練案56拋物線

6A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

1.（2025?山東濟寧模擬）拋物線y=*的焦點坐標是（）

A.（1,0）B.（0,1）

C.（2,0）D.（0,2）

B

［解析］拋物線的標準方程為爐=4?則2P=4,可得?=1,因此，拋物線

y=*的焦點坐標為（0,1）.故選B.

2.（2024.安徽皖江名校聯(lián)考）設(shè)拋物線尸修上一點P到x軸的距離是1,

則點P到該拋物線焦點的距離是（）

A.3B.4

C.7D.13

B

［解析］因為/=12?則準線方程為y=—3,依題意，點P到該拋物線焦

點的距離等于點P到其準線y=—3的距離，即3+1=4.故選B.

3.（2025?江蘇南通如皋中學(xué)測試）頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與

焦點的距離為3的拋物線的標準方程為（）

A.x1=±3yB.y2=±6x

C.九2=±i2yD.y2=±12x

C

［解析］設(shè)拋物線方程為寸=20</?>0）或x2=—2py（p>。），依題意知5=3,...p

=6....拋物線方程為一=±12〉.故選C.

4.（2023?北京海淀一模）過拋物線V=4x的焦點F的直線交該拋物線于點A,

B,線段的中點的橫坐標為4,則A3長為（）

A.10B.8

C.5D.4

A

[解析]設(shè)A3中點為C,則xc=4,過A,B,C分別作準線x=-1的垂線，

垂足分別為M,N,D,因為C為A3中點，則易知CD為梯形AMN3的中位線，

而|CD|=xc+1=5,所以|AM+IBM=2\CD\=10.根據(jù)拋物線定義可知|AM|=\AF],

\BN\=\BF],所以=\AF]+\BF]=\AM\+|3N|=10.故選A.

5.（2024.寧夏石嘴山三模）如圖，過拋物線產(chǎn)=2內(nèi)0>0）的焦點F的直線I

交拋物線于兩點A、3,交其準線于C,AE與準線垂直且垂足為E,若|BC|=2|BW，

|AE|=3,則此拋物線的方程為（）

A.>2=EB.y1=9x

9xc

C.yo2=~2D.y2=3%

D

[解析]如圖所示，過點3作準線的垂線，垂足為。，設(shè)[3川=處則|BC|=

2\BF]=2a,\BD\=\BF\=a,在直角△BCD中，可得sinZBCD=j|^=|,所以

ZBCD=30°,在直角△ACE中，因為|AE|=3,可得|AC|=3+3a,由|AC|=2|AE|,

所以3+3a=6,解得。=1,因為BD〃FG,所以"=*，解得P=|，所以拋物

線方程為>2=3x.故選D.

6.（2025?寧夏銀川一中模擬）拋物線E：f=4y與圓M：6+。一1>=16交

于A、3兩點，圓心MO』)，點P為劣弧錯誤!上不同于A、§的一個動點，平行

于y軸的直線PN交拋物線于點N,則△產(chǎn)■的周長的取值范圍是()

A.(6,12)B.(8,10)

C.(6,10)D.(8,12)

B

［解析］如圖，可得圓心”(0,1)也是拋物線的焦點，過P作準線的垂線，垂

足為H,根據(jù)拋物線的定義，可得故△產(chǎn)■的周長

=PH+4,由錯誤!可得3(2錯誤!，3).的取值范圍為(4,6),.?.△正阿的周長

PH+4的取值范圍為(8,10).

7.(2025?安徽重點高中聯(lián)盟校摸底)已知。為坐標原點，拋物線C：>2=2X

的焦點為R錯誤!=一錯誤!=一2錯誤!，過點”的直線/與C交于A,3兩點，

且錯誤!=7錯誤!(0V衣1),直線3N與C的另一個交點為P,若直線A7V與的

斜率滿足左A/V=3如w,則|AB|=()

A.B.y/13

C.D.y［15

A

［解析］由題意得，尸錯誤!，M(-1,O),N(1,O).設(shè)直線/：x=my-l,直線

BN：x=ny+l,聯(lián)立錯誤！

得產(chǎn)―2根y+2=0,設(shè)A(%i,yi),B(xz,”)，P(%3,券)，

貝!Jy\+y2=2m,

yiy2—2,聯(lián)立錯誤!得y2—2=0,故丁2+丁3=2〃,

y2y3=-2,故”=—yi,故%3=%i,

故MN=一~7fkpM~~~7=一~~7f由kAN=3kpM,

Xl-lX3十1XI十1

得一%=3?甘，解得xi=J,

xi-1xi十12

eXi+13

y9?=2xi=l,貝U加=--=5，

y1乙

^\AB\=^/m2+11+y22-4yiy2=『，故選A.

