重難點培優(yōu)08導數(shù)中的極值點偏移、拐點偏移問題

目錄

01知識重構?重難梳理固根基.......................................................1

02題型精研?技巧通法提能力.......................................................5

題型一極值點偏移方法之對稱構造（★★★★★）..............................二.........5

題型二極值點偏移方法之比值代換（★★★★★）.........................................5

題型三極值點偏移方法之對數(shù)均值不等式（★★★★★）..................................5

題型四極值點偏移:加法形式（★★★★★）...............................................6

題型五極值點偏移:減法形式（★★★★★）...............................................7

題型六極值點偏移:乘積形式（★★★★★）...............................................7

題型七極值點偏移:商式形式（★★★★★）...............................................9

題型八極值點偏移:平方形式（★★★★）................................................10

題型九極值點偏移:其他形式（★★★★）................................................10

題型十拐點偏移問題（★★★）..........................................................11

03實戰(zhàn)檢測-分層突破驗成效......................................................12

檢測I組重難知識鞏固.....................................二............................12

檢測II組創(chuàng)新能力提升..................................................................15

01

知識重構?重難梳理國根基

一、極值點偏移問題

1、極值點偏移定義

極值點偏移是函數(shù)在極值點左右的增減速度不?樣，導致函數(shù)的圖象不具有對稱性。例如我『學過的二次

函數(shù)為標準的對稱結構，也有對稱釉，但是有些函數(shù)沒有對稱軸，即關于類對稱軸對稱的兩點橫坐標之和

不等于對稱點橫坐標兩倍，我們把這種現(xiàn)象叫做極值點偏移

2、極值點偏移的原理

函數(shù)自身所導致的在極值點左右兩端增速不一樣

I/16

3、極值點偏移的圖形定義

①左右對稱，無偏移，如二次函數(shù)；若/'($)=/(%)，則%+馬二2%

②左陡右緩，極值點向左偏移；若/(芭)=/(￡)，則玉+々>2%0

③左緩右陡，極值點向右偏移；若/(芭)=/(七)，則占+%<2%

4、極值點偏移的判斷

根據(jù)極值點偏移的定義可知：當題干中出現(xiàn)X+W，土三,‘“，一/02)等條件而求證不等式成立的時候，

玉工2玉F

即可視為極值點偏移考察

5、答題模板(對稱構造)

若已知函數(shù)/(X)滿足/3)=/'區(qū))，/為函數(shù)/(X)的極值點，求證：再+/<2%.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性并求出/(x)的極值點與；

假設此處/(工)在(-8,%)上單調(diào)遞減，在*0，+8)上單調(diào)遞增.

(2)構造F(x)=f(x()+x)~/(x0-x)；

注：此處根據(jù)題意需要還可以構造成F(X)=/(X)-/(2X0-J)的形式.

(3)通過求導F(x)討論F(x)的單調(diào)性，判斷出/(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出/(%+幻與/(/一外

的人小美系；

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假設此處b(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出/(x)>/(.%)=/(%)-/(.r0)=0,從而得到：

x>%o時，/(x0+x)>/(x0-x).

(4)不妨設再</<工2,通過/(X)的單調(diào)性，/(x,)=/(x2),/(%+》)與/(與一口的大小關系得出

結論：

接上述情況，由于x>.%時，/(.%+x)>/(Xo-X)且玉<工0<%2，/區(qū))=/(%2)，故

/(再)=f(x2)=/[x0+(x2-x0)]>/[x0-(x2-x0)]=/(2X0-X2),又因為，<%,2%-工2/%且

/(x)在(一8戶0)上單調(diào)遞減，從而得到X]<2x0-x2,從而x]+x2<2x0得證.

(5)若要證明/'(后土)<0,還需進一步討論土產(chǎn)與％的大小，得出土產(chǎn)所在的單調(diào)區(qū)間，從而

得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為$+々<2/,故由于

/(X)在(-8/0)上單調(diào)遞減，故/，(土產(chǎn))<0.

