15.1.2線段的垂直平分線一、選擇題（共10小題）1．（2025春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F．若△ABC的周長(zhǎng)為20，DC＝6，則AC的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．10 D．82．（2025春?墾利區(qū)期末）如圖，OG平分∠MON，點(diǎn)A，B是射線OM，ON上的點(diǎn)，連接AB．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C，交BN于點(diǎn)D；②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③作射線BE，交OG于點(diǎn)P，則∠BOP＝∠BPO．若∠OAB＝50°，則∠A．60° B．120° C．50° D．100°3．（2025春?龍口市期末）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，CD平分∠ACB，若∠A＝48°，則∠B的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．36° D．40°4．（2025春?乾縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，若NC＝3，BC＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．9 B．8 C．7 D．65．（2025春?橋西區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D．若△ACD的周長(zhǎng)為50cm，則AC+BC＝（）A．25cm B．40cm C．45cm D．50cm6．（2025春?東港市期末）如圖，在△ABC中MP、NQ分別垂直平分AB、AC．若BC＝20cm，則△APQ的周長(zhǎng)是（）A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm7．（2025春?曲沃縣期末）如圖，已知∠AOB＝45°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q，則∠A．22.5° B．30° C．20° D．25°8．（2025春?中寧縣期末）如圖在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠A．30° B．40° C．65° D．55°9．（2025春?順德區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝4，CD＝2，則AC的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．9 D．1010．（2025春?包頭期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線EF分別交邊BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，且點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，連接AE．若AC＝6，CD＝2，則BC的長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．12 D．14二、填空題（共10小題）11．（2025春?薌城區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是12．（2025春?薌城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線分別交BC、AC于點(diǎn)E、F，連接AE，作AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為BE的中點(diǎn)．若∠C＝30°，則∠BAC＝°．13．（2025春?膠州市校級(jí)月考）如圖，△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、N，若∠BAC＝70°，則∠EAN＝°．14．（2024秋?衡東縣期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分別是AB和AC的垂直平分線，則∠PAQ＝．15．（2025春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝25°，AC的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)N，且AB+BN＝BC，則∠B的度數(shù)是°．16．（2025春?惠濟(jì)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且AC＝8，BC＝5，則△BCE的周長(zhǎng)為．17．（2025春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，線段AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，則△BNC的周長(zhǎng)為．18．（2025春?碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分線．若AD＝4，AC＝6，則BC的長(zhǎng)為．19．（2025春?成華區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝5，BC＝11，且∠B＝2∠C．分別以A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑，畫弧相交于M，N，過(guò)M，N作直線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的面積為20．（2024秋?衡陽(yáng)期末）如圖，∠ACB＝70°，CD是OA的垂直平分線，則∠ACD的度數(shù)為．三、解答題（共6小題）21．（2025春?西安月考）尺規(guī)作圖：如圖，已知∠AOB，請(qǐng)作出它的角平分線OC（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）．22．（2025春?富平縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，連接BP．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作BP的垂直平分線EF，使得直線EF交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）23．（2025春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交線段BC于點(diǎn)D、E（點(diǎn)E在線段BD上）．（1）若BC＝13，DE＝5，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）若∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)．24．（2025春?市中區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于D、E點(diǎn)，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于M、N點(diǎn)，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)．25．（2025春?蒲城縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接BE，點(diǎn)F在線段CE上，連接BF．