1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題課后·訓練提升基礎鞏固1.在三棱錐OABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.若OA=1,OB=2,OC=2,則點A到直線BC的距離為()A.2 B.3C.5 D.3答案:B解析:如圖,建立空間直角坐標系,則由題意可知,A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),所以AB=(1,2,0),BC=(0,2,2).取a=AB=(1,2,0),u=BC|BC|=(0,所以點A到直線BC的距離d=a22.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為BB1,B1C1的中點,則直線MN到平面ACD1的距離為()A.12 B.C.13 D.答案:D解析:如圖,建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),D1(0,0,1),M1,1,12,所以AD1=(1,0,1),D1C=因為MN=12AD1,且直線AD1與MN不重合,又MN?平面ACD1,AD1?平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.所以MN到平面ACD1的距離即為點M到平面ACD1的距離.設平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則n·AD1=0,n·D可得n=(1,1,1)為平面ACD1的一個法向量.又AM=所以點M到平面ACD1的距離d=|AM所以直線MN到平面ACD1的距離為323.(多選題)如圖所示,在三棱錐SABC中,△ABC為等邊三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.點D在線段SC上,且SD=13SC,點E為線段SB的中點,以線段BC的中點O為坐標原點,OA,OB所在直線分別為x軸、y軸,過點O作SA的平行線為z軸,建立空間直角坐標系,則下列說法正確的是(A.直線CE的一個方向向量為1B.點D到直線CE的距離為8C.平面ACE的一個法向量為(3,3,2)D.點D到平面ACE的距離為1答案:ABD解析:依題意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,1,0),E32,1由SD=13SC,得D233,13,2,∵CE=32,32,32=CD=233,23,2,AC=(3,1,0),AE=3故點D到直線CE的距離d=CD2-(CD·設n=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則AC令z=2,則n=(3,3,2)為平面ACE的一個法向量,故C錯誤;而CD=233,23,2,故點D到平面ACE的距離d1=|CD·n||n4.在空間直角坐標系Oxyz中,平面OAB的一個法向量為n=(2,2,1).已知點P(1,3,2),則點P到平面OAB的距離d=.

答案:25.如圖,在直二面角DABE中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,則點D到平面ACE的距離是.

答案:2解析:如圖,以AB的中點O為原點,建立空間直角坐標系,則A(0,1,0),E(1,0,0),D(0,1,2),C(0,1,2),所以AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).設平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則n令y=1,則x=1,z=1.所以n=(1,1,1)為平面ACE的一個法向量.故點D到平面ACE的距離d=|AD6.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點F,G分別為AB,CC1的中點,則點D到直線GF的距離為.

答案:2解析:如圖,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),所以GF=(1,1,1),DF=(1,1,0).取a=DF=(1,1,0),u=GF|所以點D到直線GF的距離為a27.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為BC,CD的中點,則點D到直線A1C1的距離為,直線BD到平面EFD1B1的距離為.

