第01講平面向量的概念及線性運算

錄

01考情解碼?命題預(yù)警.............................................................2

02體系構(gòu)建思維可視...............................................................3

03核心突破?靶向攻堅...............................................................4

知能解碼.......................................................................4

知識點1向量的有關(guān)概念...................................................4

知識點2向量的線性運算...................................................5

知識點3向量共線定理.....................................................5

知識點4平面向量的數(shù)量積.................................................6

題型破譯.......................................................................7

題型1|平面向量的概念與表示...............................................7

題型2向量的幾何表示.....................................................9

題型3相等向量與共線向量................................................12

題型4向量的加減運算重

題型5向量的數(shù)乘運算

題型618

。4真題溯源考向）蝌.............................................................20

05課本典例高考素材.............................................................25

1/28

?01

考情解碼?命題預(yù)警

■J

考點要求考察形式2025年2024年2023年

（1）平面向量線性運算的坐

標(biāo)表示

（2）平面向量線性運算的坐上海卷，12新課標(biāo)【卷，第3題，5新課標(biāo)I卷，第3題，5分

13單選題

標(biāo)表示□多選題題，5分分新課標(biāo)n卷，第13題，5

（3）平面向量線性運算的坐回填空題天津卷，14天津卷，14題，5分分

口解答題

標(biāo)表示題，5分北京卷，第5題，4分甲卷理科，第4題，5分

（4）向量加法的法則

（5）應(yīng)量減法的法則

考情分析：本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

一般考查平面向量的基本概念、線性運算，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1了解向量的實際背景，理解平面向量的基本概念，理解向量的幾何表示

2掌握向量的加、減運算并理解其幾何意義

3掌握向量的數(shù)乘運算并理解其幾何意義以及兩個向量共線的含義

4理解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義

2/28

02

體系構(gòu)建?思維可視u

向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向員的大小叫做向員的模.

平

面

向

量

的

概

念

及

線

性

運

算

3/28

力，

a交換律：。+/>=方+°；

加法求兩個向量和的運算三角形法則結(jié)合律：

（。+〃）+。=1+（力+。）

a

平行四邊形法則

求,與6的相反向量

減法a-》=6+(-b)

一8的和的運算

三角形法則

\Aa\=W\a\,當(dāng);>0時，相

如a）=（〃。。；a+"）a=

求實數(shù)2與向量〃的積與〃的方向相同；當(dāng)2Vo

數(shù)乘助+4“；

的運算時，/M與a的方向相反:

2（。+力）=筋+幺〃

當(dāng)2=0時，za=0

I自主檢測I下列結(jié)果不懸零向量的是（）

A.~AB+CA+~BCB.AB-^BC+CA^

C.Oi-（C^-715）D.~AB-JC+BC

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運算法則，逐項計算，即可求解.

【詳解】對于A中，由赤+歸+元=（君+就）+2=就+3=0,所以A不符合題意；

對于B中，由方（BCIC4）=~BA=1B\1B=2AB,所以B符合題意；

對于C中，由第一（無一荏）=（3-通）+荏=瓦5+方=6,所以C不符合題意；

對卜D中，由彳萬-近+比=屈+近=6，所以D不符合題意.

故選：B.

知識點3向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)"使得bfa.

向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可日共線求參數(shù)；對于線段的定匕分點問題,

用向量共線定理求解則更加簡潔.

（1）若晶=入彷+"比（2,〃為常數(shù)），則4B,。三點共線的充要條件是7+"=1.

—>—>—>

（2）P為線段的中點=OP=；（O/1+OB）.

皇生檢測已知向量Z，5,A§=3a+2b>BC=4a-b>CD=5a+7b^則一定共線的三點是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.力，C,DD.B,C,D

5/28

【答案】A

【分析】利用向量的共線定理一一判斷即可.

【詳解】因為麗=冊+南=9工+6^=3萬，故力，B，。三點共線，A對；

因為而=3￡+2對BC=4a-b^故劉，就不一定共線，B錯；

因為祝=而+沅=7>+坂，CD=5a+7b^所以衣，而不一定共線，C錯；

因為肥=4)-九CD=5a+lb^貝U前，而不一定共線，D錯.

