第4講小專題:非常規(guī)運(yùn)動學(xué)圖像追及相遇問題

考點(diǎn)一對非常規(guī)圖像的理解和應(yīng)用

1.對a-t圖像的理解

(1)圖線①表示物體做加速度逐漸增大的直線運(yùn)動,圖線②表示物體做勻變速直線運(yùn)動,圖

線③表示物體做加速度逐漸減小的直線運(yùn)動。交點(diǎn)④表示加速度相等。

(2)a-t圖像中圖線與橫軸所圍面積表示速度變化量。

[例1]【對a-t圖像的理解】(2025·貴州遵義質(zhì)量監(jiān)測)小明利用手機(jī)傳感器,測得電梯從

靜止開始運(yùn)行的加速度-時間圖像如圖所示。手機(jī)傳感器中加速度向上時為正值,下列說

法正確的是()

[A]0.6～0.8s電梯處于勻加速上升階段

[B]0.9～1.2s電梯處于勻速上升階段

[C]0.9～1.2s電梯處于勻加速上升階段

[D]1.7～2.3s電梯處于靜止階段

【答案】C

【解析】0.6～0.8s電梯加速度不斷變化,且圖線與t軸所圍面積為正值,即電梯處于加速

度增大的加速上升階段,故A錯誤;0.9～1.2s圖線與t軸平行,面積均勻增大,且為正值,則

電梯處于勻加速上升階段,故B錯誤,C正確;1.7～2.3s電梯加速度為0,做勻速運(yùn)動,故D

錯誤。

[變式]在[例1]中,請對下面問題作出判斷:

(1)1.3s時電梯運(yùn)動方向是否發(fā)生改變?

(2)2.3s時電梯是否上升至最高點(diǎn)?

(3)電梯在整個運(yùn)行過程中的最大速度大約是多少?

【答案】(1)不改變(2)不是最高點(diǎn)(3)0.41m/s

【解析】(1)1.3s時加速度逐漸減小但為正值,說明電梯仍處于加速度變小的加速上升階

段,運(yùn)動方向不改變。

(2)2.3s后電梯加速度反向增大,說明電梯處于減速上升階段,即2.3s時未到最高點(diǎn)。

(3)a-t圖像中圖線與橫軸所圍面積表示速度變化量,題中每個方格面積為0.01m/s,t軸上方

共有大約41個方格,故電梯在整個運(yùn)行過程中的最大速度大約是0.41m/s。

2.-t圖像和v2-x圖像

?

?

(1)對圖像的理解。

類型圖示理解要點(diǎn)

-t

111

??由2可得圖像的斜率為縱截距為

x=v0t+2at,=v0+2at,2a,v0

圖??像?

?

v2-x

由v2-2=2ax可知v2=2+2ax,圖像斜率為2a,縱截距為2

圖像

?0?0?0

(2)解題技巧。

①用函數(shù)思想分析圖像:圖像反映了兩個變量(物理量)之間的函數(shù)關(guān)系,因此要由運(yùn)動學(xué)

公式推導(dǎo)出兩個物理量間的函數(shù)關(guān)系,分析圖像的意義。

②要注意結(jié)合圖像中斜率、截距和某些特殊點(diǎn)表示的量應(yīng)用解析法列式求解,提高圖像類

題目的解題準(zhǔn)確率。

[例2]【-t圖像】翠鳥捕魚時飛行的速度極快,最高時速可達(dá)100km/h。某次,一只翠鳥

?

?

發(fā)現(xiàn)水面處的游魚,便以某一速度從高空俯沖扎入水中捕魚。若翠鳥由高空俯沖至水面的

過程中,位移與時間的比值隨時間變化的圖像為直線,如圖所示,有關(guān)翠鳥在空中的運(yùn)動,下

列說法正確的是()

[A]做勻速直線運(yùn)動

[B]做初速度為2m/s的變加速直線運(yùn)動

[C]做勻加速直線運(yùn)動,加速度為20m/s2

[D]2s內(nèi),在空中運(yùn)動的距離為40m

【答案】D

2

【解析】根據(jù)勻變速直線運(yùn)動中位移與時間的關(guān)系式x=v0t+at,整理得=v0+at,即勻變

1?1

2-?2

速直線運(yùn)動中-圖像為傾斜直線對比題圖可知斜率為即2

t;v0=2m/s,k=a=-=9,a=18m/s,

?1202

?220

2

故A、B、C錯誤;2s內(nèi),翠鳥在空中運(yùn)動的距離為x1=v0t1+a=(2×2+×18×2)m=40m,

121

212

故D正確。?

