15.3.2等邊三角形一、選擇題（共10小題）1．（2025春?天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點(diǎn)，若BD＝3，則AC的長(zhǎng)是（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2025春?新寧縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角為30°，最短邊長(zhǎng)為5cm，則最長(zhǎng)邊上的中線是（）A．5cm B．15cm C．10cm D．2.5cm3．（2025春?橫山區(qū)期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．12 B．14 C．10 D．164．（2025春?榆中縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，若AB＝8，則BD的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．35．（2024秋?納雍縣期末）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6，一個(gè)內(nèi)角為60°，則它的周長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C．18 D．206．（2024秋?大余縣期末）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是（）A．3 B．163 C．6 7．（2023秋?潮南區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，則AB等于（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm8．（2023秋?德慶縣期末）△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，則AC等于（）A．4 B．6 C．8 D．109．（2024春?武陟縣期中）如圖，等邊三角形DEF的頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的各邊上，且DE⊥BC于E，若AB＝1，則DB的長(zhǎng)為（）A．12 B．13 C．2310．（2024春?洪江市校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜邊AB的長(zhǎng)為2cm，則AC長(zhǎng)為（）A．4cm B．2cm C．1cm D．12二、填空題（共10小題）11．（2025春?岱岳區(qū)期末）如圖，在△ABC中D，E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，則∠BAC＝．12．（2024秋?莒縣期末）如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形，若OA1＝2，則△A4B4A5的邊長(zhǎng)是．13．（2025春?新鄭市月考）若等邊△ABC的周長(zhǎng)為12cm，則BC＝cm．14．（2024秋?寧波校級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分別為邊BC，AC上一點(diǎn)，AD＝AE，∠ADE＝60°，若∠BAD＝20°，則∠CDE的度數(shù)為．15．（2023秋?寧江區(qū)期中）如圖，已知OA＝5，P是射線ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AON＝60°．當(dāng)OP＝時(shí)，△AOP為等邊三角形．16．（2023秋?白云區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠A＝∠B，若添加一個(gè)條件使△ABC是等邊三角形，則添加的條件可以是．（寫出一個(gè)即可）17．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，AB＝AC＝1cm，當(dāng)BC＝cm時(shí)，△ABC是等邊三角形．18．（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，則BC＝．19．（2022秋?景洪市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AB＝6cm，則CD＝．20．（2025春?高州市期中）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A＝30°，BD＝4cm，則AB的長(zhǎng)是．三、解答題（共6小題）21．（2024秋?信豐縣期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分線交底BC于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若DB＝2cm，求CB的長(zhǎng)．22．（2024春?隆回縣期中）已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠BCD＝30°，DB＝2．求AB的長(zhǎng)．23．（2024春?榆陽(yáng)區(qū)期中）如圖所示，△ABC是等邊三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分線，求證：△ADE是等邊三角形．24．（2024秋?烏蘭浩特市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，BD＝BC，∠DBC＝60°，點(diǎn)E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）判斷△ABE的形狀并加以證明．25．（2023秋?余姚市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，∠EBF＝∠E＝60°，AH平分∠BAC分別交EF、BC于點(diǎn)D、H，求∠EDA的度數(shù)．26．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．參考答案一、選擇題（共10小題）1．【答案】A【分析】直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，由此即可計(jì)算，【解答】解：∵∠ABC＝90°，D為AC中點(diǎn)，∴BD=12∵BD＝3，∴AC＝6．故選：A．2．【答案】A【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10cm，∵CD是AB的中線，∴CD=12AB＝5故選：A．3．【答案】A【分析】先判斷出△ABC是等邊三角形，即可得出AB＝BC＝AC＝4，最后用三角形的周長(zhǎng)公式即可；【解答】解：∵等腰三角形ABC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∴△ABC的周長(zhǎng)為4×3＝12，故選：A．4．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，且AB＝8，∴BD=1故選：C．5．【答案】C【分析】根據(jù)三角形是等腰三角形，一個(gè)內(nèi)角為60°，得出三角形是等邊三角形，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得出答案．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，一個(gè)內(nèi)角為60°，∴三角形是等邊三角形，∵一邊長(zhǎng)為6，∴它的周長(zhǎng)是6×3＝18；故選：C．6．【答案】D【分析】首先求出EF=83，然后證△DEF為等邊三角形即可求出△【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為8．∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)，∴EF=8∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴DE=DF=EF=8∴△DEF的周長(zhǎng)是：DE+DF+EF＝3EF＝3×8故選：D．7．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，易知：AB＝2BC；聯(lián)立AB+BC＝12cm，即可求得AB、BC的長(zhǎng)．