第10章相交線平行線與平移

考試時間：120分鐘

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.平面內，過一點，有幾條直線和已知直線垂直？（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【分析】根據平面內，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，即可判斷.

【解答】解：平面內，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，

故選：B.

【點評】本題考查了垂線，直線、射線、線段，熟練掌握平面內，過一點有且只有一條直線和已

知直線垂直是解題的關鍵.

%

2.觀察下列圖案，可以通過平移得到的是（）

【分析】根據平移的性質，不改變圖形的形狀和大小，經過平移，對應點所連的線段平行且相等,

對應線段平行且相等.

【解答】解：通過圖案平移得到必須與題中已知圖案完全相同，角度也必須相同，

觀察圖形可知C可以通過題中已知圖案平移得到.

故選：C.

【點評】本題考查平移的基本性質是：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所

連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.

3.平面內三條直線的交點個數(shù)可能有（）

A.0個或1個或2個或3個B.1個或2個或3個

C.1個或2個D.1個或3個

【分析】根據三直線互相平行，可得交點個數(shù)；兩直線平行與第三條直線相交，可得交點個數(shù)；

三條直線相交于一點；三條直線兩兩相交，可得交點個數(shù).

【解答】解：①三直線互相平行，

交點個數(shù)為0；

②兩直線平行與第三條直線相交，

交點個數(shù)為2個；

③三條直線相交于一點，

交點個數(shù)為1個；

④三條直線兩兩相交，

交點個數(shù)為3個；

綜上所述，平面內三條直線的交點個數(shù)可能有。個或1個或2個或3個，

故選：A.

【點評】本題考查了直線、射線、線段，注意要分類討論，有4種可能，不要漏掉.

4.已知直線相〃“，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置(NA2C=30°),B點在

直線機上，若/1=25°,則/2的度數(shù)為()

A

【分析】作直線CE〃m,根據平行線的性質即可得到/BCE的度數(shù)，再根據角的和差即可得到

結論.

直線CE〃m〃n,

.\ZACE=Z2,NBCE=N1=25

VZABC=30°,

.\ZACB=60°,

AZACE+ZBCE=60°,

AZACE=35°,

.*.Z2=35°，

故選：c.

【點評】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

5.下列說法正確的有（）

①不相交的兩條直線是平行線；

②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；

③兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；

④在同一平面內，若直線a_L6,b_Lc,則直線a〃c.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據平行線的定義、平行線的性質、平行線的判定及平行公理求解判斷即可.

【解答】解：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線，

故①錯誤，不符合題意；

經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，

故②正確，符合題意；

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補，

故③錯誤，不符合題意；

在同一平面內，若直線a_Lb,b_Lc,則直線a〃c,

故④正確，符合題意；

綜上，符合題意的有2個，

故選：C.

【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵.

6.如圖所示，下列推理及括號中所注明的推理依據錯誤的是（）

A.VZ2=Z4,J.AD//BC（內錯角相等，兩直線平行）

B.'JAB//CD,.\Z4=Z3（兩直線平行，內錯角相等）

C....AOaBC（同位角相等，兩直線平行）

D.,：AD//BC,：.ZBAD+ZABC=1SO°（兩直線平行，同旁內角互補）

【分析】根據平行線的判定定理與性質定理求解判斷即可.

【解答】解：：N2=/4,

/.AD/7BC（內錯角相等，兩直線平行），

故A正確，不符合題意；

由AB〃CD,得不到N4=/3,

故B錯誤，符合題意；

VZDAM=ZCBM,

.-.AD//BC（同位角相等，兩直線平行），

故C正確，不符合題意；

VAD//BC,

.\ZBAD+ZABC=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

故D正確，不符合題意；

故選：B.

【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵.

7.如圖，AB//EF,ZC=90°,則a、依丫的關系為（）

A.a+P-Y=90°B.P=a+yC.a+P+Y=180°D.P+y-a=90°

【分析】首先構造輔助線，再利用三角形的外角的性質以及平行線的性質建立角之間的關系.

