202X四平市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）證明與推斷：①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：的值為：（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H．若AG=6，GH=2，則BC=．解析：（1）①四邊形CEGF是正方形；②；（2）線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）3【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證∽即可得；（3）證∽得，設(shè)，知，由得、、，由可得a的值．【詳解】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四邊形CEGF是正方形；②由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴，故答案為；（2）連接CG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=、=，∴=，∴△ACG∽△BCE，∴，∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）∵∠CEF=45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC=CD=AD=a，則AC=a，則由得，∴AH=a，則DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴由得，解得：a=3，即BC=3，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．[問(wèn)題解決]（1）如圖1．在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)處，折線AE交BC于點(diǎn)E，連接B'E．求證：四邊形是菱形．[規(guī)律探索]（2）如圖2，在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[拓展應(yīng)用]（3）如圖3，在矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，得到折痕FP，點(diǎn)B落在紙片ABCD內(nèi)部點(diǎn)處，點(diǎn)A落在紙片ABCD外部點(diǎn)處，與AD交于點(diǎn)M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的長(zhǎng)．解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）是，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和翻折可推出，即．故四邊形是平行四邊形，再由翻折可知，即證明平行四邊形是菱形．（2）由翻折和平行線的性質(zhì)可知，，即得出，即是等腰三角形．（3）延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意易證，得出結(jié)論，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出．【詳解】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知，∴，由翻折可知，∴，∴．∴四邊形是平行四邊形．再由翻折可知，∴四邊形是菱形．（2）由翻折可知，∵，∴，∴，∴QF=QP，∴是等腰三角形．（3）如圖，延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知，在和中，，∴，∴，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形．∴FG=PG．∵，∴在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題為矩形的折疊問(wèn)題．考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．掌握折疊的性質(zhì)和正確的連接輔助線是解答本題的關(guān)鍵．3．問(wèn)題呈現(xiàn)：如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A，B和C，D，AB和CD相交于點(diǎn)P，求tan∠BPD的值．方法歸納：利用網(wǎng)格將線段CD平移到線段BE，連接AE，得到格點(diǎn)△ABE，且AE⊥BE，則∠BPD就變換成Rt△ABE中的∠ABE．問(wèn)題解決：（1）圖1中tan∠BPD的值為_(kāi)_______；（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A，B和C，D，AB與CD交于點(diǎn)P，求cos∠BPD的值；思維拓展：（3）如圖3，AB⊥CD，垂足為B，且AB＝4BC，BD＝2BC，點(diǎn)E在AB上，且AE＝BC，連接AD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，利用網(wǎng)格求sin∠CPD．解析：（1）2；（2）；（3）【分析】（1）由題意可得BE∥DC，則∠ABE=∠DPB，那么∠BPD就變換到Rt△ABE中，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)A作AE//CD，連接BE，那么∠BPD就變換到等腰Rt△ABE中，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（3）以BC為邊長(zhǎng)構(gòu)造網(wǎng)格，然后把PC平移到AN，則∠CPD就變換成Rt△ADN中的∠NAD，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【詳解】（1）由勾股定理可得：，∵CD//BE，∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝；（2）過(guò)點(diǎn)A作AE//CD，連接BE，由圖可知E點(diǎn)在格點(diǎn)上，且∠AEB＝90°，由勾股定理可得：∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝（3）如圖3構(gòu)造網(wǎng)格，過(guò)點(diǎn)A作AN//PC，連接DN，由圖可知N點(diǎn)在格點(diǎn)上，且∠AND＝90°，由勾股定理可得：∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、平行線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．4．（1）（問(wèn)題背景）如圖1，在中，，，D是直線BC上的一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：；（2）（嘗試應(yīng)用）如圖2，在（1）的條件下，延長(zhǎng)DE，AC交于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F．求證：；（3）（拓展創(chuàng)新）如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，直接寫出的面積為_(kāi)____________．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）【問(wèn)題背景】如圖1，根據(jù)SAS證明三角形全等即可．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥DC交FB的延長(zhǎng)線于K．證明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再證明FG＝DE＝即可．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CE＝BD，CE⊥BD，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）【問(wèn)題背景】證明：如圖1，∵，∴，在和中，，∴．（2）【嘗試應(yīng)用】證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作交FB的延長(zhǎng)線于K．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作交BD于E，連接CE．∵，，∴與都是等腰直角三角形，同法可證，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．5．（問(wèn)題原型）如圖，在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，以為直徑作．求證：點(diǎn)、在上．請(qǐng)完成上面問(wèn)題的證明，寫出完整的證明過(guò)程．（發(fā)現(xiàn)結(jié)論）矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以該矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為直徑的圓上．（結(jié)論應(yīng)用）如圖，已知線段，以線段為對(duì)角線構(gòu)造矩形．求矩形面積的最大值．