第3講小專題:電場中的功能關(guān)系和圖像問題

考點一電場中的功能關(guān)系

如圖所示,絕緣粗糙水平面左側(cè)固定一水平放置的絕緣輕質(zhì)彈簧,空間存在水平向右的勻

強電場,一質(zhì)量為m、帶正電的小物塊(視為質(zhì)點)以初速度v0從A點開始向左運動,并壓

縮彈簧至B點。

(1)小物塊從A點運動到B點過程中有哪些力對物塊做功?分別做正功還是負功?

(2)小物塊從A點運動到B點過程中哪些能量減少了?哪些能量增加了?

提示:(1)小物塊由A點運動到B點過程中,電場力對物塊做負功,摩擦力對物塊做負功,彈

簧彈力做負功。

(2)小物塊的動能減少了;小物塊的電勢能增加了,彈簧的彈性勢能增加了,內(nèi)能增加了。

1.常見的功能關(guān)系

(1)合外力做功等于動能的變化量,即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(動能定理)。

(2)重力做功等于物體重力勢能的減少量,即WG=EpG1-EpG2=-ΔEpG。

(3)靜電力做功等于電勢能的減少量,即W電=Ep電1-Ep電2=-ΔEp電。

(4)彈簧彈力做功等于彈性勢能的減少量,即W彈=Ep彈1-Ep彈2=-ΔEp彈。

(5)除了重力和彈簧彈力之外其他力做的總功等于物體機械能的變化,即W其他力=E機2-E機

1=ΔE機。

2.電場中常見的能量關(guān)系

(1)若只有電場力做功,則動能和電勢能之間相互轉(zhuǎn)化,二者之和保持不變,即ΔEk=-ΔEp。

(2)若只有電場力和重力做功,則機械能和電勢能之間相互轉(zhuǎn)化,電勢能、重力勢能、動能

之和保持不變。

注意:動能定理可以把不同力對物體做的功聯(lián)系起來;能量守恒定律可以把系統(tǒng)中參與變

化的所有能量聯(lián)系起來。

[例1]【僅在靜電力作用下的功能關(guān)系】(2024·貴州模擬)如圖所示,虛線a、b、c、d、e

是電場中的一組平行等差等勢面,相鄰兩等勢面間的電勢差為3V,其中a等勢面的電勢為

9V,電子以某初速度從P點平行紙面射入,速度方向與a等勢面夾角為45°,已知該電子恰

好能運動到e等勢面(不計電子重力)。則()

[A]電子在電場中做勻減速直線運動

[B]電子運動到e等勢面時動能為0

[C]電子運動到c等勢面時動能為18eV

[D]電子返回a等勢面時動能為12eV

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可知,電子在電場中僅受電場力,電子的初速度方向與電場力方向不在

一條直線上,則電子在電場方向上做勻減速直線運動,在垂直于電場方向上做勻速直線運

動,即電子在電場中做勻變速曲線運動,故A錯誤;電子運動到e等勢面時,沿電場方向的

速度為0,垂直于電場方向的速度不為0,則電子在e等勢面時動能不為0,故B錯誤;設(shè)電

2

子的初速度為v0,電子由a等勢面到e等勢面,由動能定理有-eUae=m(v0sin45°)-m,

112

22?0

解得電子的初動能Eka=m=24eV,電子由a等勢面到c等勢面,由動能定理有-

12

2?0

eUac=Ekc-Eka,解得Ekc=18eV,電子返回a等勢面時,電場力做功為0,則電子動能為初動能

24eV,故C正確,D錯誤。

[例2]【重力和靜電力作用下的功能關(guān)系】(2024·黑吉遼卷,6)在水平方向的勻強電場中,

一帶電小球僅在重力和電場力作用下于豎直面(紙面)內(nèi)運動。如圖,若小球的初速度方向

沿虛線,則其運動軌跡為直線,若小球的初速度方向垂直于虛線,則其從O點出發(fā)運動到O

點等高處的過程中()

