西安經(jīng)開第一學(xué)校（西安經(jīng)發(fā)學(xué)校）中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題模擬匯編一、中考幾何壓軸題1．（探究證明）（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AD、BC于點E、F，GH分別交AB、DC于點G、H，求證：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖②，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點B和點D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的長；（拓展運用）（3）如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊．使得點D落在AB邊上的點G處，點C落在點P處，得到四邊形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，請求BP的長．2．綜合與實踐動手操作利用旋轉(zhuǎn)開展教學(xué)活動，探究圖形變換中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，將等腰直角三角形的邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，，，連接，過點作交延長線于點．思考探索（1）在圖1中：①求證：；②的面積為______；③______．拓展延伸（2）如圖2，若為任意直角三角形，．、、分別用、、表示．請用、、表示：①的面積：______；②的長：______；（3）如圖3，在中，，，，，，連接．①的面積為______；②點是邊的高上的一點，當(dāng)______時，有最小值______．3．如圖：兩個菱形與菱形的邊在同一條直線上，邊長分別為a和b，點C在上，點M為的中點．（1）觀察猜想：如圖①，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______________．（2）拓展探究：如圖②，，將圖①中的菱形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖②位置，其他條件不變，連接，①猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②求出線段與所成的最小夾角．（3）解決問題：如圖③，若將題目中的菱形改為矩形，且，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．4．（問題情境）（1）如圖1，在矩形ABCD中，將矩形沿AC折疊，點B落在點E處，設(shè)AD與CE相交于點F，那么AC與DE的位置關(guān)系為．（類比探究）（2）如圖2，若四邊形ABCD為平行四邊形，上述“問題情境”中的條件不變，①猜想AC與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②當(dāng)∠B與∠ACB滿足什么數(shù)量關(guān)系時，△ABC∽△FEA？請說明理由；（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，?ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，上述“問題情境”中的條件不變，當(dāng)△AEC是直角三角形時，請直接寫出DE的長為．5．將拋物線y＝ax2的圖像（如圖1）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖像（如圖2），記為C：y2＝x．（概念與理解）將拋物線y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖像，記為：C1：_____________；C2：____________．（猜想與證明）在平面直角坐標(biāo)系中，點M（x，0）在x軸正半軸上，過點M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點A、B，交拋物線C2于點C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x=1時，=______；當(dāng)x=2時，=_______；（2）猜想：對任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的猜想；若不成立，請說明理由．（探究與應(yīng)用）①利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；②若△AOB和△COD中有一個是直角三角形時，求△COD與△AOB面積之差；（聯(lián)想與拓展）若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過點M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C3于點A、B，交拋物線C4于點C、D．過點A作x軸的平行線交拋物線C4于點E，過點D作x軸的平行線交拋物線C3于點F．對于x軸上任取一點P，均有△PAE與△PDF面積的比值1:3，請直接寫出m和n之間滿足的等量關(guān)系是______．6．（1）問題探究：如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）類比延伸如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展遷移如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線段DA繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，求線段BA′的長．7．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．8．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，將腰AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過C作CE垂直于直線BB′，垂足為E，連接CB′．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時，的度數(shù)為_______；連接EF，則的值為________．（2）拓展探究：當(dāng)，且時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②解決問題：當(dāng)A，E，F(xiàn)三點共線時，請直接寫出的值．9．在中，，點D?E分別是的中點，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時，填空：①______________；②直線所夾銳角為____________；類比探究（2）如圖②，當(dāng)時，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D落在射線AC上時，請直接寫出的值．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點D是BC的垂線AF上任意一點．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點D是BC的垂線AF上任意一點．請判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請直接寫出BE的長．11．如圖（1），在矩形中，，點分別是邊的中點，四邊形為矩形，連接．