普通變速問題的求解

（1）分段比較

在變速點把前后的行程分開，這樣一個變速過程被分成兩個不變速過程．

（2）

假設(shè)法比較

假設(shè)不變速，然后對假設(shè)前和假設(shè)后的運動過程之間的差別進行比較．

（3）方程

設(shè)未知數(shù)，以路程相同或者時間相同為等量關(guān)系列方程．2、帶有往返的變速問題

（1）熟記“甲乙異側(cè)出發(fā)”與“甲乙同側(cè)出發(fā)”這兩類多次往返問題的特點：

（a）甲乙異側(cè)出發(fā)：當(dāng)路程和為1、3、5、……個全長時，兩人迎面相遇；

當(dāng)路程差為1、3、5、……個全長時，兩人追上；

（b）甲乙同側(cè)出發(fā)：當(dāng)路程和為2、4、6、……個全長時，兩人迎面相遇；

當(dāng)路程差為2、4、6、……個全長時，兩人追上；

（c）注意“相遇”和“迎面相遇”的區(qū)別，“相遇”包括迎面相遇和背后追上；

（d）當(dāng)在兩端相遇時，既算迎面相遇也算背后追上．

（2）對次數(shù)比較少的迎面相遇或追上，注意進行估算何時會相遇．

（3）對次數(shù)比較多的迎面相遇或追上，先計算周期，再看在一個周期內(nèi)，兩人會相遇幾次．3、環(huán)形路線中的變速問題，和前面類似，重點依次是估算和周期．課堂例題課堂例題1、某快遞員騎電動車去派送一個快件，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到．如果希望中午12點到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進？【答案】

12千米/時【解析】

速度比是10:15，即2:3，所以同樣路程，時間是3:2．那么上午11點到下午1點之間的2小時就是那1份，所以可以推出出發(fā)時間是上午7點．進一步可以求出全程是60千米，則要12點要，即用5小時，速度應(yīng)該保持在12千米/時．2、一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是，某人走這三段路所用的時間之比是．已知他上坡時每小時行2．5千米，路程全長為20千米．此人走完全程需多長時間？【答案】

5【解析】

上坡時間為時，全程需時．3、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米．兩車分別到達B地和A地后，立即返回．返回時，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變．已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則AB兩地的距離為___________千米．【答案】

【解析】

通過畫線段圖，列式．4、甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，勻速相向而行．相遇時甲走了400千米，乙走了300千米．相遇后甲將速度每小時降低4千米，而乙將速度增加．當(dāng)乙到達A地時，甲離B地還有12千米．求乙走完全程所花時間．【答案】

18【解析】

原來甲、乙速度比為．乙提速后若甲不減速，兩人速度比變?yōu)?，故乙走完剩下?00km時甲應(yīng)走了．但甲實際只走了，故甲降速后變?yōu)樵俚模贋?，乙原速為，乙走完全程需?、從A到B是0.5千米的上坡路，從B到C是3千米的平路，從C到D是2.5千米的上坡路，下坡路速度都是每小時6千米，平路上速度是每小時4千米，上坡路速度都是每小時3千米．如果小張和小王分別從A、D兩地同時出發(fā)，相向而行，幾小時兩人相遇？AADCB【答案】

【解析】

小張AB段需，小王DC段需，故小王到C時小張已走平路．至相遇還需，總時長．6、李剛騎自行車從甲地到乙地，要先騎一段上坡路，再騎一段平坦路，他到乙地后，立即返回甲地，來回共用了3小時．李剛在平坦路上比上坡路每小時多騎6千米，下坡路比平坦路每小時多騎3千米．還知道他在第1小時比第2小時少騎5千米，第2小時比第3小時少騎3千米．其中，第2小時騎了一段上坡路，又騎了一段平坦路．請問：（1）李剛騎上坡路所用的時間是多少分鐘？（2）李剛騎下坡路所用的時間是多少分鐘？（3）甲、乙兩地之間的距離是多少千米？【答案】