[例3]【x-v2圖像】(2024·云南曲靖期中)(多選)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動,相對原點(diǎn)的位置坐標(biāo)x

與速度的二次方v2的關(guān)系圖像如圖所示,由圖像可知()

[A]質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動,加速度大小為1m/s2

[B]質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度大小為0時,相對原點(diǎn)的坐標(biāo)也為0

[C]質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度大小為2m/s時,相對原點(diǎn)的坐標(biāo)為0

[D]質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度大小為2m/s時,相對原點(diǎn)的坐標(biāo)為2m

【答案】AC

【解析】由x-v2圖像可知,質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)與速度的二次方滿足方程x=0.5v2-2,整理得v2-4=2x,

對比勻變速直線運(yùn)動速度位移公式v2-=2ax,可知質(zhì)點(diǎn)從-2m處開始做初速度為零、加

2

速度大小為1m/s2的勻加速直線運(yùn)動,故?0A正確,B錯誤;質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度大小為2m/s時,

由圖像可知相對原點(diǎn)的坐標(biāo)為0,故C正確,D錯誤。

3.其他非常規(guī)圖像

種類圖示理解要點(diǎn)

2

公式轉(zhuǎn)換:x=v0t+at→=v0·+a

1?11

-2

2??2

?1斜率意義初速度

2:v0

圖?像?

縱截距意義:加速度的一半

?

2

-

公式轉(zhuǎn)換:v2-=2ax→ax=

a-x22

0

2??

0

圖像?2-

面積意義:速度二次方變化量的一半

22

??0

2

-x公式轉(zhuǎn)換:v=→t=x

1?1

???

圖像面積意義:運(yùn)動時間t

[例4]【-圖像】(2024·江西上饒階段檢測)某興趣小組研究某汽車在平直公路上的運(yùn)

?1

2

??

動規(guī)律,通過智駕系統(tǒng)得到汽車的-圖像,如圖所示。根據(jù)圖像判定以下說法正確的是

?1

2

??

()

[A]該汽車的加速度越來越大

[B]該汽車的位移與時間的函數(shù)關(guān)系x=-20t-4t2(m)

[C]該汽車的加速度大小為8m/s2

[D]該汽車在前3s內(nèi)的位移是20m

【答案】C

-(-)

【解析】由題圖-圖像可知,圖線斜率k==20,則與的關(guān)系式為=(20·-4)(m/s2),

.

?104?1?1

222

??02????

整理得x=20t-4t2(m),對比勻變速直線運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系式,可知汽車做勻變速直線

22

運(yùn)動,且v0=20m/s,a=-8m/s,即汽車做初速度為20m/s、加速度大小為8m/s的勻減速運(yùn)

-

動,故A、B錯誤,C正確。由速度公式v=v0+at可得,汽車減速停止的時間為t==2.5s,

0?0

?

則在前3s內(nèi)的位移即為t=2.5s的位移,即x=t=25m,故D錯誤。

?0

考點(diǎn)二追及與2相遇問題

1.情境分析和基本關(guān)系

2.解答問題的三種方法

物

理

建立兩物體運(yùn)動情境圖,分析兩物體的速度大小關(guān)系,利用速度相等時兩物體的位

分

置關(guān)系,判斷能否追上、相距最近或最遠(yuǎn)

析

法

數(shù)