【解答】解：如圖，延長DC交AB于點G,延長CD交EF于點H.

在Rt^MGC中，/1=90。a

在△NHD中，Z2=6-Y,

VAB//EF,

；.N1=N2,

.?.90°-a=0-y,

即a+B-y=90°.

故選：A.

【點評】此題主要考查了三角形的外角的性質以及平行線的性質，解題的關鍵是是通過作輔助線,

構造了三角形以及由平行線構成的內錯角.

A.ZD+ZBAD=180°B.Z1=Z3

C.N2=/4D.ZB=Z5

【分析】根據平行線的判定定理同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角

互補，兩直線平行分別進行分析.

【解答】解：A、根據同旁內角互補，兩直線平行可判定AB〃CD,故此選項不合題意；

B、根據內錯角相等，兩直線平行可判定AD〃CB,故此選項符合題意；

C、根據內錯角相等，兩直線平行可判定AB〃CD,故此選項不合題意；

D、根據同位角相等，兩直線平行可判定AB〃CD,故此選項不合題意.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握平行線的判定定理.

9.如圖，已知/尸+/汽2=80°（其中添加一個以下條件：①/FEB+2NFGD=

80°；②180°；@ZF+ZFEA=180°；@ZFGC-ZF=100°.能證明

的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】過點F作CD的平行線FH,結合條件①可證AB〃CD；條件②得到EF〃CD；條件③得

到AF〃FG；條件④的結果得到恒等式.

【解答】解：①過點F作FH〃CD,貝U：ZHFG=ZFGD,

VZEFG=ZEFH+ZHFG,ZEFG+ZFGD=80°,

.?.ZEFH+2ZFGD=80°,

VZFEB+2ZFGD=80°,

.*.ZEFH=ZFEB,

AAB//CD,故①符合題意；

②；NF+/FGC=180°,

；.CD〃FE,故②不符合題意；

VZEFG+ZFEA=180°,

；.AB〃FG,故③不符合題意；

?VZFGC-ZEFG=100°,/EFG+NFGD=80°,

AZFGC-ZEFG+ZEFG+ZFGD=100°+80°,

.,.ZFGC+ZFGD=180°,故④不符合題意.

【點評】本題考查了平行線的判定定理，“內錯角相等，兩直線平行”和“同旁內角互補，兩直

線平行”，以及鄰補角的定義.本題的關鍵是通過作輔助線得到角相等，將已知條件進行轉化.

10.如圖，將RtaABC沿著點B至U點C的方向平移到△。跖的位置，己知AB=6,HD=2,CF=3,

則圖中陰影部分的面積為（）

E

A.12B.15C.18D.24

【分析】先判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，再根據平移變化只改變圖形的位置不改

變圖形的形狀可得DE=AB,然后求出HE,根據平移的距離求出BE=CF=3,然后利用梯形的

面積公式列式計算即可得解.

【解答】解：：AABC沿著點B到點C的方向平移到4DEF的位置，

.,.△ABC的面積=Z\DEF的面積，

/.陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，

由平移的性質得，DE=AB=6,BE=CF=3,

：AB=6,DH=2,

AHE=DE-DH=6-2=4,

_1

，陰影部分的面積=2義(4+6)X3=15.

故選：B.

【點評】本題考查了平移的性質，對應點連線的長度等于平移距離，平移變化只改變圖形的位置

不改變圖形的形狀，熟記各性質并判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積是解題的關鍵.

二.填空題(共4小題)

11.如圖，直線a,b被直線c所截，若a〃b,Zl=70°,則N2的度數(shù)是110°.

【分析】由已知條件a〃b,可得/l=N3=70°,由平角的性質可得N2+N3=180°代入計算即

可得出答案.

【解答】解：如圖，

：a〃b,

.,.Zl=Z3=70°,

VZ2+Z3=180°,

；./2=180°-N3=180°-70°=110°.

故答案為：no°.