二、多選題

8.（多選題）（2025?高考綜合改革適應(yīng)性演練）已知網(wǎng)2,0）是拋物線C：j2=

2后5>0）的焦點，脛是C上的點，。為坐標原點.則（）

A.p=4

B.\MF\>\OF\

C.以M為圓心且過R的圓與C的準線相切

D.當(dāng)NOK0=12O。時，的面積為2小

ABC

［解析］因為/2,0）是拋物線C：>2=28。>0）的焦點，所以5=2,即得p=4,

A選項正確；設(shè)M（xo,yo）在V=8x上，所以xoNO,所以|Mf］=xo+g為=|QF|,

B選項正確；因為以M為圓心且過R的圓半徑為也0=xo+2等于M與C的準

線的距離，所以以〃為圓心且過F的圓與C的準線相切，C選項正確；當(dāng)NORM

=120。時,xo>2,X0_2=tan60。=小，且y3=8xo,yo>O,所以，5y8yo—16小

=0,>0=4小或￥=—羋舍，所以△的面積為&0根=；|。尸兇笫|=4小,

D選項錯誤.故選ABC.

9.（2024.遼寧鞍山質(zhì)檢）已知拋物線C：y2=2/?x的焦點為R,準線為/,過R

的直線與拋物線C交于A、3兩點，則下列說法正確的是（）

A.若R（1,O）,則/：x=—

B.若網(wǎng)1,0）,則弦A3最短長度為4

C.存在以A3為直徑的圓與/相交

D.若直線A3：丁=小錯誤!，且A點在x軸的上方，則錯誤!=3錯誤！

BD

［解析］若只1,0）,則g=l=p=2,故/：x=—g=-1,故A錯誤；若"1,0）,

則介l=p=2,則拋物線方程為V=4x,設(shè)過點網(wǎng)1,0）的直線方程為尸外+1,

聯(lián)立其與拋物線的方程可得丁2—46一4=0,設(shè)A（xi,yi）,B（X29yi）,則/=163

+16>0,yi+y2=4k,故以5|=%1+%2+〃=攵。1+丁2）+4=4k2+4之4,故當(dāng)左=0時，

此時弦最短長度為4,故B正確；設(shè)AM，/于BNLI于N,。為A5中

點，HQLI于H,易知|叫41AM+網(wǎng)）=3（1N+防）=空，故以A3為直

徑的圓與/相切，故C錯誤；（或A3的中點為E,設(shè)過點尸錯誤!的直線方程為x

=◎+$聯(lián)立其與拋物線的方程可得y2—2y—夕2=0,設(shè)A（xi,ji）,8（x2,刈，

/=例2產(chǎn)+4°2>0,”+>2=2,因為E錯誤!，故E錯誤!，則點E錯誤!到準線/：x

2

p,.,_|A7?|x\-\-xi+pky\+yi+2p2+2/72,,,

=一5的距禺為2+2，而中=---5―=-―9―-9=+p^故以A3

為直徑的圓與/相切，故C錯誤）聯(lián)立AB：y=/錯誤!與拋物線方程可得3——

5px+^-=0,解得x=當(dāng)，或由于A點在X軸的上方，所以X4=當(dāng)XB

=1，故A錯誤!，3錯誤！，又R錯誤!，則錯誤！=（一P，一錯誤!P）,錯誤!=錯誤!，

所以錯誤!=3錯誤!，D正確.故選BD.

三、填空題

10.（2025?江西部分學(xué)校月考）已知拋物線C：>2=2內(nèi)⑦>0）的焦點為網(wǎng)3,0）,

P(2,。是拋物線C上一點，則|尸網(wǎng)=.

5

［解析］由焦點坐標可知?=3,由拋物線定義可知|PW=2+?=5.