（拓展延伸）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，以線段為對(duì)角線構(gòu)造矩形，矩形的邊與正方形的對(duì)角線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最大時(shí)，矩形的面積為_(kāi)____________________解析：?jiǎn)栴}原型：見(jiàn)解析；結(jié)論應(yīng)用：見(jiàn)解析；發(fā)現(xiàn)結(jié)論：2；拓展延伸：2【分析】問(wèn)題原型：運(yùn)用矩形對(duì)角線互相平分且相等，即可求證四點(diǎn)共圓；結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論矩形面積最大時(shí)為正方形，利用對(duì)角線的長(zhǎng)求得正方形的面積；拓展延伸：由上一問(wèn)的結(jié)論，可知四邊形為正方形,證明四邊形是正方形，繼而求得面積【詳解】解：【問(wèn)題原型】∵為直徑，∴為半徑.令.∵四邊形為矩形，∴，，.∴.∴點(diǎn)、在上.【結(jié)論應(yīng)用】連續(xù)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).∴.由【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】可知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，∴當(dāng)即時(shí)，矩形的面積最大.∴矩形的面積最大值為.【拓展延伸】如圖，連接,設(shè)與的交點(diǎn)為四邊形是正方形,，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn),四邊形是矩形由【結(jié)論應(yīng)用】可知，時(shí)，矩形的面積最大為此時(shí)四邊形為正方形，此時(shí)最大，,四邊形是正方形正方形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用矩形，正方形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．6．定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如，四邊形中，若或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．（概念理解）（1）如圖1，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．①若，則________；②若．且時(shí)．則_______；（拓展提升）（2）如圖，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，圖中之間的數(shù)量關(guān)系是，并證明這種關(guān)系；（類比應(yīng)用）（3）如圖3，在四邊形中，平分；①求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②如圖4，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．解析：（1）①，②；（2），理由見(jiàn)解析；（3）①見(jiàn)解析，②．【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，結(jié)合，即可求得答案；②根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，由，得，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可證明，繼而證明，從而可得結(jié)論；（3）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則,可證，進(jìn)而可證四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②設(shè)，則根據(jù)，再運(yùn)用建立方程，解方程即可求得．【詳解】（1），設(shè)，根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，，即，解得，，，．故答案為：．②如圖1，連接，，，，在中，在中，，，，故答案為：．（2），理由如下：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn),使得，連接，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，，，，，，，，即，，，，，,，，即，故答案為：．（3）①證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，平分，，，，，，，與互補(bǔ)，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②由①可知四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，，，，設(shè)，則，，，，，，，整理得：，解得：．在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連結(jié)AD、AE，點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）觀察猜想①在求的值時(shí)，小明運(yùn)用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：如圖1，先由，得到，再由中位線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得出△PMN為等邊三角形，∴．②如圖2，當(dāng)，仿照小明的思路求的值；（2）探究證明如圖3，試猜想的值是否與的度數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，請(qǐng)用含的式子表示出，若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用如圖4，，點(diǎn)D、E分別是射線AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)．解析：（1）②；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，；（3）MN的長(zhǎng)為或．【分析】（1）②先根據(jù)線段的和差求出，再根據(jù)中位線定理、平行線的性質(zhì)得出，從而可得出，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得；（2）參照題（1）的方法，得出為等腰三角形和的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如圖（見(jiàn)解析），先利用等腰三角形的性質(zhì)與判定得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC、CE的長(zhǎng)，由根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出，從而可得的值，最后分別利用（2）的結(jié)論即可得MN的長(zhǎng)．【詳解】（1）②∴∴為等腰直角三角形，∵點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)∴∴為等腰直角三角形，∴即；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，求解過(guò)程如下：由（1）可知，，即為等腰三角形如圖5，作則在中，，即則；（3）依題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)如圖6，作的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，并連結(jié)BP，，即設(shè)，則解得或（不符題意，舍去）即由（2）可知，點(diǎn)P是AC上的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一）在中，，即②如圖7，當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)同理可得：綜上，MN的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分兩種情況，并結(jié)合題（2）的結(jié)論是解題關(guān)鍵．8．如圖①，在中，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）①的數(shù)量關(guān)系是___________②的數(shù)量關(guān)系是______________（類比探究）（2）將圖①中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展遷移）（3）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)在同一直線上時(shí)的長(zhǎng)．