答案:6解析:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),D1(0,0,1),F0,12,0,B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1),所以DA1=(1,0,1),A1C取a=DA1=(1,0,1),u=A1C1|所以點D到直線A1C1的距離為a2因為E,F分別為BC,CD的中點,所以EF∥BD.又EF?平面EFD1B1,BD?平面EFD1B1,所以BD∥平面EFD1B1.所以BD到平面EFD1B1的距離即為點D到平面EFD1B1的距離.因為DD1=(0,0,1),D1F=0,12,1,設平面EFD1B1的法向量為n=(x,y,z),則n·D令y=2,則x=2,z=1.所以n=(2,2,1)為平面EFD1B1的一個法向量.所以點D到平面EFD1B1的距離d=|D所以直線BD到平面EFD1B1的距離為138.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求點B1到平面A1BC1的距離.解:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),所以A1C1=(4,6,0),A1B=(0,6,設平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則n即-令x=3,則y=2,z=4.所以n=(3,2,4)為平面A1BC1的一個法向量.所以點B1到平面A1BC1的距離d=|A9.在三棱錐BACD中,平面ABD⊥平面ACD,AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求點D到平面ABC的距離.解:如圖,以AD的中點O為原點,建立空間直角坐標系,則由題意可知,A12,0,0,B3-12,0,12,C0,32,0,D12,0,0,所以AC=12,32,0,AB=32,0,12,AD=設n=(x,y,z)為平面ABC的法向量,則n令y=1,則x=3,z=3.所以n=(3,1,3)為平面ABC的一個法向量.所以點D到平面ABC的距離為|AD能力提升1.如圖,直三棱柱ABCA1B1C1的側棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,則點B1到平面A1BC的距離為()A.32 B.C.12 D.答案:A解析:如圖,以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則C(0,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),所以A1B=(1,1,3),A1C=(1,0,3),A設平面A1BC的法向量為n=(x,y,z),則n令x=3,則y=0,z=1.所以n=(3,0,1)為平面A1BC的一個法向量.故點B1到平面A1BC的距離d=|A2.在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G=λ(0<λ<2),則點G到平面D1EF的距離為()A.23 B.2C.22λ3答案:D解析:因為G在棱A1B1上,A1B1∥EF,A1B1?平面D1EF,EF?平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,即點G到平面D1EF的距離即為點A1到平面D1EF的距離.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),所以ED1=(2,0,1),EF=(0,2,0),A1E=(0,0,1),設平面D1EF的法向量n=(x,y,取x=1,則z=2,于是n=(1,0,2)是平面D1EF的一個法向量.所以點A1到平面D1EF的距離d=|A即點G到平面D1EF的距離為253.(多選題)在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,點P在棱DC上運動(不與頂點重合),則點B到平面AD1P的距離可以是()A.2 B.3 C.2 D.5答案:CD解析:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),設P(0,t,0),0<t<3,所以AP=(3,t,0),AD1=(3,0,3),AB=(0,3,0),設n=(x,y,z)為平面AD1P則有n令y=3,可得n=(t,3,t)為平面AD1P的一個法向量,則點B到平面AD1P的距離d=|AB因為0<t<3,所以距離的范圍是(3,3),故選CD.4.如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱BC的中點,點P在線段D1E上,則點P到直線CC1的距離的最小值為.

答案:2解析:如圖所示建立空間直角坐標系,則D1(0,2,2),E(2,1,0),C(2,2,0),D1E=(2,1,2),設D1P=tD1E=(2t,t,2t),0≤t≤1,則P(2t設點P在平面ABCD上的投影為P'(2t,2t,0),則PP'∥CC1,則點P到直線CC1的距離d=P'C,所以d=(2t-2)2+(2-t5.在四棱錐OABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,則點B到平面OCD的距離為.答案:2解析:在平面ABCD內過點A作AP⊥CD于點P,以A為原點,AB,AP,AO所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則B(1,0,0),P(0,22,0),D(22,22所以OP=(0,22,2),OD=(22,22,2),設平面OCD的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則x=0,y=22.所以n=(0,22,1)為平面OCD的一個法向量.所以點B到平面OCD的距離為|OB6.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在線段BB1上,且EB1=1,D,F,G分別為CC1,C1B1,C1A1的中點.(1)求證:B1D⊥平面ABD;(2)求證:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.(1)證明:由題意知,BA,BC,BB1兩兩互相垂直,以B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則點B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),設BA=a,則點A(a,0,0).∴BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=∴B1D·BA=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BD∩BA=B,BD,BA?平面ABD,∴B1D⊥平面ABD.(2)證明:由題意知點E(0,0,3),G(a2,1,4),F(0,1,4),∴EG=(a2,1,1),EF∴B1D·EG=0,∴B1D⊥EG,B1D⊥EF,又EG∩EF=E,EG,EF?平面EFG,∴B1D⊥平面EFG,又平面EFG與平面ABD不重合,結合(1),可知平面EGF∥平面ABD.(3)解:由題意知BF=(0,1,4),B1D=(0,2,2)是平面ABD∴點F到平面ABD的距離d=|BF·B1D||B1D|=|-6|22=327.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=1.在線段PA上是否存在一點M,使其到平面PCD的距離為33?若存在,試確定點M的位置;若不存在,請說明理由解:如圖,以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則P(0,0