故選;A.

知識點4平面向量的數(shù)量積

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作面=mOB=b,則41四=仇0三陽:)叫做向量a

與b的夾角.

2?平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量。與從它們的夾角為以我們杷激最㈤聞cos"叫做向它〃與火的為最積,記作”也.

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

lb,

C~AtSTD

設(shè)。，b是兩個非零向量，它們的夾角是仇e是與〃方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過萬的起

點.4和終點員分別作而所在直線的垂線，垂足分別為小，B\,得到百瓦，我們稱上述變換為向量〃

向向量b投影，石瓦叫做向量a在向量力上的投影向量.記為皿國&.

4.向量數(shù)量積的運算律

(\]ah=ba.

(2]Ua}b=}.(ab)=a(/.b)Q^RY

(3)(a+b)?c=ac~\~bc.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量4=3,月)，1=(X2,V2)，a與人的夾角為夕

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-A=|a||A|cos0“力=—+四1'2

模\a\=yja-a1。尸J.+y彳

6/28

cose=廣也+產(chǎn)

夾角cos0/I=—Q'—b

同向

a±b的充要條件ab=0力工2+甘心=0

|xiX2+w|W

仍|與同向的關(guān)系1?！鰠^(qū)同網(wǎng)

自主檢測已知同=1,W=石，??=30。,則忸一5卜.

【答案】1

【分析】將卜萬一可平方，再根據(jù)向量的數(shù)量積進行運算即可.

【詳解】根據(jù)題意，忸一小1儂:3y=32_4濟方+廬=荷卜4巾陽OS3（T+4「

4xl2-4x|xV3x^y+(V3)=y/l=I-

故答案為：1.

題型1平面向量的概念與表示

I例可下列說法中,正確的是（）

A.模為0的向量與任意向量共線

B.單位向量只有一個

C.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小

D.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

【答案】A

【分析】根據(jù)零向量的定義可判斷A選項；利用單位向量的定義可判斷B選項；利用向量不能比大小可判

斷C選項；利用向量的定義可判斷D選項.

【詳解】對A,模為0的向量為零向量，零向量與任意向量共線，故A正確；

對B,單位向量的模為1,但方向為任意方向，故B錯誤；

對C,向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小，故C錯誤；

對D,它們的方向不一定相同，終點也不一定相同，故D錯誤.

7/28

故選：A.

|例10以下命題中正確的是（）

A.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等B.若篇=〃知則

c.若忖+同=,+畫,則B=筋D.若貝m

【答案】C

【分析】根據(jù)向量平行與相等概念判斷A,根據(jù)特例判斷B,利用數(shù)量積的運算判斷C,取特例判斷D.

【詳解】對于A,若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量為相等向量或相反向量，故A不符合題意：

對于B,當(dāng)4=〃=0時，則￡〃行不一定成立，故B不符合題意；

對于c,|M+W=B+N，兩邊平方可得＞坂=|那則￡與5的夾角為0,則[茄，故C正確；

對于D,若；）二；,則公與"不一定相等，例如5=6,故D不符合題意.

故選：C.

方法技巧

解決向量的概念問題要注意兩點：

一是不僅要考慮向量的大小，更要考慮向量的方向：

二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

【變式訓(xùn)練1-1?變考法】（多選）下列選項中，正確的是（）

A.若兩個相等的非零向量的起點相同，側(cè)它們的終點可能不同

B.若向量￡=否,則＞"=學(xué)向

c.若向量25滿足.卜W，貝工或H

D.若非零向量荔與％共線，則A,B,。三點共線

【答案】BD

【分析】根據(jù)相等向量的定義即可判斷選項A；若向量）=5,則根據(jù)向量的運算法則可得

a-c-bc=（^-b]c=0t即可判斷選項B；由向量的定義即可判斷選項C；根據(jù)共線向量的定義即可判斷

選項D.

