3.1邊界檢測(cè)局部算子3.2基于變換域的邊緣檢測(cè)3.3交互式邊緣檢測(cè)算法物體的邊緣是由像素強(qiáng)度不連續(xù)性所反映的。經(jīng)典的邊緣提取方法考察圖像中像素的鄰域灰度變化，利用邊緣鄰近一階或二階方向?qū)?shù)變化規(guī)律來(lái)檢測(cè)邊緣。這種方法稱為邊緣檢測(cè)局部算子法。

圖像的邊緣有方向和幅度兩個(gè)特性。通常，沿邊緣走向的像素變化平緩，而正交于邊緣走向的像素變化劇烈。3.1邊界檢測(cè)局部算子邊緣可以粗略地分為兩種：其一是階躍型邊緣，它兩邊的像素的灰度值有顯著的不同；其二是屋頂狀邊緣，它位于灰度值從增加到減少的變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)。圖3.1.1中分別給出了這兩種邊緣的示意圖及相應(yīng)的一階方向?qū)?shù)、二階方向?qū)?shù)的變化規(guī)律。圖3.1.1階躍型邊緣和屋頂狀邊緣處一階及二階導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律本節(jié)中介紹的算子大部分是在灰度圖像上運(yùn)算的。對(duì)于圖像函數(shù)I=f(x,y)，它的x、y和α方向的一階方向?qū)?shù)分別為：(3.1-2)(3.1-1)(3.1-3)它的x、y和α方向的二階方向?qū)?shù)分別為：(3.1-6)(3.1-4)(3.1-5)(3.1-7)

在數(shù)字圖像中，上述微分運(yùn)算都用差分運(yùn)算來(lái)代替，成為沿各方向的差分：(3.1-8)(3.1-9)(3.1-10)(3.1-11)(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)(3.1-15)3.1.1梯度算子

圖像的局部邊緣定義為兩個(gè)強(qiáng)度明顯不同的區(qū)域之間的過(guò)渡，圖像的梯度函數(shù)即圖像灰度變化的速率在過(guò)渡邊界上存在著最大值。因此，通過(guò)梯度算子來(lái)估計(jì)灰度變化的梯度方向，增強(qiáng)圖像中的這些變化區(qū)域，然后再對(duì)該梯度進(jìn)行閾值運(yùn)算，如果梯度值大于某個(gè)給定的門限，則存在邊緣；再將被確定為邊緣的像素連接起來(lái)形成包圍著區(qū)域的封閉曲線，即實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)邊緣提取。對(duì)數(shù)字圖像I=f(i,j)的每個(gè)像素(i,j),取它的梯度值：

(3.1-16)

取適當(dāng)?shù)拈T限THg，如果GM(i,j)>THg，則(i,j)為階躍型邊緣點(diǎn)。有時(shí)為了避免平方和、開(kāi)方運(yùn)算，也用x，y方向的梯度變化的絕對(duì)值之和或最大梯度來(lái)表示梯度幅度，即

GM(i,j)≈|Δxf(i,j)|+|Δyf(i,j)|

(3.1-17)或

GM(i,j)≈max(|Δxf(i,j)|,|Δyf(i,j)|)

(3.1-18)

上述三種幅度表示方法之間有下述關(guān)系：

(3.1-19)(3.1-20)圖像邊緣還常使用Prewitt算子、Robert梯度算子和Sobel算子檢測(cè)邊緣。Prewitt算子用GM(i,j)作為梯度函數(shù)，即：(3.1-21)也可采用下式作為GM(i,j)的近似。

G(i,j)=|Δxf(i,j)|+|Δyf(i,j)|(3.1-23)

Robert梯度采用的是對(duì)角方向相鄰兩像素之差，即Roberts

算子是對(duì)GM(i,j)的一種近似：R(i,j)=max{|f(i-1,j-1)-f(i+1,j+1)|,|f(i-1,j+1)-f(i+1,j-1)|}

(3.1-22)

用Sobel梯度算子考察圖像每個(gè)像素(i,j)的上、下、左、右鄰點(diǎn)的灰度的加權(quán)差:

S(i,j)=|f(i-1,j-1)+2f(i-1,j)+f(i-1,j+1)

-［f(i+1,j-1)+2f(i+1,j)+f(i+1,j+1)］|

+|f(i-1,j-1)+2f(i,j-1)+f(i+1,j-1)

-［f(i-1,j+1)+2f(i,j+1)+f(i+1,j+1)］|

(3.1-24)對(duì)于數(shù)字圖像梯度算子可用模板匹配(Templatematching)的形式來(lái)簡(jiǎn)明表示，下面由向量運(yùn)算來(lái)分析。若有一個(gè)3×3的模板W(i,j)，其元素ωi,j的位置如圖3.1.2(a)所示。

設(shè)該模板疊放在搜索圖像F上平移，模板覆蓋下的那塊搜索圖通常叫做子圖Fm,n(i,j)，其各元素f(i,j)的位置如圖3.1.2(b)所示。圖3.1.2模板W(i,j)與子圖Fm,n(i,j)的各元素

