第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南通市海門實驗學校高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復平面內(nèi)，復數(shù)z=i(1?i)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(?1,2),b=(x,?2)，且a//b，則實數(shù)A.1 B.?1 C.4 D.?43.一組不全相等的數(shù)據(jù)，去掉一個最大值，則下列數(shù)字特征一定改變的是(

)A.極差 B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)4.在△ABC中，若AC=7,BC=2,B=60°，則sinA的值為A.36 B.33 C.5.已知非零向量a,b，滿足|b|=4，向量a在向量b上的投影向量為12A.0 B.1 C.8 D.46.已知α∈(0,π4),sin(α+πA.?13 B.?53 7.直角梯形ABCD,AB?AD=0,AC?BDA.3 B.1 C.32 8.已知α，β為銳角，且sinα=2sinβcos(α+β)，則tanβ的最大值A(chǔ).34 B.22 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a為非零向量，λ是非零實數(shù)，則下列說法錯誤的是(

)A.a與?λa方向相反 B.a與λ2a方向相同

C.|?λ10.已知復數(shù)z1，z2互為共軛復數(shù)，則(

)A.|z1|=|z2| B.z11.下列式子中正確的是(

)A.(1tan5°?tan5°)tan10°=2 B.tan5π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45，則13.若復數(shù)z與(z+1)2+2i都是純虛數(shù)，則復數(shù)z=?14.已知對任意平面向量AB=(x,y)，把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P，已知平面內(nèi)點A(1,3)，點B(0,?3)，把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)π2后得到點P，則點P四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知0<α<π2,0<β<π2,tanα=13,cosβ=7216.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosA=34．

(1)若7tanB=3tanA，求sinC的值；

(2)若b217.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，已知∠A=60°，AC=1，AB=2，M，N分別是線段BC，AB上兩點，且滿足CM=λCB，BN=λBA(0<λ<1)．

(1)若λ=12，求|AM|及AM18.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB?2acosC=(2c?b)cosA．

(1)證明：sinC=2sinB；

(2)若c=3a，求cosB的值；

(3)求tanB19.(本小題17分)

已知函數(shù)y=f(x)，若存在實數(shù)m，n(m≠0)，使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有m?f(x)=f(x+n)+f(x?n)成立，則稱函數(shù)f(x)為“平衡函數(shù)”，有序數(shù)對(m,n)稱為函數(shù)f(x)的“平衡點對”．

(1)若(2,n)為函數(shù)f(x)=sinx?cosx的“平衡點對”，求n的值；

(2)若m1，m2∈R，且(參考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.B

7.A

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ACD

12.72513.i

14.(?5,4)

15.(1)根據(jù)β∈(0,π2)，cosβ=7210，可得sinβ=1?(7210)2=210，

所以sin2β=2sinβcosβ=2×210×7210=72516.(1)在△ABC中，因為cosA=34，A∈(0,π)，

所以sinA=1?cos2A=1?916=74，則tanA=sinAcosA=73，

又因為7tanB=3tanA，可得tanB=37tanA=1，

又B∈(0,π)，可得B=π4，

所以sinB=cosB=17.(1)已知在△ABC中，已知∠A=60°，AC=1，AB=2，M，N分別是線段BC，AB上兩點，且滿足CM=λCB，BN=λBA(0<λ<1)，

當λ=12時，CM=12CB，

則M為BC的中點，

所以AM=12(AC+AB)，

即|AM|2=14(|AC|2+|AB|2+2|AC|?|AB|cos∠BAC)

=14(1+4+2×1×2×12)=74，

所以|AM|=72，

AM?BC=12(AC+AB)(18.(1)證明：因為acosB?2acosC=(2c?b)cosA=2ccosA?bcosA，

由正弦定理整理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA+2sinAcosC，

則得sin(A+B)=2sin(A+C)，

在△ABC中，可得sin(π?C)=2sin(π?B)，

即sinC=2sinB，得證；

(2)解：由(1)sinC=2sinB和正弦定理，可得c=2b，

又c=3a，則b=32a，

由余弦定理，cosB=a2+c2?b22ac=a2+(3a)2?(32a)22×a×3a=13324，

(3)由已知得sin(A+B)=2sin(A+C)，則sin(A+B)=2sinB，

可得sinAcosB+sinBcosA=2sinB，

當cosB=0時，可得sinBcosA=2sinB，

因B∈(0,π)，則sinB≠0，此時cosA=2，不合題意，

當cosB≠0時，等式兩邊同除以cosB19.(1)因為(2,?n)為函數(shù)f(x)=sinx?cosx的“平衡點對”，

所以2f(x)=f(x+n)+f(x?n)對任意的x∈R成立，

即2(sinx?cosx)=sin(x+n)?cos(x+n)+sin(x?n)?cos(x?n)，

化簡整理得2(sinx?cosx)=2sin