第二十三章旋轉(zhuǎn)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列四個(gè)圖形中，形成方法與另外三個(gè)不同的是（）.

A.B.C,D.

2.在下列四個(gè)標(biāo)志中，是由某個(gè)基本圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（）

勘DO

3.如圖，圖形繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后可得到下列哪個(gè)圖形（）

4.2022年冬奧會(huì)將在我國北京市和張家口市聯(lián)合舉行，下列歷屆冬奧會(huì)會(huì)徽的部分圖案中，是中心

5.下列運(yùn)動(dòng)中，不屬于旋轉(zhuǎn)的是（）

A.電風(fēng)扇葉片的轉(zhuǎn)動(dòng)B.酒店旋轉(zhuǎn)門的轉(zhuǎn)動(dòng)

C.鐘擺的擺動(dòng)D.熱氣球點(diǎn)火升空

6.下列圖形中，不能由圖形M經(jīng)過一次平移或旋轉(zhuǎn)得到的是()

8.如圖，將AA8C先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到△A5C,則點(diǎn)8的

A.(4,0)B.(2,-2)C.(4,-1)D.(2,-3)

9.如圖，RtaABO的兩條直角邊AO,80分別在》軸，x軸上，c,。分別是邊A。，AB的中點(diǎn)，

連接C￡),己知A(。,6),3(4,0),將Rt^ABO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)

束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

10.如圖，將VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB'C',此時(shí)點(diǎn)夕恰在邊AC上，若AB=2,

A.2B.3C.4D.5

11.下列4加0圖標(biāo)中，既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是（）

A

夕

12.下列天氣圖形符號中是中心對稱圖形的是（）

大雪

二、填空題

13.如圖，把VABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到刀EC,AB=2,NACB=30。，則DE=

NBCD=°,

14.如圖，已知AB=3,AC=2,ID90?,DEC與VABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，則AE■的長

15.如圖所示，A'3'C'與VABC關(guān)于。成中心對稱，那么AO=_,BO=CO=_，點(diǎn)A、O

與_三點(diǎn)在同一直線上，—三點(diǎn)在同一直線上，—三點(diǎn)在同一直線上.

16.如圖，將VAQB繞點(diǎn)0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到ACOD,若ZAOB=15°,ZBOC=35°,

則圖中的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是.

17.如圖，VABC和AEC'關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱，則下列結(jié)論中正確的有個(gè).

?AB=AB\②AO=AO；?AC=A'C',AC.A'C.@ZAOB=ZAOB'.

B'

三、解答題

18.在銳角VABC中，ZB=45°,ZC=60°,AD工3c于點(diǎn)O.

(1)如圖1,過點(diǎn)B作3GLAC于點(diǎn)G,求證：AC=BF；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線OB運(yùn)動(dòng)，連接AP,過點(diǎn)A作4Q，”，且滿足AP=AQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段8￡>上時(shí)，連接尸。分別交A。、AC于點(diǎn)M、N.請問是否存在某一時(shí)刻使

得AAPM和"ON成軸對稱，若有，求此刻N(yùn)APD的大?。蝗魶]有，請說明理由.

②如圖3,連接B。，交直線AD于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在線段8。上時(shí)，試猜想3尸和叱的數(shù)量關(guān)系并證

明；當(dāng)點(diǎn)尸在￡>3的延長線上時(shí)，若2AD=】FD,請直接寫出登的值.

19.如圖，可以由VA5C經(jīng)過怎樣的變換而得到？請簡要說明變換過程.

1------I-------1--------1-------T--------1-------T

20.如圖，三角形②，③是由三角形①依次旋轉(zhuǎn)后所得到的圖形.

(1)在圖中標(biāo)出旋轉(zhuǎn)中心尸的位置；

(2)在圖中畫出按規(guī)律再次旋轉(zhuǎn)后的三角形④.

21.為了美化校園，學(xué)校決定在一塊正方形的空地上種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案.圖案只能用

圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì)，要求使正方形和所畫的圓弧構(gòu)成的圖案是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且旋轉(zhuǎn)90。后能

與自身重合，種植花草部分用陰影表示.請你在三個(gè)正方形中畫出三種不同的設(shè)計(jì)圖案.

22.如圖，VABC中，AB=AC,N54C=45。，AAEF是由VABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的,

連接BE、C/相交于點(diǎn)。，AC與助相交于點(diǎn)0.