【詳解】由相等向量定義可得：若兩個相等的非零向量的起點相同，其終點一定相同，故選項A錯誤；

若向某i=則。?c-B?c=（"??c=0,所以=故選項B正確；

由向量的定義可得向量￡，否滿足同=同時，向量Z，坂可能共線也可能不共線，故選項C錯誤；

若非零向量而與配共線，則A,B,C三點共線，故選項D上確.

故選：BD.

8/28

【變式訓(xùn)練1-2】（多選）下列四個命題為假命題的是（）

A.若同〉同，則1/

B.若四邊形44C0中有方=覺，則四邊形/3CO為平行四邊形

C.若不=（2,—3）,e2=（4,-6）,。=34+4當(dāng)，6=24+5當(dāng)，則萬，5可以作為平面向量的一組基

D.若向量G=（2,4）,B=（-1,2）,則向量G在向量5上的投影數(shù)量為蛀

5

【答案】AC

【分析】對于A,向量不能比較大??；對于B,由相等向量的概念可判斷B；不共線的兩個向量可作為一組

ab

基地，只需判斷不，方是否共線即可；對于D,向量1在向量5上的投影數(shù)量為下p.

【詳解】對于選項A,同〉忖，則d與5不能比較大小，故A錯誤；

對于選項B,四邊形中有方=反，由平行四邊形判定定理可得，四邊形力3。。為平行四邊形，故B

正確：

對于選項C,e,=（2,-3）,gj=（4.-6）,則備=物,即《//q,

則"5不能作為平面向量的一組基，故C錯誤；

對于選項D,向量，=（2,4）,B=（—1,2）,則萬.$=6，W=.

a-bAR

故向量5在向量5上的投影數(shù)量為同=嬰，故D正確.

故選：AC.

題型2向量的幾何表示

例2』（2025?河南?三模）若點力在點O的正北方向，點8在點O的南偏西60"方向，且|。4=|。邳=2km,

則向量為+礪表示（）

A.從點。出發(fā)，朝北偏西60,方向移動2x/ikm

B.從點。出發(fā)，朝北偏西75,方向移動26km

C.從點O出發(fā)，朝北偏西60"方向移動2km

D.從點。出發(fā)，朝北偏西75'方向移動2km

【答案】C

【分析】以。為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為歹軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

標(biāo)出題中所給信息，再利用向量加法的平行四邊形法則求出方+麗即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，正東方向為工軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

9/28

依題意可得ZAOB=180°-60"=120，

設(shè)1=E+方，因為|Q4|=|O8|=2km,所以四邊形Q1C8為菱形,

則/力OC=；xl2（T=60"則為正三角形，所以甌卜2km,

故向量況+礪表示從點O出發(fā)，朝北偏西60°方向移動2km.

例2-2畫圖,四邊形44CQ是邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作

為向量的起點和終點，與向量定同向且長度為2拉的向量有幾個？（在圖中標(biāo)出相應(yīng)字母，寫出這些向量）

【分析】利用平面向量的定義結(jié)合給定條件求解即可.

【詳解】如圖，我們標(biāo)注一些點，

由圖得與向量祝同向且長度為2及的向量有AF,EC,麗，法獷，共4個.

【變式訓(xùn)練2-1?變考法】一輛消防車從4地去8地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30。方向行駛2km到。地,

然后從D地沿北偏東60。方向行駛6km到達。地，從C地又向南偏西30。方向行駛2km才到達B地.

10/28

北個

(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出而，DC?E，布：

(2)求3地相對于4地的位移.

【答案】(1)答案見解析

(2)8地相對FA地的位移為“北偏東60°,相距6km”.

【分析】(1)根據(jù)題意，直接畫出向量圖：

(2)先得到四邊形力4c。為平行四邊形，即可得△地相對于力地的位移.

【詳解】(1)向量力，灰,CB?石，如圖所示：

(2)由題意知亞=而.所以/0//4C,且4O=3C,

則四邊形ABCD為平行四邊形.

所以方=方亍，

則B地相對于A地的位移為“北偏東60°，相距6km”.