解析：（1）①；②；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)為或【分析】（1）①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到答案；②由①知，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角性質(zhì)，得到，，然后即可得到答案；（2）①過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，EF與交于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，證明，即可得到結(jié)論成立；②由全等三角形的性質(zhì)，求出∠OEC=90°，即可得到結(jié)論成立；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)在同一直線上可分為兩種情況：①點(diǎn)C在線段OB上；②點(diǎn)C在OB的延長(zhǎng)線上；利用等腰直角三角形的性質(zhì)，分別求出OE的長(zhǎng)度，即可得到答案.【詳解】解：（1）如圖，在△AOD和△ACD中，∵，為AD中點(diǎn)，，，E為AD中點(diǎn)，，；②，為AD中點(diǎn)，，∴；同理可得：，，．（2）成立．證明：①如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)，∵是等腰三角形，∴∵，∴，∴，∴均為等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴；②，∴，，，；（3）的長(zhǎng)為或；∵在等腰直角中，，，由（2）可知，，，∴是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有①點(diǎn)C在線段OB上；如圖：∴，∴；②點(diǎn)C在OB的延長(zhǎng)線上；如圖：∴，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為或；【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的外角性質(zhì)等，綜合能力強(qiáng)，知識(shí)的運(yùn)用廣泛.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想進(jìn)行分析.9．問(wèn)題背景（1）如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。畤L試應(yīng)用（2）如圖（2）．在中，，分別以AC，AB為邊，作等邊和等邊，連接ED，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD．若，求的值．拓展創(chuàng)新（3）如圖（3）．在中，，，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可得；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，得出，由直角三角形性質(zhì)得，則可計(jì)算得答案；（3）過(guò)點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質(zhì)求出BE、PE的長(zhǎng)即可得解．【詳解】解（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，，，，，可以由繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2)和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)BF=x，則CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值為+1．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．10．如圖1，邊長(zhǎng)為4的正方形與邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對(duì)角線上．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．類比探究（2）如圖2，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度（）．請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展延伸（3）若為的中點(diǎn)，在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．解析：（1）；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）或【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，，，GH=HF=HE=HC，得出，，，由勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]解：，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴，；故答案為：；[類比探究]解：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接CE，如圖2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，，，∴△ACE∽△BCF，，；[拓展延伸]解：分兩種情況：①如圖3所示：連接CE交GF于H，∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，HF=HE=HC，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴CF=BC=2，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴，∴；②如圖4所示：連接CE交GF于H，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．11．（知識(shí)再現(xiàn)）學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（簡(jiǎn)單應(yīng)用）如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說(shuō)明理由．解析：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見(jiàn)解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣），理由見(jiàn)解析【分析】簡(jiǎn)單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．【詳解】簡(jiǎn)單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案為：AE＝AD．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．理由：如圖（2）中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．理由：在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC?cos（180°﹣）＝m?cos（180°﹣），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cos（180°﹣）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問(wèn)題.12．(1)方法選擇如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，．求證：.小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：在上截取，連接…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得…請(qǐng)你選擇一種方法證明．(2)類比探究（探究1）如圖②，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（探究2）如圖③，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．(3)拓展猜想如圖④，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．解析：(1)方法選擇：證明見(jiàn)解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.【分析】（1）方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，過(guò)A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過(guò)A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過(guò)A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，DM=AD，于是得到結(jié)論．