（1）若BF是CE的垂直平分線，請(qǐng)判斷AE與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若BF是△BCE的角平分線，∠A＝35°，∠C＝80°，求∠CBF的度數(shù)．26．（2025春?山丹縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AB＝4cm，AC＝8cm，求△ABE的周長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（共10小題）1．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出等腰三角形，依據(jù)等腰三角形的三線合一，得出相等線段，然后依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)找出相等的線段，利用線段的和差即可求出結(jié)果．【解答】解：∵AB＝AE，且AD⊥BC，∴△ABE是等腰三角形，∴BD＝DE，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴AB＝AE＝CE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC＝6，∵△ABC的周長(zhǎng)為20，DC＝6，∴AC＝20﹣（AB+BD）﹣DC＝8，故選：D．2．【答案】D【分析】證明∠ABN＝4∠BOP，∠MON＝2∠BOP，得到∠ABN＝2∠BOP+50°，則4∠BOP＝2∠BOP+50°，解得∠BOP＝25°，即可得到∠ABN的度數(shù)．【解答】解：由題意得：BP平分∠ABN，∴∠ABN＝2∠ABP＝2∠PBN，∵∠BOP＝∠BPO，∠PBN＝∠BOP+∠BPO，∠OAB＝50°，∴∠PBN＝2∠BOP，∴∠ABN＝4∠BOP，∵OG平分∠MON，∴∠MON＝2∠BOP，∴∠ABN＝∠MON+∠OAB＝2∠BOP+∠OAB＝2∠BOP+50°，∴4∠BOP＝2∠BOP+50°，解得∠BOP＝25°，∴∠ABN＝4∠BOP＝4×25°＝100°，故選：D．3．【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC＝DA，得到∠DCA＝∠A＝48°，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DC＝DA，∴∠DCA＝∠A＝48°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠DCA＝48°，∴∠B＝180°﹣48°﹣48°﹣48°＝36°，故選：C．4．【答案】B【分析】連接BN，根據(jù)勾股定理求出NB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出NA，進(jìn)而求出AC．【解答】解：如圖，連接BN，在Rt△BCN中，NC＝3，BC＝4，由勾股定理得：NB=N∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴NA＝NB＝5，∴AC＝NA+NC＝5+3＝8，故選：B．5．【答案】D【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝BD，進(jìn)而得到△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC，據(jù)此即可求解，【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝50（cm），即AC+BC＝50cm，故選：D．6．【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵M(jìn)P，NQ分別垂直平分AB，AC，∴PA＝PB，QA＝QC，∴△APQ的周長(zhǎng)是AP+QA+PQ＝PB+PQ+QC＝BC，∵BC＝20cm，∴△APQ的周長(zhǎng)是20cm．故選：A．7．【答案】A【分析】由作圖可得OP平分∠AOB，根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)∠BOP，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠OPQ的度數(shù)．【解答】解：∵PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q，∴∠OPQ＝∠BOP．已知∠AOB＝45°，由作圖可得：OP平分∠AOB，∴∠BOP=1∴∠OPQ＝∠BOP＝22.5°．故選：A．8．【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂線性質(zhì)知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，然后根據(jù)角的和差即可解答．【解答】解：在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣30°＝95°，由題意得：MN為線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣30°＝65°．故選：C．9．【答案】A【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AD＝BD＝4，即可求出AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝4，∴AC＝AD+CD＝4+2＝6．故選：A．10．【答案】B【分析】先證明AD垂直平分CE，得AC＝AE，再根據(jù)EF垂直平分AB，得AE＝BE，根據(jù)DE＝CD＝2，即得BC＝10．【解答】解：∵AD⊥BC，且點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，∴AD垂直平分CE，∴AC＝AE，∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC＝6，∵DE＝CD＝2，∴CE＝CD+DE＝2+2＝4，∴BC＝BE+CE＝6+4＝10．即BC的長(zhǎng)為10，綜上所述，只有選項(xiàng)B正確，符合題意，故選：B．二、填空題（共10小題）11．【答案】30°．【分析】先利用基本作圖得到MN垂直平分AB，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠BAC，然后計(jì)算∠BAC﹣∠DAB即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，故答案為：30°．12．【答案】90．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得出AB＝AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，又根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠C＝∠EAC＝30°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出∠AEB＝∠C+∠EAC＝60°，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B＝∠AEB＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAE＝60°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵D為BE的中點(diǎn)，∴BD＝DE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∵EF是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴AB＝CE；∵∠C＝30°，AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝30°+30°＝60°，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝60°（等邊對(duì)等角），∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+30°＝90°．