（1）70分鐘（2）40分鐘（3）24.5千米【解析】

分析題意，第1小時走的都是上坡路，第2小時走了上坡路和平坦路，第3小時走了平坦路和下坡路．（1）比較第1小時和第2小時，第1小時比第2小時少走5千米，而每小時上坡比平路要少走6千米，因此第1小時比第2小時走的上坡路多了小時；又知第1小時全是走上坡路，因此第2小時內(nèi)走了小時的上坡路，然后走了小時的平路．走上坡路共用了小時，即70分鐘．（2）比較第1小時和第3小時，第3小時比第1小時多走了8千米；第1小時全是上坡路，第3小時若走平路則每小時多走6千米，若走下坡路則每小時多走9千米；由雞兔同籠的原理知走下坡路的時間是小時，即40分鐘．（3）此時已算得走上坡路用小時分鐘，下坡路用分鐘，而下坡速度比上坡速度快了9千米/小時；

因此上坡速度是千米/小時，上坡路程是千米；走平路的速度是千米/小時，走單程平路的時間是小時；平路的距離是千米；兩地的距離是千米．7、甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)．每當(dāng)甲車追上乙車一次，甲車減速，而乙車增速．問：在兩車的速度剛好相等的時刻，甲車比乙車多行駛了__________千米．【答案】

630【解析】

設(shè)速度相等時兩車速度變化了k次，則，由此得，進而，．因此，甲車追上了3次，比乙車多行駛了3圈，為630千米．8、甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向勻速而行；當(dāng)甲、乙在途中C地相遇時，丙從B地出發(fā)，勻速去A地；當(dāng)甲與丙在D地相遇時，甲立即調(diào)頭且速度降為原來的80%；當(dāng)甲、丙同時到A地時，乙離A地還有720米．如果CD間的路程是900米，那么AB間的路程是__________米．【答案】

5265【解析】

甲速度降為原來的80%，與丙同時到地，則甲丙速度比為，因此甲從到走900米，則丙從到走米；甲從回到走了兩個（全程米），同樣時間內(nèi)乙走了一個（全程米），甲走的第二個是用的速度走的，所以相當(dāng)于用原速走了個（全程米），所以甲乙的速度比為；甲乙相遇時乙從到走了米，所以全程為米．9、在一個490米長的圓形跑道上，甲，乙兩人從相距50米的A，B兩地，相背出發(fā)，相遇后，乙返回，甲方向不變，繼續(xù)前進，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一．當(dāng)乙回到B地時，甲剛好回到A地，此時他們都按現(xiàn)有速度與方向前進．請問：當(dāng)甲再次追上乙時，甲一共走了多少米？【答案】

2602【解析】

設(shè)相遇處為C點，如下圖所示．由于乙由B到C，再由C到B是原路返回，所以路程相同，于是速度和時間成反比．乙前后速度比是4:5，所以時間比為5:4．AABC甲乙于是甲前后兩段的時間比是5:4，又因為甲前后的速度比是5:6，所以甲前后兩段的路程比為．于是從A逆時針到C的路程是米，BC長米．因為相遇后，甲從C逆時針到A，共走240米，乙從C返回B，共走190米，則甲，乙的速度比是．從C點開始計算，因為甲，乙速度比是24:19，所以當(dāng)甲跑圈時，乙跑圈，甲第一次追上乙．此時甲共跑米．10、如圖，在一條馬路邊有A，B，C，D四個車站，甲、乙兩輛相同的汽車分別從A，D兩地出發(fā)相向而行，在BC的中點相遇．已知它們在AB，BC，CD上的速度分別為30、40、50．如果甲晚出發(fā)1小時，則它們將在B點相遇；如果乙的速度減半，而甲的速度不變，它們的相遇地點離B點65千米．請求出A，D之間的距離．AABCD【答案】