2

學(xué)設(shè)經(jīng)過時間t,由二者間的距離Δx=xB+x0-xA列二次方程,并求Δ=b-4ac:若Δ<0,則

分追不上;Δ=0,恰好追上,則有一解;Δ>0,則有兩解或發(fā)生了碰撞;或利用函數(shù)極值求

析解二者間距離的最大值或最小值

法

圖將兩個物體運(yùn)動的速度—時間關(guān)系或位移—時間關(guān)系畫在同一圖像中,然后利用圖

像像分析求解相關(guān)問題

法

[例5]【一前一后和同一起點(diǎn)的追及相遇問題】某一平直的賽場上,一輛賽車前方200m

處的不同賽道上有一安全車正以10m/s的速度勻速前進(jìn),這時賽車由靜止出發(fā)以6m/s2

的加速度起動。求:

(1)賽車出發(fā)3s末的瞬時速度大小;

(2)賽車追上安全車所需的時間及追上時的速度大小;

(3)追上之前兩車間的最大距離。

【答案】(1)18m/s(2)10s60m/s(3)m

625

3

【解析】(1)賽車出發(fā)3s末的瞬時速度大小為

v1=at1=6×3m/s=18m/s。

(2)設(shè)經(jīng)t2時間追上安全車,由位移關(guān)系得

v0t2+x0=a,

12

2?2

代入數(shù)值解得t2=10s(另一結(jié)果不合題意,舍);

此時賽車的速度大小

v=at2=6×10m/s=60m/s。

(3)方法一物理分析法

后面賽車加速運(yùn)動,在v賽<v0時,兩車距離變大,當(dāng)v賽=v0時兩車相距最遠(yuǎn),當(dāng)v賽>v0時兩車

靠近,即兩車相距最遠(yuǎn)時有v0=at,

則t==s=s,

?0105

追上之?前6兩車3最遠(yuǎn)相距

2

Δxmax=v0t+x0-at

1

2

=[10×+200-×6×()2]m

515

323

=m。

625

方3法二數(shù)學(xué)分析法

兩車間的距離為

22

Δx=v0t+x0-at=(10t+200-3t)m,

1

-2

當(dāng)t=s=s時,Δx有極值,即兩車相距最遠(yuǎn),將t=s代入解得Δxmax=m。

(-)

1055625

2×3333

方法三圖像法

由圖像可知,當(dāng)賽車速度等于安全車速度,即v0=at=10m/s時,兩車相距最遠(yuǎn),得t=s,則Δ

5

3

xmax=v0t-t+x0=m。

?0625

23

[變式]若當(dāng)賽車剛追上安全車時,賽車手立即剎車,使賽車以4m/s2的加速度做勻減速直

線運(yùn)動,則兩車再經(jīng)過多長時間第二次相遇?(用物理分析法和圖像法兩種方法解題)

【答案】45s

【解析】方法一物理分析法

由上可知賽車剛追上安全車時速度為60m/s,

賽車剎車到停下,由v=v0+at得

時間t0=s=15s,

60

4

行駛位移x賽=×15m=450m;

0+60

2

該過程中安全車位移x安=10×15m=150m,

即賽車停下時,安全車在其后,

Δx=450m-150m=300m,

則兩車第二次再相遇時安全車?yán)^續(xù)行駛時間

t′=s=30s,

300

10

可知兩車再經(jīng)過45s第二次相遇。

方法二圖像法

2

由于賽車剎車的初速度v0=60m/s,加速度為a=-4m/s,其v-t圖像如圖線Ⅰ所示,而安全車

的v-t圖像如圖線Ⅱ所示;兩車第二次相遇時,圖線與t軸圍成的面積相等,設(shè)該時間為t″,

有×60×15=10t″,解得t″=45s。

1

2

求解追及、相遇問題時的“實(shí)際情況”分析

若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動,一定要注意被追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動。對物體的

實(shí)際運(yùn)動情境、運(yùn)動時間要作出判斷。

[例6]【運(yùn)動學(xué)圖像中的追及相遇問題】(2025·廣西桂林期中)A、B兩物體從同一起點(diǎn)

在同一直線上運(yùn)動的位移—時間(x-t)圖像如圖所示。物體A的圖像為直線,物體B的圖像

為過原點(diǎn)的拋物線,兩圖像交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)如圖所示,下列說法正確的是()