S

S

O

運用的單調(diào)性脫去/)

利用“小)=八小)

5、其他方法

①比值代換

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的

比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的.設法用比值(一般用，表示)表示兩個極值點，即，=?■,化為

單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉化為關于/的函數(shù)問題求解.

②對數(shù)均值不等式

a-b(

兩個正數(shù)。和力的對數(shù)平均定義：｛lna-]n產(chǎn)

a(a=b).

對數(shù)平均與算術平均、幾何平均的大小關系：，石￡〃/〃)工學(此式記為對數(shù)平均不等式)

取等條件：當且僅當。=力時，等號成立.

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02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一極值點偏移方法之對稱構造?

1.已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx一寸十取awR).

(1)若函數(shù)V=/'(x)有兩個零點，求。的取值范圍；

(2)女內(nèi)/2是函數(shù)/(X)的兩個極值點，證明：$+看>2.

2.已知函數(shù)/(x)=x-Inx-a.

⑴若/(x)NO,求。的取值范圍;

⑵證明：若/(%)有兩個零點/，/，則XlX2<1?

?題型二極值點偏移方法之比值代換?

1.若司,々是函數(shù)/3=。'-內(nèi)(1>0)的兩個零點，且王<當，求證：玉+々>2且中2VL

2.(23-24高三上?河南?月考)已知函數(shù)/3=(犬-2*'-取)?￡中.

⑴若。=2,討論/(%)的單調(diào)性.

(2)已知關于x的方程/(x)=(x-3”+2ax恰有2個不同的正實數(shù)根卬

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：X+x2>4.

——?題型三極值點偏移方法之對數(shù)均值不等式?——

1.已知函數(shù)〃(x)=lnx和g(x)=at,若存在兩個實數(shù)演戶2,且工戶吃，使得〃(xj=g(xj，人(工2)=8(占)，

2

證明：x}x2>e.

2.已知/(x)=ax?+〃x+5-In*x.

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(1)若/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求。+力的最小值.

(2)當。=0時，若/(x)有兩個極值點芭"2,求證：X+X2>2C.

3.已知函數(shù)/(x)=^-皿工+%-[.若/。)有兩個零點內(nèi)“2，證明：中2<1.

?題型出極值點偏移:加法形式?

I1Se

1.設函數(shù)/w=e'-^ex2-^(x-l)3+y,xe[0,+oo).

乙n乙

(1)判斷函數(shù)/(外的單調(diào)性；

(2)若工產(chǎn)42，且/(內(nèi))+/(與)=6,，求證：X)+x2<2.

2.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱期末)已知函數(shù)/(切=&，g(.v)=A.(i-inx)

⑴若對于任意xw(O,r),都有/(x)<g(x),求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)，=g(x)-用有兩個零點七,七，求證：,+,>2.

X\X2

3.已知函數(shù)/(X)=ae-2jf+lnx-l(a€R).

(1)若函數(shù)/(“在(O,+s)上單調(diào)遞增，求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(切恰有兩個極值點玉，5(王</)，且土的最大值為。2,求證：王+》,《與口.

x\c--1

4.已知函數(shù)/(x)=3nx—x.

(1)求函數(shù)/(x)的最值；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-有兩個不同的極值點，記作須,々，且王<占，求證：1*+2g〉3.

5.(2025?陜西寶雞?二模)已知函數(shù)/")=j3-疝11,

⑴當。=e時，求歹=/(x)在(0J(0))處的切線方程；

(2)若xe(O,+e)時，/(x)N0恒成立，求。的范圍；

(3)若/(X)在(0,兀)內(nèi)有兩個不同零點為、乙，求證：<X,+X,<71.

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6.已知函數(shù)〃X)=jg(x)=e+公且曲線y=/(x)在(0,0)處切線也是曲線尸g(x)的切線.

e

⑴求。的值；

(2)求證:/(x)<g(x)；

⑶若直線歹=〃與曲線N=/(x)有兩個公共點可內(nèi),必)，8(々切)，與曲線P=g(x)有兩個公共點

。(5法伍))，。卜4，g(》4))，求證：X1+X2+X3+X4>1

?題型五極值點偏移:減法形式?