（1）問題發(fā)現(xiàn)在圖（1）中，_________；（2）拓展探究將圖（1）中的矩形繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小有無變化？請僅就圖（2）的情形給出證明；（3）問題解決當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點共線時，請直接寫出線段的長．12．問題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫出你所添加的條件，并說明理由．13．幾何探究：（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請直接寫出答案）（類比探究）（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點且相似比為1:2的兩個等腰直角三角形，將△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點共線時，直接寫出BD的長．14．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點D為直線BC上一動點，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，將AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α得到ED，ED交直線AB于點O，連接BE．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，α＝90°，點D在邊BC上，猜想：①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點D在邊BC上，請判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并給予證明．（3）解決問題如圖3，90°＜α＜180°，點D在射線BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，請直接寫出BE的長．15．如圖1，在菱形ABCD中，，點E，F(xiàn)分別是AC，AB上的點，且，猜想：①的值是_______；②直線DE與直線CF所成的角中較小的角的度數(shù)是_______．（2）類比探究：如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中結(jié)論是否成立，就圖2的情形說明理由．（3）拓展延伸：在繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)三點共線時，請直接寫出CF的長．16．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ABC是等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AC上，若∠ADE＝60°，則AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究如圖2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，點D，E分別在邊BC，AC上．若∠ADE＝α，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）解決問題如圖3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運動，同時點M從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿B→C方向勻速運動，當(dāng)其中一個點運動至終點時，另一個點隨之停止運動，連接PM，在PM右側(cè)作∠PMG＝30°，該角的另一邊交射線CA于點G，連接PC．設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)△APG為等腰三角形時，直接寫出t的值．17．如圖1，已知，，點D在上，連接并延長交于點F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關(guān)系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)小于時，得到圖2，連接并延長交于點F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展：圖1中，過點E作，垂足為點G．當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時，若，，直接寫出的長．18．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，，點是的平分線上一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°到，連結(jié)、，交于．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；②線段與的位置關(guān)系是_________．（2）拓展探究：如圖2，在中，，，點是邊的中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)、，交于．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，，，的平分線交于，點是射線上的一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到，連結(jié)、、，與相交于，若以、、為頂點的三角形與全等，直接寫出的長．19．如圖1所示，邊長為4的正方形與邊長為的正方形的頂點重合，點在對角線上．（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為________；（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請問此時上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過程，如不成立，說明理由；（拓展延伸）若點為的中點，且在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，有點、、在一條直線上，直接寫出此時線段的長度為________20．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點，將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長線上的一點，將QD繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、中考幾何壓軸題1．（1）見解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過點A作AP∥EF，交BC于P，過點B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運用相似三角形解析：（1）見解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過點A作AP∥EF，交BC于P，過點B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；(2)連接BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD的長，再根據(jù)結(jié)論（1）得出，進而可求出EF的長.（3）過點F作FH⊥EG于H，過點P作PJ⊥BF于J．