第5講小專題:帶電粒子在交變電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

考點(diǎn)一帶電粒子在交變電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)

1.常見的交變電場(chǎng)

常見的產(chǎn)生交變電場(chǎng)的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。

2.思維方法

從兩條思路出發(fā):一是力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律分析;二是功能關(guān)

系。

3.解題技巧

⑴按周期性分段研究。

8t圖像）

（2）Ut圖像a-t圖像鱉v-t圖像。

Et圖像）

［例1］【單向直線運(yùn)動(dòng)模型】（2024?江蘇蘇州期末）如圖甲所示，某多級(jí)直線加速器由多

個(gè)橫截面積相同的金屬圓筒依次排列，其中心軸線在同一直線上，序號(hào)為奇數(shù)和偶數(shù)的圓

筒分別與圖乙所示交流電源兩極相連。U0時(shí),位于金屬圓板（序號(hào)為0）中央的電子,由靜止

開始加速。電子通過圓筒間隙的時(shí)間不計(jì)，且忽略相對(duì)論效應(yīng)，則（）

2345678交流電壓

甲

［A］圓筒內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨序號(hào)增大而減小

［B］電子在各圓筒中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

［C］電子在各圓筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都為T

［D］各圓筒的長(zhǎng)度之比可能為1：/：V3-

【答案】D

【解析】金屬圓筒中電場(chǎng)為零，電子不受電場(chǎng)力，做勻速運(yùn)動(dòng)，故A、B錯(cuò)誤;只有電子在每

個(gè)圓筒中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（時(shí)，才能保證每次在縫隙中被電場(chǎng)加速，故C錯(cuò)誤;電子進(jìn)入第n

2

個(gè)圓筒時(shí)，經(jīng)過〃次加速，根據(jù)動(dòng)能定理有neU=^mvnvn=［笠^，第〃個(gè)圓筒長(zhǎng)度

Ln=VnXL=L但藥，則各金屬筒的長(zhǎng)度之比為1：魚：聲…，故D正確。

22m

［例2］【往返直線運(yùn)動(dòng)模型】（2024?陜西西安階段檢測(cè)）（多選）接在平行板電容器A、B

兩極板的電壓隨時(shí)間變化關(guān)系圖像如圖所示，兩板間距足夠大，一質(zhì)量為根、帶電量為+夕

的粒子（不計(jì)重力），開始時(shí)靜止在兩極板中央，從某時(shí)刻由靜止釋放，關(guān)于帶電粒子的運(yùn)動(dòng),

下列描述正確的是（

［A］若從0時(shí)刻由靜止釋放，粒子一直向右運(yùn)動(dòng)

［B］若從0時(shí)刻由靜止釋放,粒子先向右后向左做往復(fù)性的運(yùn)動(dòng)

［］若從時(shí)刻由靜止釋放，粒子時(shí)而右，時(shí)而左，每個(gè)周期都會(huì)向左移動(dòng)一定距離

CO

［］若從時(shí)刻由靜止釋放，粒子時(shí)而左，時(shí)而右，每個(gè)周期都會(huì)向右移動(dòng)一定距離

DO

【答案】AC

【解析】從0時(shí)刻釋放粒子，根據(jù)靜止粒子所受電場(chǎng)力方向及作用時(shí)間，畫出粒子的v-f

圖像如圖甲所示（取向右為正方向）,

由圖甲可知,粒子在0?3時(shí)間內(nèi)向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在3?T時(shí)間內(nèi)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)

直至速度減為零，之后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，因此粒子始終向右運(yùn)動(dòng)，故A正確,B錯(cuò)誤;若粒子從2T

8

時(shí)刻由靜止釋放,根據(jù)靜止粒子所受電場(chǎng)力方向及作用時(shí)間，畫出粒子的V~t圖像如圖乙

所示,

由圖乙可知，粒子在電場(chǎng)力的作用下，時(shí)而右,時(shí)而左，一個(gè)周期內(nèi)向左運(yùn)動(dòng)的位移大于向右

運(yùn)動(dòng)的位移，所以每個(gè)周期都會(huì)向左移動(dòng)一定距離，故C正確,D錯(cuò)誤。

◎?迪!翁曲，

作速度一時(shí)間圖像時(shí)的注意點(diǎn)