1.已知函數(shù)/(x)=(x-e-l)e'-gel+e).

(1)求函數(shù)/(K)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若/(%)=/(&)=/(/)(X<巧<玉),求證：^y^<e-l.

2.已知函數(shù)/(x)=e'-2》一[[+1),g(x)=x2+(a-l)x-(a+2)(其中c之2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)試討論函數(shù)/(X)的零點個數(shù)：

(2)當時,設函數(shù)力(%)=/(x)-g(x)的兩個極值點為為、1且茍<々,求證:eX2-eX|<4a+2.

3.(2024?河南南陽?一模)已知函數(shù)=.

⑴若函數(shù)/(力在(0,+。)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

(2)若函數(shù)/(x)的兩個零點分別是玉,s，且/</,證明：

①々隨著。的增大而減??；

1

②4--V|>—+a.

a

--------?題型六極值點偏移:乘積形式?---------

2

1.(24-25高三上?湖南?月考)已知函數(shù)/(幻=2右一(〃?一；)一,g(x)=/(A-)-xlnx-2x.

(1)若〃?=；3,求曲線y=/(x)在點(oj(o))處的切線方程.

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(2)若g(x)有兩個極值點

(i)證明："?>e-l；

(ii)證明：ab<\.

2.已知函數(shù)/a)=(x-l)lnx-y+a“4€R).

(1)若函數(shù)》=/'")有兩個零點，求。的取值范圍；

(2)設占,看是函數(shù)/(X)的兩個極值點，證明：2*'-2^>4.

3.(23-24高三上?重慶渝中?期中)已知函數(shù)/(xbxlnY-ax'+XMeR.

(1)若函數(shù)/(“是減函數(shù)，求。的取值范圍；

Q

(2)若/(x)有兩個零點$戶2，且%>&，證明：V2>—?

4.已知函數(shù)/(x)="lnx-?a€R).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/'(X)有兩個零點陽，工2，且王<々，求證：X[x；<c-a.

5.定義：若函數(shù)f(x)與或外在公共定義域內(nèi)存在％,使得/U)+g(%)=。,則稱/(x)與gG)為“契合函

數(shù)”，尤。為"契合點

⑴若/(x)=-Inx-1與g(x)=a*為"契合函數(shù)”，且只有一個“契合點”，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)若MX)=e—Inx與4(x)=bx-l為“契合函數(shù)”,且有兩個不同的“契合點”演,馬.

①求人的取值范圍；

②證明：$9<1.

6.(24-25高三上?江蘇宿遷?月考)已知函數(shù)/(x)=gx2—(q+2)x+2alnx("R).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

17

?2x+,

(2)當4=]時，證明：/(x)--x+|x<xe-2;

2

(3)函數(shù)〃(x)=/(x)/有兩個零點A、X2,求證：xrv2>e.

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?題型七極值點偏移:商式形式?

1.已知函數(shù)/(x)=，Inx+or+1(。wR).

(1)若X=l是的極值點，求。的值;

⑵當。＜-1時，求證：/⑴恰有兩個零點公，吃(*＜毛)，且與(其中/是/⑴的極值點).

-演

2.已知函數(shù)/")=x-siar-tanv+^lur+h,xel0,-y

⑴求證：2x<sinx+tanx,xGI0,y

(2)若存在為、々《。，制，且當X尸與時，使得/(不)=/(當)成立，求證:斗<1.

3.(2024?天津一模)設函數(shù)/a)=x2+lnx.