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD、CD的長，由結(jié)論（1）可得出DG的長，再由勾股定理得出AG的長，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形HGPF是矩形，進而得出FH的長度，最后根據(jù)相似三角形得出BJ、PJ的長度就可以得出BP的長度.【詳解】（1）如圖①，過點A作AP∥EF，交BC于P，過點B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴,∴.（2）如圖②中，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝,∵D，B關(guān)于EF對稱，∴BD⊥EF，∴,∴,∴EF＝.（3）如圖③中，過點F作FH⊥EG于H，過點P作PJ⊥BF于J．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴=,∴DG＝，∴AG＝＝1，由翻折可知：ED＝EG，設(shè)ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x＝，∴DE＝EG＝，∵FH⊥EG，∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，∴四邊形HGPF是矩形，∴FH＝PG＝CD＝2，∴EH＝，∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG＝∠JPF，∵∠A＝∠FJP＝90°，∴△AEG∽△JFP，∴，∴，∴FJ＝，PJ＝，∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，在Rt△BJP中，BP＝．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．2．（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過點作交延長線解析：（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過點作交延長線于點，由（1）可知，求出的長度，即可求出答案；②求出CH的長度，利用勾股定理，即可求出答案；（3）①過點A作AE⊥BC，過點作交延長線于點，然后證明，求出，CH的長度，即可求出面積；②點C是點B關(guān)于AE的對稱點，則BD=CD，設(shè)與AE的交點為點D，使得有最小值為，為線段的長度，然后利用勾股定理求出，再利用平行線分線段成比例求出DE的長度即可．【詳解】解：（1）如圖：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∵，∴，∴，∴（AAS）；②∵，∴，∴的面積為；故答案為：．③在直角三角形中，∵，，∴；故答案為：．（2）①過點作交延長線于點，由（1）可知，，∴，，∴的面積為：故答案為：；②∵，由勾股定理，則；故答案為：；（3）①過點A作AE⊥BC，過點作交延長線于點，如圖與（1）同理，可證，∵，∴，∴，∵，，，，∴；∴，∴，∴，，∴，∴的面積為：；故答案為：18．②由題意，點C是點B關(guān)于AE的對稱點，則BD=CD，設(shè)與AE的交點為點D，則此時有最小值，如圖：此時的最小值為線段的長度，∵；∵AE∥，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時，有最小值．故答案為：；．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題．3．（1）；（2）①，理由見解析；②線段與所成的最小夾角為60；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求得AE=a+b，CG=b-a，根據(jù)線段中點的定義求得CM=，通過計算即可求解；（2）①延長BM解析：（1）；（2）①，理由見解析；②線段與所成的最小夾角為60；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求得AE=a+b，CG=b-a，根據(jù)線段中點的定義求得CM=，通過計算即可求解；（2）①延長BM到H，使MH=BM，連接GH，利用SAS證明△CMB△GMH和△ABE△HGB，即可得到結(jié)論；②延長MB交AE于N，證明∠GBE=∠BNE=60，即可求解；（3）延長BM到H，使MH=BM，連接GH，同理證明△CMB△GMH，再證明△ABE△HGB，即可求解．【詳解】（1），理由如下：∵菱形ABCD與菱形

BEFG的邊長分別為a和b，∴AE=AB+BE=a+b，CG=BG-BC=b-a，∵點M為CG的中點，∴CM=CG=，∴，∴；（2）①，理由如下：延長BM到H，使MH=BM，連接GH，如圖：∵點M為CG的中點，∴CM=MG，∵∠CMB=∠GMH，∴△CMB△GMH(SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180，∵菱形ABCD與菱形

BEFG中，∠ABC=120°，∠GBE=60°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH，∵AB=BC=HG，BE=BG，∴△ABE△HGB(SAS)，∴AE=HB；②線段與所成的最小夾角為60，理由如下：∵△ABE△HGB，∴∠AEB=∠BHG，延長MB交AE于N，則∠MBE=∠BNE+∠AEB，即∠HBG+∠GBE=∠BNE+∠AEB，∴∠GBE=∠BNE=60，∴線段與所成的最小夾角為60；（3），理由如下：延長BM到H，使MH=BM，連接GH，如圖：同理可得：△CMB△GMH(SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180，∵矩形ABCD與矩形

BEFG中，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH，∵，∴，∴△ABE△HGB，∴，∵，∴．【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．4．（1）AC//DE；（2）①AC//DE；②∠B+3∠ACB＝180°，理由見解析；（3）或．【分析】【問題情境】AC//DE，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠EDA＝∠3即可；【類比探究】①解析：（1）AC//DE；（2）①AC//DE；②∠B+3∠ACB＝180°，理由見解析；（3）或．【分析】【問題情境】AC//DE，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠EDA＝∠3即可；【類比探究】①AC//DE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠EDA＝∠3即可；②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠AFE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，可得出∠B+3∠ACB＝180°；【拓展應(yīng)用】分兩種情形：①∠EAC＝90°時，如圖3﹣1．②如圖2，當(dāng)∠ACE＝90°時，分別求解即可．【詳解】【問題情境】如圖①中，∵矩形ABCD沿AC折疊，∴∠1＝∠2，∵AD//BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AF＝CF，∵AD＝BC，BC＝CE，∴AD＝CE，∴AD﹣AF＝CE﹣CF，即EF＝DF，∴∠FED＝∠FDE，∵∠AFC＝∠EFD，∴∠3＝∠ADE，∴AC//DE．