若模板W(i,j)與子圖Fm,n(i,j)完全一致，則兩者之差為零，否則不為零。因此可用下列測(cè)度來(lái)衡量其相似程度：

(3.1-25)若將上式展開(kāi)，則有

(3.1-26)

等式中右邊第三項(xiàng)表示模板的總能量，是一常數(shù)，與(m,n)無(wú)關(guān)；第一項(xiàng)是模板覆蓋下那塊子圖像的能量，它隨(m,n)的位置移動(dòng)而緩慢改變；第二項(xiàng)是子圖像和模板的互相關(guān)，隨(m,n)的位置而改變，當(dāng)模板與子圖像匹配時(shí)，該項(xiàng)取值最大。因此，模板匹配的過(guò)程可認(rèn)為計(jì)算圖像中以(m,n)為中心的局部區(qū)域與模板W(i,j)之間的相關(guān)系數(shù)：

(3.1-27)

在上述3×3模板的例子中，可以分別把模板陣列W和子圖像堆疊成9維向量

W=［ω-1,-1,ω0,-1,…,ω1,1］T

f=［f(m-1,n-1),f(m,n-1),…,f(m+1,n+1)］T

則歸一化互相關(guān)函數(shù)的計(jì)算相當(dāng)于兩個(gè)向量W和f的內(nèi)積fTW。當(dāng)模板窗口擴(kuò)大到N×N時(shí)。W和f就為N2維向量。兩個(gè)向量a和b的內(nèi)積為：

〈a,b〉=aTb=|a||b|cosθ

(3.1-28)表3.1.1給出了常用的梯度模板。對(duì)于x和y兩個(gè)方向的差分Δfx和Δfy分別有相應(yīng)的模板Wx和Wy，因此，Δfx和Δfy的計(jì)算可以歸結(jié)為通過(guò)式(3.1-29)的投影運(yùn)算得到：

Δfx=fTWx,Δfy=fTWy

(3.1-29)梯度幅值：

|2f|2=(fTWx)2+(fTWy)2(3.1-30)梯度方向：

(3.1-31)表3.1.1常用的梯度模板

表3.1.2中給出了點(diǎn)、線和邊緣的模板。線模板分別是

0°、45°、90°、-45°四種方向的線條。邊緣模板對(duì)應(yīng)于水平、垂直和左右斜方向的四種邊緣。表3.1.2點(diǎn)、線條和邊緣模板3.1.2Kirsh算子

對(duì)數(shù)字圖像I=f(i,j)的每個(gè)像素(i,j)，Kirsh算子(Kirshoperator)考察它的八個(gè)鄰點(diǎn)的灰度變化，取其中三個(gè)相鄰點(diǎn)的加權(quán)和Sk減去余下五個(gè)鄰點(diǎn)的加權(quán)和Tk，k=0,1,2,…,7。令三個(gè)鄰點(diǎn)環(huán)繞不斷移位，取其中差值的最大值作為Kirsh算子值:

K(i,j)=max{1,max［5Sk-3Tk］}(3.1-32)3.1.3Laplacian算子

一階微分是一個(gè)矢量，既有大小又有方向，和標(biāo)量相比，它的存儲(chǔ)量大。根據(jù)圖3.1.1所示的圖像邊緣模型，二階導(dǎo)數(shù)在邊緣點(diǎn)處出現(xiàn)零交叉。據(jù)此對(duì)數(shù)字圖像{f(i,j)}的每個(gè)像素(i,j)，取它關(guān)于x軸和y軸方向的二階差分之和。

Laplacian算子是不依賴于邊緣方向的二階微分算子，它是一個(gè)標(biāo)量，具有旋轉(zhuǎn)不變即各向同性的性質(zhì)。其表示式為(3.1-33)屋頂狀邊緣在邊緣點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)取極小值。因而，可對(duì)數(shù)字圖像{f(i,j)}的每個(gè)像素(i,j)取其在x軸和y軸方向的二階差分之和的相反數(shù)，即

L(i,j)=-f(i+1,j)-f(i-1,j)-f(i,j+1)-f(i,j-1)+4f(i,j)

(3.1-34)取適當(dāng)?shù)拈T限THL，如果L(i,j)>THL，則(i,j)為屋頂狀邊緣。

簡(jiǎn)單邊緣檢測(cè)示例見(jiàn)圖3.1.3和圖3.1.4。

圖3.1.3(a)和3.1.4(a)分別是Lena的原始圖像以及疊加了噪聲的圖像，圖3.1.3(b)~(f)和圖3.1.4(b)~(f)分別顯示了利用Sobel算子、Robert算子、Prewitt算子、Kirsh算子以及Laplacian算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果。從圖中可以看到，與一階微分相比較，二階微分Laplacian算子對(duì)噪聲更敏感，它