1

-U_____b

[1

【點評】本題主要考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質進行求解是解決本題的關鍵.

12.如圖，直線。、6相交于點。，將量角器的中心與點。重合，表示138的點在直線b上，則N1

【分析】根據題意結合圖形，求出所求角度數(shù)即可.

【解答】解：根據題意得：Zl=138°-60°=78°,

故答案為：78°.

【點評】此題考查了對頂角、鄰補角，弄清各自的性質是解本題的關鍵.

13.如圖，NC=90°,ZCAB=30°,AD//BE,ZZ）AE=120°.給出以下結論：①N2=/EAB；

②CA平分ND48；③/l+N2=90°；?BC//AE.其中正確的結論有①③（寫出所有正確

結論的序號）.

【分析】先由NBAC=30°、ZC=90°得到NABC=60°,從而得到NABE+/2=120°,然后

由AD〃:BE、ZDAE=120°得到/AEB=60°,進而得到NABE+NEAB=120°,從而得到N2

=ZEAB；再結合/BAC=30°、ZDAE=120°得到NEAB+N1=90°,進而得到Nl+/2=

90°；由Nl+NEAB=90°得到Nl=90°-ZEAB,然后由NEAB的度數(shù)不固定得到N1不一

定等于30°,即/1=NBAC不一定成立，進而得到CA不一定平分/DAB；同理可知N2=60°

不一定成立.

【解答】解：???NBAC=30°,NC=90°,

???NABC=60°,

AZABE+Z2=180°-ZABC=180°-60°=120°,

VAD//BE,

???NAEB+NEAD=180°,

VZDAE=120°,

???NAEB=60°,

.,.ZABE+ZEAB=180°-ZAEB=180°-60°=120°,

??.N2=NEAB,故①正確，符合題意；

VZBAC=30°,ZDAE=120°,

AZEAB+Z1=9O°,

,?，NEAB=N2,

???N1+N2=9O°,故③正確，符合題意；

VZ1+ZEAB=9O°,

AZ1=90°-ZEAB,

AZI的大小隨NEAB的大小變化而變化，

VZEAB的度數(shù)不固定，

Zl=30°不一定成立，即N1=NBAC不一定成立，

???AC不一定平分NDAB,故②錯誤，不符合題意；

同理可知，Z2=60°不一定成立，

???BC〃AE不一定成立，故④錯誤，不符合題意.

故答案為：①③.

【點評】本題考查了平行線的性質、三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟知平行線的性質和三

角形的內角和定理.

14.如圖1,將一條兩邊互相平行的紙袋折疊.

(1)若圖中a=70°,則B=55°

(2)在圖1的基礎上繼續(xù)折疊，使得圖1中的CQ邊與C3邊重合(如圖2),若繼續(xù)沿C8邊折

疊，CE邊恰好平分NAC5,則此時P的度數(shù)為45度.

【分析】（1）根據兩直線平行，同位角相等，可知NOAD=a=70°,再利用折疊的性質可知8

=55°；

（2）根據折疊的性質可知，折疊兩次后形成的三個角與折疊后的NACE都相等，而這四個角的

和為180°,故每個角為45°,從而可知NACB=90°,再由（1）的思路可得B的值.

【解答】解：（1）根據上下邊互相平行可知，a=ZOAD,

a=70°,

ZOAD=70°.

又NOAD+2B=180°,

B=55°.

故答案為：55.

（2）根據折疊的性質可知，折疊兩次后形成的三個角都相等，

根據題意可知，折疊兩次后形成的三個角與折疊后的NACE都相等，而這四個角的和為180°,

故每個角為45°,

.".ZACB=90°,即a=90°,

玄x

由（1）中可得，B=2（180°-90°）=45°.

故答案為：45.

【點評】本題考查學生對平行線性質和折疊問題的掌握情況，根據實際情況對問題進行解答.學

生可以自主動手操作，通過實際操作可以較容易的對問題進行解答.

三.解答題（共9小題）

15.如圖，AD//BC,ZEAD=ZC,求證：AE//CD.