[A]在t1～t2時間段的某個時刻,A、B的速度相同

[B]A做勻加速直線運(yùn)動,B做加速度增大的變加速直線運(yùn)動

[C]在t1時刻之前,物體A與物體B的平均速度相等

[D]A、B兩物體在運(yùn)動過程中相遇一次

【答案】A

【解析】由于x-t圖像中圖線某點(diǎn)的切線斜率表示速度,可知在t1～t2時間段的某個時刻,

代表A、B兩物體的圖線切線斜率相等,此時二者的速度相同,故A正確;由題圖可知,物體

A的圖線斜率不變而做勻速直線運(yùn)動,物體B的圖像為過原點(diǎn)的拋物線,與x=at2一致,可

1

2

知物體B做加速度恒定的勻加速直線運(yùn)動,故B錯誤;在t1時刻之前,物體A、B位移相等,

但物體A運(yùn)動時間短,可知物體A、B的平均速度不同,故C錯誤;x-t圖像中圖線的交點(diǎn)

表示相遇,由題圖可知A、B兩物體在運(yùn)動過程中相遇兩次,故D錯誤。

[變式]能否根據(jù)A、B兩物體運(yùn)動的位移—時間(x-t)圖像,確定哪個時刻A在B前面且離

B最遠(yuǎn)?此時A的位移為多少?

【答案】

?1+?2?1+?2

22

【解析】t1～t2時間段內(nèi),物體A比物體B的位移大,則A在B前面,且A的速度先大于B

的速度,后小于B的速度,該過程中當(dāng)兩者速度相同時,A在B前面且離B最遠(yuǎn),此時B的

速度等于在t1～t2時間段內(nèi)的平均速度,又B做勻變速直線運(yùn)動,可知在其中間時刻距

?1+?2

2

離最遠(yuǎn)。根據(jù)幾何關(guān)系,此時A的位移為。

?1+?2

2

(滿分:60分)

對點(diǎn)1.對非常規(guī)圖像的理解和應(yīng)用

1.(4分)(2024·四川綿陽階段檢測)一質(zhì)點(diǎn)從靜止開始做直線運(yùn)動,其a-t圖像如圖所示,下

列說法正確的是()

[A]1～4s內(nèi)做勻速直線運(yùn)動

[B]質(zhì)點(diǎn)第1s末的速度大小為4m/s

[C]質(zhì)點(diǎn)在1～4s內(nèi)的位移等于30m

[D]質(zhì)點(diǎn)在1～4s內(nèi)的路程等于30m

【答案】C

【解析】由題圖可知,1～4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)加速度a恒定,即做勻變速直線運(yùn)動,故A錯誤;由于

-

a-t圖像與時間軸所圍面積表示速度變化量,則第1s末的速度v1-0=×1m/s=-2m/s,即大

4

2

22

小為2m/s,故B錯誤;根據(jù)x=v0t+at,1～4s內(nèi)的位移x=(-2)×3m+×8×3m=30m,由于質(zhì)

11

22

點(diǎn)先沿負(fù)方向做加速度增大的加速運(yùn)動,t=1s時,繼續(xù)沿負(fù)方向做勻減速直線運(yùn)動,t=1.25

s開始反向做勻加速直線運(yùn)動,可知1～4s內(nèi)的路程s>30m,故C正確,D錯誤。

2.(6分)(2024·福建龍巖一模)(多選)如圖所示為物體做直線運(yùn)動的圖像,下列說法正確的是

()

[A]圖甲中,物體在0～t0時間內(nèi)的位移大于v0t0

1

2

[B]圖乙中,物體的加速度為1m/s2

[C]圖丙中,陰影面積表示t1～t2時間內(nèi)物體的末速度

[D]圖丁中,t=1s時物體的速度為5m/s

【答案】AD

【解析】在v-t圖像中,圖線與橫軸圍成的面積表示位移,可知題圖甲中物體在0～t0內(nèi)的

22

位移x>v0t0,故A正確;由勻變速直線運(yùn)動公式v-=2ax得v=2ax+,可知題圖乙中物

122

200

體做勻變速直線運(yùn)動,其加速度為0.5m/s2,故B錯誤?;題圖丙中a-t圖像?中圖線與橫軸所圍

面積表示速度的變化量,而不是t1～t2時間內(nèi)的末速度,故C錯誤;由勻變速直線運(yùn)動公式

22

x=v0t+at得=v0+at,可知題圖丁中物體做勻變速直線運(yùn)動,且v0=-5m/s,a=10m/s,根據(jù)運(yùn)