使噪聲成分加強(qiáng)，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)注意這一點(diǎn)。圖3.1.3簡(jiǎn)單邊緣檢測(cè)算法對(duì)原始圖像檢測(cè)的結(jié)果比較圖3.1.4簡(jiǎn)單邊緣檢測(cè)算法對(duì)加噪聲后圖像檢測(cè)的結(jié)果比較3.1.4Marr算子

上述幾個(gè)算子類似于高通濾波(Highpassfiltering)，對(duì)帶噪聲的邊緣較敏感，有時(shí)會(huì)造成一些虛假輪廓或生成并不存在的邊緣點(diǎn)。解決這一問(wèn)題的辦法是先對(duì)圖像進(jìn)行平滑，以便濾除噪聲。如平滑濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)用h(x)表示，對(duì)信號(hào)先濾波，濾波后的信號(hào)為g(x)=f(x)*h(x)，然后再對(duì)g(x)求一階或二階導(dǎo)數(shù)以檢測(cè)邊緣點(diǎn)。由于濾波運(yùn)算與卷積運(yùn)

算有如下次序關(guān)系：(3.1-35)Marr邊緣檢測(cè)算子是一種常用的先平滑后求導(dǎo)數(shù)的方法。對(duì)于二維圖像信號(hào)，Marr提出用下述高斯函數(shù)來(lái)進(jìn)行平滑操作：

(3.1-36)

G(x,y,σ)是一個(gè)圓對(duì)稱函數(shù)，它的傅里葉變換與原函數(shù)具有相同的曲線形式，因而它可以看成是一個(gè)低通濾波器。其平滑的尺度可通過(guò)σ來(lái)控制。圖像線性平滑在數(shù)學(xué)上是進(jìn)行卷積運(yùn)算，令g(x,y)為平滑后的圖像：

g(x,y)=G(x,y,σ)*f(x,y)(3.1-37)由于邊緣點(diǎn)是圖像中強(qiáng)度變化劇烈的地方，這種圖像強(qiáng)度的突變?cè)谝浑A導(dǎo)數(shù)中產(chǎn)生一個(gè)峰，或在二階導(dǎo)數(shù)中產(chǎn)生一個(gè)零交叉點(diǎn)，而沿梯度方向的二階導(dǎo)數(shù)是非線性的，計(jì)算較為復(fù)雜。Marr提出用拉普拉斯算子來(lái)替代，即用

2g(x,y)=2［G(x,y,σ)*f(x,y)］=2G(x,y,σ)*f(x,y)(3.1-38)(3.1-39)的零交叉點(diǎn)作為邊緣點(diǎn)。上式中2G為L(zhǎng)oG(LaplacianofGaussian，LoG)濾波器：

因此邊緣點(diǎn)P(x,y)的集合可以表示為

P(x,y)={(x,y,σ)|2［f(x,y)*G(x,y,σ)］=0}

(3.1-40)

圖3.1.5給出了LoG函數(shù)在(x,y)空間中的圖示。2G有無(wú)限長(zhǎng)拖尾，具體實(shí)現(xiàn)卷積f*2G時(shí)，應(yīng)取一個(gè)N×N的窗口，在窗口內(nèi)進(jìn)行卷積。為了避免過(guò)多地截去2G的拖尾，N應(yīng)該取的較大。通常當(dāng)N≈3σ時(shí)，檢測(cè)效果較好。為了減少運(yùn)算量，通常用兩個(gè)不同帶寬的高斯曲面之差(DifferenceoftwoGaussianfunctions，DoG)來(lái)近似2G。(3.1-41)式中的正項(xiàng)代表激勵(lì)功能；負(fù)項(xiàng)代表抑制功能。從工程的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)δ1/δ2=1.6時(shí)，DoG最逼近2G。圖3.1.5二維LoG算子DoG算子邊緣檢測(cè)示例見(jiàn)圖3.1.6。

圖3.1.6(a)是原始圖像，圖(b)的第一列顯示了用不同方差下的高斯濾波器對(duì)原始圖像進(jìn)行平滑后的結(jié)果，圖(b)的第二列給出了第一列圖像中相鄰圖像差分的結(jié)果。圖3.1.6DoG算子檢測(cè)邊緣示例3.1.5Canny算子

為了抗噪聲干擾，可以選用LoG算子或DoG算子。但是這兩個(gè)算子在抗噪聲干擾的同時(shí)會(huì)抑制掉圖像中較弱的邊緣。而Canny算子既能抗噪聲干擾又可提取出圖像中較強(qiáng)和較弱的邊緣，而且可以得到精度為單個(gè)像素寬度的邊緣。因此，近年來(lái)Canny邊緣提取的方法在圖像處理中得到廣泛的應(yīng)用。

Canny算子的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

①將圖像與一個(gè)可分離的二維Gauss函數(shù)卷積；

②計(jì)算濾波后圖像的梯度幅值；

③對(duì)圖像執(zhí)行非最大值抑制；

④對(duì)圖像采用滯后性限幅。

Canny算子的實(shí)現(xiàn)步驟可表示如下：

(1)對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理。設(shè)原始圖像為I(x,y)，則平滑后的圖像為