⑴帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)的時(shí)刻。

(2)速度一時(shí)間圖像的斜率表示加速度，因此加速度相同的運(yùn)動(dòng)圖像一定是平行的直線。

(3)圖線與時(shí)間軸圍成的“面積”表示位移，且在橫軸上方所圍成的“面積”為正，在橫軸下方

所圍成的“面積”為負(fù)。

(4)注意對(duì)稱性和周期性變化關(guān)系的應(yīng)用。

(5)圖線與橫軸有交點(diǎn),表示此時(shí)速度為零;對(duì)于運(yùn)動(dòng)很復(fù)雜，不容易畫出速度一時(shí)間圖像的

問題,還應(yīng)逐段分析求解。

考點(diǎn)二帶電粒子在交變電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)

1.當(dāng)粒子垂直于交變電場(chǎng)(通常只討論電壓大小不變、方向周期性變化的情形)方向射入時(shí),

沿初速度方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng),沿電場(chǎng)方向的分運(yùn)動(dòng)具有周期性。

2.研究帶電粒子在交變電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是根據(jù)電場(chǎng)變化的特點(diǎn),利用牛頓第二定律正

確地判斷粒子的運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)電場(chǎng)的變化情況,分段求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)的末速度、位移

等。

3.注重全面分析(分析受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律):抓住粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間上的周期性和空間上的對(duì)

稱性，求解粒子運(yùn)動(dòng)過程中的速度、位移、做功或確定與物理過程相關(guān)的臨界條件。

4.對(duì)于鋸齒波和正弦波等電壓產(chǎn)生的交變電場(chǎng),若粒子穿過板間的時(shí)間極短，帶電粒子穿

過電場(chǎng)時(shí)可認(rèn)為是在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。

［例3］【偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算】(2024?福建泉州期中)(多選)圖甲為板間距為d,長(zhǎng)度為

2d的兩水平金屬板,在兩板間加上周期為T的交流電壓"，電壓〃隨時(shí)間/變化的圖線如圖

乙所示，在/=0時(shí)刻，一質(zhì)量為必不計(jì)重力的帶電粒子沿板間中線垂直電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)，

粒子射入電場(chǎng)時(shí)的速度為內(nèi),剛好沿板右邊緣射出電場(chǎng)，已知電場(chǎng)變化周期，下列關(guān)于

v0

粒子運(yùn)動(dòng)的描述正確的是（）

［A］粒子的電荷量為“=察

［B］若粒子在/=0時(shí)刻以:進(jìn)入電場(chǎng)，則該粒子在t=2T時(shí)刻射出電場(chǎng)

［C］若該粒子在時(shí)刻以速度V0進(jìn)入電場(chǎng)，從進(jìn)入到射出電場(chǎng)，電場(chǎng)力對(duì)粒子不做功

［D］若該粒子在T時(shí)刻以速度V0進(jìn)入電場(chǎng)，粒子會(huì)水平射出電場(chǎng)

4

【答案】ACD

【解析】粒子在電場(chǎng)中水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為仁組=7,豎直方向粒子先加速后

v0

減速，則4=2xL”（￡）2,解得q=婦4故A正確;若粒子在f=o時(shí)亥”以也進(jìn)入電場(chǎng)，則經(jīng)過時(shí)間

22md22U02

T,粒子將打到極板上，即該粒子不能射出電場(chǎng)，故B錯(cuò)誤;若該粒子在時(shí)刻以速度vo進(jìn)

4

入電場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T,在豎直方向粒子在二?工時(shí)間內(nèi)先加速,在工?衛(wèi)內(nèi)做

4224

減速運(yùn)動(dòng)速度減為零，然后巴?T時(shí)間內(nèi)反向加速，在T?式內(nèi)做減速運(yùn)動(dòng)直至速度減為零,

44

以速度W水平射出電場(chǎng)，則從進(jìn)入到射出電場(chǎng),電場(chǎng)力對(duì)粒子不做功，故C、D正確。

［例4］【偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的臨界極值問題】（2024?貴州畢節(jié)階段檢測(cè)）如圖甲所示，兩豎直平