故答案為：AC//DE；【類比探究】①如圖②中，∵沿AC折疊，∴∠ACB＝∠ACE，BC＝CE，∵AD//BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACE，∴FA＝FC，∵AD＝BC，BC＝CE，∴AD＝CE，∴AD﹣FA＝CE﹣FC，即EF＝DF，∴∠FED＝∠FDE，∵∠AFC＝∠EFD，∴∠DAC＝∠ADE，∴AC//DE，②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，∴∠AFE＝∠DAC+∠ACE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，則∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，∵AD//BC，∴∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，∵∠BAC＝2∠ACB，∠DAC＝∠ACB，∴∠B+3∠ACB＝180°，∴當(dāng)∠B+3∠ACB＝180°時，△ABC∽△FEA；【拓展應(yīng)用】①∠EAC＝90°時，如圖，∵沿AC折疊，∴AE＝AB＝6，∠AEC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠EAC＝90°，∴B、A、E三點共線，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB//CD，即AE//CD，AB＝CD，∴AE//CD，AE＝CD，∴四邊形ACDE為平行四邊形，∴DE＝AC，在Rt△BAC中，AC＝AB?tan∠B＝，②如圖，當(dāng)∠ACE＝90°時，∵沿AC折疊，∴AE＝AB＝6，∠ACE＝∠ABC＝60°，∠BCA＝∠ECA＝90°，∴B、C、E三點共線，∵BC＝CE＝AD，∵AD//BE，∠ECA＝90°，∴四邊形ACED為矩形，∴DE＝AC，在Rt△ABC中，AC＝AB?sin∠B＝，綜上可知，當(dāng)△AEC是直角三角形時，DE的長為或．故答案為：或．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．5．【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案解析：【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案；【猜想與證明】：（1）當(dāng)x=1時，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進而得出AB,CD即可得出答案；當(dāng)x=2時，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進而得出AB,CD即可得出答案；（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐標(biāo)進而得出AB,CD即可得出答案；【探究與應(yīng)用】：①根據(jù)已知條件表示出△AOB與△COD面積即可得出答案；②設(shè)M（x，0）（x＞0），根據(jù)已知條件可得出，分兩種情況當(dāng)△AOB是直角三角形時解得，當(dāng)△COD是直角三角形時，解得，把代入即可；【聯(lián)想與拓展】：根據(jù)題意求出AEDF的坐標(biāo)然后表示出面積再利用△PAE與△PDF面積的比值1:3，即可得出關(guān)系式；【詳解】【概念與理解】∵y1=4x2∴由題意可得C1：∵y2=x2∴由題意可得C2：故答案為：C1：，C2：；【猜想與證明】（1）當(dāng)x=1時，∵點A、B在拋物線C1上∴令x=1，則∴A，B∴AB=1∵點C、D在拋物線C2上∴令x=1，則∴C，D∴CD=2∴=當(dāng)x=2時，∵點A、B在拋物線C1上∴令x=2，則∴A，B∴AB=∵點C、D在拋物線C2上∴令x=2，則∴C，D∴CD=∴=（2）對任意x（x＞0）上述結(jié)論仍然成立理由如下：對任意x（x＞0），∴A，B∴AB=對任意x（x＞0），∴C，D∴CD=∴=【探究與應(yīng)用】①連接OA，OB，OC，OD∴故答案為：②設(shè)M（x，0）（x＞0），∵M（x，0）∴∴AB=∵M（x，0），∴∴CD=∵∴當(dāng)△AOB是直角三角形時，由題意可知OA=OB∴△△AOB為等腰直角三角形∴OM=AM∴解得：∴當(dāng)△COD是直角三角形時，由題意可知OD=OC∴△△COD為等腰直角三角形∴OM=CM∴解得：∴綜上所述：△COD與△AOB面積之差為或【聯(lián)想與拓展】∵M（k，0）且點A、B在拋物線C3上∴令x=k，則∴A∵AE∥x軸，且交C4于點E∴E∵M（k，0）且點C、D在拋物線C4上∴令x=k，則∴D∵DF∥x軸，且交C3于點F∴F∵AE∥x軸，且交C4于點E∴△PEA的高=∵DF∥x軸，且交C3于點F∴△PDF的高=∴∵△PAE與△PDF面積的比值1:3∴∴∴故答案為：【點睛】本題考出了拋物線性質(zhì)的綜合運用以及旋轉(zhuǎn)等知識，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，在解答本題時運用兩個拋物線上的點的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵．6．（1）BD＝CE；理由見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△E解析：（1）BD＝CE；理由見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△EAC≌△DAB（SAS），即可得出結(jié)論；（2）證△EAD∽△CAB，得到，則△EAC∽△DAB，得=2，即可得出結(jié)論；（3）先證明△ABC和△AA′D為等腰直角三角形，得，再證∠A′AB=∠DAC，從而可證明△CAD∽△BAA'，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求得A′B的長度．【詳解】解：（1）∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣∠CAD，∠DAB＝60°﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC與△DAB中，∴△EAC≌△DAB，∴BD＝CE；（2）BD＝2CE，理由：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴∠EAD＝∠CAB＝60°，AD＝2AE，AB＝2AC，∴∠EAC＝∠DAB，△EAD∽△CAB，∴，∴△EAC∽△DAB，∴，∴BD＝2CE；（3）連接A′A，如圖③，∵AC⊥BC，且AC＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形．∴，∵將線段DA繞點D按逆時針方形旋轉(zhuǎn)90°得到DA′∴△AA′D為等腰直角三角形．∴△ABC∽△AA′D．∴．∴．又∵∠CAB＝∠A′AD，∴∠A′AB＝∠DAC，∴△CAD∽△BAA′．∴，即，∴A′B＝．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證得相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點作于點，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點作于點，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點作于點，，，，，，，故答案為：4；（2）若點在右側(cè)，如圖，過點作于點，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．8．