[A]動能減小,電勢能增大

[B]動能增大,電勢能增大

[C]動能減小,電勢能減小

[D]動能增大,電勢能減小

【答案】D

【解析】根據(jù)題意,若小球的初速度方向沿虛線,則其運動軌跡為直線,可知電場力和重力

的合力沿著虛線方向,又電場強度方向為水平方向,根據(jù)力的合成可知,電場力方向水平向

右;若小球的初速度方向垂直于虛線,則其從O點出發(fā)運動到O點等高處的過程中重力對

小球做功為零,電場力的方向與小球的位移方向相同,則電場力對小球做正功,小球的動能

增大,電勢能減小。

[例3]【重力、彈力和靜電力作用下的功能關(guān)系】如圖所示,在空間中存在豎直向上的

勻強電場,質(zhì)量為m、電荷量為+q的物塊從A點由靜止開始下落,加速度大小為g,下落高

1

3

度H到B點后與一輕彈簧接觸,又下落2H后到達最低點C,整個過程中不計空氣阻力,且

彈簧始終在彈性限度內(nèi),重力加速度為g,則帶電物塊在由A點運動到C點過程中,下列說

法正確的是()

[A]該勻強電場的電場強度大小為

??

3?

[B]帶電物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能減少量為mgH

[C]帶電物塊電勢能的增加量為3mgH

[D]彈簧的彈性勢能的增加量為mgH

【答案】D

【解析】帶電物塊從靜止開始下落到接觸彈簧前的加速度為g,對帶電物塊由牛頓第二

1

3

定律得mg-qE=ma,解得E=,故A錯誤;從A到C的過程中,除重力和彈簧彈力以外,只

2??

3?

有電場力做功,電場力做功W=-qE·3H=-2mgH,可知物塊和彈簧組成系統(tǒng)的機械能減少量

為2mgH,物塊電勢能增加量為2mgH,故B、C錯誤;由系統(tǒng)能量守恒得減少的重力勢能等

于增加的電勢能和彈性勢能,即mg·3H=2mgH+Δ,得Δ=mgH,故D正確。

彈彈

?p?p

[變式]在[例3]中彈簧的勁度系數(shù)是多少?物塊下落過程中的最大速度是多少?

【答案】

??2

2?3

【解析】物塊從A2?點?下落到C點的過程中,克服彈簧彈力做功

2到過程由動能定理得--2

W彈=彈·2H=k(2H),ACmg·3HqE·3Hk(2H)=0,

11

?22

解得k=。

??

2?

物塊下落過程中加速度a=0時,速度最大,設(shè)物塊速度最大時彈簧的壓縮量為x,對物塊速

度最大時進行受力分析可得mg=qE+kx,

解得x=H;

2

3

對物塊由A位置下落至速度最大位置過程由動能定理得

mg·H-k(H)2-qE·H=m,

512512

32332?m

解得vm=。

2

32??考點二靜電場中的圖像問題

1.-x圖像(電場方向與x軸平行)

(1?)電場強度的大小等于-x圖線的切線斜率的絕對值,如果圖線是曲線,電場為非勻強電

場;如果圖線是傾斜的直?線,電場為勻強電場(如圖)。切線的斜率為零時沿x軸方向電場

強度為零。

(2)在-x圖像中可以直接判斷各點電勢的高低,并可根據(jù)電勢的高低確定電場強度的方

向,進?而可以判斷電荷在電場中的受力方向。(如圖)

2.E-x圖像(電場方向與x軸平行)

(1)E-x圖像為靜電場在x軸上的電場強度E隨x的變化關(guān)系,若規(guī)定x軸正方向為電場強

度E的正方向,則E>0時,電場強度E沿x軸正方向;E<0時,電場強度E沿x軸負方向。

(2)E-x圖線與x軸所圍圖形“面積”表示電勢差(如圖所示),兩點的電勢高低根據(jù)電場方向

判定。在與粒子運動相結(jié)合的題目中,可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變

化等情況。

3.Ep-x圖像、Ek-x圖像

(1)Ep-x圖像。

由靜電力做功與電勢能變化關(guān)系F電x=Ep1-Ep2=-ΔEp知Ep-x圖像的切線斜率k=,其絕

Δ?p

對值等于靜電力大小,正負代表靜電力的方向。Δ?