11.(2025?廣東部分名校摸底)省級保護文物石城永寧橋位于江西省贛州市石

城縣高田鎮(zhèn)永寧橋建筑風(fēng)格獨特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋當(dāng)石拱橋拱頂離

水面1.6m時，水面寬6.4m,當(dāng)水面下降0.9m時，水面的寬度為米.

6.4

8

［解析］建立坐標系如圖，設(shè)拋物線方程為一="且。<0,

則根據(jù)題意可知圖中A坐標為(3.2,-1.6),

所以322=“X(—1.6),可得a=-6.4,

所以拋物線方程為好=—6.4?

令尸一(1.6+09)=—2.5,代入方程，解得國=4,

可得到水面兩點坐標分別為(一4,—2.5),(4,—2.5)

所以水面的寬度為8米.

12.(2024.高考天津卷)(x—1)2+>2=25的圓心與拋物線>2=2內(nèi)s>0)的焦點

R重合，A為兩曲線的交點，則原點到直線AR的距離為.

4

5

［解析］圓(x—1)2+產(chǎn)=25的圓心為"1,0),

故5=1即P=2，由錯誤！

可得/+2x—24=0,故x=4或％=—6(舍)，

4

故A(4,±4),故直線AR：y=±2(x-l)

即4x—3y—4=0或4x+3y—4=0,

故原點到直線AF的距離為i/=-y=1.

13.(2025?廣東六校聯(lián)考)已知圓f+y2=4與拋物線y2=2°x(Q0)的準線交

于A,3兩點，若|A3|=24,則〃=.

2

［解析］由拋物線f=2pxS>0)的準線為/：x=—多圓｛+廿=4的圓心為

0(0,0),半徑r=2,則圓心0至攤線I的距離d=導(dǎo)則及。=2寸戶一/=2錯誤!=

2季,解得p=2.

四、解答題

14.(2025?河南五育聯(lián)盟綜合測試)已知曲線〃上的任意一點到點(1,0)的距

離比它到直線x=—2的距離小1.

⑴求曲線〃的方程；

(2)設(shè)點比0,1).若過點A(2,l)的直線與曲線/交于3,C兩點，求△防C的

面積的最小值.

［解析］(1)由已知得，曲線〃上的任意一點到點(1,0)的距離與它到直線x=

-1的距離相等，

所以曲線M的軌跡是以(1,0)為焦點，x=—1為準線的拋物線，

所以曲線”的方程為F=4x.

(2)設(shè)3(x1,yi),C(x2,yi),

顯然，過點A(2,l)的直線斜率不為0,設(shè)其方程為x=my+2—m，

聯(lián)立錯誤!整理得y1—4my+4(m—2)=0,

其中/=16療一16(加-2)=16(/一加+2)=16錯誤!2+28>0,

由韋達定理得：”+丁2=4機，y\yi=4(m—2),

所以△EBC的面積S=|x|EA|x|yi—y2|=|yi-泗==

yj16m2—16m—2=4^m2—m+2=4錯誤!,

=

當(dāng)"2=1時，Smin=4錯誤！4x錯誤！:2錯誤！，

所以△EBC的面積的最小值為2s.

6B組能力提升9

1.(2024.湖北孝感重點中學(xué)模擬)設(shè)P為拋物線C：產(chǎn)=以上的動點，A(2,4)

關(guān)于P的對稱點為3,記P到直線x=—1,x=—3的距離分別為力，di,則力

+力+依3］的最小值為()

A.2V17+2B.2713+2

C.師+2D.V13+V17+2

A

［解析］由題意知必=%+2,因為A(2,4)關(guān)于尸的對稱點為3,所以|以尸

\PB\,所以di+d2+\AB\=2di+2+2\FA\=2(di+\PA\)+2=2(\PF］+\m\)+2>2\AF\

+2=2^17+2,所以當(dāng)尸在線段AR上時，歷+龍+總用取得最小值，且最小值

為2捫+2.

2.(2025?廣東部分學(xué)校質(zhì)檢)拋物線F=4x的焦點為R過點R的直線/交

拋物線于A,3兩點，則|AW+4|3川的最小值為()

A.5B.9

C.8D.10

B

［解析］解法一：由題意可知網(wǎng)1,0),

設(shè)ZAB：x-ky+l,A(xi,yi)?8(x2,yi),

聯(lián)立直線AB與拋物線方程

錯誤!n/—4@—4=0nyi>2=-4,

所以X1X2=^-^=1,

而|AW+413Tq=xi+1+4(X2+1)=xi+4x2+5>2^XI-4X2+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)X1=2,X2=3寸取得等號.故選B.