1?1

2?2

動學(xué)公式v=v0+at得,t=1s時物體的速度為v=5m/s,故D正確。

3.(4分)自動駕駛汽車呈現(xiàn)出接近實(shí)用化的趨勢。為了增加乘員乘坐舒適性,程序設(shè)定汽車

制動時汽車加速度大小隨位移均勻變化。某次測試中汽車“a-x”關(guān)系圖線如圖所示,汽

車制動距離為12m。關(guān)于該次測試,下列說法正確的是()

[A]汽車做勻減速直線運(yùn)動

[B]汽車開始制動時的速度大小為12m/s

[C]汽車開始制動時的速度大小為6m/s

2

[D]此車制動時間為s

【答案】C2

【解析】汽車制動過程,由題圖可知其加速度a隨位移x均勻增大,故汽車做加速度逐漸

增大的減速運(yùn)動,故A錯誤;根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的速度與位移關(guān)系式v2-=2ax,汽車做

2

非勻變速運(yùn)動,運(yùn)用“微元法”,可知a-x圖線與x軸所圍圖形的“面積”表?0示“速度二次

-

方變化量的一半”,可知汽車制動過程中=×(-6)×12(m2·s-2),可得汽車開始制動時的速

2

0?01

222

度大小為v0=6m/s,故B錯誤,C正確;制動過程中最大加速度為6m/s,如果一直以最大

加速度剎車,所用2的時間為t′==s,實(shí)際加速度是逐漸增大的,所以制動時間一定大于

?0

?2

s,故D錯誤。

4.2(4分)甲、乙兩物體沿x軸正方向做直線運(yùn)動,某一時刻兩物體以速度v0同時經(jīng)過O點(diǎn),

之后它們運(yùn)動的-x圖像如圖所示,在甲、乙兩物體的速度從v0增加到2v0的過程中,下列

1

?

說法正確的是()

[A]速度均隨位移均勻變化

[B]速度均隨時間均勻變化

[C]經(jīng)歷的時間之比為1∶2

[D]經(jīng)歷的時間之比為2∶1

【答案】C

【解析】由圖像可知,速度與位移成反比關(guān)系,速度不隨位移均勻變化,故A錯誤;-x圖像

1

?

中圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示時間,由圖像可知,速度不隨時間均勻變化,甲、乙兩物體

的速度從v0增加到2v0的過程,經(jīng)歷的時間之比為1∶2,故C正確,B、D錯誤。

對點(diǎn)2.追及與相遇問題

5.(4分)(2024·甘肅蘭州期中)足球場上,某運(yùn)動員進(jìn)行“邊路突破”訓(xùn)練,沿邊線將足球沿

地面向前踢出,為控制足球,又向前追趕足球,下列速度—時間(v-t)圖像和位移—時間(x-t)

圖像能大致反映此過程的是()

[A][B]

[C][D]

【答案】C

【解析】運(yùn)動員將足球沿地面向前踢出,由于地面有阻力作用,足球做勻減速運(yùn)動,運(yùn)動員

向前追趕做加速運(yùn)動,故A、B錯誤;由于x-t圖像的斜率表示速度,足球速度減小,運(yùn)動員

速度變大,且踢球時兩者在同一位置,故C正確,D錯誤。

6.(6分)(2024·廣西桂林期末)(多選)兩個物體A、B在同一水平面上做直線運(yùn)動,它們朝同

一方向經(jīng)過同一位置時開始計(jì)時,之后的6s內(nèi)它們的v-t圖像如圖所示(實(shí)線為A的圖像,

虛線為B的圖像),則在0～6s內(nèi),下列說法正確的是()