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；∴AB＝2BC；∴AB+BC＝3BC＝12cm，即BC＝4cm，AB＝2BC＝8cm．故選：C．8．【答案】B【分析】由在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，可判定△ABC是等邊三角形，繼而可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝6．故選：B．9．【答案】C【分析】由題可證△BED≌△ADF，△ADF≌△CFE，則AD＝BE，由直角三角形的性質(zhì)得，BE=12BD，因?yàn)锳B=BD+AD=BD+BE=BD+【解答】解：∵∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ADF＝180﹣30°﹣60°＝90°，同理∠EFC＝90°，又∵∠A＝∠B＝∠C，DE＝DF＝EF，∴△BED≌△ADF（AAS），△ADF≌△CFE（AAS），△BED≌△CFE（AAS），∴AD＝BE，∵BE=1∴AB=BD+AD=BD+BE=BD+BD∴BD=2故選：C．10．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB＝2AC，從而得出AC．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB＝2cm，∴AC=12AB＝1故選：C．二、填空題（共10小題）11．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．故答案為：120°．12．【答案】16．【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B1A1A2＝60°，進(jìn)而得∠MON＝∠OB1A1＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OA1＝A1B1＝A1A2＝2，故得△A1B1A2的邊長(zhǎng)為2，同理得△A2B2A3的邊長(zhǎng)為4，△A3B3A4的邊長(zhǎng)為8，以此規(guī)律可得△A4B4A5的邊長(zhǎng)．【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∴∠OA1B1＝180°﹣∠B1A1A2＝120°，又∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°﹣∠OA1B1﹣∠MON＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MON＝∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1＝A1A2＝2，∴△A1B1A2的邊長(zhǎng)為2，同理：△A2B2A3的邊長(zhǎng)為4，△A3B3A4的邊長(zhǎng)為8，△A4B4A5的邊長(zhǎng)為16．故答案為：16．13．【答案】4．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵等邊△ABC的周長(zhǎng)為12cm，∴BC＝AB＝AC=13×故答案為：4．14．【答案】10°．【分析】先證明△ADE為等邊三角形，可得∠DAE＝60°，求解∠B=∠C=1【解答】解：由條件可知∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠BAC＝60°+20°＝80°，∵AB＝AC，∴∠B=∠C=1∴60°+∠CDE＝50°+20°，∴∠CDE＝10°．故答案為：10°．15．【答案】5．【分析】根據(jù)“有一內(nèi)角為60度的等腰三角形是等邊三角形”進(jìn)行解答．【解答】解：∵AON＝60°，∴當(dāng)OA＝OP＝5時(shí)，△AOP為等邊三角形．故答案為：5．16．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形添加∠B＝∠C即可．【解答】解：添加∠B＝∠C．∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：∠B＝∠C．（答案不唯一）17．【答案】1．【分析】利用三條邊都相等的三角形是等邊三角形進(jìn)行求解．【解答】解：當(dāng)AB＝AC＝BC＝1cm時(shí)，△ABC為等邊三角形．故答案為：1．18．【答案】2．【分析】根據(jù)AB＝AC＝2，∠B＝60°可判定△ABC為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC的長(zhǎng)．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝2，故答案為：2．19．【答案】3cm．【分析】先證明△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6cm，∵BD平分∠ABC，∴AD＝CD=12AC＝3故答案為：3cm．20．【答案】16cm．【分析】要求AB的長(zhǎng)度，需要先求得邊BC的長(zhǎng)度；根據(jù)“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可得結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A＝30°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝8cm，∴AB＝2BC＝16cm，故答案為：16cm．三、解答題（共6小題）21．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝30°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半計(jì)算．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE是AB的垂直平分線，∴∠BAD＝∠B＝30°；（2）∵∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，∴∠CAD＝90°，又∠C＝30°，∴CD＝2AD＝4，∴BC＝CD+DB＝6cm．22．【答案】8．【分析】由CD⊥AB，得到∠CDB＝90°，結(jié)合∠BCD＝30°，求得∠B＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)有一個(gè)角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到BC＝4，由△ABC中，∠ACB＝90°，于是得到∠A＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)有一個(gè)角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到AB＝8．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠BCD＝30°，∴∠B＝60°，∴DB=12∵DB＝2，∴BC＝4，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8．23．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝AD，根據(jù)垂直的定義得到∠ADE＝90°﹣∠BAD，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵A在DE的垂直平分線上，∴AE＝AD，∴△ADE是等腰三角形，∵AB⊥DE，∴∠ADE＝90°﹣∠BAD，∵AD⊥BD，∴∠B＝90°﹣∠BAD，由∠ADE＝90°﹣∠BAD，∠B＝90°﹣∠BAD，得：∠B＝∠ADE＝60°，∴等腰△ADE是等邊三角形．24．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）首先證明△DBC是等邊三角形，推出∠BDC＝60°，再證明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解決問題．（2）結(jié)論：△ABE是等邊三角形．只要證明△ABD≌△EBC即可．【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，在△ADB和△ADC中，AB=ACAD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS