第七章立體幾何第1節(jié)小題篇

考向1空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系

題型1三垂線定理速證垂直

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂

直.

已知是平面e的垂線，垂足為O,是平面a的斜線，斜足為直線/ua.

求證：(1)若/_LR1,貝/_LO/；

(2)若,貝.

POLa\

證明：(1)/ua,n/_L平面。為，又CMu平面故/_LCM；

IVPA,POr>PA=P

POla]

.、>PO_LI-r-W,,

(2)luaJ平面O/M,又為u平面故/_LR1.

ILOA,POr\PA=P

【例1】如圖，正長(zhǎng)方體4BCD-&81GA中，體對(duì)角線與面對(duì)角線助的位置關(guān)系一定是（)

A.平行B.相交C.垂直D.異面

【例2】（2021?浙江）如圖，已知正方體-4月G3，M,N分別是其。，08的中點(diǎn)，貝!］（）

A.直線4。與直線。垂直，直線//平面4BC。

B.直線4。與直線23平行，直線MN_L平面3?？谄?/p>

C.直線4。與直線。3相交，直線血W//平面48CD

D.直線4。與直線02異面，直線MN_L平面8￡）〃耳

【例3】（2024天津卷）若加，〃為兩條不同的直線，。為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若加//a,〃ua,則加〃〃B.若加〃a,〃〃a,則加〃〃

C.若加〃則切_L〃D.若加〃a,〃_La,則加與〃相交

【例4】（2024年甲卷）設(shè)&、〃是兩個(gè)平面，加、〃是兩條直線，且a口尸=加.下列四個(gè)命題:

①若加〃〃，則〃//a或〃///②若加"L",則6

③若n!la,且〃//￡,則加〃〃④若〃與a和6所成的角相等，則加，〃

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

題型2幾何法求解距離問(wèn)題

①兩點(diǎn)間的距離：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理處理；

②點(diǎn)到平面的距離：等體積法；

③直線到平面的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離；

④平面到平面間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離.

注意：若二面角非直角，可以考慮用向量轉(zhuǎn)化求解距離，如訓(xùn)練5.

【例1】在矩形/BCD中，AB=1,AD=5沿對(duì)角線/C將矩形折成一個(gè)直二面角B-/C-。，則點(diǎn)8

與點(diǎn)。之間的距離為（）

A.V3B.V5C.—D.立

22

【例2】如圖，已知在矩形/BCD中，4D=4,AB=3,M為邊3C的中點(diǎn)，將分別沿著

直線必）翻折，使得3,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸到平面的距離為.

2

【例3】已知正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,CC1=272E為CCi的中點(diǎn)，則直線ACi與平面BED

的距離為

A.2B.V3C.V2D.I

【例4】直四棱柱ABCD-AMn中，底面ABCD為正方形,邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱N/=3,M、N分別為4穌4A

的中點(diǎn)，E、尸分別是G2,耳G的中點(diǎn)，求平面與平面￡7吆。的距離.

【例5】（2024甲卷）如圖，在以N,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形4BCD與四邊形ADE尸

均為等腰梯形，BCIIAD,EFI/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=2框,M為AD

的中點(diǎn).

（1）證明：8M〃平面CD￡；

（2）求點(diǎn)〃■到尸的距離.

題型3幾何法處理夾角問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)1：線與線的夾角

平行直線

共面直線

（1）位置關(guān)系的分類:相交直線

、異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)

（2）異面直線所成的角

3

①定義：設(shè)a,6是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線優(yōu)〃a,把，與〃所成的銳角（或

直角）叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,1]

③求法：平移法：將異面直線a,6平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

知識(shí)點(diǎn)2：線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍：[0,1]

③求法：

常規(guī)法：過(guò)平面外一點(diǎn)2做39,平面e,交平面a于點(diǎn)外；連接/9，則即為直線N8與平

面a的夾角.接下來(lái)在用△/88'中解三角形.即g（其中/Z即點(diǎn)8到面a的距離，

AB斜線長(zhǎng)

可以采用等體積法求〃，斜線長(zhǎng)即為線段的長(zhǎng)度）；

知識(shí)點(diǎn)3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱,

這兩個(gè)平面稱為二面角的面.（二面角a-/-6或者是二面角/-C。-8）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于

棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍[0,加.