(2)Ek-x圖像。

當只有靜電力對帶電體做功時,由動能定理F電x=Ek-Ek0=ΔEk知Ek-x圖像的切線斜率

k=,斜率表示靜電力。

Δ??

Δ?

[例4]【-x圖像】(2025·河南高考適應(yīng)性考試)某電場的電勢隨位置x的變化關(guān)系如

圖所示,O?點為坐標原點,a、b、c、d為x軸上的四個點。一帶正?電粒子從d點由靜止釋

放,在電場力作用下沿x軸運動,不計重力,則粒子()

[A]將在ad之間做周期性運動

[B]在d點的電勢能大于a點的電勢能

[C]在b點與c點所受電場力方向相同

[D]將沿x軸負方向運動,可以到達O點

【答案】A

【解析】a、d兩點電勢相等,則帶正電粒子在a、d兩點的電勢能相等,故B錯誤;沿著電

場線方向電勢降低,在b點電場線方向沿x軸正方向,在c點電場線方向沿x軸負方向,因

此帶正電粒子在b點與c點所受電場力方向不同,故C錯誤;帶正電粒子從d點由靜止釋

放先沿x軸負方向加速,再沿x軸負方向減速,到達a點時速度為0,然后粒子沿x軸正方

向先加速后減速,到達d點時速度為0,則帶正電粒子在ad之間做周期性運動,故A正確,D

錯誤。

[例5]【E-x圖像】(2024·江蘇南京模擬)空間有一沿x軸對稱分布的電場,其電場強度E

隨x變化的圖像如圖所示,以x軸正向為電場強度的正方向。則()

[A]x1、x2兩點間和x2、x3兩點間的電勢差相等

[B]x1、x3兩點的電勢相等

[C]-x1點的電勢高于x2點的電勢

[D]從x軸上x1點由靜止釋放一正電荷,電荷經(jīng)過x2點時動能最大

【答案】C

【解析】E-x圖像中圖線與x軸所圍面積表示電勢差,由題圖無法判斷x1、x2兩點間和

x2、x3兩點間的電勢差的大小關(guān)系,故A錯誤;在O點右側(cè)場強方向沿x軸正向,由于沿電

場線方向電勢逐漸降低,則x1點電勢高于x3點電勢,故B錯誤;由于E-x圖像中圖線與x

軸所圍面積表示電勢差,故從O點到x2的電勢降落大于O點到-x1電勢降落,所以-x1的電

勢高于x2的電勢,故C正確;從x軸上x1點由靜止釋放一正電荷,電場力一直對電荷做正

功,其動能一直增大,故D錯誤。

[例6]【Ep-x圖像】(多選)一帶負電的微粒(電荷量不變,所受重力不計)只在電場力作用

下沿x軸正方向運動,其電勢能Ep隨位移x變化的關(guān)系如圖所示,其中0～x1段是曲

線,x1～x2段是平行于x軸的直線,x2～x3段是傾斜直線,則()