行金屬板A、B與x軸垂直，接在電壓大小為Z7o=4OOV的穩(wěn)壓電源上,A板過原點(diǎn)，在B

板上靠近中間處有一長(zhǎng)度d0=2cm的水平狹縫。在B板右側(cè)水平放置邊長(zhǎng)為Z=10cm的

兩正方形平行金屬板C、D,兩板間距d=10cm,距板右端3處垂直x軸有一足夠大的熒光屏。

A板中間位置沿z軸方向有一線形離子源，可以連續(xù)釋放初速度為零的正離子。已知離子

源、B板上的狹縫和C、D板中間線均在同一水平面內(nèi)，且C、D板不加電壓時(shí)，屏上會(huì)出

現(xiàn)長(zhǎng)2cm的一條水平亮線?，F(xiàn)在C、D兩極板間接上如圖乙所示的交流電壓（若每個(gè)離

子穿過C、D板間的時(shí)間極短，可認(rèn)為此過程中C、D板間電壓不變，極板間形成的電場(chǎng)可

視為勻強(qiáng)電場(chǎng)),忽略電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)，不計(jì)離子重力以及離子間的相互作用力，離子的比

荷均為5=2x106C/kg。求：

(1)離子穿過B板狹縫時(shí)的速度大小;

(2)C、D板間電壓為Ui=400V時(shí)，離子離開C、D板時(shí)的速度與水平方向夾角(即速度偏

向角)的正切值；

(3)離子打在屏上的區(qū)域面積So

回規(guī)范答題］

【答案】(1)4x104m/s(2)|

(3)4xl0「3m2

【解析】(1)設(shè)離子穿過B板狹縫時(shí)速度大小為物,根據(jù)動(dòng)能定理有

JT12

四三/%,

解得vo=4xlQ4m/so

(2)C、D兩板間電壓Ui=400V時(shí)，設(shè)粒子離開C、D間電場(chǎng)時(shí)沿豎直方向的速度分量為

V”速度偏向角為

水平方向l=vot,

豎直方向q==md,

Yy=q￡

速度偏向角的正切值

tan0=—,

v0

-1

聯(lián)立解得tan，=-。

...........2

（3）設(shè)粒子在運(yùn)動(dòng)過程中的加速度大小為”,離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)距離為y,沿電場(chǎng)方向的

速度為Vy,速度偏轉(zhuǎn)角為，，其反向延長(zhǎng)線通過。點(diǎn),0點(diǎn)與板右端的水平距離為X,如圖所

設(shè)離子恰好從極板邊緣射出時(shí)極板兩端的電壓為有

^d^at2,

解得U'=8QQV,

可知，當(dāng)|t/|>800V時(shí)離子打到極板上,|U|W800V時(shí)離子打到屏上。設(shè)粒子打到屏上區(qū)域的

最大偏轉(zhuǎn)距離為先,由三角形相似可得

2_2

解得j^o=O.1m,

因此，打到屏上區(qū)域?yàn)楦?州、寬do的長(zhǎng)方形，面積S=2yodo=4Ocm2=4xl03m?。

目課時(shí)作業(yè)

（滿分:60分）

國(guó)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練

對(duì)點(diǎn)1.帶電粒子在交變電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)

1.（4分）（2024?重慶期末）如圖所示，從尸處釋放一個(gè)無初速的電子向B板方向運(yùn)動(dòng),則下列

對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（電子電量為e,電源電動(dòng)勢(shì)為0（）

ABCD

11II

F?-*

u

__I____

[A]電子到達(dá)B板時(shí)的動(dòng)能是eE

[B]電子從B板到達(dá)C板動(dòng)能變化量為零

[C]電子到達(dá)D板時(shí)動(dòng)能是3eE

[D]電子在A板和D板之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)

【答案】C

【解析】從A板釋放的電子，到達(dá)B板時(shí)所獲得的動(dòng)能等于電場(chǎng)力做的功，即W=qU=eE,

故A不符合題意;B、C間沒有電場(chǎng)，所以電子在此處做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)能的變化量為

零，故B不符合題意;電子從A到D的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得eE-eE=EkD-O,貝'I電子到達(dá)D

板時(shí)動(dòng)能EkD=O,故C符合題意;電子在A板和D板之間先加速后勻速再減速，反向先加速

后勻速再減速，做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故D不符合題意。

2.（6分X2024?四川遂寧期末X多選）如圖甲所示,在兩平行金屬板間加有一交變電場(chǎng)，兩極

板間可以認(rèn)為是勻強(qiáng)電場(chǎng)，當(dāng)仁0時(shí)，一帶電粒子從左側(cè)極板附近開始運(yùn)動(dòng),其速度隨時(shí)間