S(x,y)=G(x,y,σ)I(x,y)

(3.1-42)式中，G(x,y,σ)=為高斯平滑濾波器。

(2)按下式逐點(diǎn)計(jì)算平滑后圖像梯度的幅值和方向：

(3.1-43)

式中，。

(3)對(duì)所求得的梯度幅值進(jìn)行非最大值抑制：

(3.1-44)其中，Ω為(x,y)在梯度方向上的鄰域。

(4)對(duì)N采用遲滯作用限幅(設(shè)Thigh和Tlow是兩個(gè)閾值，0<Tlow<Thigh<1):

①令

②Tlow≤N(x,y)<Thigh，如果{E(i,j)}>0，則令E(x,y)=N(x,y)，否則，E(x,y)=0，其中Δ為(x,y)的8鄰域。此時(shí)，

E就是Canny算子提取到的圖像I的邊緣。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們將原始模板截?cái)嗟接邢蕹叽鏝。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)N=2σ+1時(shí)，能夠得到較好的檢測(cè)效果。

Marr算子和Canny算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)的示例見(jiàn)圖3.1.7。圖3.1.7(a)顯示了Lena的原始圖像，圖(b)和圖(c)是分別采用Marr算子和Cany算子對(duì)原圖進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果。通過(guò)對(duì)比可以看出：Marr算子抑制了圖像中較弱的邊緣；而Canny算子既能抑制噪聲干擾，又可提取出圖像中較強(qiáng)和較弱的邊緣。圖3.1.7用Marr算子和Canny算子對(duì)Lena

原始圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果比較3.2.1Hough變換

Hough變換是利用圖像全局特性而將邊緣像素連接起來(lái)組成區(qū)域封閉邊界的一種方法。

在預(yù)先知道區(qū)域形狀的條件下，利用Hough變換可以方便地得到邊界曲線而將不連續(xù)的邊緣像素點(diǎn)連接起來(lái)。Hough變換的主要優(yōu)點(diǎn)是受噪聲和曲線間斷的影響較小。利用Hough變換還可以直接檢測(cè)某些已知形狀的目標(biāo)，并可能確定亞像素精度的邊界。3.2基于變換域的邊緣檢測(cè)如采用Hough變換的方法就可用較少的計(jì)算量來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。Hough變換的基本思想是點(diǎn)-線的對(duì)偶性。在圖像空間XY里，所有過(guò)點(diǎn)(x,y)的直線都滿足方程：

y=px+q

(3.2-1)其中p為斜率，q為截距。上式也可寫成

q=-px+y

(3.2-2)式(3.2-2)可認(rèn)為代表參數(shù)空間PQ中過(guò)點(diǎn)(p,q)的一條直線。

現(xiàn)在來(lái)看圖3.2.1，圖(a)為圖像空間，圖(b)為參數(shù)空間。在圖像空間中過(guò)點(diǎn)(xi,yi)的通用直線方程按式(3.2-1)可寫成yi=pxi+q，也可按式(3.2-2)寫成q=-pxi+yi，后者表示在參數(shù)空間PQ里的一條直線。同理過(guò)點(diǎn)(xj,yj)有yj=pxj+q也可寫成q=-pxj+yj，它表示在參數(shù)空間PQ里的另一條直線。設(shè)這兩條線在參數(shù)空間PQ里的點(diǎn)(p′,q′)相交，這里點(diǎn)(p′,q′)對(duì)應(yīng)圖像空間XY中一條過(guò)(xi,yi)和(xj,yj)的直線。因?yàn)樗鼈儩M足yi=p′xi+q′和yj=p′xj+q′。

由此可見(jiàn)圖像空間XY中過(guò)點(diǎn)(xi,yi)和(xj,yj)的直線上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)參數(shù)空間PQ里的一條直線，這些直線相交于點(diǎn)(p′,q′)。圖3.2.1圖像空間和參數(shù)空間中點(diǎn)和線的對(duì)偶關(guān)系圖3.2.2參數(shù)空間里的累加數(shù)組具體計(jì)算時(shí)需要在參數(shù)空間PQ里建立一個(gè)2D的累加數(shù)組。設(shè)這個(gè)累加數(shù)組為A（p,q），如圖3.2.2所示，其中［pmin,pmax］和［qmin,qmax］分別為預(yù)期的斜率和截距的取值范圍。開(kāi)始時(shí)置數(shù)組A為零，然后對(duì)每一個(gè)圖像空間中的給定點(diǎn)，讓p取遍P軸上所有可能的值，并根據(jù)式(3.2-2)算出對(duì)應(yīng)的q值。再根據(jù)p和q的值(設(shè)都已經(jīng)取整)對(duì)A累加。累加結(jié)束后，根據(jù)A(p,q)的值就可知道有多少點(diǎn)是共線的,即A(p,q)的值就是在(p,q)處共線點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

