必刷小題16圓錐曲線分值：73分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.橢圓C：x280+y235=1A.5 B.25 C.26 D.362.已知雙曲線x2a2y2=1(a>0)的離心率e<3，則a的取值范圍是A.(0，1) B.0C.(1，+∞) D.23.(2024·保定模擬)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的離心率為方程2x25x+2=0A.33 B.23 C.24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積為12，則點(diǎn)P的軌跡方程為(A.x2+2y2=3B.x2+2y2=3(x≠±1)C.x22y2=3(x≠±1)D.2x2+y2=3(x≠±1)5.(2024·湛江模擬)已知點(diǎn)M為雙曲線C：x24y25=1的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，則|MF1|+|F1F2||MF2|A.2 B.4 C.6 D.86.已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，該拋物線C與直線l：y=kx+1相交于M，N兩點(diǎn)，則|MF|+3|NF|的最小值為()A.2+23 B.2+43C.4+23 D.4+437.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x24+y2b2=1(0<b<2)，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為12的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若kOM·kON=4A.105 B.2105 C.8.已知A，B是圓C：x2+y28x2y+16=0上兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線x2=2y上，當(dāng)∠APB取得最大值時(shí)，|AB|等于()A.455 B.355二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線C與拋物線y2=4x關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列說法正確的是()A.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1，0)B.拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=1D.拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為410.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓CA.△PF1F2的周長(zhǎng)為10B.△PF1F2面積的最大值為25C.|PF1|的最小值為1D.橢圓C的離心率為211.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì).雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2處發(fā)出的光線，在點(diǎn)P處經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)F1，且雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分∠F1PF2.如圖，對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線C過點(diǎn)(3，1)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若從F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)P反射的光線為PQ，點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)T，則下列說法正確的是()A.雙曲線C的方程為x2y2=8B.過點(diǎn)P且垂直于PT的直線平分∠F2PQC.若PF2⊥PQ，則|PF1|·|PF2|=18D.若∠F1PF2=60°，則|PT|=4三、填空題(每小題5分，共15分)12.(2024·北京海淀區(qū)質(zhì)檢)拋物線y2=4x上與焦點(diǎn)距離等于3的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.13.(2025·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的兩條漸近線的傾斜角分別為α，β，若α=514.已知點(diǎn)F為橢圓C：x24+y22=1的左焦點(diǎn)，垂直于x軸的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，直線PF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M(異于點(diǎn)Q)，直線QM恒過定點(diǎn)B答案精析1.B2.D3.D[因?yàn)榉匠?x25x+2=0的解為x=12或x=2且雙曲線的離心率大于1，所以e=2，由e2=1+ba2=4，解得ba=4.B[設(shè)P(x，y)，∵A(1，1)，B(1，1)，∴kAP=y-1x-1(x≠1)，kBP=y+1x+1(x≠1)，由得y-1x-1·y+1x+1=1即x2+2y2=3(x≠±1)，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+2y2=3(x≠±1).]5.A[由于M為雙曲線C：x24y25=1的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2所以|MF2||MF1|=2a，故|MF1|+|F1F2||MF2|=2c2a，由于a=2，b=5，c=a2所以|MF1|+|F1F2||MF2|=2c2a=64=2.]6.C[根據(jù)題意可得直線l過該拋物線的焦點(diǎn)F，所以1|MF|+1|NF|=2所以|MF|+3|NF|=(|MF|+3|NF|)1=4+3|NF||MF|+|MF||NF|當(dāng)且僅當(dāng)|MF|=3|NF|=3+1時(shí)取等號(hào).]7.B[由直線過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為12，得直線MN的方程為x=2y+c(其中c=4-設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0且x2≠0，聯(lián)立x整理得4(b2+1)y2+4b2cyb4=0，則y1+y2=b2cb2+1，所以kOM·kON=y1y=y1y=b416可得25b480b2+64=0，解得b=21058.A[依題意可得，當(dāng)PA，PB是圓C的切線時(shí)，∠APB取得最大值，即A，B是圓C的切點(diǎn)，設(shè)∠APB=2α，Px∵圓C：x2+y28x2y+16=0，∴圓心C(4，1)，半徑為1，從而sinα=1∵|PC|2=(x0=x0448x令f(x)=x448x則f'(x)=x38，∴當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，即函數(shù)f(x)在(∞，2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，即函數(shù)f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(2)=5，即|PC|min=5∴(sinα)max=55，此時(shí)∠APB∴|AB|=2|AC|cosα=2cosα=4559.AC[因?yàn)閽佄锞€C與拋物線y2=4x關(guān)于y軸對(duì)稱，所以拋物線C的方程為y2=4x，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1，0)，準(zhǔn)線方程為x=1，故A，C正確；拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，故D錯(cuò)誤.]10.AD[由題意可知a=3，b=5，c=a2-b2=2，則|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=4，△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2面積取到最大值為12|F1F2|×b=25，故|PF1|的最小值為ac=1，此時(shí)P為長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，但本題取不到長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，故|PF1|沒有最小值，故C錯(cuò)誤；橢圓C的離心率為e=ca=23，故D11.ABD[對(duì)于A，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為x2a2y2a2=1(a>0)，所以9a21a2=1，解得a2=8，對(duì)于B，如圖，由題知∠F1PT=∠F2PT，∠F1PT=∠MPQ，所以∠MPQ=∠F2PT，若HP⊥TM，所以∠F2PH=∠QPH，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)镻F2⊥PQ，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2=90°，所以S△PF1F2=8tan45°=8=12|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·對(duì)于D，因?yàn)椤螰1PF2=60°，令|PF1|=m>0，|PF2|=n>0，由12mnsin60°=8tan30°，得由mn=42得m22mn+n2=32，所以m2+n2=96，從而有(m+n)2=160，得到m+n=410由12m·|PT|sin30°+12n·|PT|sin得到12(m+n)|PT|sin30°=從而有12(m+n)|PT|sin30°=8解得|PT|=4305，故D12.2解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x=1，設(shè)拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F(1，0)的距離為3，則|PF|=x0+p2=x0+1=3所以x0=2.13.2解析根據(jù)雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0則α+β=π，又α=5β，所以β=π所以ba=tanβ=33，故離心率e=1+14.(22，解析由題意可知直線PF的斜率存在，設(shè)直線PF的方程為y=k(x+2)，設(shè)P(x1，y1)，M(x2，y2)，則Q(x1，y