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角□-/-￡的棱上任取一點(diǎn)。，以。為垂足，分別在半平面a和。內(nèi)作垂直于棱的射線ON和

OB,則射線。/和03所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就

相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

在面a或面月內(nèi)找一合適的點(diǎn)/，作NO_L￡于。，過(guò)/作N8_Lc于3,則8。為斜線43在面月內(nèi)的

4

射影，ZABO為二面角tz-c-夕的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點(diǎn)做面的垂線；即過(guò)點(diǎn)N,作于。；

②過(guò)點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過(guò)/作N3_Lc于3,連接3。；

③計(jì)算：ZA8。為二面角tz-c-。的平面角，在放△48。中解三角形.

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

積公式（cos，=E=色3,如圖2）求出二面角的大小；

S斜S、ABC

法四：補(bǔ)棱法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為

補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，也可直接用法三的攝影面

積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)4作A8La于8,作于C,面48c交棱。于點(diǎn)。，則ZBOC就是二面

角的平面角.如圖3.此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了.

角度1幾何法求異面直線所成角

【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所

在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余

弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.

【例1】（2021?乙卷文）在正方體/BCD-中，尸為的中點(diǎn)，則直線出與/口所成的角為（）

兀7171

A.—B.一C.-D.

2346

5

角度2幾何法求二面角

【例1】（2013?全國(guó)大綱卷理）己知正四棱柱/BCD—48心。中，AAt=2AB,則CD與平面BDQ所成

角的正弦值等于（)

06

A21

A，3B.—D.-

333

角度3射影面積法求二面角

【例1】如圖，在正方體4BCD-中，43=3,CE=2EQ,求二面角。一一C的余弦值.

考向2靜態(tài)立體幾何

題型1常見(jiàn)幾何體與重要特殊幾何體

1.常見(jiàn)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

S

A

>

圖形禮

AB

ABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點(diǎn),但不一定

側(cè)棱平行且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

6

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

18\o

全A

圖形

1S

互相平行且相等，垂

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

直于底面

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面

側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

a

側(cè)面展開(kāi)圖

七㈤一如__」舂/

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)s圓錐側(cè)=4〃S圓臺(tái)惻=%&+-）/

3.空間幾何體的表面積與體積公式

表面積體積

幾何

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=§側(cè)+8底V=-Sh

3

)

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積=§側(cè)+S上+S下V=|(S±+ST+7^X-h

V=3?R3

球S=4兀F

3

3.?？计渌麕缀误w

陽(yáng)馬和鱉席是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣

的三棱柱，稱為塹堵.

再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，另有一棱與底面垂直的

7

四棱錐，稱為陽(yáng)馬.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉席.

4.正四面體

如圖，設(shè)正四面體48C。的的棱長(zhǎng)為a,將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為邁a,顯然正四面體和正

2

方體有相同的外接球.（正四面體的棱長(zhǎng)為正方體棱長(zhǎng)也倍）

在棱長(zhǎng)為。的正四面體中

結(jié)論1：高〃=^-a.

3

結(jié)論2：內(nèi)切球半徑廠=近。.

12

結(jié)論3：外切球半徑夫=四0.

