第05講數(shù)列求和

目錄

01?？碱}型過關(guān)練

題型01等差（比）數(shù)列求和

題型02含絕對值的等差數(shù)列求和

題型03倒序相加法求和

題型04分組求和

題型05錯位相減法求和目

題型06裂項(xiàng)相消法求和自

題型07分類討論法求和難

題型08其他數(shù)列求和

02核心突破提升練

03真題溯源通關(guān)練

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01

1.(2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測)已知數(shù)列a｝的前〃項(xiàng)和為1，且外="2一2T1+3￡為常數(shù)，記垢=事.

⑴若數(shù)列出“｝為等差數(shù)列，求協(xié)力的公差.

(2)設(shè)￡=-1.

①求｛Q〃｝的通項(xiàng)公式：

②記數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)和為T“，證明：Tn<^^.

2.已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為Sn，S2=3.

⑴若｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且$4=15,求%;

(2)若%+2=Q”+2，求530.

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3.（2025?陜西咸陽?三模）若數(shù)列｛兒｝對于任意的neN+，都有1+2-九=d（常數(shù)），則稱數(shù)列%｝是公

差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為S”，%=a,對于任意的幾￡N+，都有%+5“+i=2〃+Sn.

⑴求證：數(shù)列｛斯｝為準(zhǔn)等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛冊）的通項(xiàng)公式及前2n項(xiàng)和S2n.

4.（2025?海南?？?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝,其前n項(xiàng)和為1,多=1,5n+i=Sn+%+2.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式即及前幾項(xiàng)和Sn；

（2）若第=2a2n-】，求數(shù)列｛，J的前n項(xiàng)和7\.

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,x

7.已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為5n=—2M+7n,bn=|a?l|(nGA).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)的和Tn?

2

8.已知L是數(shù)列｛%｝的前?i項(xiàng)和,KSn=14n-n.

⑴求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若7\=|即|+\a2\+\a3\+…+|aj,求7\.

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9.已知數(shù)列｛斯｝滿足%=511,4%尸斯_］一3(九22).

⑴求證：數(shù)列｛即+1｝為等比數(shù)列：

⑵令以=|log2(即+1)1，求數(shù)列｛4J的前幾項(xiàng)和S”.

10.已知數(shù)列｛%｝中，a=2--^~(>2,ne/V),數(shù)列｛%｝滿足垢=±56N*).

nan—1nQ"一工

⑴求數(shù)列｛公｝的通項(xiàng)公式：

(2)求|瓦|+\b2\+\b3\+??■+|b2ol；

⑶求數(shù)列｛%｝中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.

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電型IL03倒序相加法求和

11.已知/(x)+f(1—x)=2,即=/(0)+/(;)+...+/(尸)+/(1)，S6N)則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

()

A.an=n—1B.an=n

2

C.0n=n+1D.an=n

12.已知正數(shù)數(shù)列｛Qn｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且即與。19=1，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前九項(xiàng)和的方法探求:

若制=備，則/31)+，(。2)+…+/(?2019)=()

A.2018B.4036C.2019D.4038

13.已知/(%)=士，則/⑴+/(2)+/(3)+…+/(2018)+/(1)+/Q)+-+/(短)=—.

14.已知函數(shù)y=/(%)滿足f(x)+/(I-x)=1,若數(shù)歹U｛冊｝滿足％=/(0)4-fQ)+/(；)+?..+/(1)+

/(I)，則數(shù)列｛Qn｝的前16項(xiàng)的和為.

15.已知函數(shù)f(#)=10g33.

⑴證明函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)(gl)對稱；

(2)若又=/(;)+/(;)+...+f(F)SeN+fn>2),求Sn；

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電型IL04分組求和法求和

16.(2025?河南?三模)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且(13+07=6,Si2=45.

⑴求%;

(2)若數(shù)列應(yīng)｝滿足以=|需非

求數(shù)列｛4｝的前20項(xiàng)和720.

((V2),n內(nèi)偶數(shù)

17.已知數(shù)列｛%｝中，%=1,冊+1-2冊=2”(〃為正整數(shù)).

