專題21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2025.浙江九年級期中）如圖，在中，AD為中線，過點C任作一直線交AB于點F，交AD于點E，求證：．例2.（2025.重慶九年級月考）如圖，在中，，．AM為BC邊上的中線，于點D，CD的延長線交AB于點E．求．例3.（2025.湖北九年級期中）如圖，點D、E分別在的邊AC、AB上，，，BD與CE交于點F，．求．例4.（2025.江蘇九年級月考）已知AD是的高，點D在線段BC上，且，，作于點E，于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G，求CG．例5.（2025.廣東九年級專項訓(xùn)練）如圖，在中，的外角平分線與邊BC的延長線交于點P，的平分線與邊CA交于點Q，的平分線與邊AB交于點R，求證：P、Q、R三點共線．例6．（2025上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點作，交的延長線于點，則有，，∴，．請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點，證明：．請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點為的中點，點在上，且與交于點，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．例7．（2025.山東九年級月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．例8.（2025.浙江九年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。例9.（2025.北京九年級月考如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例10．（2025·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．數(shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．課后專項訓(xùn)練1．（2025.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．2.（2025.浙江九年級期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．3．（廣東2025-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點，與交于點F，則的長為．

4．（2025年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點，連接并延長，與邊相交于點．當點為的中點時，的長為．

5．（2025年山西省太原市九年級下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點，的切線交的延長線于點D，E為的中點，交的延長線于點F．若，，則的長為．6．（2025年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，，的平分線分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．則線段OE的長為．7．（2025下·浙江溫州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為5，D在BC延長線上，CD＝3，點E在線段AD上，且AE＝AB，連接BE交AC于F，則CF的長為．8．（2025·重慶·八年級期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點，且,．連接,交于點,連接并延長交于點．則四邊形的面積為．9.（2025.湖北.九年級月考）如圖所示，被通過它的三個頂點與三角形內(nèi)一點O的三條直線分為6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，則的面積為．10．（2025上·河南洛陽·九年級期末）小明在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個題，請你解答．已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC．取AB的中點F，連結(jié)FD交AC于點E．(1)求的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝AE，求AC的長．11．（2025·江西景德鎮(zhèn)·九年級?？计谀┤鐖D，三邊，，的延長線分別交直線于，，三點，證明：．（即證明梅涅勞斯定理的其中一種形式）12．（2025上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有．任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在中，，，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則________．13．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于點F，連接BE并延長，交AC于點G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．14．（重慶2025-2025學(xué)年八年級月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，延長BC至點E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥AD于點F，再延長EF交AB于點M．（1）若D為BC的中點，AB＝4，求AD的長；（2）求證：BM＝CD．15．（2025年湖北省襄陽市襄州區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點，的切線交的延長線于點D，E為的中點，連接并延長，交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．

專題21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2025.浙江九年級期中）如圖，在中，AD為中線，過點C任作一直線交AB于點F，交AD于點E，求證：．【解析】∵直線是的梅氏線，∴．而，∴，即．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點，在于找梅氏線．例2.（2025.重慶九年級月考）如圖，在中，，．AM為BC邊上的中線，于點D，CD的延長線交AB于點E．求．【解析】∵HFC是的梅氏線，由題設(shè)，在中，，，由射影定理．對和截線EDC，由梅涅勞斯定理，，即．∴．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點，在于找梅氏線．例3.（2025.湖北九年級期中）如圖，點D、E分別在的邊AC、AB上，，，BD與CE交于點F，．求．【解析】對和截線，由梅氏定理得：，即，∴．∴．∴．【點睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．例4.（2025.江蘇九年級月考）已知AD是的高，點D在線段BC上，且，，作于點E，于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G，求CG．【解析】如圖，設(shè)，EFG是的梅氏線．則由梅涅勞斯定理．顯然的，，于是，得．【點睛】這道題主要考查梅內(nèi)勞斯定理和射影模型的綜合．例5.（2025.廣東九年級專項訓(xùn)練）如圖，在中，的外角平分線與邊BC的延長線交于點P，的平分線與邊CA交于點Q，的平分線與邊AB交于點R，求證：P、Q、R三點共線．【解析】AP是的外角平分線，則 ①BQ是的平分線，則 ②CR是的平分線，則 ③得，因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延長線上，則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得：P、Q、R三點共線．【點睛】這道題主要考查梅氏定理和角平分線定理的綜合應(yīng)用．例6．（2025上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點作，交的延長線于點，則有，，∴，．請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點，證明：．請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點為的中點，點在上，且與交于點，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）【分析】(1)過點作交于點，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例，化簡計算即可．(2)根據(jù)定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(3)根據(jù)定理，計算比值，后解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點作交于點，則．故：．