【變式訓(xùn)練2-2】如圖所示的方格紙是由若干個邊長為1的小正方形拼在一起組成的，方格紙口有兩個定點

A,〃，點C為小正方形的頂點，且而卜氐

(1)畫出所有滿足條件的向量X；

(2)求|比|的最大值與最小值.

【答案】(1)答案見解析

11/28

（2）最大值為a，最小值為6.

【分析】根據(jù)向量的模的定義和勾股定理來確定點C的位置.，從而畫出符合要求的向量配，再通過觀察

圖形計算?宓?的最大值和最小值.

【詳解】（1）畫出所有滿足條件的向量配，BPJC；（i=l,2,…，8）,如圖所示.

（2）由（1）所畫的圖知，當(dāng)點C位于點G或G的位置時，|前|取得最小值辰齊=石；

當(dāng)點。位于點G或的位置時，|1|取得最大值用于=如，

故|正|的最大值為可，最小值為石.

題型3相等向量與共線向量

忸回如圖所示，四邊形力笈。。是平行四邊形，四邊形48OE是矩形，在以各頂點為起點和終點的非零向

量中，寫出（不含荏）：

（1）與向量方相等的向量;

（2）與向量AB共線的向量.

【答案】（1）麗，DC

（2）彷，DC，~EC，BA-DE^CD-CE

【分析】（1）根據(jù)向量相等的概念直接求解.；（2）根據(jù)共線向量的概念直接求解即可.

【詳解】（I）因為四邊形488是平行四邊形，四邊形力8OE是矩形，

所以AB//EC,又AB=ED=DC,所以~AB=~ED='DC^

與向量而相等的向量有麗，DC.

（2）與而共線的向量有而，DC,EC，詼,CD，CE.

例3-21設(shè)A,B,C,。為平面內(nèi)的四點，且力（1,3）,5（2,-2）,C（4,l）.

12/28

(1)若'AB=CD?求。點的坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量值=荏，b=BC,若%-月與1+3坂平行，求實數(shù)2的值.

【答案】(1)(5,-4)

(2)-1

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算以及相等向量、共線向量的坐標(biāo)運算即可得解.

____UIU

【詳解】(1)設(shè)點。(XJ),則18=(-5)、a)=(x-4,y-l)

因為而二函，

]=x-4ft=5

所以(i,-5)=a-4,y-i),即得.一

-5=^-1[y=-^

所以點。的坐標(biāo)為(5,-4).

(2)由題意得3=荏=(1,-5),3=就=(2,3)

所以女￡_B=(%_2,_5左一3),^+3^=(7,4).

因為(Q—即|口+叼，所以4(〃-2)=7(-5左-3),

解得〃=-；.

方法技巧

⑴4〃60“=祖后0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).

(2)若a與b不共線且力!=〃/>,則2=〃=0.

(3)已知。，A,8是不共線的三點，且而=6萬5+〃麗(小，〃￡R),則4,P,8三點共線的充要條件是膽+

【變式訓(xùn)練3/?變載體】如圖，點。是正六邊形樣的中心，分別寫出圖中

⑴與方相等的向量；

(2)與。方平行的向量；

(3)與方模相等的向量:

13/28

（4）麗的負(fù)向量.

【答案】⑴55,而,

（2）而，礪，訪，而，麗，赤，或，麗，皮

（3）CO.0B,80,70,04,而，歷，礪，而，麗，市，而，麗，而，而，麗，反，麗，麗，麗，麗，不，而；

（4）麗巫病南

【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義即可找出與方相等的向量；

（2）根據(jù)平行向量的定義即可找出與方平行的向量；

（3）根據(jù)向量模的定義即可找出與雙模相等的向量；

（4）根據(jù)相反向量的定義即可找出方的負(fù)向量.

【詳解】（1）與次相等的向量為：DO,CB,^F：

（2）與礪平行的向量為：80y0E,Ed,8E,EB,AFyFA,CD,DC;

（3）與流模相等的向最為：Cd,OB.Bd,Ad,OA.OF,FO,OE,EO,OD,DO,AB,BA.

BCjCB,Cb.DCyDEjEDjEFjE，AF.FAx

（4）方的負(fù)向量為：~BO.OE,AF,Cb.