4

【例1】（2024新I卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為G，則圓錐的

體積為（）

A.2百兀B.3百兀C.6百兀D.9扃

［例2］（2024甲卷）已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為。和小母線長(zhǎng)分別為2（々-弓）和3&-。），

則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比1=

8

【例3】（2023?多選?新高考II）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，為底面直徑，ZAPB=120°,

PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-/C-0為45。，貝!]（）

A.該圓錐的體積為萬(wàn)B.該圓錐的側(cè)面積為4百萬(wàn)

C.AC=242D.AP/C的面積為＞5

【例4】（2024天津卷）一個(gè)五面體/8C-DE7L已知AD"BE"CF,且兩兩之間距離為1.并已知

ZD=1,BE=2,CF=3.則該五面體的體積為（）

V3

T

【例5】（2020?新課標(biāo)III）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

【例6】（2024新H卷）己知正三棱臺(tái)NBC-48]G的體積為5，45=6,4名=2,則Z/與平面

/2C所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

9

【例7】正四面體/BCD中，棱長(zhǎng)為。，高為h,外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為尸，45與平面所成

角為a,二面角/-2D-C的大小為。，貝I"）

C.sina=—D.cos=~

3

【例8】已知正四面體N8CD,點(diǎn)M為棱CD的中點(diǎn)，則異面直線與8C所成角的余弦值為.

【例9】《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉席，陽(yáng)馬居二，鱉腌居一.”

如圖解釋了這段話中由一個(gè)長(zhǎng)方體得到塹堵、陽(yáng)馬、鱉席的過(guò)程.在一個(gè)長(zhǎng)方體截得的塹堵和鱉席中，若

塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1,則鱉腌體積的最小值為（）

【例10］《九章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉席.陽(yáng)

馬居二，鱉席居一，不易之率也.意思是：如圖，沿正方體對(duì)角面4月。截正方體可得兩個(gè)塹堵，再沿平

面用G。截塹堵可得一個(gè)陽(yáng)馬（四棱錐。-4AG2），一個(gè)鱉席（三棱錐。-耳qc）,若尸為線段。上一

動(dòng)點(diǎn)，平面e過(guò)點(diǎn)P,CD,平面。，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,PD=x,。與圖中的鱉席截面面積為S,則點(diǎn)尸

從點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

10

11

題型2截面問(wèn)題

一、立體幾何與截面問(wèn)題

1.定義

①截面：一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的平面去截幾何體.該平面與幾何體的交面，為該幾何體的截面

②截線:該平面與幾何體表面上的交線叫做截線.

③截點(diǎn):該平面與幾何體各棱上的交點(diǎn)叫做截點(diǎn).連接各截點(diǎn)形成的線段即為截線(在表面上)，連接各截線

形成的封閉圖形即為截面.

2.作截面的基本邏輯

⑴找截點(diǎn)一連截線一圍截面

⑵作截面的理論依據(jù)：

①任意兩點(diǎn)確定唯一直線，不共線的三點(diǎn)確定唯一平面；

②處于兩個(gè)平面中的兩條直線的交點(diǎn)，在這兩條直線所在的平面的交線上；

③若兩個(gè)平面互相平行，且第三個(gè)平面與它們相交，則兩條交線平行；

④若一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)該直線的平面與該此平面相交，則直線與交線平行：

⑶如何確定該截面是否“完整”

①所畫的線是否圍成了一個(gè)封閉圖形？

②題目所要求過(guò)的點(diǎn)是否都在截面上？

③該截面的各個(gè)邊是否都在幾何體的表面(不能在幾何體內(nèi)部)?

3.作截面的具體方法

(1)平行線法：適用于有兩個(gè)或兩個(gè)以上截面線段在表面上

(2)延長(zhǎng)線法：適用于只有一個(gè)截面線段在表面上

12

【例1】正方體/BCO-N'B'CTX的棱長(zhǎng)為2,E為棱的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)/,E,U的平面截取該正方體,

則截面的面積為（）

A.2A/6B.2eC.5D.472

［例2］正方體ABCD-中，M,N分別是CG，5G的中點(diǎn)，則過(guò)4，M,N三點(diǎn)的平面截正

方體所得的截面形狀是（）

A.平行四邊形B.直角梯形C.等腰梯形D.三角形

【例3】如圖正方體48co-棱長(zhǎng)為1，P為3C中點(diǎn)，0為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/、P、Q

的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是①②④（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①當(dāng)0<CQ<g時(shí)，S為四邊形；

②當(dāng)C0=g時(shí)，S為等腰梯形；

a

③當(dāng)—<。。<1時(shí)，S為六邊形；

4

④當(dāng)。。=1時(shí)，S的面積為乎.

