第十三講：代數(shù)式的值【課堂引入】用火柴棒按如下方式搭小魚：搭20條“小魚”用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？搭n條“小魚”,所需火柴棒的根數(shù)為_________________________則當n=20時，8+6(n1)=___________________則當n=100時，8+6(n1)=____________________.6n+2122602【同步知識梳理】1.代數(shù)式的值的概念根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中指明的運算關系計算，所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.代數(shù)式的值由代數(shù)式里的字母取不同的值確定，同一個代數(shù)式中的字母若取值不同，則所求的代數(shù)式的值一般也不同.2.求代數(shù)式的值應注意（1）計算是按照代數(shù)式指明的運算關系進行的，因此計算時，代數(shù)式中原來的運算符號、運算順序及具體的數(shù)字都不變.（2）代數(shù)式的值是由這個代數(shù)式中的字母在允許范圍內(nèi)所取的值所確定的，它隨著字母的取值不同而變化.（3）當字母的取值是分數(shù)或負數(shù)的乘方運算時，都要添加必要的括號；代數(shù)式中原來省略的乘號，在具體數(shù)字代入時一定要重新添上“×”號.[注意]求一個代數(shù)式的值不能籠統(tǒng)地說“代數(shù)式的值”，而要強調(diào)在字母取什么值時，求得的這個代數(shù)式的值是多少，以此來表示所求的代數(shù)式的值是在什么樣的條件下求得的.知識點2程序計算按照題目規(guī)定的程序（框圖），確定輸入數(shù)據(jù)及運算順序，根據(jù)題意寫出代數(shù)式，最后把輸入的數(shù)據(jù)代替字母，求出代數(shù)式的值.[注意]（1）輸入數(shù)據(jù)，按照給定的程序計算，若結(jié)果符合條件，則輸出結(jié)果；若結(jié)果不符合條件，則把結(jié)果作為輸入數(shù)據(jù)，按照要求重新計算，直至符合條件，輸出結(jié)果。（2）程序（框圖）的運算是由前往后依次進行的，得到前面一個步驟的計算結(jié)果，再把值代入下一個步驟并運算，運算順序不能出錯.【課堂練習】題型一：簡單的代數(shù)式求值當a=6，b=時，求代數(shù)式a2+2ab+b2的值.答案：變式訓練:1、當a=2,b=3時,求代數(shù)式2a23ab+b2的值.答案：12、當x=2時,求下列代數(shù)式的值：(1)4x24x+4(2)5x32x2+x3答案：12；31題型二：整體代入例2、如果x2x=1，那么3x23x2的值是（） A.1 B.1 C.2 D.2 答案：A變式訓練:1、已知a2+2a=1，則代數(shù)式12（a2+2a）的值為（）A.0 B.1 C.1 D.2 答案：C2、已知xy=2,則3(xy)24(xy)=__________;答案：43、如果當x=1時,代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是5,那么當x=1時,代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是__________.答案：3題型三：按照程序要求循環(huán)運算例3、有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，原理如圖所示，若開始輸入x的值是7，可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果是12，第2次輸出的結(jié)果是6，第3次輸出的結(jié)果是_________，依次繼續(xù)下去，第2023次輸出的結(jié)果是_________.答案：3；1變式訓練:1、如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機.若輸入的數(shù)是5，則輸出的數(shù)是_______.答案：5772、運行如圖所示的程序，若輸入x=2，則輸出的結(jié)果是_________.答案：10題型四：探索代數(shù)式的值的變化趨勢例4、（1）填寫下表，并觀察下列兩個代數(shù)式的值的變化情況.（2）隨著n的值逐漸變大，兩個代數(shù)式的值如何變化?（3）估計一下，哪個代數(shù)式的值先超過100?答案：（1）第一排：11，16，21，26，31，36，41，46；第二排：1，4，9，16，25，36，49，64（2）隨n的值逐漸增大，兩代數(shù)式的值也相應增大（3）n2的值先超過100變式訓練:1、填寫下表，并觀察兩個代數(shù)式值的變化情況，回答下列問題:（1）隨著x的值由小變大，兩個代數(shù)式的值如何變化?（2）x2+4有最大值嗎?有最小值嗎?答案:填表如下:（1）2x+1的值隨x的增大而增大:x2+4在x=0時取最大值，當x<0時，代數(shù)式的值隨x的增大而增大；當x>0時，代數(shù)式的值隨x的增大而減小.（2）x2+4有最大值.是4，沒有最小值.