[A]0～x1段電場強度逐漸增大

[B]0～x1段電勢逐漸升高

[C]x1～x2段電場強度為零

[D]x2～x3段微粒做勻加速直線運動

【答案】CD

【解析】Ep-x圖線的斜率的絕對值表示電場力的大小,0～x1段微粒所受電場力減小,故

0～x1段電場強度減小,同理,x1～x2段電場強度為零,故A錯誤,C正確;0～x1段微粒的電勢

能逐漸增大,而微粒帶負電荷,所以電勢逐漸降低,故B錯誤;x2～x3段微粒受到的電場力大

小不變,電勢能減少,動能增加,則微粒做勻加速直線運動,故D正確。

[例7]【Ek-x圖像】(2024·江西階段練習)(多選)如圖甲所示,光滑絕緣水平地面上以水平

向右為正方向建立Ox軸,O點右側(cè)兩豎直虛線中間區(qū)域存在平行x軸方向的電場,電勢

隨x位置的變化情況如圖乙所示。一帶電物塊以某一初速度向右由O點進入電場區(qū)域?,

物塊僅在電場力作用下通過該電場區(qū)域。則該區(qū)域中物塊的動能Ek隨x位置變化的圖

像可能正確的是()

[A][B]

[C][D]

【答案】BD

【解析】-x圖像斜率表示電場強度,根據(jù)題圖乙圖像可知,電場強度逐漸減小,物塊受到

的電場力逐?漸減小,根據(jù)Fx=ΔEk得F=,因此Ek-x圖像的斜率表示合力,而合力逐漸減

Δ??

?

小,則Ek-x圖像的斜率逐漸減小。故選BD。

(滿分:42分)

對點1.電場中的功能關(guān)系

1.(4分)(2024·云南玉溪期中)a、b、c、d四個帶電液滴在如圖所示的勻強電場中,分別水

平向左、水平向右、豎直向上、豎直向下做勻速直線運動,則()

[A]c的電勢能減少,機械能增加

[B]a、b的電勢能增加、機械能不變

[C]a、b為同種電荷,c、d為異種電荷

[D]d的電勢能減少,機械能減少

【答案】A

【解析】四個帶電液滴均做勻速直線運動,則所受電場力均向上且大小等于重力,故帶電

液滴均帶正電,C錯誤;電場力對c做正功,電勢能減少,重力對c做負功,機械能增加,A正

確;在運動過程中,電場力和重力對a、b都不做功,a、b的電勢能、機械能均不變,B錯誤;

電場力對d做負功,電勢能增加,機械能減少,D錯誤。

2.(6分)(2023·全國乙卷,19)(多選)在O點處固定一個正點電荷,P點在O點右上方。從P

點由靜止釋放一個帶負電的小球,小球僅在重力和該點電荷電場力作用下在豎直面內(nèi)運

動,其一段軌跡如圖所示。M、N是軌跡上的兩點,OP>OM,OM=ON,則小球()

[A]在運動過程中,電勢能先增加后減少

[B]在P點的電勢能大于在N點的電勢能

[C]在M點的機械能等于在N點的機械能

[D]從M點運動到N點的過程中,電場力始終不做功

【答案】BC

【解析】由題知,OP>OM,OM=ON,則根據(jù)點電荷的電勢分布情況可知M=N>P,則帶負

電的小球在運動過程中,電勢能先減少后增加,且EpP>EpM=EpN,則帶負電?的小?球在?M點的

機械能等于在N點的機械能,A錯誤,B、C正確;從M點運動到N點的過程中,電場力先做

正功后做負功,D錯誤。

3.(4分)(2024·四川南充模擬)如圖所示,水平放置的輕質(zhì)絕緣彈簧左端固定在豎直墻壁上,

右端連接一放置在光滑絕緣水平面上的帶正電小球,水平面上方存在水平向右的勻強電

場。初始時彈簧處于壓縮狀態(tài),將小球由靜止釋放,小球運動過程中彈簧始終在彈性限度

內(nèi),則在小球向右運動的過程中()