同時(shí)(p,q)值也給出了直線方程的參數(shù)，使我們得到了點(diǎn)所在的線。

這里空間點(diǎn)共線統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性是由累加數(shù)組的尺寸決定的。假設(shè)我們把P軸分成K份，那么對(duì)每一個(gè)點(diǎn)(xk,yk)由式(3.2-2)可得q的K個(gè)值(p取K個(gè)值)。因?yàn)閳D中有n個(gè)點(diǎn)，所以這里需要nK次運(yùn)算，可見(jiàn)運(yùn)算量是n的線性函數(shù)。如果K比n小、則總計(jì)算量必小于n2，這樣計(jì)算量遠(yuǎn)小于前述的直接方法，這就是Hough變換的計(jì)算優(yōu)越性所在。

運(yùn)用式(3.2-1)的直線方程時(shí)，如果直線接近豎直方向，則會(huì)由于p和q的值都接近無(wú)窮而使計(jì)算量大增(因?yàn)槔奂悠鞒叽鐚?huì)很大)。此時(shí)可用直線的極坐標(biāo)方程(見(jiàn)圖3.2.3)：

ρ=xcosθ+ysinθ

(3.2-3)根據(jù)這個(gè)方程，原圖像空間中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)新參數(shù)空間AΘ中的一條正弦曲線，即原來(lái)的點(diǎn)-直線對(duì)偶性變成了現(xiàn)在的點(diǎn)-正弦曲線對(duì)偶性。檢測(cè)在圖像空間中共點(diǎn)的線需要在參數(shù)空間里檢測(cè)正弦曲線的交點(diǎn)。具體方法是讓?duì)热”棣ㄝS上所有可能的值，并根據(jù)式(3.2-3)算出所對(duì)應(yīng)的ρ。再根據(jù)θ和ρ的值(設(shè)都已經(jīng)取整)對(duì)累加數(shù)組A累加，由A(θ,ρ)的數(shù)值得到共線點(diǎn)的個(gè)數(shù)。這里在參數(shù)空間建立累加數(shù)組的方法仍與上述類似，只是無(wú)論直線如何變化，θ和ρ的取值范圍都是有限區(qū)間。圖3.2.3直線的極坐標(biāo)表示現(xiàn)在來(lái)看圖3.2.4，其中圖(a)給出圖像空間XY中的5個(gè)點(diǎn)(可看做1幅圖像的4個(gè)頂點(diǎn)和中心點(diǎn))，圖(b)給出它們?cè)趨?shù)空間AΘ里所對(duì)應(yīng)的5條曲線。這里θ的取值范圍為

［-90°,+90°］，而ρ的取值范圍為［-

/2,

/2］(N為圖像長(zhǎng)度)。圖3.2.4圖像空間中的點(diǎn)和其在參數(shù)空間里對(duì)應(yīng)的正弦曲線圖3.2.5給出了一組用Hough變換檢測(cè)橢圓的示例圖。圖(a)是一幅256×256像素大小、256級(jí)灰度的合成圖，其中有一個(gè)灰度值為160的橢圓目標(biāo)，它處在灰度值為100的背景正中。對(duì)整幅圖像又迭加了在［-50，50］之間均勻分布的隨機(jī)噪聲?，F(xiàn)在考慮利用Hough變換來(lái)檢測(cè)這個(gè)橢圓的長(zhǎng)短軸。首先計(jì)算原始圖的梯度圖(如可用Sobel算子)，然后對(duì)梯度圖取閾值就可得到目標(biāo)的一些邊緣點(diǎn)。為抗噪聲的干擾，如果閾值取得較低，則邊緣點(diǎn)組成的輪廓線將較寬。但如果閾值取得較高，則邊緣點(diǎn)組成的輪廓線將有間斷，且仍有不少噪聲點(diǎn)，如圖(b)所示。這也說(shuō)明有噪聲時(shí)完整邊界的檢測(cè)較為困難。此時(shí)可對(duì)取閾值后的梯度圖求

Hough變換，得到的累加器圖像見(jiàn)圖(c)。根據(jù)累加器圖中的最大值(即最亮點(diǎn))可分別確定橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。這樣就可以馬上得到橢圓目標(biāo)的輪廓，見(jiàn)圖(d)中的白色圓周。圖(d)中將圓周疊加在原圖上以顯示效果。圖3.2.5用Hough變換檢測(cè)橢圓3.2.2Radon變換

歐拉空間的Radon變換是由奧地利數(shù)學(xué)家JohannRadon在1917年提出的，當(dāng)時(shí)的工作集中在求取2D、3D物體特征的分布上。半個(gè)世紀(jì)后，Hough變換才被引入到數(shù)字圖像中檢測(cè)直線，因此Hough變換可看做是Radon變換的特例。常用的Radon變換有線性Radon變換、拋物線Radon變換。當(dāng)被積函數(shù)的積分路徑是線性的時(shí)，稱為線性Radon變換，即Tau-p(τ-p)變換(又稱傾斜疊加)；當(dāng)被積函數(shù)的積分路徑是非線性的時(shí)，稱為非線性Radon變換，或廣義Radon變換。

