2024-2025學(xué)年吉林省四平市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。1．下列說(shuō)法不正確的是A．圓柱的軸截面是矩形 B．圓錐的軸截面是等腰三角形 C．所有空間幾何體都是多面體 D．有些三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形2．已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則A． B． C．1 D．3．在中，已知，，，則A． B． C．或 D．或4．已知向量，滿(mǎn)足，，則A． B． C． D．5．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)是A．16 B．12 C． D．6．想測(cè)量一座山的高度，可以通過(guò)飛機(jī)的航行來(lái)完成，如圖，飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔，速度為，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫椋?jīng)過(guò)后又看到山頂?shù)母┙菫?，則山頂?shù)暮０胃叨葹锳． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是A． B． C． D．8．如圖，外接圓的圓心為，，，，則圓的半徑A．10 B．5 C．7 D．8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法中正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若且，則，為實(shí)數(shù)（多選）10．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，則A． B． C． D．若，，，則（多選）11．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列條件中能判斷為鈍角三角形的有A． B． C． D．的三條高分別為2，3，4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若復(fù)數(shù)，則．13．如圖所示，圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．14．已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，且，，和的面積分別是，，若，則．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。15．已知，，．（1）若，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式，求的值．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，（1）求的值；（2），是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，，，求的最小值．17．在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若△的周長(zhǎng)為，且，求△的面積．18．（17分）在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，，的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（2）若與的內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，△的外接圓半徑為2，求的最大值．19．（17分）如圖，P，Q分別是等腰梯形ABCD的邊DC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝2DC＝2m，其中m（m＞0）為定值，，設(shè)，其中0＜a＜1，0＜b＜1．（1）用所給字母a，b，m，求出的表達(dá)式；（2）證明：∠PAQ的余弦值與m的取值無(wú)關(guān)；（3）求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1．下列說(shuō)法不正確的是A．圓柱的軸截面是矩形 B．圓錐的軸截面是等腰三角形 C．所有空間幾何體都是多面體 D．有些三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形【答案】解：對(duì)于，圓柱的軸截面是矩形，所以正確，對(duì)于，圓錐的軸截面是等腰三角形，所以正確，對(duì)于，因?yàn)樾D(zhuǎn)體不是多面體，所以項(xiàng)不正確，對(duì)于，如圖，三棱錐中，當(dāng)平面時(shí)，，，所以△，△，△，△均為直角三角形，所以正確．故選：．2．已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則A． B． C．1 D．【答案】解：為純虛數(shù)，，即，即，則．故選：．3．在中，已知，，，則A． B． C．或 D．或【答案】解：因?yàn)樵谥校?，，，所以由正弦定理，可得，可得，又，可得為銳角，則．故選：．4．已知向量，滿(mǎn)足，，則A． B． C． D．【答案】解：，，，，解得．故選：．5．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)是A．16 B．12 C． D．【答案】解：設(shè)原圖形的四邊形為，則根據(jù)斜二測(cè)法規(guī)則及題意可知：原圖形中，，又原圖形中，原圖形中，原圖形的周長(zhǎng)是．故選：．6．想測(cè)量一座山的高度，可以通過(guò)飛機(jī)的航行來(lái)完成，如圖，飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔，速度為，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過(guò)后又看到山頂?shù)母┙菫椋瑒t山頂?shù)暮０胃叨葹锳． B． C． D．【答案】解：如圖所示，，，，在中，，；，，山頂?shù)暮０胃叨葹椋蔬x：．7．已知復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是A． B． C． D．【答案】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，令，因?yàn)闀r(shí)，（a）單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，實(shí)數(shù)的最大值為．故選：．8．如圖，外接圓的圓心為，，，，則圓的半徑A．10 B．5 C．7 D．8【答案】解：，，，，由，得：，．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法中正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若且，則，為實(shí)數(shù)【答案】解：由，即，可得，故正確；因?yàn)椋?，所以，故正確；取，，則，而，，故錯(cuò)誤；取，，則，，而，都不是實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤．故選：．（多選）10．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，則A． B． C． D．若，，，則【答案】解：在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，對(duì)于選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，利用△△，可得，則，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，由，有，故選項(xiàng)正確．故選：．（多選）11．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列條件中能判斷為鈍角三角形的有A． B． C． D．的三條高分別為2，3，4解：對(duì)于，由余弦定理有，可得為鈍角，故為鈍角三角形，故正確；對(duì)于，將，平方化簡(jiǎn)得，故為鈍角，為鈍角三角形，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，，則角，，都為銳角，為銳角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，假設(shè)，，邊上的高分別為2，3，4，則，有，設(shè)，則，，所以由余弦定理得，所以為鈍角為鈍角三角形，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若復(fù)數(shù)，則．解：因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?3．如圖所示，圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為4π．【答案】4π．解：由題意可知，該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為＝2，因此，該圓錐的側(cè)面積為π××2＝4π．故答案為：4π．14．已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，且，，和的面積分別是，，若，則．【答案】．解：連接交直線(xiàn)于點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，，，，，，又，，，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。15．已知，，．（1）若，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式，求的值．【答案】（1）或；（2）．解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解得，或；?）復(fù)數(shù)因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式，所以，所以．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，（1）求的值；（2），是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，，，求的最小值．【答案】（1）4；（2）．解：（1）因?yàn)?，，所以，故，因?yàn)?，所以；?），，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值為．17．在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若△的周長(zhǎng)為，且，求△的面積．解：（1）由，，可得，整理得，結(jié)合正弦定理得，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，可得，所以，結(jié)合，得；（2）根據(jù)，得，即，可得，即，，因?yàn)?，所以，可得，，因?yàn)椤鞯闹荛L(zhǎng)為，所以，解得，因此，，，可得△的面積．18．（17分）在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，，的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（2）若與的內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，△的外接圓半徑為2，求的最大值．解：（1）的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，，，，；（2）如圖，△的外接圓半徑為2，，，，，與的內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，，即，在△中，由余弦定理得，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值為4．19．（17分）如圖，P，Q分別是等腰梯形ABCD的邊DC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝2DC＝2m，其中m（m＞0）為定值，，設(shè)，其中0＜a＜1，0＜b＜1．（1）用所給字母a，b，m，求出的表達(dá)式；（2）證明：∠PAQ的余弦值與m的取值無(wú)關(guān)；（3）求的取值范圍．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容解：（1）如圖，過(guò)D，C分別作AB的垂線(xiàn)，垂足為M，N