⑴求曲線y=/(x)在點(1，/(1))處的切線方程；

(2)女函數(shù)g(x)=/(x)-ox(aeR)

(i)當x=l時,g(x)取得極值,求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(ii)若g(x)存在兩個極值點須吒，證明：g(%)-g(X)＞3

4.已知函數(shù)/(x)=〃e'-x2+3(ajR)

⑴若方程/(x)=0有3個零點，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)若8(》)=-犬+2x+4-/(x)有兩個零點X]，S(K＜/)，求證：0＜。＜馬徑，且

e2芭+1+芯

5.(23-24高三下?四川成都?月考)已知函數(shù)〃x)=e'-ax,工￡(0,包).

⑴討論/(力的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/(X)-X山X-1有兩個零點X],x2(芭V*2)；

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明—

Inx2-Inx]

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?題型八極值點偏移：平方形式?

1.(2024?吉林?二模)在平面直角坐標系xOy中，RaQ48的直角頂點A在x軸上，另一個頂點8在函數(shù)

/6)=3圖象上

(1)當頂點“在X軸上方時，求RaO44以X軸為旋轉軸，邊彳8和邊03旋轉一周形成的面所同成的幾何體

的體積的最大值；

QV?21

(2)已知函數(shù)g(x)=e。+。廠-1,關于x的方程/(x)=g(x)有兩個不等實根與

X

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

2

(il)證明：x；+x；>~.

e

2.(23-24高三上?河南?月考)已知函數(shù)/(力=-2欣-。+1.

⑴當。=1時，求/(》)在區(qū)間/2上的最值；

(2)若/(X)有兩個不同的零點七，七，證明：彳+了>7

3.已知函數(shù)/(力=媽-3

X

(1)若y(x)w-i,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(X)有2個不同的零點x"G<w)，求證：2x；+3x->^.

?題型九極值點偏移：其他形式?

1.已知函數(shù)/(X)=X(1-。Inx),asR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若xw(0,；時，都有/(工)<1,求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)陽，士滿足魯土=土，證明：七十七<”也.

1IIIIX]X]

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2.已知函數(shù)/'(x)=xlnx-宗/一戈+a(Q￡R)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

(1)求。的取值范圍；

(2)汜兩個極值點為和々，且不.若義21，證明：

3.(2024?湖南邵陽?一模)已知函數(shù)/(x)=31nY+a”-4x+〃(a>0,6e4.

⑴討論函數(shù)/(力的單調(diào)性：

(2)當。=g時，方程/(力=0有三個不相等的實數(shù)根，分別記為天(i=123).

①求/)的取值范圍；

②證明,一毛卜4(，=1,2,3;/=1,2,3),

4.(笛?24高二上?重慶?月考)若函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)存在兩個不同的數(shù)天，與，同時滿足/房)=/(公)，

且/(力在點(再，/(2))，伍，/(毛))處的切線斜率相同，則稱/(X)為“切合函數(shù)”.

⑴證明：〃x)=2丁-6x為“切合函數(shù)”;

(2)若g(x)=3nx-gx2+〃x為“切合函數(shù)”(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，并設滿足條件的兩個數(shù)為為，勺

(i)求證：xx,<—;

一4

(ii)求證：("1)22-國

?題型十拐點偏移問題?

1.已知函數(shù)/(x)=21nx+/+x若正實數(shù)x出滿足/(玉)+/(X2)=4

證明:凡+當望

2.已知函數(shù)/(%)=廿-；/+依+1,?！陞^(qū).

⑴若/(x)為R上的增函數(shù)，求。的取值范圍；

(H)若a>0,X]A%,且/(xj+/3)=4,證明:/(x,+x2)<2.

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3.已知函數(shù)/(x)=ae"+e、+x,aeR.

(1)若/(x)在x=()處取得極值，求。的值；

(2)殳g(x)=/(x)-(a+3)e',試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

⑶當。=2時，若存在實數(shù)為，/滿足〃玉)+/(W)+3招/=0,求證：9+e”>g.

03

實應檢測?分層突破驗成效

...............?檢測I組重難知識鞏a

1.(2025?青海海南?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=\nx-mx2+\nm.m>0.

(1)討論函數(shù)/(力的單調(diào)性.