13

二、正方體截面問(wèn)題：

1.正方體的基本截面:

正方體的截面不會(huì)出現(xiàn)以下圖形:直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形.

2.正方體截面面積最大值:

截面為三角形一正三角形

截面為四邊形一矩形

截面為六邊形f正六邊形

注意：正方體的體對(duì)角線與所有棱所成角都相等.

【例11（2018?新課標(biāo)I）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，則a截此正

3V2

C.

~T~D-T

14

【例2】（2023?多選?新高考I）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：〃。的正方體容器（容器

壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99機(jī)的球體B.所有棱長(zhǎng)均為14〃的四面體

C.底面直徑為0.01俄，高為18”的圓柱體D.底面直徑為1.2加，高為0.01%的圓柱體

【例3】（2025?T8第一次聯(lián)考?多選）已知正方體/8CA-43。。的棱長(zhǎng)為1,M是44,中點(diǎn)，P是4B

的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足西=2^;Qe[0,1]）,平面"7W截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分

別為匕，V2,則下列判斷正確的是（）

A.2=工時(shí)，截面面積為走

22

B.兒=；時(shí)，匕=匕

C.|匕-匕|隨著2的增大先減小后增大

D.|匕-匕|的最大值為《

三、球體的截面問(wèn)題

I.球的截面一定是圓或者是圓的一部分；

2.確定球心與半徑，建立直角三角形，計(jì)算截面與球心的距離;

3.最大的截面半徑/=A，最小的截面半徑，=5去一心”.

15

【例1】正四面體/5C。的棱長(zhǎng)為4,E為棱45的中點(diǎn)，過(guò)石作此正四面體的外接球的截面，則該截面面

積的取值范圍是（）

A.[4〃，6刈B.[4乃，12TI]C.[71,4刈D.［乃，6笈］

【例2】【多選】在邊長(zhǎng)為4的正方形N8CD中，如圖1所示，E,F,M分別為3C,CD,的中點(diǎn),

分別沿AE,AF及EF所在直線把AAEB,AAFD和AEFC折起，使B,C,D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,得到三

棱錐P-/E尸，如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是（)

圖1圖2

A.PALEF

B.三棱錐M-AEF的體積為4

C.三棱錐尸-/EF外接球的表面積為24萬(wàn)

D.過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為［萬(wàn)，6幻

【例3】已知三棱錐尸-48C的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，PA1ABC,ABLAC,AB=6,AC=8,

D是線段AB上一點(diǎn)，且ND=5DB.過(guò)點(diǎn)D作球0的截面,若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28萬(wàn),

則球。的表面積為（）

A.128%B.132萬(wàn)C.144〃D.156〃

16

題型3幾何體外接球

一、長(zhǎng)方體切割體的外接球

圖1墻角體圖2鱉臆圖3挖墻角體圖4對(duì)角線相等的四面體

【例1】（2020?天津）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（)

A.12〃B.24iC.36兀D.144〃

【例2】（2019?新課標(biāo)I）已知三棱錐尸-N8C的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,AA8C是邊

長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是尸N,48的中點(diǎn)，NCEF=90。,則球。的體積為（）

A.8n兀B.兀C.兀D.a兀

二、錐體的外接球

【例1】（2021?甲卷）已知N,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且/C_L3C,AC=BC=1,

則三棱錐。-N3C的體積為（）

拒

A??DR.^3V?D.6

121244

【例2】（2020?新課標(biāo)I）已知/,B,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，oq為A48c的外接圓.若。Q的

面積為4%，AB=BC=AC=OOX,則球。的表面積為（）

A.64^B.48〃C.361D.32兀

17

【例3】（2021?天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為兩個(gè)