240千米【解析】

正常情況下甲、乙在B、C的中點相遇，說明甲到B點時，乙正好到C點；；

若甲比乙晚出發(fā)1小時，則乙多走了1個小時，多出來的一個小時走了BC段，因此千米；

若乙的速度減半，則甲到B點時乙正好到CD的中點．甲接著走65千米與乙相遇，有40千米在BC段，有25千米在CD段，需要時間是小時，這段時間內(nèi)乙走了千米；因此CD段的一半是千米，千米；千米，千米．11、如圖203所示，A與B、B與C之間的公路長度相等，且每段公路上都有限速標志（單位：）．甲貨車從A出發(fā)，乙貨車從C出發(fā)，并且兩車在A，C之間往返行駛．結(jié)果當(dāng)甲車到達C后再返回到B時，乙車剛好第一次到達B．已知甲、乙兩車在各段公路上均以所能達到的最快速度行駛（不會超過車子本身的最高時速，也不能超過公路上的最高限速），且甲車的最高時速是乙車的4倍，那么甲車的最高時速是每小時________千米．限速限速70限速40ABC圖203【答案】

60千米/小時【解析】

設(shè)乙車最高速度為a千米/小時，甲車最高速度為千米/小時，以一半路程為單位1，則分情況討論：（1）若，則依題意有，不可能?。?）若則有，解得，符合要求；（3）若，則有，解得，矛盾?。?）若，則有，不可能！綜上，乙車最高速度為15千米/小時，此時甲車最高速度為60千米/小時．12、米老鼠從A到B，唐老鴨從B到A，米老鼠與唐老鴨的速度比為6:5，M是A，B的中點．在A，M之間有一點C，距離M點26千米，此處有一個魔鬼，誰經(jīng)過他都要減速25%；B，M之間有一點D，距離M點4千米，此處有一個仙人，誰經(jīng)過他都要加速25%；現(xiàn)在米老鼠和唐老鴨同時出發(fā)，且同時到達各自的目的地，請問：A，B兩地相距多少千米？【答案】

92千米【解析】

設(shè)A、C相距x千米，則D、B相距千米，米老鼠的速度為6z千米/小時，唐老鴨的速度為5z千米/小時，那么過C點后米老鼠的速度變?yōu)閦千米/小時，過D點后米老鼠的速度變?yōu)閦千米/小時，過D點后唐老鴨的速度變?yōu)閦千米/小時，過C點后唐老鴨的速度變?yōu)閦千米/小時，依題意得：，因為，整理去分母解得，所以A，B兩地相距千米．（當(dāng)然可以設(shè)米老鼠的速度為96z，唐老鴨的速度為80z，那么所有的速度表達式中就不會出現(xiàn)分數(shù)）

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍．甲到山頂時，乙距山頂還有400米；甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰．求從山腳到山頂?shù)木嚯x是__________米．【答案】

2400米【解析】

不妨設(shè)從山腳到山頂?shù)穆烦虨?個全程．我們先分析從甲、乙同時出發(fā)直到甲回到山腳、乙回到半山腰的過程．在這一過程所對應(yīng)的時間里面，甲走了1個上坡的全程及1個下坡的全程，而甲下坡速度是上坡速度的2倍，說明甲走1個下坡的時間只夠走個上坡．因而這一過程的時間里，如果甲一直走上坡路程，可以走個上坡的全程．類似地，如果乙也一直走上坡路程，他可以走個全程．由于時間相同，所以兩人上山的速度比等于．乙乙甲再利用“甲到山頂時，乙距山頂還有400米”這個條件，得出山腳到山頂?shù)木嚯x是米．2、甲、乙兩人從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時乙比甲多行了100米，如果甲出發(fā)后在距離AB中點220米處把速度提高到原來的3倍，則相遇時甲比乙多行了100米，求A，B兩地的距離．【答案】

900米【解析】

如下圖，根據(jù)題意畫出行程圖．由于甲的速度提高到原來的3倍，所以乙行FD時，甲行ED，共米；假設(shè)甲不變速，那么乙行FD時，甲從E地又行了米，接著乙繼續(xù)行100米，甲行米后甲、乙相遇，說明甲、乙的速度比是．因為兩人原速行走直到相遇時，乙比甲多行100米，所以全程是米．AA中點ECDFB170米50米50米甲乙甲變速甲不變速90米3、從甲市到乙市有一條公路，它分成三段：在第一段上，汽車速度是每小時40千米；在第二段上，汽車速度是每小時90千米；在第三段上，汽車速度是每小時50千米．己知第一段公路的長恰好是第三段的2倍．現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行，1小時20分后，在第二段公路上從甲到乙方向的處相遇．請問：甲、乙兩市相距__________千米．【答案】