AA----------。

BEC

【分析】根據平行線的判定定理與性質定理求解即可.

【解答】證明：VAD^BC,

.?.ZD+ZC=180°,

VZEAD=ZC,

.?.ZEAD+ZD=180°,

；.AE〃CD.

【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記“兩直線平行，同旁內角互補”、“同旁內角互補,

兩直線平行”是解題的關鍵.

16.已知：如圖，AC//DF,直線AF分別與直線8。、CE相交于點G、H,Z1=Z2.

(1)說明：的理由；

(2)說明的理由.

【分析】(1)求出/2=NDGH,根據平行線的判定得出DB〃EC；

(2)根據平行線的性質得出/C=/DBA,ZD=ZDBA,即可得出答案.

【解答】解：(1)VZ1=Z2,Z1=ZDGF,

.*.Z2=ZDGF,

，DB〃CE；

(2)VDB/7CE,

NC=/DBA,

又：AC〃DF,

.\ZD=ZDBA,

.?.ZC=ZD.

【點評】本題考查了平行線的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵.

17.如圖，E在四邊形ABC。的邊CD的延長線上，連接BE交于尸，已知/A=/C,Z1+Z2

=180°,求證：AB//CD.

AB

EDC

【分析】根據“同旁內角互補，兩直線平行”得到AD〃BC,根據平行線的性質推出/A=N3,

即可判定AB/7CD.

【解答】證明：：/1+/2=180°,

；.AD〃BC,

AZ3=ZC,

VZA=ZC,

NA=Z3,

???AB〃CD.

【點評】此題考查了平行線的判定，熟記“同旁內角互補，兩直線平行”及“內錯角相等，兩直

線平行”是解題的關鍵.

18.如圖，直線AB、CD相交于點O,ZA0C=70°,射線OE把分成兩個角，且/BOE：

NEOD=3：4.

（1）求NEO。的度數(shù).

（2）過點。作射線OF_LOE,求N。。尸的度數(shù).

【分析】（1）設/BOE=3x,則/EOD=4x,根據對頂角相等可得NBOD=/AOC再由題意可

得3x+4x=70°,即可算出x的值，即可得出答案；

（2）根據題意可分為兩種情況，①當射線OF在射線OA,OD之間，由垂線的性質可得/FOE

=90°,根據（1）中結論，由/DOF=NFOE-NDOE即可得出答案；②當射線OF在射線OB,

OC之間，由垂線的性質可得/FOE=90°,根據（1）中結論，由/DOF=/FOE-/BOE即可

得出答案.

【解答】解：設NBOE=3x,貝iJ/EOD=4x,

VZAOC=70°,

???NBOD=NAOC=70°,

NBOD=ZBOE+ZDOE,

A3x+4x=70°,

.,.x=10°,

.?.ZEOD=4X10°=40°；

(2)如圖1,

VOFXOE,

.,.ZFOE=90°,

VZDOE=40°,

ZDOF=ZFOE-ZDOE=90°-40°=50°；

如圖2,

VOF±OE,

???NFOE=90°,

又???/￡0口=40°(已求)，

AZDOF=ZFOE+ZEOD=90°+40°=130°.

???NDOF的度數(shù)是50°或130°.

圖2

【點評】本題主要考查了垂線，對頂角，熟練應用垂線，對頂角的定義進行求解是解決本題的關

鍵.

19.已知：如圖，AD//BE,Z1=Z2,Z3=Z4.

（1）求證：AB//CD；

（2）若NB=/3=2/2,求/。的度數(shù).

【分析】（1）根據平行線的判定和性質即可解決問題.

（2）根據三角形內角和求解即可.

