第三章勾股定理（復(fù)習(xí)講義）

工JL

單元目標(biāo)聚焦?明核心

1.掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的邊長；

2.能利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理；

3.知道勾股數(shù)的概念，會判斷3個數(shù)是不是勾股數(shù)；

4.掌握勾股定理的逆定理，并能利用該定理判定一個三角形為直角三角形;

5.能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解決生活中的實(shí)際問題；

又又

知識圖造梳理?固基礎(chǔ)

又a

教材要點(diǎn)精析?夯重點(diǎn)

知識點(diǎn)重點(diǎn)歸納常見易借點(diǎn)

1.文字語言：

2.圖形語言：

注意：勾股定理的使用條件

——必須是直角三角形，其

勾股定理

他三角形是不能使用的！

b

并且要確定好哪條邊是斜邊

3.符號語言：

在以△47?。中，47=90°

:.a2+62=c2

方法1：方法2：

ab

\^\4

b仁

勾股定理Cah

驗(yàn)證方法3：方法4：

aha

a

bb

b

aa

baQb

應(yīng)用1:求解三角形中未知邊長；

應(yīng)用2：網(wǎng)格中繪制無理數(shù)長度線段；

應(yīng)用3：數(shù)軸上繪制無理數(shù)的點(diǎn)；

常見應(yīng)用應(yīng)用4：解決實(shí)際問題中的長度問題；

應(yīng)用5：求解一些最值問題；

應(yīng)用6：求解一些立體幾何中的長度問題；

1.文字語言：我們習(xí)慣是用Q為表示直角

2.圖形語言：

邊，。表示斜邊，但真正到習(xí)

zl

勾股定理

°題或考試中Q力不一定表示

逆定理

b直角邊，c不一定表示斜邊

3.符號語言：所以Q表示斜邊

勾股定理

與逆定理正確理解二者的關(guān)系

關(guān)系

1.概念：注意：a,b,c要成為勾股

3.用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：數(shù)必須滿足兩個條件：

條件2：a,b,。必須是正

勾股數(shù)

整數(shù)；

這里最易被忽略的是條件2,

千萬要注意！

1.將實(shí)際問題抽象出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

勾股定理關(guān)鍵在找到直角三角形，設(shè)

2.確定所求線段所在的直角三角形；

解決問題能找到就直接月勾股定理解題，若找不到就添加輔助線構(gòu)出適當(dāng)?shù)奈粗浚硎境鋈?/p>

造直角三角形；

步驟邊長。

3.根據(jù)勾股定理，列方程求解。

又JL

考點(diǎn)題型突破?拓思維

利用勾股定理求直角三角形邊長

(2)求線段CO的長.

題型二利用勾股定理解決折疊問題

108

A.3B.C.5D.

T3

1372516

A.B.C.D.

T2T

【例3】如圖是兩人某次棋局棋盤上的一部分，若棋盤中每個小正方形的邊長為1,則“事''、怕『兩棋子所

在格點(diǎn)之間的距離為()

A.3B.6C.5D.75

A.V12B.49C.x/8D.布

【變式32］如圖所示，在每個邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、8、P均為網(wǎng)格的格點(diǎn).

(1)線段AB的長度等于；

題型四利用勾,股定理探究線段平方關(guān)系

(1)猜想MN與4。的位置關(guān)系？并證明你的猜想.

(2諄談號號AC、BD、MV三者之間的數(shù)量關(guān)系：

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，老師為了弘揚(yáng)中國的數(shù)學(xué)文化，和同學(xué)們開啟對“趙爽弦圖”的深度研究.

(1)類比“弦圖”，證明定理

小明同學(xué)利用四張全等的直角三角形紙片(如圖1),證明勾股定理.

(2)利用“弦圖”，割拼圖形

如圖3,老師給出由5個小正方形組成的十字形紙板，讓同學(xué)們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個

無縫的大正方形，可以怎么剪？請你畫出示意圖.

(3)構(gòu)造“弦圖”,應(yīng)用計算

【變式61］綜合與實(shí)踐

(2)鞏固:如圖3,加果將小正方形的一邊延長,也能驗(yàn)訐平方差公式.請完成訐明.

請你用“雙求法”解決下面兩個問題：

題型七勾股數(shù)的概念問題

【例7】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()

【變式71】下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()

A.64，垂＞B.4,5,6

C.0.6,0.8,1D.9,12,15

股定理的實(shí)際應(yīng)用問

【例8】每年的II月9日是我國的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識，某校師生舉行了汨防演練，如

圖，云梯4C長為25米，云梯頂端。靠在教學(xué)樓外墻。。上(墻與地面垂直)，云梯底端A與墻角。的距

離為7米.

⑴求云梯頂端C與墻角。的距離C。的長；

(2)現(xiàn)云梯頂端C下方4米。處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點(diǎn)處，則云梯底端水平方向向右滑

動的距離48為多少米.

⑴此時梯子頂端A離地面多少米?