(2)假設存在正實數(shù)玉,々(工產(chǎn)》2),滿足/-()=-=—r底.

X1m'm

(i)求實數(shù)m的取值范圍；

(ii)證明：X)+x2>2.

2.(24-25高三上?江蘇連云港?期末)己知函數(shù)/("=2x+ax2^x\nx,aeR.

⑴當a=0時，求曲線y=/(x)在X=e處的切線方程；

(2)若/(X)有兩個零點再/2，且X,>3再，證明：^.r>—.

12e

3.已知函數(shù)/(x)=iog/-±m(xù)>i).

a

(1)若/(X)只有一個零點，求a的值；

(2)若/(X)有兩個零點再/2,證明：再+々>=?

4.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/。)=ax-xInx,f(x)為其導函數(shù).

⑴若/(x)Wl恒成立，求。的取值范圍；

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(2)若存在兩個不同的正數(shù)不占，使得/(%)=/(占)，證明：/'(而T)>0.

5.已知函數(shù)/(x)=xe-*.

⑴求函數(shù)/(4)的單調(diào)區(qū)間：

(2)已知函數(shù)g(x)的圖象與/(x)的圖象關于直線x=l對稱，證明:當x>l時，/'(x)>g(x)；

(3)如果內(nèi)工與，月./(為)=/卜2)，證明：$+乙>2.

6.(23-24高三上?河南?月考)已知函數(shù)/(》)=》-底+，",8(》)=2.

c

⑴若函數(shù)/(X)和g(x)的圖象都與平行J7軸的同一條直線相切，求機的值；

(2)若函數(shù)/。)=/(x)-g(x)有兩個零點再小2,證明：e2>e??

7.已知函數(shù)/(X)=叵口.

ax

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若(叫『=(用「(e是自然對數(shù)的底數(shù))，且不>0,x2>0,xk/，證明:x：+*>2.

8.(24-25高三上?山東濰坊?期末)已知函數(shù)/(x)=e、+./,g(x)=x\nx+(a+\)x.

(1)求曲線y=g(x)在(l，g(l))處的切線方程；

(2)若/(x)2g(x),求。的取值范圍；

(3)若/(x)=g(x)有兩個實數(shù)解為,x2,證明：Inj+lnx2Vo.

9.已知函數(shù)〃x)=aln±-x,g(x)=ax-ae1(e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))

a

(1)當。=1時，求函數(shù)y=/(x)的極大值；

(2)已知X1,工2武。，*10)，且滿足/(xj、g(x2)，求證；X|Iae">2a.

10.設函數(shù)/(x)=liu+ja€R).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個零點演，

①求。的取值范圍；

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②證明：2a<x1+x2<\.

11.(2024?湖北武漢?三模)已知函數(shù)/(x)=at+("l)lnx+faeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若關于x的方程/('人工/-仙工+,有兩個不相等的實數(shù)根七、x”

X

(i)求實數(shù)”的取值范圍；

/..、e'1ev?2a

(n)求證：一+—＞---.

x2X]XjX,

12.已知函數(shù)/a)=e*-ox(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(外的單調(diào)性；

x

(2)若g(x)=e(x-l)-alnx+f(x)有兩個零點分別為x,,x2.

①求實數(shù)。的取值范圍；

②求證：、吊＞余?

V

13.(23-24高三上?江蘇南通?月考)已知函數(shù)/(x)=x+到U,acR.

X

⑴當。=-g時，求函數(shù)/(X)的極值；

(2)若/(戈)有兩個極值點演，々，求證：--------＞4.

X]+x2

14.已知函數(shù)/(x)=31iu+or*_4x(0＞0).

(1)當。=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當。=3?寸，若方程/(X)=6有三個不相等的實數(shù)根為戶2/3，且王＜公＜》3，證明：》3-不＜4.

15.(24?25高三上?重慶沙坪壩?月考)已知函數(shù)/")=(彳-2戶-(*2+必在(1,+8)上有兩個極值點不