§4.4簡(jiǎn)單的三角恒等變換分值：100分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·大連模擬)設(shè)θ∈0，π2，若cosθ=35，則sin2θA.15 B.45 C.122.3-sin160°1+sin235°A.2 B.2C.C.1 D.13.化簡(jiǎn)2cos2α-1A.1 B.1 C.cosα D.sinα4.(2024·齊齊哈爾模擬)已知cosα+π6=14，則sin2A.78 B.78 C.75.(2024·福州模擬)若θ∈π2，π，tan2θ=3cosθ2-sinθ，則A.12 B.32 C.36.已知π4<θ<π3，若a=tanθtan2θ+1，b=1212cos2θ，c=1cosθcosA.c>a>b B.b>c>aC.c>b>a D.b>a>c二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2025·中山模擬)下列選項(xiàng)中，與sin-11π6的值相等的是(A.2sin15°cos15°B.cos18°cos42°sin18°sin42°C.2cos215°1D.tan22.5°8.已知函數(shù)f(x)=sin2x+π4，若a=f(lg5)，b=flg15A.a+b=0 B.ab=0C.a+b=1 D.ab=sin(2lg5)三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知sinα-π4=23，則sin210.已知α，β均為銳角，cosα=277，sinβ=3314，則cos2α=，2α四、解答題(共28分)11.(13分)化簡(jiǎn)：(1)1tanα2-tanα(2)2cos4x-2cos12.(15分)某城市一扇形空地的平面圖如圖所示，為了方便市民休閑健身，政府計(jì)劃在該扇形空地建設(shè)公園.經(jīng)過(guò)測(cè)量，扇形空地的半徑為600m，∠AOB=120°.在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地CDEF設(shè)計(jì)成林蔭跑步區(qū)，且OC=OD.(1)求扇形空地的面積；(4分)(2)求矩形場(chǎng)地CDEF的最大面積.(11分)每小題5分，共20分13.(2025·湖北名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos2x+cos3x，x∈(0，π)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，則()A.2π5∈{x1，x2} B.x2=2xC.cosx1+cosx2=12 D.cosx1cosx2=14.在△ABC中，若sin2Ccos2B+12sin2Csin2B=0，且cos2C+cosC=0，則△ABC是(A.直角非等腰三角形B.等腰非等邊三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形15.(2025·莆田模擬)中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗，為中華人民共和國(guó)的象征和標(biāo)志.每個(gè)五角星的一個(gè)內(nèi)角都是36°，利用三倍角公式等恒等變換可以求得cos36°的值.先利用sin3α=sin(2α+α)可求得sin3α=(用單角α的正弦值表示)；再求得cos36°=.

16.已知關(guān)于x的方程2sin2x3sin2x+m1=0在π2，π上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m答案精析1.D2.B3.A4.B[∵cosα+π可得sin2=cosπ=cos2α+π3=12×116=785.B[因?yàn)閠an2θ=sin2θcos2θ=2sinθcos所以4sinθ2sin2θ=36sin2θ，即4sin2θ+4sinθ3=0，解得sinθ=12或sinθ=32(舍去又因?yàn)棣取师兴詂osθ=1-sin2θ=6.C[a=tanθtan2θ+1=sinθb=12(1cos2θ)=sin2θc=1cosθcosθ=sin2θcosθ又π4<θ<π3，則sin且tanθ>1>sinθ>22>cosθ>所以c=sinθtanθ>b=sin2θ>a=sinθcosθ.]7.ABD[根據(jù)題意，可得sin-11π6=sinπ6=1因?yàn)?sin15°cos15°=sin30°=12，故因?yàn)閏os18°cos42°sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=12，故因?yàn)?cos215°1=cos30°=32，故因?yàn)?tan22.5°1-tan222.5°=tan45°=1，所以tan22.5°1-tan28.CD[由題意可得f(x)=sin2x=1-cos2x+因?yàn)閍=f(lg5)，b=f

lg15=f(lg5所以a+b=1+sin(2lg5)2+1-sin(2lg5)2ab=1+sin(2lg5)2=sin(2lg5).]9.5解析sinα=sinπ4-所以sinπ4-所以sin2α=cosπ=cos2π4-α=1=12×-23210.17解析因?yàn)閏osα=2所以cos2α=2cos2α1=17又因?yàn)棣?，β均為銳角，sinβ=3所以sinα=217，cosβ因此sin2α=2sinαcosα=4所以sin(2αβ)=sin2αcosβcos2αsinβ=437×131417×因?yàn)棣翞殇J角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<π又β為銳角，所以π2<2αβ<又sin(2αβ)=32，所以2αβ=11.解(1)原式=cos=cos2=2cosαsinα·cos(2)原式=1=(2co=co=cos22x2cos2x12.解(1)扇形空地面積S=12×6002×2π3=π(m2(2)如圖，記AB的中點(diǎn)為G，連接OG，分別與EF，CD交于點(diǎn)M，N，連接OF，設(shè)∠FOG=α，則EF=2OFsinα，CF=MN=OMON=OMCN=OFcosαOFsin所以矩形面積S1=EF·CF=2OFsinα·OF=6002×2sin=6002×2sin=sin2α+所以當(dāng)α=30°時(shí)，矩形場(chǎng)地CDEF的面積取得最大值，且最大值為m32.13.C[A，B選項(xiàng)，令f(x)=0得cos2x=cos3x，故cos2x=cos(π3x)或cos2x=cos(π+3x)，所以2x=π3x+2k1π，k1∈Z或2x=π+3x+2k2π，k2∈Z，解得x=π5+2k1π5，k1∈Z或x=π2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故當(dāng)k1=0，1時(shí)，解得x1=π5，C選項(xiàng)，cosx1+cosx2=cos

π5+cos

3π5=2cos

π5cos

=2sin

2π5cos

2π52sinD選項(xiàng)，因?yàn)閏os

π5>0，cos

3π5<0，所以cosx1cosx2=cos

π5cos

3π5<014.D[因?yàn)閏os2C+cosC=0，所以2cos2C+cosC1=0，C∈(0，π)，cosC∈(1，1)，解得cosC=12所以C=π3又因?yàn)閟in2Ccos2B+12sin2Csin2B=0所以34cos2B+34sin2B化為sin2B+因?yàn)锽∈0，2π3，所以2B+解得B=π3，所以A=πBC=π所以△ABC是等邊三角形.]15.3sinα4sin3α5解析sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(12sin2α)sinα=2sinα(1sin2α)+(12sin2α)sinα=3sinα4sin3α，因?yàn)閟in72°=sin108°，從而2sin36°cos36°=3sin36°4sin336°，即2cos36°=34sin236°=34(1cos236°)，令cos36°=x>0，則4x22x1=0，解得x=5+14或x=-5+116.(2，1)解析方程2sin2x3sin2x