⑴求證：數(shù)列｛表｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式：

⑵求數(shù)列償+3，｝的前〃項(xiàng)和翼?

18.(2025?貴州黔東南?三模)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為等比數(shù)列協(xié)“｝的首項(xiàng)為2,且G2+。6=

10,S5=3a4?b4-as=3S3.

⑴求｛即｝，｛aJ的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)q=(-l)X+r＞求數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)的和72n.

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19.已知等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為工，且S4=452，a2n=2a,,+l(neN*).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%=[即一2,n[*，設(shè)數(shù)列出“｝的前幾項(xiàng)和為配，求T*

(2%+8,n為偶數(shù),

20.已知S“是公差為2的等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，且S$=

⑴求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式即；

⑵求使S”>2an-l成立的n的最小值；

⑶求數(shù)列｛(一1)”/的前2九項(xiàng)的和介…

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電型IL05錯位相減法求和

21.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛冊｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且W=2S”一冊.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵令勾=$求數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)和〃?

22.(2025?湖南?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛Qj中，已知力=1,冊=一；Qwi，數(shù)列｛以｝為等差數(shù)列,

=°，84=a3-

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛勾｝的通項(xiàng)公式：

(3)求數(shù)列｛斯必｝的前幾項(xiàng)和S”.

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23.(2025?廣東惠州?一模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為又，且&="(九6N)數(shù)列｛九｝是公比為3的等

比數(shù)列,且比=的.

⑴求數(shù)列｛冊｝和數(shù)列仍“｝的通項(xiàng)公式；

(2)令4=an-bn,求數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和Tn.

24.己知數(shù)列｛時｝滿足%+i=3即一4,且臼=3,數(shù)列｛bj滿足bi=a2,且點(diǎn)P(bn,6n+1)在直線y+2=0

上，其中九€N*.

⑴求數(shù)列｛冊｝和｛aJ的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)品=占，求｛的｝的前幾項(xiàng)和7”.

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25.(2025?安徽?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝中,Qi=l,a2=2,其前n項(xiàng)和滿足5什1+S『i=2Sn+l(nN

2,7?EN.).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

⑵設(shè)h=發(fā)，數(shù)列出J的前幾項(xiàng)和為G，證明：Tn<2.

電型I06裂項(xiàng)相消法求和

26.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)卻為Sn，a2+a6=20,Sn=176.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知勾=廣一，求數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)和

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27.在①。]=1,即+[=同3'+，冏；②2底一1=冊這兩個條件中，請選擇一個合適的條件，補(bǔ)充在下

題橫線上（只要求寫序號），并解答該題.

已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前幾項(xiàng)和為Sn，且對任意正整數(shù)小有.

⑴求｛即｝的通項(xiàng)公式；

2

⑵設(shè)%二言數(shù)列｛勾｝的前幾項(xiàng)和為外，證明：7<rn<i.

Dn+14

28.數(shù)列｛即｝滿足%=3,即=%盧■.

⑴證明：數(shù)列｛%-1｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛Qn｝的通項(xiàng)公式:

⑵若勾二與工求數(shù)列回｝的前黃和s“，并證明

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29.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和S”滿足S“=；（冊+I）2.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)勾=^—，求數(shù)列出“｝的前幾項(xiàng)和G；是否存在正整數(shù)加九（2<mvn）,使得乙，Tm，7成等差數(shù)列？

an,an+l

若存在，求出m,n的值，若不存在，說明理由；

30.（2025?廣東?一模）已知等差數(shù)列｛冊｝滿足a〃，即十i是關(guān)于久的方程X2-4打%+4=0的兩個根.

⑴求??；

（2）求數(shù)列｛（一1）”?費(fèi)｝的前n項(xiàng)和S〃.

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電型IL07分類討論法求和

31.設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和記為Sn,記rn=S「S2-S3??…Sn,且滿足2s/n-S”-2T“=0,

⑴求71，72的值，并求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

⑵及％=%+",求數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)和K”.

32.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為Sn，且2S〃=QK%+1).

⑴求｛冊｝的通項(xiàng)公式；

時,九為奇數(shù)

(2)設(shè)兒二1為俚和，求數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和7n.

anan±2

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33.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為好,且n5n+i=(n+l)an+nSn+1.