【解答】（1）證明：；AD〃BE（已知），

.?.N3=NCAD（兩直線平行，內錯角相等），

VZ3=Z4（已知），

/.Z4=ZCAD（等量代換），

VZ1=Z2（已知）,

Z1+ZCAE=Z2+ZCAE（等式的性質），

即NBAE=NCAD,

；.N4=NBAE（等量代換），

；.AB〃CD（同位角相等，兩直線平行）；

（2）解：VZB=Z3=2Z2,Z1=Z2,ZB+Z3+Z1=18O°,

...5/1=180°,

AZ1=36°,

；./2=36°,

；./3=72°,

VZ3=Z4,Z4=ZAFD,

ZAFD=72°,

.,.ND=180°-Z2-ZAFD=72°.

【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵.

20.已知：如圖，點C在NAOB的一邊。4上，過點C的直線CF^ZACD,CGLCF

于C.

（1）若NO=40°,則110。；

（2）求證：CG平分/OCD；

(3)當＞。=36°時,CD將/OCF分為1：2兩部分.

【分析】(1)根據平行線的性質，得到NACE=40。，根據平角的定義以及角平分線的定義，即

可得到/ACF=70°,進而得出NECF的度數(shù)；

(2)根據/DCG+NDCF=90°,NGCO+NFCA=90°,以及/ACF=NDCF,運用等角的余

角相等，即可得到NGCO=NGCD,即CG平分NOCD；

(3)當NO=36°時，根據平行線的性質，得出/DCO=/O=36°,再根據角平分線的定義，

即可得到NDCF=72°,據此可得2/DCO=/DCF.

【解答】(1)解:：DE〃OB,

.*.ZO=ZACE(兩直線平行，同位角相等)，

VZO=40°,

：.ZACE=40°,

VZACD+ZACE=180°(平角定義)，

；.NACD=14(r,

又：CF平分/ACD,

ZACF=70°(角平分線定義)，

AZECF=70°+40°=110°；

故答案為：110°；

(2)證明：VCG1CF,

.?.ZFCG=90°,

.?.ZDCG+ZDCF=90°,

又：/AOC=180°(平角定義)，

AZGCO+ZFCA=90",

VZACF=ZDCF,

.,.ZGCO=ZGCD(等角的余角相等)，

即CG平分/OCD.

(3)解：當/0=36°時，CD將NOCF分為1：2兩部分.

當NO=36°時，

VDE//OB,

.?.ZDCO=ZO=36°.

；.NACD=144°.

又：CF平分/ACD,

；.NDCF=72°,

.*.2ZDCO=ZDCF.

故答案為：36°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義，解題時注意：兩直線平行，同位角

相等，內錯角相等.

21.如圖，已知8C平分/ABO交于點E.

（1）證明：/1=/3；

（2）若于點。，ZC￡）A=34°,求/3的度數(shù).

【分析】（1）由角平分線的定義得到N1=N2,由AB〃CD可得N2=N3,根據等量代換可得N

1=Z3；

（2）由垂直的定義得出NADB=90°,可得NCDB=NCDA+NADB=124°,由平行線的性質

得出NABD=56°,根據角平分線的定義即可得解.

【解答】（1）證明：TBC平分NABD,

???N1=N2,

VAB/7CD,

???N2=N3,

.?.Z1=Z3；

(2)解：VADXBD,

.?.ZADB=90°,

VZCDA=34°,

Z.ZCDB=ZCDA+ZADB=34°+90°=124°,

VAB/7CD,

.?.ZABD+ZCDB=180°,

.\ZABD=180°-124°=56°,

：BC平分NABD,

22

.\Z1=Z2=2ZABD=2X56°=28°,

VZ1=Z3,

.?.Z3=28°.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，熟記“兩直線平行，內錯角相等”及“兩直線平行，同

旁內角互補”是解題的關鍵.

22.如圖，將直角三角形ABC向右平移3的，得到直角三角形。ERAE^Scm.

(1)求8。的長；

(2)與NF相等的角有哪幾個？

(3)若BG=2an,求三角形BOG的面積.

【分析】(1)根據平移的性質即可求BD的長；

(2)根據平移的性質可得與NF相等的角有3個；

(3)根據BD=BG=2cm,即可求三角形BDG的面積.

【解答】解：(1)