117

解法二：由拋物線焦點弦性質(zhì)可得品+焉=5=1,

|A川\BP\p

...一,+415fl=(依用+4|3用)錯誤!

=5+提+耨5+2錯誤！=9.

(當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)用=2|3川=3時取等號，即發(fā)川+4|3川的最小值為9.故選B.)

3.(多選題)(2025?廣西欽州示范性高中開學(xué)考試)過拋物線j2=4x的焦點F

作直線交拋物線于A,3兩點，M為線段A3的中點，過點A作拋物線的切線心,

則下列說法正確的是()

A.H用的最小值為4

B.當(dāng)錯誤！=3錯誤!時，|A3|=錯誤！

C.以線段A3為直徑的圓與直線x=—l相切

D.當(dāng)依為最小時，切線以與準線的交點坐標為(一1,0)

ACD

［解析］依題意可設(shè)直線AB的方程為x=my+l,A(xi,yi),3(x2,”)，M(xo,

yo),

則XI>0,X2>0,

聯(lián)立錯誤!消x整理得產(chǎn)一4切一4=0,

則>1*=一4,代入V=4x得xu2=l,

則|A3|=XI+X2+2=XI+：+2N2錯誤！+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)=無2=1時取等號，

所以履3|的最小值為4,故A正確；

結(jié)合A可得錯誤！=(1—xi,一>1)，錯誤！=。2—1,>2),

由錯誤！=3錯誤!，得錯誤!解得錯誤！

|AB|=XI+X2+2=竽，故B錯誤；

由題意得拋物線的準線方程為x=—l,焦點網(wǎng)1,0),

設(shè)A,B,航在準線上的射影為4,B',M',

則以用=|4V],\BF}=\BB'\,\MM'\=^(\AA'\+\BB'\)=!(|AF|+|5/q)=||A5|,

所以以線段A3為直徑的圓與直線x=-l相切，故C正確;

結(jié)合A可得，當(dāng)依用最小時，不妨取A(l,2),

則可設(shè)切線PA的方程為2)+1,

聯(lián)立錯誤!，

消x整理得丁2—4町;+8〃一4=0,

則/=16川一4(8/2—4)=0,解得〃=1,所以切線出的方程為x=y—1,

聯(lián)立錯誤!解得x=—1,y=0,即切線物與準線的交點坐標為(一1,0),故D

正確.

4.(2024.寧夏銀川一中模擬)斜率為左的直線/與拋物線產(chǎn)二標相交于A,B

兩點，與圓(x—5)2+>2=9相切于點”，且M為線段A3的中點，貝>］左=..

+R1

一5

［解析］設(shè)A(xi,yi),5(x2,加，M(xo,yo),

則錯誤!又錯誤！

兩式相減得(yi+丁2)(>1—>2)=4(X1—X2),

則％=0=+=2

Xi—X2yi十"yo

設(shè)圓心為C(5,0),則h“=金、,

因為直線/與圓相切,所以友號二—1，

解得xo=3,代入(%—5)2+產(chǎn)=9

9

得yo=+后,左=正=錯誤！=±錯誤!.

x2V2

5.雙曲線C：六一七=l(a>0)的左、右焦點分別為F2,過色作x軸垂

直的直線交雙曲線C于A、3兩點，△FiAB的面積為12,拋物線E：y2=2px(p>0)

以雙曲線C的右頂點為焦點.

(1)求拋物線E的方程；

(2)如圖，點P錯誤!(段0)為拋物線E的準線上一點，過點P作y軸的垂線交

拋物線于點連接尸。并延長交拋物線于點N,求證：直線過定點.

［解析］⑴設(shè)仍(。,0)(c>0),則0=N。2+3,

3

令x=c代入C的方程有岡=1

16A/<72+3

：.SAFiAB=^x2cx2\yA\=^-^=12,

.'.a=l,故?=。=1,即2=2,

拋物線E的方程為y2=4x.

(2)證明