題型五：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式的值例5、已知m與n互為倒數(shù)，且|x+y|+(a1)2=0，求a2a(x+y+mn)+(x+y)2019+(mn)2020的值.答案：1變式訓練:1、已知|a|=4，|b1|=2.（1）求a，b的值；（2）若b>a，求2ab的值.答案:（1）因為|a|=4，|b1|=2，所以a=±4，b=3或1.（2）因為b>a，所以a=4，b=3或1，所以當a=4.b=3時，2ab=11.當a=4，b=1時，2ab=7.題型六：根據(jù)代數(shù)式的值解決方案問題例6、某超市出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價48元，茶杯每只定價6元，該超市制定了兩種優(yōu)惠方案:①買一只茶壺送一只茶杯；②按總價的90%付款.某顧客需買茶壺3只，茶杯x（x>3）只.（1）若該客戶按方案①購買，需付款多少元?（用含x的代數(shù)式表示） （2）若該客戶按方案②購買，需付款多少元?（用含x的代數(shù)式表示） （3）討論買15只茶杯時，按哪種方案購買較為合算? 答案：（1）6x+126（2）5.4x+129.6（3）216＞210.6②購買合算變式訓練:1、某市有兩家出租車公司，收費標準不同，甲公司收費標準為:起步價8元，超過3千米后，超過的部分按照每千米1.5元收費.乙公司收費標準為:起步價11元，超過3千米后，超過的部分按照每千米1.2元收費.車輛行駛s千米.（s取整數(shù)，不足1千米的路程按1千米計費）根據(jù)上述內(nèi)容，完成以下問題:（1）當0<s<3，乙公司比甲公司貴_________元；（2）當s>3，且s為整數(shù)時，甲、乙兩公司的收費分別是多少?（結(jié)果用化簡后的含s的式子表示）（3）當行駛路程為12千米時，哪家公司的費用便宜?便宜多少錢?答案:（1）當0<s<3時，由題意得乙公司收費為11元.甲公司收費為8元，所以118=3（元），即乙公司比甲公司貴3元.（2）當s>3，且s為整數(shù)時，甲公司的收費是:8+1.5（s3）=1.5s+3.5，乙公司的收費是:11+1.2（s3）=1.2s+7.4（3）當s=12時，甲公司收費:8+1.5（s3）=8+1.5×（123）=8+13.5=21.5（元），乙公司收費:11+1.2（s3）=11+1.2×（123）=11+10.8=21.8（元）.21.821.5=0.3（元）.故甲公司的費用便宜、便宜0.3元.【課堂提升】1、已知x=2023時，代數(shù)式ax3+bx3的值是2，當x=2023時，代數(shù)式ax3+bx+7的值等于（）A.0 B.2 C.4 D.4答案：B2、當x=4時，多項式ax7+bx5+cx33的值為4，則當x=4時，該多項式的值為（）A.4 B.3 C.2 D.答案不確定答案：C[提示:當x=4時，ax7+bx5+cx33=16384a+1024b+64c3=4，所以16384a+1024b+64=1.16384a1024b64=1.當x=4時.ar+br5+cx33=16384a1024b64c3=13=2.]【課后鞏固訓練】1.若a=，b=3，代數(shù)式4a2b+5的值是（）A.3 B.3 C.9 D.91.B2.若a是絕對值最小的有理數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，則代數(shù)式ab+c的值為（）A.0 B.1 C.2 D.32.C3.無論a取何值，下列代數(shù)式的值都是正數(shù)的是（）A.a2+5 B.|a+5| C.（a+5）2 D.a3+5553.A4.當a=1，b=3時，代數(shù)式2ab的值等于_________.4.55.若代數(shù)式2a2+3a+1的值為6，則代數(shù)式6a2+9a+6的值為_________.5.21[提示:因為2a2+3a+1=6.所以2a2+3a=5，6a2+9a=15、所以6a2+9a+6=15+6=21.]6.如圖所示，若開始輸入的x的值為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為144，則滿足條件的x的值為_________.29或67.當x=，y=2，z=3時，分別求出下列代數(shù)式的值:（1）x（y）+（z）；（2）x+（y）z.7.解:（1）x（y）+（z）=x+yz=1+23=（2）x+（y）z=xyz=123=4.8.如圖所示，長方形的長為a，寬為b.現(xiàn)以長方形的四個頂點為圓心，寬的一半為半徑在四個角上分別畫出四分之一圓.（1）用含a，b的代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積；（2）當a=10，b=6時，求圖中陰影部分的面積（π取3）.8.解:（1）abb2.（2）當a=10,b=6時，S陰影=10×6×62≈6027=33.9.“泉城”濟南居民用水非常緊張，市政府發(fā)出了全民節(jié)約用水的號召，把水費收費標準調(diào)整為階梯性收費，規(guī)定:第一階梯:每戶每年用水量0立方米~144立方米（含144），每立方米按4.20元收費；第二階梯:每戶每年用水量144立方米~288立方米（含288），超過144立方米的部分每立方米按5.60元收費.（1）若黃老師家今年已用水100立方米，則已產(chǎn)生水費_________元.（