⑴求證：數(shù)列｛W｝為等差數(shù)列；

n

⑵若"=求數(shù)列｛九｝的前71項(xiàng)和7”.

34.數(shù)列｛%｝滿足a1=1,%+[4+0n+i-an=0.

⑴求數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式：

⑵設(shè)勾二等+2,求數(shù)列｛以｝的前〃項(xiàng)和配.

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35.已知在正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中,a3=4,a2as=32,且-%M%+14%+2成等差數(shù)列?

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

n1

(2)若數(shù)列｛%｝滿足%=即+(一l)log2an+i，求數(shù)列｛b｝的前?i項(xiàng)和7n.

敢埋I：08其他數(shù)列求和問題

36.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為Sn，且Qi=1，Sl+1-Si=8n.

(1)求又;

⑵在數(shù)列｛冊｝的每相鄰兩項(xiàng)a八為+1之間依次插入由、。2、…、必，得到數(shù)列｛》“｝：%、國、。2、。1、。2、。3、

的、。2、。3、。4、…，求｛0｝的前20項(xiàng)和720?

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37.在①S3=6,S5=15：②公差為1,且。2，。4，。8成等比數(shù)列；③。1=1，+。3+。5+。6=16,三

個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.

問題：已知等差數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為S,，且滿足

⑴求數(shù)列｛冊）的通項(xiàng)公式；

（2）令匾=［1g%］，其中［幻表示不超過》的最大整數(shù),求G+C2+“?+C2Q22-

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

38.已知等比數(shù)列｛廝｝的公比q>1,前〃項(xiàng)和為且即+a2=10,S3=42.數(shù)列｛九｝足b”=log2an.

（1）求數(shù)列｛%｝、｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記4為區(qū)間（0,匹］內(nèi)整數(shù)的個數(shù)（keN*）,求數(shù)列｛0｝的前50項(xiàng)和750.

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02

1.(2025?湖南長沙?二模)已知數(shù)列｛。力的首項(xiàng)Q1=1,｛冊｝的前幾項(xiàng)和為Sn且滿足7lS“+i-5+1)5,.=型羅.

⑴證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)若勾=*—，求數(shù)列｛以｝的前九項(xiàng)和

2.’叮偏直(2025廣東廣州三模)已知公差不為零的等差數(shù)列1%)和等比數(shù)列(%)滿足勺=比=1,且

%,2a〃4。4成等比數(shù)列，4b2,2%也成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛時｝和仍“｝的通項(xiàng)公式；

(2)令品=3廝，去掉數(shù)列｛.｝中的第3々項(xiàng)(kCN)余下的項(xiàng)順序不變,構(gòu)成新數(shù)列｛7｝,寫出數(shù)列｛7｝的前

4項(xiàng)并求｛J｝的前2n項(xiàng)和Szn；

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3.新角度（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛斯｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足a2a4=64,Q]+的=34,

且q>1,

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）在%與即+i之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為&的等差數(shù)列，記數(shù)歹U｛2｝的前n項(xiàng)和為7\,

求證：Tn<3.

4.（2025?陜西?二模）己知等比數(shù)列｛斯｝滿足&=%+2,且%=8.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列…的前幾項(xiàng)和為G，求

G1。2%。7

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5.（2025?四川成都?三模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛Q〃｝的前n項(xiàng)的和為％,且％-%）=1.

⑴求Si，S2；

（2）證明：｛5J是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)歹U｛而匕｝的前n項(xiàng)的和

6.（2025?浙江?二模）已知整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足2%=%+I+%T5N2）,數(shù)列｛0｝是公比大于1的等比數(shù)

列，且瓦+b2+b3=14,b1b2b3=64.數(shù)列｛0｝滿足即=4版.數(shù)列｛%｝,｛cj前n項(xiàng)和分別為Sn，G，其中n?<

2Sn<（九+1產(chǎn)

⑴求Sn和必

⑵用㈤表示不超過x的最大整數(shù)，求數(shù)列｛[7\]｝的前2025項(xiàng)和M2025.

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