（2）解：如圖，根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又，∴，．在等邊中，，點為的中點，．由勾股定理知：．（3）解：線段是的梅氏線，由梅涅勞斯定理得，，即，則．如圖，連接，，于是．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．例7．（2025.山東九年級月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．例8.（2025.浙江九年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH?！驹斀狻孔C明：過點A作PQ//BC，與DF，DE的延長線分別交于點P、Q，則DA⊥PQ。對△ABC和點H應(yīng)用賽瓦定理可得：．∵PQ//BC，∴,∴,∴AP=AQ根據(jù)垂直平分線，∴PD=QD，∴△PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例9.（2025.北京九年級月考如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.對△DKL和點B應(yīng)用賽瓦定理可得：．①對和截線，由梅氏定理得：②由①②得：點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例10．（2025·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．數(shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．【答案】(1)證明見解析(2)；的面積為【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過點F作FG⊥BC于G，證明，可求出OD，從而求出△BOC的面積，然后根據(jù)可求△BCF的面積，從而得解．【詳解】（1）證明：在中，∵點D，E分別為邊BC，AC的中點，∴，．由賽瓦定理可得：．∴，∴．即點F為AB的中點；（2）解：∵為等邊三角形，，∴∵點D是BC邊的中點，∴，∵，∴．由賽瓦定理可得：；過點F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學(xué)會運用塞瓦定理是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2025.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：法1：對和截線，由梅氏定理得：，∵M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，∴，∴，∴，∴，故選B.法2：如圖，過C點作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中點，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2.（2025.浙江九年級期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設(shè)S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．3．（廣東2025-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點，與交于點F，則的長為．

【答案】【分析】過點F作于H，根據(jù)勾股定理求得的值，根據(jù)三角形的面積求得的值，根據(jù)勾股定理求得的值，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，設(shè)，，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得k的值，即可求得和的值，根據(jù)勾股定理求得的值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點F作于H．

在中，，，則，∵，∴，即解得：，在中，，，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2025年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點，連接并延長，與邊相交于點．當點為的中點時，的長為．