3

圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.34B.4〃C.9〃D.12%

【例4】（2024?九省2月份聯(lián)考）在正三棱錐尸-/8C中，側(cè)棱P/與底面/3C所成的角為二,且/3=3,

3

則三棱錐尸-A8C外接球的表面積為（）

A.8/rB.12TTC.167rD.18〃

三、含垂面and二面角的外接球

1.雙半徑單交線公式：R2=R12+R^--

i/2

222222222222

R=OD=0(?1+。⑷2=Q2￡+O1D=(O2C-C￡)+O1D=O2C-(-5C)+O1D=R：+7?2--.

【例1】已知在三棱錐A-BCD中，面ABD±面BCD,NBCD和\ABD均是邊長(zhǎng)為2省的正三角形，貝1J該

三棱錐的外接球體積為.

18

【例2】已知平面圖形尸48CD,42C。為矩形，AB=4,尸4D是以P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，如圖所

示，將△尸/。沿著40翻折至△P4D,當(dāng)四棱錐P-43co體積的最大值為嶼，此時(shí)四棱錐P-/3C。外

3

接球的表面積為（）

A.127r

2.雙距離單交線公式：區(qū)2=拼一+"2一;mncosa卡匚.證明：如圖，若空間四邊形/以力中,

sina4

二面角C-48-。的平面角大小為a,的外接圓圓心為。］,/8C的外接圓圓心為。2，

E為公共弦N8中點(diǎn)，貝口/。1￡。2=&，OlE=m,O2E=n,4E=g,OA=R,

由于。、OPE、。，四點(diǎn)共圓，且。￡=2R=%2.,余弦定理|OQ,『uff?+/-z,Mcosa,

sina

2m2+n2-2mncosaI2

得R2+|/同=---------------+一?

sina4

【例1】已知三棱錐。-/8C所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，△/日?為邊長(zhǎng)為2g的正三角形，AABD是以

為斜邊的直角三角形，且/。=2,二面角C-/8-。為120。，則球。的表面積為（）

19

題型4幾何體內(nèi)切球

1.棱錐的內(nèi)切球半徑：等體積法

第一步、先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體的體積.

第二步、設(shè)內(nèi)切球半徑為廠，建立等式：

Vp-ABC=^O-ABC+^O-PAB+—O-PAC+^O-PBC=^P-ABC~MBC+^PAB+^PAC+)"?

3—P—ABC

第三步、解出一

SWBC+S"AB+S"AC+S"BC

注意：正四面體（棱長(zhǎng)為。）的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑一之比為R"=3:1.

外接球半徑：R=—a,內(nèi)切球半徑：廠="a.

412

【例11正三棱錐S-N3C,底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少?

2.圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題

【例2】（2023?合肥月考）已知某圓錐的高為4,其內(nèi)切球的體積為3乃，則該圓錐的側(cè)面積S=（）

A.7iB.3兀C.6兀D.12〃

20

【例3】點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為4的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，血W是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則而?麗的最大

值是.

【例4】(2025?八省第一次聯(lián)考)如圖，在三棱錐P-42C中，PA=PB=CA=CB=2,ZAPB=ZACB=-,

2

E,F,G分別為尸/,PB,PC上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)，若此時(shí)恰好存在一個(gè)小球與三棱錐尸-N8C的

四個(gè)面均相切，且小球同時(shí)還與平面MG相切，則PC=()

A.V6+V2B.V6-V2C.V13+1D.V13-1

題型5幾何體棱切球

1.常用結(jié)論:

①已知正方體的棱長(zhǎng)為0,則它的棱切球半徑為R=

②已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為a,則它的棱切球半徑為R=半

③已知正四面體的棱長(zhǎng)為0,則它的棱切球半徑為尺=容.

2.解題技巧:

①找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形.

②正〃棱柱的棱切球的球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)。，正棱錐的棱切球的球心在其高線上，可以通過(guò)

對(duì)稱性或者截面圓心的垂心確定.