185千米【解析】

畫圖如下：4040千米/時90千米/時50千米/時ABCDE5份時間3份時間2份時間3份時間因為兩輛車在CD段上速度相同，所以虛線的兩段可以抵消，現(xiàn)在考慮AC和DB兩段路，車在兩段上的路程比是2:1，速度比是4:5，所以時間比是，所以車在ED段用了3份時間．由于兩車經(jīng)過8份時間相遇，所以1份是10分鐘，所以兩市相距千米．4、如圖所示，有4個村鎮(zhèn)A，B，C，D，在連接它們的3段等長的公路AB，BC，CD上，汽車行駛的最高時速限制分別是60、20和30．一輛客車從A鎮(zhèn)出發(fā)駛向D鎮(zhèn)，到達D鎮(zhèn)后立即返回；一輛貨車同時從D鎮(zhèn)出發(fā)，駛向B鎮(zhèn)．兩車相遇在C鎮(zhèn)，而當(dāng)貨車到達B鎮(zhèn)時，客車又回到了C鎮(zhèn)．已知客車和貨車在各段公路上均以其所能達到且被允許的最大速度行駛，貨車在與客車相遇后自身所具有的最高時速比相遇前提高了，求客車的最高時速．AABCD【答案】

25千米/小時或40千米/小時【解析】

設(shè)客車的最高時為v千米/小時，分情況討論1）若，客車走所有路段都沒有限速，相遇時客車路程是貨車的2倍，因此客車速度是貨車速度的2倍；相遇后貨車提速了，而它到B點時客車的路程還是貨車路程的2倍，矛盾；2）若，客車走的速度是v，則貨車走的速度是；則相遇前貨車的速度是，兩車從出發(fā)到相遇的時間相同，因此，解得；符合條件；3）若，客車走的速度是30，則貨車走的速度是；則相遇前貨車的速度是；客車走的速度可能是v或70，記為x，則有，解得；因此，符合題意．綜上客車的最高時速可能是25千米/小時或40千米/小時．5、如圖所示，A，B，C，D四個球按順時針方向均勻分布在周長48米的圓周上，分別以1，2，3，4的速度做順時針運動．當(dāng)有兩個球碰到一起的時候，兩個球相互交換速度，但運行方向不變；當(dāng)三個球碰到一起的時候，中間球的速度不變，其它兩個球相互交換速度．請問：從四個球同時出發(fā)開始，經(jīng)過多少秒四個球第一次同時碰到一起？DDCBA【答案】

36秒【解析】

如果細致的去分析每次碰撞，問題將變的十分的復(fù)雜和難以處理．注意到本題中的碰撞可以看做碰撞后兩球互相穿過對方，同時交換字母．由于最后求的是四個球碰在一起的情況，所以和字母沒有關(guān)系，采用穿越的方式思考，本題將變的十分的簡單．由于是穿越，所以四個球之間互相沒有影響，統(tǒng)一以A點為起點，順時針方向計算四個球走過的路程．t秒后，最初在A點的球走了t米，最初在B點的球走了米，最初在C點的球走了米，最初在D點的球走了米．要想四球同時碰在一起，則走過的路程兩兩之差是48的倍數(shù)．求的是第一次，所以t應(yīng)該盡可能的小，故令，解得，代入四個式子中得36米，84米，132米，180米，符合要求．（當(dāng)然注意到3個差均為就可以不用代入計算，直接判斷出符合要求）所以經(jīng)過36秒四個球第一次同時碰到一起．6、如圖，正方形ABCD是一條環(huán)形公路．已知汽車在AB上時速是90千米，在BC上的時速是120千米，在CD上的時速是60千米，在DA上的時速是80千米．從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇．如果從PC的中點M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N相遇．問AN占AB的幾分之幾？MMPDCBAN【答案】