[A]彈簧恢復(fù)原長時,小球的速度最大

[B]小球運動到最右端時,小球的加速度為零

[C]小球運動到最右端時,彈簧的彈性勢能最大

[D]小球運動到最右端時,彈簧的彈性勢能與初始時相等

【答案】C

【解析】當小球在水平方向上受到電場力和彈簧彈力平衡時,加速度為零,小球速度有最

大值,此時彈簧處于伸長狀態(tài),故A錯誤;小球做簡諧運動,電場力和彈簧彈力的合力提供

回復(fù)力,小球運動到最右端時彈簧的彈性勢能最大,此時小球速度為零,小球的加速度最大,

故B錯誤,C正確;在小球向右運動到最右端的過程,電場力做正功,根據(jù)動能定理W電+W彈

=0,可知彈簧彈力做負功,小球運動到最右端時,彈簧的彈性勢能比初始時的大,D錯誤。

對點2.靜電場中的圖像問題

4.(6分)(2024·云南昭通模擬)(多選)如圖甲所示,一絕緣帶電的豎直圓環(huán)上均勻分布著電荷,

一光滑絕緣細桿從圓心垂直于圓環(huán)平面穿過圓環(huán),桿上穿一個帶負電的小球(圖中未畫出),

現(xiàn)使小球從a點由靜止釋放,并開始計時,先后經(jīng)過b、c兩點,其運動過程中的v-t圖像如

圖乙所示。下列說法正確的是()

[A]帶電圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的電場強度為零

[B]c點場強大于b點場強

[C]a點的電勢高于b點的電勢

[D]電勢差Uab大于Ubc

【答案】AD

【解析】根據(jù)電場的疊加原理和對稱性可知,帶電圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的場強為零,故A正

確;v-t圖像的斜率表示加速度,由題圖乙可知,小球在c點的加速度小于在b點的加速度,

根據(jù)qE=ma可知,c點場強小于b點場強,故B錯誤;根據(jù)題圖乙可知小球在做加速運動,

可知小球受到圓環(huán)的斥力作用,圓環(huán)帶負電,由于沿電場線方向電勢降低,則a點的電勢低

于b點的電勢,故C錯誤;根據(jù)動能定理有qUab=m-0,qUbc=m-m,可得

121212

2??2??2??

qUab<qUbc,由于小球帶負電,所以Uab>Ubc,故D正確。

5.(4分)(2025·內(nèi)蒙古高考適應(yīng)性考試)如圖,一帶正電小球甲固定在光滑絕緣斜面上,另一

帶正電小球乙在斜面上由靜止釋放。以釋放點為原點,沿斜面向下為正方向建立x軸。

在乙沿x軸加速下滑過程中,其動能Ek和機械能E隨位置x變化的圖像,可能正確的是

()

[A][B][C][D]

【答案】D

甲乙

【解析】設(shè)兩個帶電小球間距為r,對小球乙,由動能定理可知(mgsinθ-k)x=Ek,則Ek-

??

2

甲乙?

x圖像的斜率表示小球乙所受合外力,則F合=mgsinθ-k,所以在乙沿x軸加速下滑過

??

2

?

程中,兩個帶電小球間距r逐漸減小,小球乙所受合外力沿斜面向下且逐漸減小,則Ek-x圖

像斜率逐漸減小,故A、B不符合題意;由E-x圖像的斜率表示庫侖力,則E-x圖像斜率k斜

甲乙

=k,所以在乙沿x軸加速下滑過程中,庫侖力逐漸增大,E-x圖像的斜率逐漸增大,故C

??

2

不符?合題意,D符合題意。

6.(4分)(2024·安徽滁州模擬)如圖,絕緣粗糙的水平面附近存在一與x軸平行的電場,其在

x軸上的電勢與坐標x的關(guān)系如圖中曲線所示,圖中的傾斜虛線為該曲線過點(0.15,3)的

-7

切線。質(zhì)量為?0.1kg、電荷量為1.0×10C的帶正電滑塊P,從x1=0.1m處由靜止釋放,滑

塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.2。滑塊可視為質(zhì)點,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,g取

10m/s2。則滑塊()

[A]做勻減速直線運動

[B]經(jīng)過x2=0.15m處時,速度最大

-2

[C]從釋放到經(jīng)過x2=0.15m處,電場力做功為3.0×10J

[D]可以滑到x3=0.30m處

【答案】B

6

【解析】x2=0.15m處,場強E==N/C=2×10N/C,滑塊受到的電場力

.-.5

Δ?4×10

-76Δ?0301

F=qE=1.0×10×2×10N=0.2N,滑動摩擦力Ff=μmg=0.2×0.1×10N=0.2N,此時加速度為零,

滑塊的速度最大,故B正確;-x圖像中,某點切線的斜率絕對值k=||表示該點電場強度

Δ?

