第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁湖南省湘潭市2026屆高三上學期第一次摸底數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．[5分]已知復數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．2．[5分]已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．[5分]點是雙曲線上的點，，是其焦點，雙曲線的離心率是，且，若的面積是9，則的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．74．[5分]雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．[5分]已知平面向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．[5分]已知集合，則下圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．7．[5分]已知，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對稱軸，則的范圍為（

）A． B．C． D．8．[5分]已知函數(shù)，若方程的實根個數(shù)為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，共15分）9．[5分]已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是的一個周期B．在上遞減C．將圖象向左平移個單位可得到的圖象D．若，則10．[5分]如圖，正方體的棱長為2，，分別是棱和的中點．則（

）A．B．平面與側(cè)面的交線長為C．點到平面的距離為D．與平面所成角的余弦值為11．[5分]已知拋物線的焦點為F，準線為l，O為坐標原點，點在拋物線C上，直線分別與l交于A，B，直線與拋物線C交于另一點N，則（

）A．F的坐標為 B． C． D．三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．[5分]記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.13．[5分]若圓與拋物線的準線相切，則．14．[5分]已知的展開式中第二項與第四項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項為.四、解答題（本大題共5小題，共80分）15．[14分]近年來，由于大學生不理智消費導致財務方面的新聞層出不窮，無力償還校園貸，跳樓自殺也偶有發(fā)生，一時間人們對大學生的消費觀充滿了質(zhì)疑．為進一步了解大學生的消費情況，對S城某大學的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性別采用分層抽樣的方式抽取了1000名學生進行了問卷調(diào)查，其中有一項是針對大學生每月的消費金額進行調(diào)查統(tǒng)計．通過整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知在抽取的學生中，月消費金額超過2000元的女生有150人．參考數(shù)據(jù)與參考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．

（1）求的值．（2）估計月消費金額的中位數(shù)（3）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析月消費金額在2000元以上的大學生與性別是否有關(guān)？16．[14分]某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.17．[16分]已知定義在上的函數(shù)滿足對任意的x，，，當時，，.（1）證明：為奇函數(shù).（2）證明：在上是減函數(shù).（3）求不等式的解集.18．[18分]已知數(shù)列的前n項和為，且（）.（1）若為等比數(shù)列，求公比q的值；（2）若，（?。┳C明：數(shù)列為等比數(shù)列；（ⅱ）求數(shù)列的前n項和.19．[18分]為考察某種藥物預防和治療流感的效果，某藥物研究所用100只小白鼠進行了分組試驗，該分組試驗分兩個階段：第一階段為5天的觀察預防期，第二階段為10天的觀察治療期.第一階段結(jié)束時，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：患病小白鼠的比例為，未服藥小白鼠的比例為，未服藥且未患病的小白鼠有20只.（1）完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷該藥物對預防流感是否有效.藥物流感合計未患病患病未服用服用合計（2）第一階段結(jié)束時，若在患病的小白鼠中隨機抽取2只，用X表示服藥的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635

湖南省湘潭市2026屆高三上學期第一次摸底數(shù)學檢測試卷參考答案1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】ACD10．【答案】BC11．【答案】BC12．【答案】9513．【答案】14．【答案】5415．【答案】（1）（2）元（3）有關(guān)．【詳解】（1）由直方圖知，各矩形面積之和為1，則，解得；（2）由頻率分布直方圖知，前3個矩形面積之和為：；前4個矩形面積之和為：，設中位數(shù)為，∴，∴，∴月消費金額的中位數(shù)為百元，即元；（3）故月消費金額超過2000元的大學生人數(shù)為人，由分層抽樣知，男生、女生抽樣的人數(shù)分別為600人和400人，由題知，月消費金額超過2000元的男生人數(shù)為100人，由條件可以列出列聯(lián)表：男生女生合計消費金額不超過2000元500人250人750人消費金額超過2000元100人150人250人合計600人400人1000人提出零假設：月消費金額在2000元以上的大學生與性別無關(guān)．故，所以在犯錯的概率不超過的情況下可以判斷月消費金額在2000元以上的大學生與性別有關(guān)．16．【答案】（1）0.006；（2）；（3）.【詳解】（1）因為，所以（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為（3）受訪職工評分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因為所抽取2人的評分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為17．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.【詳解】（1）令，則，所以，令，則，所以且定義域為R，故為奇函數(shù)；（2）設，因為，所以，所以，因為，所以，所以，故在上單調(diào)遞減；（3）因為為奇函數(shù)，且，所以，不等式化為，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，即不等式的解集是.【知識點】數(shù)列求和方法之錯位相減法、等比數(shù)列的判定與證明、等比數(shù)列的概念與通項公式18．【答案】（1）；（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）.【詳解】（1）數(shù)列中，，由，得，則，解得或，當時，，，，而，顯然不恒成立，因此，當時，，，，符合題意，所以.（2）（ⅰ）由，得，兩式相減得，則，當時，，而，，則，即，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.（ⅱ）由（ⅰ）知等比數(shù)列的首項為3，公比為2，則，，兩式相減得，當時，，于是，，則；當時，，于是，，則，因此，，，則，，兩式相減得，所以.19．【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，有效（2）分布列見詳解，【詳解】（1）因為患病小白鼠的比例為，所以患病小白鼠有只，則不患病的小白鼠有100-45=55只，又未服藥小白鼠的比例為，所以未服