Radon變換可在任意維空間定義，而且定義也存在多種形式，下面給出在2D空間的定義式：

(3.2-4)在進(jìn)行詳細(xì)的計(jì)算之前，根據(jù)定義直接分析Radon變換的簡(jiǎn)單特性是很有用的。對(duì)于數(shù)字圖像處理來(lái)說(shuō)，考慮f（θ,ρ）是定義在θ-ρ平面上的函數(shù)，F(xiàn)(x,y)是定義在XY平面上一矩形域的函數(shù),它們的幾何關(guān)系如圖3.2.3所示，其對(duì)應(yīng)定義域和值域如圖3.2.6所示。圖3.2.6Radon變換的定義域和值域通過(guò)分析可知：

(1)如果F集為一點(diǎn)(x0,y0)，即F為單點(diǎn)集，則f是非零的正弦曲線ρ=x0cosθ+y0sinθ，將F=δ(x-x0)δ(y-y0)直接代入式(3.2-4)即可得到。

(2)若在θ-ρ平面上，一個(gè)給定點(diǎn)(θ0,ρ0)對(duì)應(yīng)于平面上的直線ρ0=xcosθ0+ysinθ0，其可由式(3.3-4)中令θ=θ0以及ρ=ρ0而得。

(3)將XY平面上共線于ρ0=xcosθ0+ysinθ0的點(diǎn)映射到θ-ρ平面上，若是一個(gè)正弦曲線集，則這些正弦曲線均通過(guò)點(diǎn)(θ0,ρ0)。

(4)在θ-ρ平面上，曲線ρ=x0cosθ+y0sinθ上的點(diǎn)均對(duì)應(yīng)于XY平面上所有通過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的曲線。Radon變換的積分運(yùn)算環(huán)節(jié)抵消了噪聲所引起的亮度起伏，因此從直線檢測(cè)方面看，Radon變換域θ-ρ空間較原圖像空間域的信噪比(Signaltonoiseratio，SNR)高。

用Radon變換對(duì)圖像進(jìn)行線積分的實(shí)例見(jiàn)圖3.2.7。

圖3.2.7(a)為原始圖像，圖(b)為圖(a)進(jìn)行Radon變換后的結(jié)果。該例顯示了Radon變換在線檢測(cè)方面的優(yōu)越性，圖(b)中的兩個(gè)最亮點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖(a)中白色正方形的兩個(gè)對(duì)角線。但

Radon變換在檢測(cè)線段方面存在不足，它無(wú)法給出這些線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)及其長(zhǎng)度信息。圖3.2.7Radon變換對(duì)圖像進(jìn)行線積分的結(jié)果3.2.3小波變換檢測(cè)邊緣

傳統(tǒng)的圖像描述方法是Fourier分析，它揭示了時(shí)域(Timedomain)與頻域(Frequency

domain)之間內(nèi)在的聯(lián)系，反映了信號(hào)在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)的全部頻譜成分，是研究周期現(xiàn)象不可缺少的工具。雖然Fourier分析具有很強(qiáng)的頻域局部化能力，但由于不具有時(shí)間局部化能力，導(dǎo)致其無(wú)法處理很多信號(hào)分析的工作。

首先定義兩個(gè)小波，分別為一個(gè)二維連續(xù)函數(shù)θ(x,y)沿x和y方向的偏導(dǎo)數(shù)：(3.2-5)

令和

其中s為尺度系數(shù)，則對(duì)任意函數(shù)f(x,y)∈L2(R)，由兩個(gè)小波ψ1(x,y)和ψ2(x,y)定義的小波變換具有兩個(gè)分量：

W1f(x,y)=f*ψ1(x,y)

W2f(x,y)=f*ψ2(x,y)

(3.2-6)

(3.2-7)由此可以看出，小波變換的兩個(gè)分量與f(x,y)(被θ(x,y)所平滑)的梯度向量的坐標(biāo)成正比。

在f(x,y)尺度s的邊緣點(diǎn)就是上面這一梯度向量模的最大值點(diǎn)，而這一梯度向量的方向正是f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)變化最迅速的方向。因此,邊緣點(diǎn)實(shí)際上是曲面(f*θ)(x,y)的拐點(diǎn)。對(duì)于二維情形，尺度空間實(shí)際上是一個(gè)三維空間(s,x,y)。由于受到計(jì)算復(fù)雜性和計(jì)算內(nèi)存的限制，要盡可能地保留較少的尺度?；谏厦娴目紤]，可以定義二維二進(jìn)小波變換，其中的尺度沿著二進(jìn)序列s={2j}j∈Z遍歷。下面的函數(shù)集被稱為f(x,y)的二進(jìn)小波變換：