[A]在0～6s內(nèi)兩物體始終沒有再相遇

[B]兩物體全程都在做運(yùn)動方向相反的往返運(yùn)動

[C]物體A在2～5s內(nèi)的加速度大小為1m/s2,且在2s末兩物體相距最遠(yuǎn)

[D]兩物體相距最遠(yuǎn)距離為8m

【答案】AD

【解析】由于v-t圖像中圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移,可知在6s內(nèi)A的位移總大

于B的位移,即在0～6s內(nèi)兩物體始終未再相遇,選項(xiàng)A正確;兩物體全程速度一直為正值,

-

都在沿正方向運(yùn)動選項(xiàng)錯誤物體在～內(nèi)的加速度大小為22

,B;A25sa=|-|m/s=1m/s,

25

52

且在4s末兩物體速度相等,此時兩物體相距最遠(yuǎn),最遠(yuǎn)距離為Δx=(3×4+×4×2)

1

2

m-(3×4-×4×2)m=8m,選項(xiàng)C錯誤,D正確。

1

2

7.(12分)(2024·安徽蕪湖期末)如圖所示,離地面足夠高處有一豎直空管,管長為l=0.2m,M、

N為空管的上、下兩端面?？展芤院愣ǖ乃俣认蛳伦鰟蛩僦本€運(yùn)動,同時在距空管N端面

正下方d=0.25m處,有一小球開始做自由落體運(yùn)動,g取10m/s2。

(1)若經(jīng)過t1=0.1s,小球與N端面等高,求空管的速度大小v1;

(2)若經(jīng)過t2=0.5s,小球在空管內(nèi)部,求空管的速度大小v2應(yīng)滿足什么條件。

【答案】(1)3m/s(2)3m/s≤v2≤3.4m/s

【解析】(1)當(dāng)小球與N點(diǎn)等高時,有

v1t1=d+g,

12

2?1

解得v1=3m/s。

(2)當(dāng)v2最小時,小球恰好運(yùn)動到與N點(diǎn)等高,

有v2mint2=d+g,

12

2?2

解得v2min=3m/s;

當(dāng)v2最大時,小球恰好運(yùn)動到與M點(diǎn)等高,有v2maxt2=d+l+g,

12

2?2

解得v2max=3.4m/s,

則空管的速度大小應(yīng)滿足3m/s≤v2≤3.4m/s。

8.(6分)(多選)在某地客車和貨車在同一時刻、從同一地點(diǎn)沿同一方向做直線運(yùn)動?？蛙?/p>

做初速度為零、加速度大小為a1的勻加速直線運(yùn)動,貨車做初速度為v0、加速度大小為

a2的勻減速直線運(yùn)動至速度減為零后保持靜止,客、貨兩車在運(yùn)動過程中的位移—速度

(x-v)圖像如圖所示,其中虛線與對應(yīng)的坐標(biāo)軸垂直。在兩車從開始運(yùn)動至貨車停止運(yùn)動過

程中,下列說法正確的是()

[A]貨車運(yùn)動的位移為18m

[B]兩車同時到達(dá)6m處

[C]兩車最大間距為18m

[D]兩車最大間距為6m

【答案】AC

【解析】根據(jù)圖像可知,當(dāng)x=0時,貨車的速度為6m/s,即貨車的初速度v0=6m/s,對客車有

222

v=2a1x,對貨車有v-=-2a2x,當(dāng)速度相等時x=6m,聯(lián)立解得a1+a2=3m/s;當(dāng)客車的速度

2

0

v1=8m/s,貨車的速度v?2=2m/s時,兩車通過相同的位移均為x′,對客車有=2a1x′,對貨

2

221

車有-=-2a2x′,聯(lián)立解得a1=2a2,則a1=2m/s,a2=1m/s,所以客車、?貨車的加速度大

22

20

??22

小分別為2m/s和1m/s。貨車運(yùn)動的距離為x2==m=18m,選項(xiàng)A正確;客車到達(dá)

22

?06

2?22×1

x=6m的位置所用時