變化關(guān)系如圖乙所示。帶電粒子經(jīng)過47時(shí)間恰好到達(dá)右側(cè)極板（帶電粒子的質(zhì)量機(jī)、電

量小速度最大值Vm、周期T為已知量），下列說法正確的是（）

[A]帶電粒子在兩板間做往復(fù)運(yùn)動(dòng),周期為T

[B]兩板間距離d=2vmT

[C]兩板間所加交變電場(chǎng)的周期為T,所加電壓。=膽式

q

[D]若其他條件不變,該帶電粒子從仁J開始進(jìn)入電場(chǎng)，則該粒子能到達(dá)右側(cè)極板

O

【答案】BD

【解析】由題圖乙可知，運(yùn)動(dòng)過程中粒子速度方向未發(fā)生改變，帶電粒子在兩板間做單向

直線運(yùn)動(dòng),A錯(cuò)誤;速度一時(shí)間圖像與r軸圍成的面積表示位移，由題圖乙可知兩板間距離

為d=4x為衛(wèi)=2l，mT,B正確;設(shè)板間電壓為。，則粒子加速度為“=空工上一,貝UVm=4?工=N-,

2md2mvmT24mvm

解得U=H1I,C錯(cuò)誤產(chǎn)二開始進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，速度一時(shí)間圖像如圖所示，由圖像可知，粒

q8

子在一個(gè)周期內(nèi)的正向位移大于負(fù)向位移，故運(yùn)動(dòng)方向時(shí)而向右，時(shí)而向左,最終打在右板

上,D正確。

3.（6分）（2024?云南曲靖模擬X多選）如圖甲所示,在豎直放置、距離足夠大的兩平行金屬板

中央有一個(gè)靜止的電子（不計(jì)重力），規(guī)定水平向左為正方向。當(dāng)兩板間加上如圖乙所示的

交流電壓后，下列圖像中能正確反映電子受到的電場(chǎng)力/、位移小動(dòng)量p和動(dòng)能及四個(gè)

物理量隨時(shí)間變化規(guī)律的是（）

【答案】AC

【解析】電子受到的電場(chǎng)力尸=夕￡=等，故電場(chǎng)力與交流電壓變化趨勢(shì)相同,A正確;開始

時(shí)，電子在電場(chǎng)力作用下做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則位移與時(shí)間的關(guān)系應(yīng)該是二次函數(shù)，故B錯(cuò)

誤;根據(jù)動(dòng)量定理的=陽,可知尸1圖像與時(shí)間軸圍成的面積表示電子的動(dòng)量，則動(dòng)量先均

勻增大，再均勻減小，再反向均勻增大，最后再均勻減小，故C正確;反=工機(jī)只前工內(nèi)速度隨時(shí)

24

間均勻增大，故動(dòng)能Ek與時(shí)間t為二次函數(shù)關(guān)系，故D錯(cuò)誤。

對(duì)點(diǎn)2.帶電粒子在交變電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)

4.（4分）如圖甲所示，一電子以w的初速度沿平行金屬板的軸線射入金屬板空間。從電子

射入的時(shí)刻開始在金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，假設(shè)電子能穿過平行金屬板。下列

說法正確的是（）

[A]電子只可能從軸線到上極板之間的空間射出（不包括軸線）

[B]電子只可能從軸線到下極板之間的空間射出（不包括軸線）

[C]電子可能從軸線到上極板之間的空間射出，也可能沿軸線方向射出

[D]電子射出后動(dòng)能一定增大

【答案】C

【解析】將電子的運(yùn)動(dòng)沿水平方向和豎直方向正交分解，豎直方向僅在電場(chǎng)力作用下做

變速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，故經(jīng)過電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間是一定的，豎直方向在電場(chǎng)力

的作用下做變速運(yùn)動(dòng)，在交變電流的一個(gè)周期內(nèi)，豎直分位移為零;當(dāng)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間恰好等于在A、B板間所加交變電壓周期的整數(shù)倍時(shí)，電子可沿軸線射出，故A、B錯(cuò)

誤,C正確;當(dāng)電子恰好沿軸線射出時(shí)，電子速度不變,其動(dòng)能也不變，故D錯(cuò)誤。

5.（18分）（2024.遼寧三模）如圖甲所示，在豎直平面內(nèi)固定兩水平金屬板P、Qj=0時(shí)刻開始

從板左側(cè)沿中心軸線水平連續(xù)發(fā)射速率vo=2xlO6m/s的大量帶負(fù)電粒子，粒子比荷為

5=2x109C/kg,水平金屬板P、Q板長(zhǎng)為Zi=0.4m,兩板間距d=0.1m。加在P、Q兩板間電

壓UPQ隨時(shí)間f變化關(guān)系如圖乙所示（每個(gè)帶電粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視