【解析】

記正方形每段邊長為“1”，設(shè)DP段為a，則依題意有，，解得，因此，；設(shè)AN段為b，則有，，解得，所以，AN占AB的7、如圖，8時10分，甲、乙兩人分別從相距60米的A，B兩地出發(fā)，按順時針方向沿長方形ABCD的邊走向D點．甲、乙兩人的速度相同．甲8時20分到D點后，丙、丁兩人立即從D點出發(fā)．丙由D向A走去，8時24分與乙在E點相遇；丁由D向C走去，8時30分在F點被乙追上．丙、丁兩人的速度也相同．問：三角形BEF的面積是多少平方米？ADADCB圖55甲乙【答案】

2497.5平方米【解析】

考慮甲乙兩人．由于他們的速度相同，則在他們走了相同的時間以后，兩人之間的距離保持不變．則在8時20分甲到達D點時，乙在離B點還有60米的M點上，如圖所示．考慮乙丙的相遇過程．8時20分時出發(fā)，8時24分兩人相遇，一共用了4分鐘．所以乙和丙的速度和是米/分．再考慮乙丁的追及過程．8時20分時出發(fā)，8時30分乙追上丁，用了10分鐘．所以乙和丁的速度差為米/分．而丙丁速度相同，所以乙的速度是米/分，丙和丁的速度是米/分．又因為甲乙速度相同，所以甲的速度也是米/分．從8時10分到8時20分這10分鐘內(nèi)，甲從A走到D，則AD距離為米．從8時20分到8時24分這4分鐘內(nèi)，丙從D走到E與乙相遇，則DE距離為米．從8時20分到8時30分這10分鐘內(nèi)，丁從D走到F被乙追上，則DF距離為米．易知AE長度為米，CF長度為米．要求△BEF的面積，只需把大長方形的面積減去其他3個三角形的面積．而大長方形ABCD面積為平方米，△ABE面積為平方米，△EDF面積為平方米，△BCF面積為平方米．所以△BEF面積為平方米．ADADCBM60米乙丙丁601818ADCB4518F10581E8、圓形跑道的40%是平路，60%則設(shè)置了跨欄（如圖中粗線部分）．甲、乙兩人的平路速度分別為5和6，跨欄速度分別為4和3．第一次兩人從A點出發(fā)逆時針跑，甲先跑了5秒鐘，然后乙再出發(fā)．結(jié)果兩人在跑第一圈的時候相遇了兩次，且兩次相遇的間隔為15秒．問：（1）跑道總長為多少米？（2）如果兩人從A點出發(fā)順時針方向跑，而且在跑第一圈的時候也相遇了兩次，且兩次相遇時間間隔為45秒，那么甲和乙應(yīng)該誰先跑，先跑多少秒？（3）如果兩人從A點出發(fā)按順時針方向跑，而且在跑第一圈的時候相遇兩次，那么后跑的人最少晚出發(fā)幾秒鐘？AA【答案】

(1)500米（2）20秒（3）秒【解析】

（1）甲先走5秒，領(lǐng)先乙25米，則乙出發(fā)25秒后追上甲．AABC設(shè)追上地點為C，則AC長150米．設(shè)甲跑CB共用6x秒，則乙跑CD共用5x秒，于是當(dāng)甲到達B時，乙距離B點3x米，那么甲還需要3x秒才能追上乙．于是兩次相遇之間間隔9x秒，所以，所以CB長米．所以AB長200米，所以跑道總長是米．（2）在第一圈要相遇2次，所以在平路部分和跨欄部分分別相遇一次，所以乙先跑．AABD假設(shè)第一次相遇點是D，并設(shè)甲跑DB共用3x秒，那么乙跑DB共用4x秒．當(dāng)乙到達B時，甲距離B點5x米，所以乙還需要5x秒才能追上甲．所以兩次相遇之間間隔9x秒，因為，所以．所以DB長米，那么AD長240米，乙要先跑秒．（3）此時還是乙先甲后，甲盡量早跑的話，第一次相遇點D會盡量靠近A遠離B，于是第二次相遇點會盡量靠近A，要想能第二次相遇，只要第二次相遇在A點即可．甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，所以甲最多晚出發(fā)秒．課后作業(yè)課后作業(yè)1、在400米環(huán)形跑道上進行10000米賽跑．乙始終保持一個固定的速度前進；甲剛開始的速度比乙慢，但一直沒有被乙追上．計時到30分0秒時甲開始加速并保持這個速度；36分0秒時甲追上乙，46分0秒時甲再次追上乙，47分40秒時甲到達終點．問：計時到幾分幾秒時乙到達終點？【答案】