(3.2-8)令和分別為ψ1(x,y)和ψ2(x,y)的傅里葉變換，于是就有

(3.2-10)(3.2-9)一個(gè)二進(jìn)小波變換是完全的和穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)二維傅里葉平面被和的二進(jìn)膨脹所覆蓋。也就是說(shuō)，存在兩個(gè)嚴(yán)格為正的常數(shù)A和B，以使得

(3.2-11)時(shí)，小波變換在尺度2j的模和幅角分別為

(3.2-12a)

(3.2-12b)為了實(shí)現(xiàn)二進(jìn)小波變換計(jì)算的數(shù)字化，設(shè)兩個(gè)小波分別為

ψ1(x,y)=ψ(x)ξ(y)

(3.2-13)

ψ2(x,y)=ψ(y)ξ(x)

(3.2-14)令ψ(x)是對(duì)應(yīng)一維尺度函數(shù)ξ(x)的一個(gè)一維小波，其傅里葉變換為

(3.2-15)

(3.2-16)

(3.2-17)式中i=。有

(3.2-18)

(3.2-19)于是，平滑函數(shù)θ(x,y)可寫為

(3.2-20)

Mallat證明，若函數(shù)f(x,y)的Lipschitz正規(guī)性是α，則它的小波變換模值極大值滿足：

Mjf(x,y)≤K(2j)α

(3.2-21a)即：

lbMjf(x,y)≤lbK+αj(3.2-21b)若邊緣是平滑的，則它可以看成是某原始邊緣特性與高斯平滑核函數(shù)的卷積。高斯函數(shù)的方差決定了邊緣的平滑程度，且

Mjf(x,y)≤K2j

(3.2-22)式中S0=。綜上分析，這種方法可歸納如下：在各個(gè)尺度上，可以根據(jù)式(3.2-12a)從兩個(gè)方向小波交換圖像求出模值圖像M；根據(jù)式(3.2-12b)求出相應(yīng)的方向圖像A。如果M中一點(diǎn)大于其8鄰域中(沿著A中對(duì)應(yīng)點(diǎn)所標(biāo)記的方向)的相鄰兩點(diǎn)，則判為邊緣點(diǎn)。為了克服對(duì)噪聲的敏感，避免檢測(cè)出過(guò)多的細(xì)小邊緣或非邊緣點(diǎn)，對(duì)小波變換后的圖像取閾值t1，僅對(duì)大于一定值的小波變換系數(shù)才進(jìn)一步判斷，該閾值與圖像整體的灰度變化強(qiáng)度有關(guān)；對(duì)于保留下來(lái)的點(diǎn)，如果大于在角度方向上相鄰的兩個(gè)點(diǎn)，超過(guò)閾值t2才視為邊緣點(diǎn)。然后可根據(jù)(3.2-21a)估計(jì)出α值，結(jié)合目標(biāo)特點(diǎn)就可得到規(guī)定的邊緣輸出。用小波多尺度方法進(jìn)行邊緣檢測(cè)的框圖如

圖3.2.8所示。圖3.2.8小波多尺度邊緣檢測(cè)框圖

圖3.2.9是對(duì)Lena原始圖像進(jìn)行小波變換檢測(cè)邊緣的結(jié)果。通過(guò)與傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)圖比較不難發(fā)現(xiàn)，基于小波變換的多尺度邊緣提取算法有效地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算法的不

足，在有效抑制噪聲影響的同時(shí)，提供了較高的邊緣定位精度。圖3.2.9對(duì)Lena原始圖像進(jìn)行小波變換檢測(cè)邊緣的結(jié)果

定義1

設(shè)光滑函數(shù)Ψ∶R→R，滿足條件∫Ψ(t)dt=0及容許條件：

(3.2-23)對(duì)于參數(shù)集γ，定義R2→R的函數(shù)，并稱Ψγ為由容許條件所生成的Ridgelet函數(shù)：

(3.2-24)定義2

當(dāng)令u=(cosθ,sinθ)，x=(x1,x2)時(shí)，Ridgelet函數(shù)為

(3.2-25)

稱變換：

(3.2-26)

定義3

設(shè)f(x)∈L2(R2)，稱變換：

(3.2-27)

為f(x)在R2上的連續(xù)Radon變換。

定義4

設(shè)f(x)∈L2(R2)，稱變換：

(3.2-28)

為f(x)在R2上的連續(xù)Wavelet變換。其中Ψa,b(x)=a-1/2Ψ((x-b)/a)；Ψ(x)是一維小波函數(shù)。

由上述定義3和定義4可知，在二維空間中，點(diǎn)與線通過(guò)Radon變換相聯(lián)系，而Ridgelet變換與Wavelet變換通過(guò)Radon變換相聯(lián)系，即有：

(3.2-29)3.2.4基于稀疏表示的邊緣檢測(cè)方法

如何有效地表示圖像中的視覺(jué)信息是許多圖像處理任務(wù)的核心問(wèn)題。圖像表示的有效性是指用較少的數(shù)學(xué)描述來(lái)捕獲圖像中重要信息的能力，在一個(gè)表示方法中，就是用很少或少數(shù)的幾個(gè)分量很好地表示大多數(shù)感興趣的目標(biāo)。