（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直解析：（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點共線時，分兩種情況討論，利用三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30°，BF=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B==70°，∵AC=AB′，∠B′AC=120°-40°=80°，∴∠AB′C==50°，∴∠CB′E=180°-70°-50°=60°，連接EF，∵BF=FC，則EF為直角三角形BEC斜邊上的中線，∴EF=BF=FC，在Rt△ABF中，，∴；（2）①兩個結(jié)論成立，理由如下：連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，等腰△ABB′中，∠BAB′=α，則∠AB′B==90°?α，等腰△AB′C中，∠CAB′=α?120°，則∠AB′C==150°?α，∴；∵AB=AC，AF⊥BC．∴∠FAC=60°，Rt△CEB′中，=sin60°=，Rt△CFA中，=sin60°=，∴，∵∠FCE=∠ACB′=30°+∠ACE，∴△CEF~△CB′A∴；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點共線時，分以下兩種情況討論，（Ⅰ）當(dāng)點E在FA的延長線上時，如圖，由①可知，∠B'=60°，∵CE⊥BB'，而BC=2EF=2BF，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB+B'E=，∴；（Ⅱ）當(dāng)點E在AF的延長線上時，如圖，同理可得，∠CB'E=60°，BC=2EF=2BF，∵CE⊥BB'，∴∠CEB'=∠CEB=90°，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB-B'E=，∴；綜上，的值為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．9．（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD解析：（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD于T．證明，推出，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖③-1中，當(dāng)點D落在線段AC上時，作于H．②如圖③-2中，當(dāng)點D在AC的延長線上時，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．，是等邊三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為，故答案為1，．（2）如圖②中，設(shè)AC交于O，AE交于T．，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為．（3）①如圖③-1中，當(dāng)點D落在線段AC上時，作于H．由題意，，，，，在中，②如圖③-2中，當(dāng)點D在AC的延長線上時，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為．【點睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．10．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因為，繼而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因為，繼而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點E在AF右邊時，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運用勾股定理可求出AD的值，再運用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點E在AF左邊時，如圖3所示，可證明，，再運用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點E在AF右邊時，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點E在AF左邊時，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識點有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個知識點，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．11．（1）；（2）的大小無變化，證明見解析；（3）或【分析】（1延長FG交BC于點H，可根據(jù)題意分別求出，的長，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計算的值，再計算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解析：（1）；（2）的大小無變化，證明見解析；（3）或【分析】（1延長FG交BC于點H，可根據(jù)題意分別求出，的長，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計算的值，再計算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解題即可；（3）采用分類討論法解題，一種是點在線段上，另一種是點在的延長線上，據(jù)此分別求解即可.【詳解】（1）解：延長FG交BC于點H，則，，故答案為：（2）的大小無變化.證明：如圖（1），連接，由題意可知：，∴，即，在矩形中，，∴，∴，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）或如圖（2），圖（3）：如圖（2），當(dāng)點在線段上，由（2）知，，，在中，；當(dāng)點在的延長線上時，由（2）知，，，在中，綜上所述，或【點睛】本題考查勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，其中涉及分類討論思想，綜合性較強，有一定難度，熟練并靈活運用知識是解題的關(guān)鍵.12．（1）60；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；解析：（1）60；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明≌，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；（3）當(dāng)∠ABC＝∠AMN時，∽，利用相似的性質(zhì)得到，又根據(jù)∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵、是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等邊三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）結(jié)論∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，利用全等的性質(zhì)證明結(jié)論．13．（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例解析：（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例；（3）分兩種情況求出BD的長即可．【詳解】（1）相等;提示：如圖4所示．∵△ADE和△ABC均為等邊三角形，∴∴∴在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴．（2）不成立；理由如下：如圖5所示．在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∴∴∵∴△ABD∽△ACE∴∴故（1）中的結(jié)論不成立；（3）或．