Δ?

的大小,由此可知沿x軸正方?向,電場強度逐漸減小,根據(jù)牛頓第二定律可知剛開始運動時

qE-Ff=ma,滑塊在整個過程中先做加速度減小的變加速運動,加速度為零后,有Ff-qE=ma,

所以后做加速度增大的減速運動,故A錯誤;從釋放到經(jīng)過x2=0.15m處,電場力做功

-755-2

W=q(1-2)=1.0×10×(4.5×10-3×10)J=1.5×10J,故C錯誤;若滑塊能在0.3m處停下,

-755-2

則電場?力?做功WE=q(1-3)=1.0×10×(4.5×10-1.5×10)J=3×10J,摩擦力做功Wf=-

-2

μmg(x3-x1)=-0.2×0.1×?10×?(0.3-0.1)J=-4×10J,由于WE+Wf<0,所以滑塊不能夠滑到

x3=0.30m處,故D錯誤。

7.(6分)(2024·河南開封質(zhì)檢)(多選)空間中有水平方向的勻強電場,一質(zhì)量為m、帶電荷量

為q的微粒在某平面內(nèi)運動,其電勢能和重力勢能隨時間的變化如圖所示,則該微粒()

[A]一定帶正電

[B]0～3s內(nèi)靜電力做的功為-9J

[C]運動過程中動能不變

[D]0～3s內(nèi)除靜電力和重力外所受其他力對微粒做的功為12J

【答案】BCD

【解析】由于不清楚電場強度的方向,故無法確定微粒的電性,故A錯誤;由題圖可知,0～

3s內(nèi)電勢能增加9J,則0～3s靜電力做的功為-9J,故B正確;由題圖可知,電勢能均勻增

加,即靜電力做的功與時間成正比,說明微粒沿靜電力方向做勻速直線運動,同理,沿重力方

向也做勻速直線運動,則微粒的合運動為勻速直線運動,所以運動過程中速度不變,動能不

變,故C正確;由功能關(guān)系可知,0～3s內(nèi)重力勢能與電勢能共增加12J,又微粒的動能不變,

故0～3s內(nèi)除靜電力和重力外所受其他力對微粒做的功為12J,故D正確。

8.(4分)(2025·湖南衡陽模擬)在傾角為θ的光滑固定絕緣足夠長的斜面上,有兩個用絕緣輕

彈簧連接的物塊A和B,它們的質(zhì)量分別為m和3m,彈簧的勁度系數(shù)為k,C為一固定擋

板。開始未加電場,系統(tǒng)處于靜止狀態(tài),A帶正電,B不帶電,現(xiàn)加一沿斜面向上的勻強電場,

物塊A沿斜面向上運動,當B剛離開C時,A的速度為v,之后兩物塊運動中,當A的加速

度為0時,B的加速度大小為a,方向沿斜面向上。下列說法正確的是()

[A]未加電場時,擋板C對物塊B的作用力大小為3mgsinθ

[B]從加電場到B剛離開C的過程中,A發(fā)生的位移大小為

3??sin?

?

[C]從加電場到B剛離開C的過程中,物塊A的機械能和電勢能之和保持不變

[D]B剛離開C時,電場力對A做功的瞬時功率為(4mgsinθ+3ma)v

【答案】D

【解析】開始未加電場,系統(tǒng)處于靜止狀態(tài),擋板C對物塊B的作用力大小等于A和B

的總重力在沿斜面