近年來(lái)，稀疏多尺度幾何(Multiscalegeometry)表示方法應(yīng)運(yùn)而生，并且得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。多尺度幾何分析(Multiscalegeometricanalysis，MGA)則是繼小波之后，推動(dòng)小波分析發(fā)展的先驅(qū)者們?yōu)榱藱z測(cè)、表示、處理高維空間數(shù)據(jù)，在數(shù)學(xué)分析、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、模式識(shí)別、統(tǒng)計(jì)分析等不同學(xué)科中，致力發(fā)展的一種新的高維函數(shù)的最優(yōu)表示方法。圖像的多尺度幾何分析方法分為自適應(yīng)的和非自適應(yīng)的。其中，自適應(yīng)方法以Bandelet為代表，一般先進(jìn)行邊緣檢測(cè)，再利用邊緣信息對(duì)原函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)表示。

非自適應(yīng)的方法并不需要先驗(yàn)地知道圖像本身的幾何特征，其代表為Curvelet變換、Bandelet變換和Contourlet變換。

1.Curvelet變換

標(biāo)準(zhǔn)的脊波變換僅對(duì)于具有直線奇異性的多變量函數(shù)有良好的逼近性能，對(duì)于含曲線奇異性的函數(shù)，逼近效率只相當(dāng)于小波變換。

Curvelet分解示意圖如圖3.2.10所示。圖3.2.10Curvelet分解示意圖

2.Bandelet變換

Bandelet是一種自適應(yīng)的多尺度幾何圖像表示工具，它基于邊緣，能夠自適應(yīng)跟蹤圖像內(nèi)在的幾何結(jié)構(gòu)，捕獲其所含的幾何正則性，從而給出漸進(jìn)的最優(yōu)表示。

Bandelet分解示意圖如圖3.2.11所示。圖3.2.11Bandelet分解示意圖

3.Contourlet變換

2002年，Minh.N.Do和MartinVetterli提出一種有效的圖像稀疏表示方法Contourlet變換，也稱塔形方向?yàn)V波器組(Pyramidaldirectionalfilterbank，PDFB)。這是一種多分辨局部圖像表示方法，具有良好的方向感知性。

其最終結(jié)果就是用類似于線段的基結(jié)構(gòu)來(lái)逼近原圖像，如圖3.2.12所示。圖3.2.12Contourlet分解示意圖表3.2.1總結(jié)了幾種變換及各自擅長(zhǎng)處理的圖像特征。多尺度幾何各類變換所適合的圖像特征有所不同，但又互相彌補(bǔ)，需要根據(jù)具體的應(yīng)用針對(duì)性地加以選擇。因此，如能結(jié)合多尺度幾何各類變換優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造完備的基本函數(shù)庫(kù)，并采用正規(guī)化技術(shù)結(jié)合集成學(xué)習(xí)來(lái)構(gòu)造多尺度幾何網(wǎng)絡(luò)逼近，可以獲得較好的邊緣特征提取效果。表3.2.1各種X-let對(duì)應(yīng)的適合捕獲的圖像特征3.3.1

Livewire及其改進(jìn)算法

1.Livewire算法

Livewire算法是由Barrett和Mortensen提出的一種交互式邊緣提取方法，是一種高效、準(zhǔn)確、可重復(fù)的和只需要極少量人工干預(yù)的圖像分割方法。3.3交互式邊緣檢測(cè)算法當(dāng)起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)位于目標(biāo)邊緣上時(shí)，Dijkstra算法得到的最短路徑能否準(zhǔn)確地表示目標(biāo)的邊緣取決于代價(jià)函數(shù)能否較好地反映目標(biāo)的邊緣特征。本章參考文獻(xiàn)［20］中，Barrett和Mortensen構(gòu)造了如下的代價(jià)函數(shù)：

l(p,q)=ωG×fG(q)+ωZ×fZ(q)+ωD×fD(p,q)

(3.3-1)式中，l(p,q)表示像素p到其鄰接像素q的局部費(fèi)用，ωG，ωZ和ωD為權(quán)值，通常取ωG=0.43，ωZ=0.43和ωD=0.14。fG(q)是像素q處的梯度幅值的特征函數(shù)，fZ(q)是像素q的Laplace過(guò)零特征函數(shù)，fD(q)是像素p到像素q的邊緣的光滑度約束函數(shù)。圖像中邊緣越是明顯，此邊緣上像素的梯度幅值就越大，該像素在有向圖中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的費(fèi)用就應(yīng)該越小。所以，fG(q)用歸一化的反比函數(shù)表示為

(3.3-2)其中，G(q)表示像素q處梯度的幅值，max(G)表示整幅圖像中最大的梯度幅值。由于物體邊緣所在處是Laplace值的過(guò)零處，所以圖像的Laplace值可以確定圖像中物體邊緣的準(zhǔn)確位置。式3.