【變式訓(xùn)練3-2】如圖，。為正方形44c力對角線的交點，四邊形。力EC,OCF8都是正方形.在圖中所示的

向量中：

⑴分別寫出與芯，的相等的向量；

（2）寫出與芯的相反向量；

（3）寫出與而模相等的向量.

【答案】（1）7。=而，BO=AE

⑵函，DE

（3）的，而，DE，AE，羽，D。,CF

【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義直接求解即可；

（2）根據(jù)相反向量的定義直接求解即可；

（3）根據(jù)模相等向量的定義求解即可.

【詳解】（1）由題意10=而，的=近.

（2）由題意，與的相反向量為：CO.'DE.

（3）由題意，與彳。模相等的向量為：的，而,DE,AE，而，DO,CF.

14/28

題型4向量的加減運算

麗可設(shè)M為平行四邊形力4。。對角線的交點為平行四邊形/灰刀所在平面內(nèi)的任意一點，則6(+赤+

方+而等于()

A.麗B.20MC.30MD.40M

【答案】D

【解析】如圖，連接。必,

在AOAC中，M為4C的中點，所以6?+而=2麗,

在從)BD中，M為占。的中點，所以赤+而=2而，所以羽+而+沅+而=4麗.

|例4-21化簡同+前一尼一而等亍()

XMB.OC.5CD用

【答案】B

【解析】AB-^-BD-AC-CD=AD-（AC-^CD）=AD-AD=^

方法技巧

求差用向量減法的幾何意義

【變式訓(xùn)練4-1】已知48CO為平行四邊形，￡為BC的中點，記而=￡,而=兀貝【」反=()

rJr一1_

A.a--bB.n+-b

22

1--1--

C.—a+bD.—a-b

22

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，由向量的加法法則可得.

【詳解】DE=DA+JB+BE=-a+b+-a=--a+h.

22

故選：C.

15/28

【變式訓(xùn)練4-2】在△048中，AD=2DB?記01=萬，赤=E，則而=()

A.-a+-bB.4+U

3333

「1-2_

C.-a---bD.—a--b

3333

【答案】A

【分析】先根據(jù)條件AD=2DB確定點D的位置然后利用向量的線性運算用a,b表示0D即可.

【詳解】因為萬=2而，所以Q為線段45的三等分點，如圖所示，

0D=0A+JD=0A+-14B=0A+-(0B-0A}=-ai+-()B=-u+-h.

33、,3333

故選:A

題型5向量的數(shù)乘運算

|例5-1]已知q,e2為兩個不共線的向量，a=2e1+e2,b=-e]+3e2,貝1」￡-25=(用q,e2表示)

【答案】4e,-5e2

【分析】根據(jù)向量的加減、數(shù)乘法則進行計算即可.

【詳解】因為萬=20+&2石=一《+3畛，

所以I-2石=2q+/-2卜弓+3g)=4e,-5e2.

故答案為:魴一5最

-----23______

例5-21如圖,在平行四邊形中，BE=-BCfDF=-DE,若而=4布+〃而，則2+〃=()

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合向量的線性運算及平面向量基本定理即可求解.

23

【詳解】在平行四邊形力4c。中，BE=：BC,DF=3DE,

34

16/28

所以#=而+而=而+'麗=而+:（成+詞

=力+1（荏_］可=［荏t而,

ca

?"：AF=f.iAD,則4=〃=彳，所以4+〃=5.

故選：A.

方法技巧

在418。中，D為BC上一點,若籍=二則而=導(dǎo)南+盤元

DCnm±nm-rn

【變式訓(xùn)練5“?變考法】已知向量一與書的夾角為弓，且,卜;,W=G,則正3%（）

91回人91回

A.—B.—C.—D.—

4224

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運算公式，以及數(shù)量積的運算律，即可求解.

G

1△3

【詳解】因為向量3與方的夾角為，且同=別=6,7tXXT=-

6-2-4

則a-3/；|=（4一3^）2=J+93~-6tf^=—+9x3-6x—=—,

1444

所以-34=哼.

故選：B.