【詳解】(1)方法選擇：∵，∴，如圖①，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴；(2)類比探究：如圖②，∵是的直徑，∴，∵，∴，過(guò)作交于，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，∴，，過(guò)作交于，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為；(3)拓展猜想：；理由：如圖④，∵若是的直徑，∴，過(guò)作交于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（問(wèn)題）如圖1，在中，，過(guò)點(diǎn)作直線平行于．，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，通過(guò)推理就可以得到，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，就可以證明，請(qǐng)完成證明過(guò)程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是射線上一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時(shí)的值最大．若，請(qǐng)你直接寫出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見(jiàn)解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見(jiàn)解析；【拓展引申】（3）時(shí)，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明，再推出即可得=，則.【詳解】證明：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）∵∴∵∴，且∴∴即【數(shù)學(xué)思考】（2）∵∴∴，∵∴，且，∴∴【拓展引申】（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，∵，∴∵∴∴∴，且∴∴∵，∴∴∴∴∴∵∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴∴，且∴∴∴∴∴時(shí)，有最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì).14．性質(zhì)探究如圖①，在等腰三角形中，，則底邊與腰的長(zhǎng)度之比為_(kāi)_______．理解運(yùn)用⑴若頂角為120°的等腰三角形的周長(zhǎng)為，則它的面積為_(kāi)_______；⑵如圖②，在四邊形中，．①求證：；②在邊上分別取中點(diǎn)，連接．若，,直接寫出線段的長(zhǎng)．類比拓展頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為_(kāi)_______（用含的式子表示）．解析：性質(zhì)探究：；理解運(yùn)用：（1）；（2）①見(jiàn)解析；②；類比拓展：.【分析】性質(zhì)探究：作CD⊥AB于D，則∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出結(jié)果；理解運(yùn)用：（1）同上得出則AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周長(zhǎng)得出4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，得出AB=4，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；（2）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；②連接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性質(zhì)得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四邊形內(nèi)角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFH=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出PE=EF=5，PF=PE=5，得出FH=2PF=10，證明MN是△FGH的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果；類比拓展：作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函數(shù)得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出結(jié)果．【詳解】性質(zhì)探究解：作CD⊥AB于D，如圖①所示：則∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC，∠ACB=120°，∴AD=BD，∠A=∠B=30°，∴AC=2CD，AD=CD，∴AB=2AD=2CD，∴=；故答案為；理解運(yùn)用（1）解：如圖①所示：同上得：AC=2CD，AD=CD，∵AC+BC+AB=8+4，∴4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，∴AB=4，∴△ABC的面積=AB×CD=×4×2=4；故答案為4（2）①證明：∵EF=EG=EH，∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；②解：連接FH，作EP⊥FH于P，如圖②所示：則PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，∵EF=EH，∴∠EFH=30°，∴PE=EF=5，∴PF=PE=5，∴FH=2PF=10，∵點(diǎn)M、N分別是FG、GH的中點(diǎn)，∴MN是△FGH的中位線，∴MN=FH=5；類比拓展解：如圖③所示：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，∵sinα=，∴BD=AB×sinα，∴BC=2BD=2AB×sinα，∴=2sinα；故答案為2sinα．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、四邊形內(nèi)角和定理、就直角三角形等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．①求證：；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．解析：（1）①證明見(jiàn)解析；②解：結(jié)論：．理由見(jiàn)解析；（2）結(jié)論：．理由見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論：如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問(wèn)題．（3）如圖2-1中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴≌，∴．②解：結(jié)論：．理由：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作于．∵，∴，∴，，∴，∴∽，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．（3）解：如圖2﹣1中，作交的延長(zhǎng)線于．∵，，∴，∴，∴可以假設(shè)，，，∵，，∴，∴，∴或﹣1（舍棄），∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．16．如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．解析：（1）全等，理由見(jiàn)解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，F(xiàn)D＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說(shuō)明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE的值．解析：（1）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)．18．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過(guò)E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．解析：（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽R(shí)t△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知，證得BC=GM，證明△BCH≌△GMH（AAS），可得出結(jié)論；（3）在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過(guò)點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△DEF∽△ECN，則，得出，則BM=CN，證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽R(shí)t△EBC，∴；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過(guò)點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．（1）[猜