【答案】/【分析】則E為的中點，得為的中點，證明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根據(jù)相似比即可求解．【詳解】解：∵由平移的性質(zhì)得，，∴E為的中點，，∴，∴為的中點，∵D是邊上的中點，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．5．（2025年山西省太原市九年級下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點，的切線交的延長線于點D，E為的中點，交的延長線于點F．若，，則的長為．【答案】/【分析】連接OC，BC，根據(jù)為的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E為的中點，可得CE=BE=DE，從而得到∠BCE=∠CBE，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根據(jù)，可得△OBC是等邊三角形，進而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OC，BC，∵為的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E為的中點，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵是的切線，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵，∴，∴，故答案為：【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2025年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，，的平分線分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．則線段OE的長為．【答案】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)求出BD，再由勾股定理分別求出AO，AD，再由角平分線與平行線的性質(zhì)得到∠CDF=∠CFD，最后由△ADE∽△CFE得，從而求出OE的長．【詳解】解：∵□ABCD，OB=2，AB=3，∴BD=2OB=4，ADBC，AD=BC，CD=AB=3，∵，∴∠ABO=90°，∴，，∴BC=AD=5，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF，∵ADBC，∴∠ADF=∠CFD，∴∠CDF=∠CFD，∴CF=CD=3，∵ADBC，∴△ADE∽△CFE，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，難度適中，解題關(guān)鍵是正確找出相似三角形．7．（2025下·浙江溫州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為5，D在BC延長線上，CD＝3，點E在線段AD上，且AE＝AB，連接BE交AC于F，則CF的長為．【答案】1【分析】過點A作AG⊥BD于點G，過點E作EH∥AC，交BD于點H，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出BG的長，利用勾股定理求出AG的長，從而可得到DG的長，再利用勾股定理求出AD的長，由此可求出DE的長；再利用平行線分線段成比例定理求出EH，DH的長，再利用平行線分線段成比例定理求出CF的長．【詳解】解：過點A作AG⊥BD于點G，過點E作EH∥AC，交BD于點H，∵△ABC是等邊三角形，∴∵DC＝3∴DG＝CG＋DC＝2.5＋3＝5.5在Rt△AGD中，；∴DE＝7－5＝2∵EH∥AC，∴即解之：∵CF∥EH，∴即解之：CF＝1故答案為：1．【點睛】本題考查了勾股定理，平行線分線段成比例，掌握勾股定理求出線段長度，運用好平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．8．（2025·重慶·八年級期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點，且,．連接,交于點,連接并延長交于點．則四邊形的面積為．【答案】.【分析】先畫出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面積即可．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，設(shè)JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，∵AE=2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，∵BE=AB，∴S△BEC=S△ABC=，∵EG=EC，∴S△BEF=S△BEC=,S△BFC=，∵BH=BC，∴S△BHF=×=，∴S四邊形BEFH=+=．【點睛】本題考查三角形的全等及輔助線的做法,關(guān)鍵在于通過輔助線將面積分成兩個三角形面積求證．9.（2025.湖北.九年級月考）如圖所示，被通過它的三個頂點與三角形內(nèi)一點O的三條直線分為6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，則的面積為．【解析】有題意知：，對和截線，由梅氏定理得：，即，∴，∴∴【點睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．10．（2025上·河南洛陽·九年級期末）小明在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個題，請你解答．已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC．取AB的中點F，連結(jié)FD交AC于點E．(1)求的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝AE，求AC的長．【答案】(1)(2)AC的長為a．【分析】（1）過點F作FM∥AC，交BC于點M．根據(jù)平行線分線段成比例定理分別找到AE，CE與FM之間的關(guān)系，得到它們的比值；（2）結(jié)合（1）中的線段之間的關(guān)系，進行求解．【詳解】（1）解：過點F作FM∥AC，交BC于點M，∵F為AB的中點，∴M為BC的中點，F(xiàn)M=AC．∵CD=BC，∴CM=CD，∴，∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴．∴．∴；（2）解：∵點F是AB的中點，AB=a，∴FB=AB=a．∵FB=AE，∴AE=a．由（1）知，，∴AC=AE=×a=a，即AC的長為a．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出平行線構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2025·江西景德鎮(zhèn)·九年級?？计谀┤鐖D，三邊，，的延長線分別交直線于，，三點，證明：．（即證明梅涅勞斯定理的其中一種形式）【答案】見解析【分析】連接CY、AX，設(shè)A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2，再根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)，分別列出、、，再計算即可.【詳解】證明：如圖，連接CY、AX設(shè)A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2∴∴【點睛】本題考查了三角形的面積計算，作出輔助線，通過面積寫出線段比是解題關(guān)鍵.12．（2025上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有．任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在中，，，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則________．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）由題意可得，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可進行求證；（2）由（1）可得，進而由題意易得，，然后可得，則由勾股定理可得，最后問題可求解．【詳解】解：（1）補充的證明過程如下：，，；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得，∵點D為BC的中點，，，，，∵，，∴AD⊥BC，BD=5，∴在中，，．故答案為6．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于點F，連接BE并延長，交AC于點G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．任務(wù)二：證明見解析；任務(wù)三：．【分析】任務(wù)一：可直接通過“8”字型相似得出答案；任務(wù)二：通過相似之間的對應(yīng)邊比例轉(zhuǎn)換得出結(jié)論；任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二得出1，可得出的值，再由△ECG和△EAG為同高，故面積比就等于底邊CG和GA之比．【詳解】（1）解：任務(wù)一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；任務(wù)二：證明：如圖所示：由任務(wù)一可得