【變式訓(xùn)練5-2?變考法】若非零向量入B滿足2片=￡$，則￡在否方向上的投影向量為（）

一171-

A.2bB.-2bC.—bD.--b

2

【答案】A

【分析】利用投影公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意27=7九

嗎=更方=25

則"在B方向上的投影向量為WW

故逸:A

【變式訓(xùn)練5-3】在平行四邊形4BC。中，萬7=3而，麗=5肪，記方=5，而=B，則拓'（）

17/28

3-5-5_7-C.二+匕3-5-

A.-。+—bB.-ci----bD.一?！猙

412612612412

【答案】B

【分由向量的加減法和數(shù)乘運算法則直接求解即可.

【詳解】

-5—7—5-7-

故MN=±AB一--AD=-a——b.

612612

故選：B.

題型6向量的數(shù)量積

|例6-1|在長方形//CQ中,AB=6、BC=2,P,。分別為8C,C。的中點，貝ij"?您一萬?地=.

【答案】38

LJUULAAXUUkAUUll

【分析［以A為原點，刀為x軸的正方向，而為y軸的正方向建立平面貪角坐標(biāo)系，求出力p,4a力用尸。

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.

【詳解】以A為原點，而為X軸的正方向，亞為V軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

則有40,0),5(6,0),D(0,2),C(6,2),P(6,l),0(3,2),

故萬?福=(6,1)?(3,2)=20,方方=(6,0)(-3,1)=-18，

故萬.而-在質(zhì)=20+18=38.

故答案為：38.

例6-2|已知向量Z,坂滿足=5慟=1,且。僅一24)=一2,則,+可=.

【答案】"

【分析】根據(jù)模氏定義及向量的數(shù)量積運算即可求解.

【詳解】由研石一心)二一2,可得7_2￡$=_2，

即1—2a.b=—2,712a-=3*

18/28

所以卜+可=+2a.石+刃~=41

故答案為：V7.

方法技巧

(1)利用定義：。力=|。|網(wǎng)cos儲，加.

(2)利用坐標(biāo)運算.若a=(n.y\),b=ga).

則ab=x\xi+y\y2.

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

【變式訓(xùn)練6-1?變考法】已知向量入坂滿足,+.平-2陽口咽，則入坂的夾角為(

兀71△2兀5兀

A.%-C.yD.-

【答案】B

【分析】對k+可=||進行平方，化簡可得介-2』.4=0,結(jié)合同明即可求解.

【詳解】由歸+4=|一"|,可得忖+可？")-2.二

即a2+2a-b+b2=a2-4a-b+4b2^

整理得力2一2；.力=0，即忖-2向|同卜,b)=0

石2

因為同=問，即cosR,B)=a；w=5，

又值很閆0,可，所以＜心分=?

故選：B.

【變式訓(xùn)練6-2】平面向量m力滿足⑷=2,網(wǎng)=3,|〃+例=4,則b在。上的投影向量為(

A?詈。B%C.小D.侑

【答案】C

【解析】由|°+b|=J(Q+b)2

=J|a『+20b+|b|2

—J13+2eb=4可得〃力=',

19/28

而b在“上的投影向量為

3

|b|co$(a>b)ab73

—w—“=w/

04

真題溯源?考向感知

—..—.（4U*ULZ

1.（2025?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系x/中，|0*=|09|=0，|力〃|=2.設(shè)。（3,4）,則|2。十力可

的取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)方=函-而，求出〈麗麗〉，進而“J'以用向量而表示出2方+方，即“解出.

【詳解】因為|。4|=|。砌=正，|萬|=2,

由方=礪-方平方可得，0408=0^所以〈甌麗〉='.

2CA+AB=2（OA-OC）+OB-OA=OA+OB-2OC,\oc\=>j32+42=5,

所以，|2昂+劉『二8。+礪。4]：4（萬+礪）灰

=2+2+4x25-4@+礪）灰=104-4"+西灰，

又|：CM+O8）?OC4口4+0司|oq=5xVm=10,gp-10<（<7/l+（?^）OC<10,

所以|2刀+萬|屋[64,144卜即|2萬+萬卜[8,12].