即∠BAC的度數(shù)為90°．故答案為：90．13．【答案】40．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AE＝BE，AN＝CN，得到∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，因此∠BAE+∠CAN＝∠B+∠C＝110°，得到∠BAC+∠EAN＝110°，即可求出∠EAN的度數(shù)．【解答】解：∵DE垂直平分AB，MN垂直平分AC，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∴∠BAE+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°，∴∠BAE+∠CAE+∠EAN＝110°，∴∠BAC+∠EAN＝110°，∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°．故答案為：40．14．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)知PA＝PB，AQ＝CQ，得∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC，從而得出答案．【解答】解：∵PM和QN分別是AB和AC的垂直平分線，∴PA＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC，∵∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∴∠PAB+∠QAC＝72°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝108°﹣72°＝36°，故答案為：36°．15．【答案】50．【分析】先證明NA＝NC，可得∠C＝∠NAC＝25°，求解∠ANB＝∠C+∠CAN＝50°，證明AB＝CN＝AN，從而可得答案．【解答】解：∵AC的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)N，∴NA＝NC，∵∠C＝25°，∴∠C＝∠NAC＝25°（等邊對(duì)等角），∴∠ANB＝∠C+∠CAN＝25°+25°＝50°，∵AB+BN＝BC，CN+BN＝BC，∴AB＝CN＝AN，∴∠B＝∠ANB＝50°（等邊對(duì)等角），所以∠B的度數(shù)為50°，故答案為：50．16．【答案】13．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AE＝BE，即可得到△BCE的周長(zhǎng)＝BC+AC＝13．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△BCE的周長(zhǎng)＝BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝8+5＝13．故答案為：13．17．【答案】8【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AN＝BN，即可得到△BNC的周長(zhǎng)＝BC+AC＝5+3＝8．【解答】解：∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AN＝BN，∴△BNC的周長(zhǎng)＝BC+CN+BN＝BC+CN+AN＝BC+AC＝5+3＝8．故答案為：8．18．【答案】10．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC＝AC＝6，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠ADC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，得到BD＝AD＝4，計(jì)算即可．【解答】解：∵CE是AD的垂直平分線，∴DC＝AC＝6，∴∠DAC＝∠ADC，∵∠DAC＝2∠B，∴∠ADC＝2∠B，∵∠ADC＝∠B+∠DAB，∴∠DAB＝∠B，∴BD＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+6＝10，故答案為：10．19．【答案】10．【分析】由尺規(guī)作圖知MN是線段AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出AD＝CD，則∠CAD＝∠C，根據(jù)∠B＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD可得∠B＝∠ADB，則AD＝AB＝CD＝5，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，求出AH＝4，即得答案．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知MN是線段AB的垂直平分線，則AD＝CD．∴∠CAD＝∠C，∵∠B＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠B＝∠ADB，∴AD＝AB＝CD＝5，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵AD＝AB＝CD＝5，BC＝11，∴BH＝DH=1∴AH=A∴△ACD的面積為12CD?AH=故答案為：10．20．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】據(jù)線段垂直平分線得出AC＝OC，求出∠A＝35°，代入∠ACB＝∠A+∠O求出即可．【解答】解：∵CD為OA的垂直平分線，∴AC＝OC，∴∠ACD=12∠∵∠ACB＝70°，∴∠ACO＝110°，∴∠ACD＝55°，故答案為：55°．三、解答題（共6小題）21．【答案】見(jiàn)解析．【分析】利用尺規(guī)作OC平分∠AOB即可．【解答】解：如圖，射線OC即為所求．22．【答案】見(jiàn)解析．【分析】分別以點(diǎn)B，P兩點(diǎn)為圓心，以大于12BP長(zhǎng)為半徑作弧，交于兩點(diǎn)，過(guò)兩交點(diǎn)作直線【解答】解：如圖所示，直線EF即為所作．23．【答案】（1）23；（2）20°．【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AD＝BD，AE＝CE，得到△ADE的周長(zhǎng)＝2DE+BC＝23；（2）由三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C＝100°，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，得到∠BAC+∠DAE＝100°，即可求出∠DAE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵D、E分別在AB和AC的垂直平分線上，∴AD＝BD，AE＝CE，∴△ADE的周長(zhǎng)＝ED+AE+AD＝ED+CE+BD＝DE+CE+BE+DE＝2DE+BC＝2×5+13＝23；（2）∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，由（1）知：AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠B，∠CA