③棱長(zhǎng)都為。的正"棱柱，則棱切球的半徑為五=」^

2sin—

n

21

【例1】已知一個(gè)表面積為24的正方體，假設(shè)有一個(gè)與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為

A4乃口A仄C24-767TD8及兀

A.—B.4A/3萬(wàn)C.---

,3

【題2】已知球。的表面積為9兀，若球。與正四面體S-43C的六條棱均相切，則此四面體的體積為（）

A.9B.34C.苧

【題3】已知正三棱柱的高等于1,一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）

A7B.弋C.”：D,也

3

考向3動(dòng)態(tài)立體幾何

立體幾何中的動(dòng)態(tài)翻折問(wèn)題

1.關(guān)于點(diǎn)的軌跡：某些點(diǎn)、線、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡的關(guān)鍵是找

到關(guān)鍵點(diǎn)和翻折過(guò)程中不變的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.

2.證明或探索位置關(guān)系：

①確定翻折前后變與不變的關(guān)系，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，

而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而

對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.

②確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置，所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過(guò)程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn).因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)

帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化.只

有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與

計(jì)算

3.關(guān)于體積最值問(wèn)題，將一個(gè)多邊形沿一條線折疊得到一個(gè)棱錐，當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，以折線為交線的

兩個(gè)半平面垂直，當(dāng)在折疊過(guò)程中棱錐的底面積和高度同時(shí)變化時(shí)，則需要構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)自變量的

范圍，求函數(shù)最值解決.

4.旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，兩線段距離之和最值問(wèn)題，將不共面的兩線段旋轉(zhuǎn)到同一平面，再利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行求

解.

22

題型1軌跡問(wèn)題

【例1】如圖，矩形/8CD中，AB=2AD=2,E為邊N8的中點(diǎn)，將△/￡>￡沿DE翻折成△/QE,若M為

線段4c的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，M點(diǎn)的軌跡為（）

A.橢圓的一段B.直線的一段C.拋物線的一段D.一段圓弧

【例2】已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為2,將沿/C翻折到△/C。的位置，得到四面體。-48C,在翻

折過(guò)程中，點(diǎn)。始終位于08c所在平面的同一側(cè)，且BD'的最小值為血,則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為（）

A.nB.2萬(wàn)C.哀友D.

33

題型2最值問(wèn)題

【例3】（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AA8C的面積的取值范圍為.

［例4］在梯形ABCD中,ZABC=ABAD=90°,AB=BC=-AD=\,將“BC沿直線AC翻折成△48C,

當(dāng)三棱錐片-/CD的體積最大時(shí)，三棱錐瓦-NCD的外接球的表面積為.

23

【例5】（2017?新課標(biāo)I）如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形/3C的中心

為。.D、E、尸為圓。上的點(diǎn)，NDBC,NECA,A7M8分別是以BC,CA,為底邊的等腰三角形.沿

虛線剪開(kāi)后，分別以8C,CA,為折痕折起AD8C,AECA,AFAB,使得D、E、尸重合，得到三

棱錐.當(dāng)A43C的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：c疝）的最大值為

【例6】（2024叮8聯(lián)考模擬）已知正方體4BCD-4⑸GO的棱長(zhǎng)為2，P為線段GA上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱

錐P-3。外接球半徑的取值范圍為（）

A.[孚2]B?哼，我c.呼，向D.哼，我

4

【例7】（2025?武漢二調(diào)）如圖，直角梯形48。中，BCHAD,AB1AD,BC=8,AD=9,AB=243,

點(diǎn)E為線段BC不在端點(diǎn)上的一點(diǎn)，過(guò)E作48的平行線交4D于E,將矩形ABEF翻折至與梯形ECDF垂

直，得到六面體N3CDE1廠.

（1）若CB_L8。，求BE的長(zhǎng);

（2）求異面直線3C與/。所成角余弦值的最小值.