50分鐘【解析】

全程有圈．從36分0秒到46分0秒甲恰好追上乙1圈，甲追上乙一圈需要10分鐘；因此甲到達終點時比乙多走了圈，

乙用分鐘走了圈，正好2分鐘走1圈，因此乙走完25圈需要50分鐘．2、甲、乙兩地相距100千米，小張先騎摩托車從甲地出發(fā)，1小時后小李駕駛汽車從甲地出發(fā)，兩人同時到達乙地．摩托車開始速度是每小時50千米，中途減速后為每小時40千米．汽車速度是每小時80千米，汽車曾在途中停駛10分鐘．請問：小張駕駛的摩托車是在他出發(fā)多少小時后減速的？【答案】

小時【解析】

小張騎摩托車的總時間是小時；其中有一段時間速度是50千米/小時，一段時間是40千米/小時，共走了100千米；運用雞兔同籠的原理，以50千米/小時的速度走了小時；即出發(fā)小時后減速．3、一輛轎車和一輛巴士都從A地到B地，巴士速度是轎車速度的．巴士要在兩地的中點停10分鐘，轎車中途不停車．轎車比巴士在A地晚出發(fā)11分鐘，早7分鐘到達B地．如果巴士是10點出發(fā)的，那么轎車超過巴士時是10點多少分？【答案】

27分【解析】

如果轎車與巴士都不休息地行駛完這段路程，所花的時間之差是分鐘，時間之比為速度比的反比，即4:5．所以8分鐘就是1份時間，兩車不間斷地行駛完全程所花的時間分別為32分鐘和40分鐘．兩車到達中點的情況：巴士10點出發(fā)，到達中點的時間為10點20分，并在此停留到10點30分．轎車10點11分出發(fā)，到達中點的時間是10點27分（此時兩車相遇），之后就離開中點，由此我們可以知道轎車超過巴士的時間就是10點27分．“4”“4”“5”AB轎車巴士（，）到達中點的時間4、小明8:00從A地騎車出發(fā)，11:00到達B地，小華開車從A地出發(fā)，速度是小明的3倍；追上小明后，速度增加為小明的4倍．如果小華9:30到達B地，那么小華是在什么時候出發(fā)的？【答案】

8:40【解析】

設(shè)全程為180，則小明每分鐘騎行距離為1，小華前后速度分別為3、4．設(shè)小華比小明晚2t分鐘出發(fā)，則小華的追擊時間為分，之后開車時間為分，因此，，小華晚出發(fā)40分鐘，即8:40出發(fā)．5、（人大附）甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，他們計劃在距A地處相遇，但中途甲休息了15秒鐘，結(jié)果乙比計劃多走36米才相遇，那么甲速為____________米/秒．【答案】

6【解析】

據(jù)題意可知，甲乙計劃所行路程比是3：2，速度之比也是3：2；則15秒內(nèi)甲應(yīng)走：米，則甲的速度為米/秒．6、甲、乙兩人在環(huán)形跑道上訓(xùn)練，他們從同一地點同時出發(fā)，背向而行．兩人相遇后立即調(diào)頭，繼續(xù)前進．一開始甲的速度是每分鐘160米，乙的速度是每分鐘120米，調(diào)頭后甲的速度提高了一半，乙的