作恒定）,Um=250V,兩板右側(cè)放一記錄圓筒，筒左側(cè)邊緣與極板右端相距乙2=0.2m,筒繞其

豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),周期為T=0.4s,筒的周長(zhǎng)Z,=0.24m,筒能接收到通過P、Q兩板的全部粒

子。（不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用）

（1）求從金屬板P、Q右側(cè)射出的粒子的最大速度的大小（結(jié)果可用分式或根號(hào)表示）。

⑵以仁0時(shí)（如圖乙，此時(shí)UPQ=O）水平向右入射的粒子打到筒上的點(diǎn)作為尤Oy坐標(biāo)系（豎直

向上為y軸正方向，垂直豎直軸沿筒轉(zhuǎn)動(dòng)反方向?yàn)闊o軸正方向）的原點(diǎn)，求打到圓筒上最高

點(diǎn)的粒子對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)。

【答案】（l）^pxl（）6m/s（2）（3cm,10cm）

【解析】（1）粒子在極板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

Z=5=2xl（）-7

%

可知當(dāng)粒子恰好從極板邊緣飛出時(shí)，粒子獲得的速度最大,有小』也

22ma

解得U=125V<Um,V=J%2+黑t）2,

代入數(shù)據(jù)解得v=^pxl06m/So

⑵由題圖乙可知/=0.05s時(shí)粒子剛好從上極板右邊緣飛出電場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知

Lid

代入數(shù)據(jù)解得了m=10cm,

在f=0.05s內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)即為橫坐標(biāo)

制二夕=0.03m=3cm,

打至圓筒上的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)為（3cm,10cm）o

國(guó)綜合提升練

6.（4分）（2024?河北石家莊階段練習(xí)）粗糙絕緣的水平桌面上,有兩塊豎直平行相對(duì)而立的

金屬板A、Bo板間桌面上靜止著帶正電的物塊，如圖甲所示，當(dāng)兩金屬板加圖乙所示的交

變電壓時(shí),設(shè)直到h時(shí)刻物塊才開始運(yùn)動(dòng)，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力可認(rèn)為相等，則

AB

[A]在0?力時(shí)間內(nèi)，物塊受到的摩擦力逐漸增大,方向水平向右

[B]在力?/3時(shí)間內(nèi)，物塊受到的摩擦力先逐漸增大，后逐漸減小

[C]t3時(shí)刻物塊的速度最大

[D]f4時(shí)刻物塊的速度最大

【答案】C

【解析】在。?A時(shí)間內(nèi)，物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向水平向右，物塊所受的電場(chǎng)力

水平向右,由平衡條件得摩擦力丹="=等,UAB增大再隨之增大,方向水平向左，故A錯(cuò)誤。

在人?t3時(shí)間內(nèi)，物塊向右運(yùn)動(dòng),受到的是滑動(dòng)摩擦力，物塊對(duì)地面的壓力不變，由居=〃既知

a不變，故B錯(cuò)誤。在人?B時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力一直大于摩擦力,物塊一直向右做加速運(yùn)動(dòng);在

打?〃時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力小于滑動(dòng)摩擦力,物塊向右做減速運(yùn)動(dòng)，所以打時(shí)刻物塊的速度最大，

故C正確,D錯(cuò)誤。

7.(18分)如圖甲所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限中存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)

強(qiáng)度大小為E；第二象限中存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小也為E;第四象限中存

在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為2E。一質(zhì)量為〃?、電荷量為q的正離子從A點(diǎn)

由靜止釋放,A點(diǎn)位置坐標(biāo)為(Yg,不計(jì)該離子的重力。

2E

0T3T

2T

(1)求離子第一次通過y軸時(shí)的速度大小;

(2)求離子第二次通過無軸時(shí)的位置坐標(biāo);

(3)若離子第一次經(jīng)過x軸時(shí)開始計(jì)時(shí)，第四象限中的電場(chǎng)按圖乙規(guī)律變化(圖中7=62Eqh

求離子第4次通過x軸的位置坐標(biāo)。

【答案】(1)誓(2)(4d,0)