故選：D.

2.（2023?北京?高考真題）已知向量,B滿足0+5=（2,3）百-坂=（一2,1）,則|2『_62=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量區(qū)。滿足不+>=（2,3）,1-J=（-2,1）,

所以日12TBi2=Q+B）.（"_B）=2X（_2）+3X1=_1.

故選：B

3.（2023?全國乙卷?高考真題）正方形/8C。的邊長是2,￡是48的中點，則或?麗=（）

A.75B.3C.2石D.5

【答案】B

20/28

/■———\uiuuuu

【分析［方法一：以｛月8,川外為基底向量表示EC,E。，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

UIU-UUUfiUU1'UUIT

【詳解】方法一：以｛而，而｝為基底向量，可知|AB4Q=2,力8/。=0

uuruuruiiriuurUUTuuuruiruuariuuruuu

則EC=EB+BC=-4B+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

22

uuruuur(\uuruuur、(iuurUUT\IUUFUUW

所以七0.￡0=(548+401[-^48+4。|=—力月+AD=4H4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

uumuum

則E(l,0),C(2,2),力(0,2),可得EC=(1,2),EQ=(—1,2),

UUBuum

所以EC?ED=-I+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=M、CD=2,

r)F2+CE2-DC25+5-43

在,CDE中，由余弦定理可得cos4DEC=--=:廠=>

2DECE2x\/5x5/55

uiiruur

所以EC?ED=FC||ES|COSZZ)￡1C=X/5X>/5X|=3.

故選:B.

4.（2025?天津?高考真題）V"C中，D為AB邊中點、,CE=-CD,AB=a,AC=b,則族=（用I,

J

B表示），若|在|=5,AEYCB,則荏.而二

1-2_

【答案】；-15

63

【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運算律計算求解空二.

【詳解】如圖，

21/28

因為近所以荏_就=，(而_/)，所以存=，亞+2次.

33、,33

因為O為線段AB的中點，所以AE=，AB+]AC=^-a+^-b-

6363

又因為|j1|=5/E_LC8,所以下匕=—a2+-a^+-b2=25,

63J3699

而而=(1+W①可乎十若方力，所以藍+315=4片

所以J+4〃?J=180，

所以荏?麗='"I'卜"+,卜三4/.'_*=1"、2."一戶

=-^(a2+2a-b-2a2-6a-b)=^-a2-4a-b)=-i5.

1-2-

故答案為：-a+-b；-15.

63

I,x>0

5.(2025?上海?高考真題)已知f(x)=0,x=0,1、B、亍是平面內(nèi)三個不同的單位向量.若

-1,x<0

J\ab)+f(b-c)+/(cW)=0,則|G+很+六的取值范圍是.

【答案】(1,75)

【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得{/?4),/09，/僅工)}={-1,0,1},再根據(jù)數(shù)量枳關(guān)系設(shè)出￡,研

坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.

【詳解】若?/(。$)=/(。。)=/?a)=0,則a%="c=c?a=0,

又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量￡31兩兩垂直，顯然不成立；

故,,/(3￡)}={-L0/}.

/(萬萬)=i

不妨設(shè)，/(=？)=。，則a?5>0,3?c=0,c?4<0，

f(ca)=-\

22/28

不妨設(shè)1=(1,0)/=(0,1)，a=(cos0,sin0),0e[0,2n),

ab=cos0>O(3

則-K,2H

ca=s\n0<0乙

則a+B+4=|(1+cos6,1+sin。)|=J(\+cosO)2+(l+sin^)2=j3+2cos6+2sin6

=J3+2V2sin(6^+-),

\4

A(3r1八兀(79、|

由。e5兀,2兀)，^+―7i,—7tI,

則sin（e+t）e-4,4

2及sin(9+；)w(-2,2)

\/

故收+3+工卜（1,6.

故答案為：。,15）.

6.（2024?天津?高考真題）已知正方形/"仁。的邊長為1,~DE=2EC^BE=ABA+/JBC,其中九〃為實

數(shù)，則％+〃=