⑴求證：BE=CF；

⑵求/即C的度數(shù).

23.點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和3C/G,連接

AF.BD.

圖①圖②

(1)如圖①，AF與5。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為,

(2)將正方形3C/G繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0。<a<360°)

①如圖②，第(1)問的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由

②若AC=4,BC=y[2.當(dāng)正方形BCTG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、/三點(diǎn)共線時(shí)，求的

長度.

24.如圖，已知VA2C和點(diǎn)。.

⑴在圖中畫出,AEC,使AEC與VA5C關(guān)于點(diǎn)。中心對稱；

⑵點(diǎn)A、B、C、B'、C'能組成哪幾個(gè)平行四邊形？請用符號表示出來.

《第二十三章旋轉(zhuǎn)》參考答案

題號12345678910

答案BBACDCBCCB

題號1112

答案BB

1.B

【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)與軸對稱的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)或軸對稱逐一分析各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A,C,D選項(xiàng)中的圖形都是通過將其中一部分旋轉(zhuǎn)形成的圖形，而B選項(xiàng)中的圖形是

通過軸對稱形成的，

故答案為：B

2.B

【分析】本題是考查運(yùn)用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特點(diǎn)解答即可.

【詳解】解：A、不能旋轉(zhuǎn)得到，錯(cuò)誤；

B、可以旋轉(zhuǎn)得到，正確；

C、不能旋轉(zhuǎn)得到，錯(cuò)誤；

D、不能旋轉(zhuǎn)得到，錯(cuò)誤；

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：將圖形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

而其他選項(xiàng)的圖形不能由原圖形旋轉(zhuǎn)得出，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就

叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重

合.

5.D

【分析】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定

有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時(shí)判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義解答即可.

【詳解】解：A.電風(fēng)扇葉片的轉(zhuǎn)動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；

B.酒店旋轉(zhuǎn)門的轉(zhuǎn)動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；

C.鐘擺的擺動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；

D.熱氣球點(diǎn)火升空，屬于平移，故符合題意；

故選：D.

6.C

【分析】本題考查的是學(xué)生對旋轉(zhuǎn)和平移的掌握程度，根據(jù)平移后的圖形與原圖形完全相同，旋轉(zhuǎn)后

的圖形與原圖形方向不同，形狀大小相同逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解:A.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到該選項(xiàng)的圖形，故不符合題意；

B.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到該選項(xiàng)的圖形，故不符合題意；

C.不能由圖形M經(jīng)過一次平移或旋轉(zhuǎn)得到，故符合題意；

D.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。即可得到該選項(xiàng)的圖形，故不符合題意.

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：一個(gè)圖形，繞一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180。，與自身完全重合，這樣的圖形

叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：A,C,D選項(xiàng)的圖形找不到這樣一個(gè)點(diǎn)使圖形旋轉(zhuǎn)180。，能與自身完全重合，不符合

題意；

選項(xiàng)B能夠找到一個(gè)點(diǎn)使圖形旋轉(zhuǎn)180。，能與自身完全重合，故選項(xiàng)B符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱圖形的識別.熟練掌握中心對稱圖形的定義，是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將△ABC先向右平移1個(gè)單位，再繞P點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得

到小A'B'C,即可得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo).

【詳解】作出旋轉(zhuǎn)后的圖形如下：

二?S’點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-1）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)、平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

9.C

【分析】根據(jù)已知條件求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【詳解】VA（0,6）,5（4,0）

：.OA=6,OB=4

VC,。分別是邊49,A5的中點(diǎn)，

CD=-OB=2,CD//OB,OC=-OA=3

22

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（。，3）

第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。在C點(diǎn)正下方，且CD=2,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,1）,

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。在C點(diǎn)左邊，且CD=2,CD〃03,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,3）,

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。在C點(diǎn)正上方，且CD=2,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,5）,

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,3）,

???

觀察可知，4次一個(gè)循環(huán)，

：2023+4=5053,

第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,5）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)

現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律.

10.B

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'=AB=2,AC=AC=5,然后用線段和差即可求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AB'=AB=2,AC=AC'=5,

：.B'C=AC-AB'=5-2=3,

故選：B.

11.B

［分析］根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解.此題考查了軸對稱圖形

和中心對稱圖形，將一個(gè)圖形沿著某條直線翻折，直線兩側(cè)能完全重合的圖形叫軸對稱圖形；將一個(gè)

圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身完全重合的圖形叫中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形

的概念是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A.該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；

B.該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，符合題意；

C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D.該圖形是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：B.