【變式82】與危險相伴，與烈火為伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者一中國消防員.云梯消防車

是常見的消防器械，云梯最多能伸長到30米，消防車高3米，如圖，某棟樓發(fā)生火災(zāi)，在這棟樓的8處有

一老人需要救援，救人時消防車上的云梯伸長至最長，此時消防車的位置A與樓房的距離為24米.

⑴求8處與地面的距離.

(2)完成3處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在3處的上方6米的。處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小

孩，則消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？

題際5應(yīng)用問題大樹折斷問

【例9】如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部6著地且離旗桿底部A的距離為4m.

(1)求旗桿在距地面多高處折斷；

（1）求一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？

⑵如圖2,臺風(fēng)過后，高18米的樹43在點(diǎn)M處折斷，大樹頂部落在點(diǎn)。處，則樹43折斷處M距離地面

多少米？

【變式92】請解決我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子原來高9尺，從A處折斷，折

斷后竹子頂端8點(diǎn)落在離竹子底端。點(diǎn)3尺處，求折斷處離地面（即40）的高度是多少尺？

「定理的實(shí)際應(yīng)用問

12

【例10］如圖，有一個高為8,底面直徑為一的圓柱.在圓柱下底面的點(diǎn)A有一只螞蟻，它想吃到上底面

n

與點(diǎn)A相對的點(diǎn)8處的食物，它從點(diǎn)A爬到點(diǎn)8,然后再沿另一面爬回A點(diǎn)，螞蟻爬行的最短路程是

【變式101］如圖，已知一個長方體的底面邊長分別為6cm和6cm,高為7cm.若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)

過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q,則這只螞蟻爬行的最短路程為cm.

【變式102］如圖I是一款竹木材質(zhì)的二宮格托盤，從內(nèi)部測得每個格子的底面均是邊長為的正方形,

且深為4c〃z,兩個格子之間的隔斷厚1cm.圖2是該托盤的俯視圖（即從上面看到的形狀圖），若一只螞蚊

從該托盤內(nèi)部底面的頂點(diǎn)人處,經(jīng)托盤隔斷爬行到內(nèi)部底面的頂點(diǎn)B處，則螞蟻爬行的最短距離為cm,

i型-I-一勾股定理的逆定理的應(yīng)用——面積問，

（1）尹林員操控一架無人機(jī)從A處沿直線匕行到C處進(jìn)行巡查，求無人機(jī)飛行路徑4C的長;

?定理的逆定理綜合拓展

（1）若一個三角形的三邊長分別是7,8,9,則該三角形是________三角形.

（2）若一個三角形的三邊長分別是5,12,x.旦這個三角形是直角三角形，求』的值.

【變式122］先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題:

第一組：1,62；第二組：拉，2,G

第三組：△，括，瓜;第四組：2,GM；

（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含〃的代數(shù)式表示第〃組的三個數(shù)：

（2）如果各組數(shù)的三個數(shù)分別是三角形的三邊長，那么這個三角形是什么三角形？請說明理由;

I

分層階悌訓(xùn)練?提能力

基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各組數(shù)據(jù)為勾股數(shù)的是（）

第2題第3題

A.7B.5C.13D.25

4.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

第4題第5題

A.6B.7C.8D.10

10

A.2B.3C.1D.

T

第8題

7.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

A.5B.6C.7D.8

9.如圖，一只蜘蛛在一塊長方體的一個頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個長方體上和蜘蛛相對的頂點(diǎn)8處，已知

長方體長6cm,寬5cm,高3cm.蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方體的表面從A點(diǎn)爬到8點(diǎn)，則蜘蛛爬行

的最短路程是（）cm.

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

11.直角二角形的兩邊長為3、4,則第二邊為.

12.能夠成為直角三角形三條邊長的正整數(shù)，稱為勾股數(shù).請你寫出三組勾股數(shù)：.

13.如圖，直線/上有三個正方形〃，b,c,若〃，〃的面積分別為7和22,則c的面積為.

第13題第14題

第15題第16題

第17題第18題

19.已知在燈塔。的北偏東50。方向9海里處有一輪船4,在燈塔。的南偏東40。方向12海里處有一輪船從

則A,3兩船的距離是海里.

三、解答題(本大題共5小題，共40分)

(2)求。E的長.

(2)求線段期的長.

⑴求這塊地的面積；

25.(本題8分)【問題提出】

(2)線段BC,DC,比之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出并說明理由：

【類比探究】

如圖2,若點(diǎn)。在8c邊的延長線上，其他條件不變，

(3)試探究線段8。，DC,OE之間滿足的數(shù)晟關(guān)系，并說明理由.

能力提升進(jìn)階練

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024?江蘇南京?三模）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（）

2.（2025?湖南?模擬預(yù)測）三個勾股數(shù)互質(zhì)時稱之為本原勾股數(shù)，按規(guī)律排列：3,4,5；5,12,13；7,

24,25；9,40,41...,則第〃組勾股數(shù)的第二個數(shù)為（）.

A.12B.10C.8D.6

第3題第4題

A.24B.18C.15D.9

5.（2425八年級上?河南鄭州?期末）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理.圖①中

兩個正方形的邊長分別為b,空白部分的面積為S-圖②中空白部分的面積為S2,下列等式成立的是

（）

A.36B.25C.16