提示:分為兩種情況：①如圖6所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS）∴∴∴由題意可知：設(shè),則在Rt△BCE中,由勾股定理得：∴解之得:（舍去）∴；②如圖7所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS），設(shè)，則在Rt△BCE中，由勾股定理得：∴解之得：（舍去）∴.綜上所述，或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會運用分類討論的思想考慮問題．14．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，進而可得由等角對等邊可得DF＝DB，由旋轉(zhuǎn)可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，繼而可知△ADF≌△EDB，繼而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF＝∠E，繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等邊對等角可得∠ABC＝∠CAB，進而根據(jù)等角對等邊可得DB＝DF，再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB，進而可得求證AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分兩種情況考慮：①如圖（3）中，當(dāng)點D在BC上時，②如圖（4）中，當(dāng)點D在BC的延長線上時，由平行線分線段成比例定理可得、，代入數(shù)據(jù)求解即可；【詳解】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案為：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解決問題①如圖（3）中，當(dāng)點D在BC上時，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如圖（4）中，當(dāng)點D在BC的延長線上時，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的長為2或4．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊對等角的性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理，涉及到的知識點較多，解題的關(guān)鍵是綜合運用所學(xué)知識．15．（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．【分析】①由得;②延長DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3解析：（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．【分析】①由得;②延長DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3）過點A作，交直線DE于M,再結(jié)合（2）中相似分類討論即可；【詳解】（1）①∵菱形ABCD中，∴,∵∴∴∴;②如解題圖1，延長DE、CF交于K，∵∴，∵∴∴∴∴（2）成立，理由如下如解題圖2，連接BD交AC于點G,∵四邊形ABCD是菱形，∴,,即直線DE與CF夾角所成的較小角的度數(shù)是30度（3）或理由如下：（1）過點A作，交直線DE于M,如解題圖3：當(dāng)D,E,F三點共線時,由（2）得,(2)如解題圖4，過點A作,當(dāng)D,E,F三點共線時,由（2）得【點睛】本題綜合考察相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)進行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵16．（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，解析：（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，即可得到結(jié)論；（3）解決問題:可證△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示線段的長，當(dāng)G點在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，代入計算即可；當(dāng)G點在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，則△APG為等邊三角形，代入計算得到t．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴．故答案為：．（2）拓展探究（1）中的結(jié)論成立，∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴；（3）解決問題∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∵∠PMG＝30°，∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BPM＝∠CMG，又∠B＝∠C＝30°，∴△PBM∽△MCG，∴，由題意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，如圖1，過點A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2BH＝4cm，∴MC＝（4t）cm，∴，即CG＝3t，當(dāng)G點在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，如圖2，此時AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，∴4﹣3t＝t，解得：t＝1，當(dāng)G點在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，如圖3，此時∠PAG＝180°﹣120°＝60°，則△APG為等邊三角形，AP＝AG，此時AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，∴3t﹣4＝t，解得：t＝2，∴當(dāng)△APG為等腰三角形時，t的值為1或2．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握分類的思想方法是解題的關(guān)鍵．17．(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設(shè)BD延長線DM交AE于M點，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四邊形AEGC為矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：．故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是延長DF到G點并使FG=DC，進而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．18．（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌解析：（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（3）分三種情形利用等邊三角形的判定和性質(zhì)