12.B

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、該圖形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、該圖形是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、該圖形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、該圖形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋

轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

13.260

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)把VA3C繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到DEC,得出對應(yīng)

邊相等，旋轉(zhuǎn)角相等，即/ACD=90。，再結(jié)合NACB=30。，即可作答.

【詳解】解：；把VABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到DEC,

:.DE=AB=2,ZACD=9Q°,

NACB=30°,

/BCD=ZACD-ZACB=90°-30°=60°,

故答案為：2,60.

14.5

【分析】根據(jù)成中心對稱的性質(zhì)，得到OE=AB,CD=AC,進(jìn)而求出A。，再利用勾股定理進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：：DEC與VABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，

:.DE=AB=3,CD=AC=2,

/.AD=4,

V?D90?,

AE=y]AD2+DE2=5；

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查成中心對稱和勾股定理.解題的關(guān)鍵是掌握成中心對稱的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等.

15.A'OB'OCOAB,B：OC,C',O

【分析】根據(jù)成中心對稱圖形的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到對稱中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與對稱中心在同一條直

線上，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：A'3'C'與VA5c關(guān)于。成中心對稱，那么49=40,3。=3'。,CO=CO,

點(diǎn)A、。與A三點(diǎn)在同一直線上；

B、B'、O三點(diǎn)在同一直線上；

C、C'、。三點(diǎn)在同一直線上；

故答案為：AO;B'O；CO；A；B、B\O；C、C\O.

【點(diǎn)睛】本題考查成中心對稱圖形的性質(zhì).熟練掌握成中心對稱圖形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

16.50。/50度

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確得出旋轉(zhuǎn)角為々OC是解題關(guān)鍵.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)角為

ZAOC,結(jié)合ZAOB=15。，ZBOC=35°,即可解決問題.

【詳解】解：二?將VAQB繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到△COD,

.,.旋轉(zhuǎn)角為—AOC,

ZAOB=15°,ZBOC=35°,

ZA<9C=15o+35o=50°,即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是50。，

故答案為:50°

17.4

【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①：VABC和ABC'關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱,

?*.AB=AB,^故①正確，符合題意；

②NABC和，A'B'C關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱，

AAO=AO,故②正確，符合題意；

③NABC和cA!B'C關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱，

AAC^A'C,AO=A'O,CO=CrO,

AOC絲AOC,

ZACO=ZAC'O,

：.AC//AC,故③正確，符合題意；

④NABC和，AB'C關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱，

AZAOB=ZAOBr,故④正確，符合題意；

綜上，正確的有①②③④，共4個(gè)，

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握成中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)邊相等,

對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)到對稱中心距離相等.

18.(1)見解析

4

(2)①60度；②BP=2DF,理由見解析，-

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定得出V3DF與△ADC全等，進(jìn)而解答即可；

(2)①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和對稱的性質(zhì)解答即可；

②過點(diǎn)。作QE1A。，交4)于E,根據(jù)全等三角形的判定得出△加與sQAE全等，進(jìn)而解答即

可.