24

題型3旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

【例1】如圖，正方體/BCD-481G2的棱長(zhǎng)為2，P是面對(duì)角線BG上一動(dòng)點(diǎn)，。是底面4BCD上一動(dòng)

點(diǎn)，則。/+尸。的最小值是

【例2】（多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體48co-4瓦。1。中，點(diǎn)尸滿足方=2函+〃52,2e[0,1],〃e[0,

1],則以下說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng);1=〃時(shí)，3P//平面

B.當(dāng)〃=；時(shí)，存在唯一點(diǎn)尸使得。尸與直線的夾角為?

C.當(dāng)％+〃=1時(shí)，DP+PB的最小值為也+亞

D.當(dāng)點(diǎn)尸落在以耳為球心，血為半徑的球面上時(shí)，2+〃的最小值為2-正

題型四體積分割之動(dòng)態(tài)定直線

例1.（2025?武漢二調(diào)）四棱錐尸-43C。中，4B=AD=犧,CB=CD=5,ABAD=90°,尸8=4,PC=3,

△PBC內(nèi)部點(diǎn)。滿足四棱錐0-/8CD與三棱錐0-P/D的體積相等，則尸。長(zhǎng)的最小值為.

25

題型5折疊構(gòu)造旋轉(zhuǎn)面求最值

例2.(2025?T8第二次模擬)在平面四邊形45CD中，AB=AC=CD=1,ZADC=30°,ZDAB=120°,

將△/CD沿NC翻折至△/CP,其中尸為動(dòng)點(diǎn).

(1)設(shè)三棱錐尸-N8C的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上.

⑶證明：平面PNC_L平面；

(ii)求球。的半徑；

(2)求二面角/-CP-3的余弦值的最小值.

拓展思維2折疊中的向量不變性

1.斯坦納定理

對(duì)角線向量定理之折痕向量乘積不變性

就前=(勾+赤)-("+萬(wàn))①

2

如左圖所示，在A43c中，由余弦定理的向量式有聲?而=0"+°82-―-；在AC。中，同理有

CA-CD=所以在四邊形/BCD^,AC-BD=AC-(CD-CB)=⑷-心+C”1),

即二?麗S+睢)一函+。2),這就是對(duì)角線向量定理(斯坦納定理).

推論1：cos(AC,BD^=②

I\AC\\BD\

說(shuō)明：式子①②既適用于平面向量也適用于空間向量

推論2：在空間向量中涉及折疊的問(wèn)題，一定有折痕的向量與任意向量在折疊前后對(duì)應(yīng)的向量的乘積不變;

證明：如右圖所示，在四邊形/8C〃中，沿著3。折疊后，/移到了4位置，貝IJ

AD2+BC1-AB2-CD2A'D2+BC2-A'B2-CD2

AC-BD==A'CBD.

22

26

【例1】（2005?浙江）如圖所示，M、N是直角梯形N8C。兩腰的中點(diǎn)，DE_LAB于E,現(xiàn)將A4DE沿

DE折起，使二面角為45。，此時(shí)點(diǎn)/在平面3CDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)8,則/、N的連線與/￡

所成的角的大小為.

【例2】（2015?浙江）如圖，三棱錐/-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)、M,N分別

是/￡）,BC的中點(diǎn)，則異面直線NN,CM所成的角的余弦值是.

【例3】（2009?浙江）如圖在長(zhǎng)方形/5CD中，AB=2,BC=\,E為。C的中點(diǎn)，尸為線段EC（端點(diǎn)

除外）上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△NFD沿N尸折起，使平面，平面423,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)。做,

K為垂足，設(shè)/K=/,貝卜的取值范圍是.

【例4】（2012?浙江）己知矩形N5CD,48=1,BC=亞,將A48。沿矩形的對(duì)角線2。所在的直線進(jìn)行翻

折，在翻折過(guò)程中（）

A.存在某個(gè)位置，使得直線/C與直線2。垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線與直線C。垂直

C.