【詳解】(1)AD1BC,

:.ZADB=ZADC=90°,

ZB=45°,

.?.AABD是等腰直角三角形，

AD=BD9

QBGAAC,

，/BGC=9。。,

ZC=60°,

:.ZDAC=90°-ZC=90°-60°=30°,ZFBD=90°-ZC=90°-60°=30°,

"DAC=/FBD,

在ABDF和MDC中，

ZFBD=ZDAC

</BDF=ZADC,

BD=AD

：./^BDF^\ADC(ASA),

AC=BF；

(2)①存在某一時(shí)刻使得A4PM和AAQN成軸對稱,

AQLAP,

ZQAP=90°,

ZQAP-ZCAD_90°-30°

由(1)的證明可知ZZMC=30°,根據(jù)對稱的性質(zhì)，得：/PAD=ZQAC=30°,

22

NADP=90。，

ZAPD=90°-/PAD=90°-30°=60°；

②BP=2DF,理由如下：

過點(diǎn)。作。石1A。，交AD于石，則/4月。=/尸￡。=90。,

ZAQE+ZQAE=90°f

ZPAD+ZQAE=90°,

ZAQE=ZPAD,

在AAPD和AQAE中，

ZAQE=ZPAD

<ZAEQ=ZPDA,

AQ=AP

.?.AAPD=AQAE(A45),

:.AE=PD,AD=QE,

.\DE=BP,

AD=BD,

BD=QE,

在AQEF和ABDF中，

ZQEF=ZBDF

<ZEFQ=ZDFB,

EQ=DB

:.AQEF=岫DF(AAS),

:.EF=DF,

:.BP=2DF,

當(dāng)點(diǎn)尸在。B的延長線上時(shí),

由上述證明過程可知PB=2OF,BD=AD,

2AD=1FD,

:.DF=-AD,

7

24

:.PB=2x-BD=-BD,

77

.PB_4

一訪一I

19.把VABC先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。可得到△ABCi(答案不唯一)

【分析】利用平移和旋轉(zhuǎn)變換說明變換過程即可.

【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格和圖形中耳G與VABC的相對位置，

可知：把VABC先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?？傻玫健鰽B1G.

即變換過程為：把VABC先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換，掌握平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

20.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)研究三角形①與三角形②，③的關(guān)系，且結(jié)合三角形②，③是由三角形①依次旋轉(zhuǎn)后所得到的

圖形，即可找出旋轉(zhuǎn)中心P的位置，即可作答.

(2)得出旋轉(zhuǎn)規(guī)律是三角形①繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得三角形②，再由三角形②繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90度得三角形③，故三角形③繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得三角形④，即可作答.

【詳解】(1)解：旋轉(zhuǎn)中心P的位置，如圖所示：

（2）解：再次旋轉(zhuǎn)后的三角形④，如圖所示.

21.見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念即可得到結(jié)果.

(2)45°

【分析】(1)證明3AE絲，C4F即可；

(2)設(shè)=則可求得NA8E=NAC￡>=67.5。-；1,從而得=,ZBC￡>=135°-1a,

由三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AE,ZBAC=ZEAF,AC=AF,

：.ZBAC+ZCAE^ZEAF+ZCAE,

：.ZBAE=ZCAF,

：.^BAE^CAF(SAS),

BE=CF；

(2)解：設(shè)NC4E=(z,則Na4E=45°+tz；

?/AB=AE,

：.NABE=1(180°-NBAE)=67.5。-：a；

:BAE%CAF,

ZABE=ZACD=67.5°--a；

2

VAB=AC,ABAC=45°,

：.?ABC1ACB1(180?45?)67.5?,

NCBE=ZABC-NABE=-a,

2

ZBCD=ZACB+ZACD=135°--a,

2

ZBDC=180°-ZBCD-ZCBE=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知

識，證明兩個(gè)三角形全等是關(guān)鍵.

23.(1)AF=BD,AF±BD

(2)①仍然成立，理由見解析；②+1或

【分析】(1)由“SAS，可證△得出AP=8。，ZCAF=ZCDB,由直角三角形的性質(zhì)

和對頂角相等證出/。小三四。，得出AF±BD即可；

(2)①設(shè)A/交。于點(diǎn)由“SAS”可證△ACFgZXOCB,得出A尸=8。，ZCAF=ZCDB,由直角

三角形的性質(zhì)和對頂角相等得出/。罰0=90。，得出AF±BD即可；

②分兩種情況，連接CG交8產(chǎn)于。，求出BF=CGfBC=2,0B=0F=0C=^BF=1,由勾股定

理得出A。=而，即可得出答案.

【詳解】(1)解：與8。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為AF=8。，AFVBD,理由如下:

延長交BD于X,如圖①所示，

圖①

:四邊形ACDE和四邊形BCfU是正方形，

AC=CD,CF=CB,ZACF=Z.DCB=90°,

Z.CAF+ZAFC=90°,

在△ACF和△DCB中，

AC=DC

<ZACF=NDCB,

CF=CB

：.AACF^ADCB(SAS),

：.AF=BD,ACAF=NCDB,

??Z.DFH=ZAFC,

NCDB+ZDFH=ZCAF+ZAFC=90°,

???NDHF=90。,

:.AF±BD.

故答案為：AF=BD,AF±BD；

（2）解：①第（1）問的結(jié)論仍然成立，理由如下:

圖②

???四邊形ACDE和四邊形BCFG是正方形，

???AC=CD,CF=CB,ZACD=ZFCB=90°,

???ZCAF+ZAMC=90°,

:.ZACD+ZDCF=ZFCB+ZDCF,即ZACF=ZBCD,

在