初三數(shù)學中難題綜合復習一1．（江蘇蘇州·二模）用一段長為20m的籬笆圍成一個矩形菜園，設菜園的對角線長為xm，面積為ym2，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）A．B．C．D．2．（江蘇淮安·二模）電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關密不可分的動人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達10億元．若把增長率記作x，則方程可以列為（

）A．B．C． D．3．（徐州·模擬預測）已知，是關于的方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．，4．（江蘇常州·二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，2），B（﹣2，3）兩點，且不經(jīng)過第一象限，設l＝a+b﹣c，則l的取值范圍是_______．5．（江蘇揚州·一模）n是自然數(shù)，我們稱n的非0數(shù)字的乘積為n的“指標數(shù)”，如1的指標數(shù)是1，27的指標數(shù)是14，40的指標數(shù)為4，則1～99這九十九個自然數(shù)的指標數(shù)的和是______．6．（江蘇·南師附中新城初中二模）如圖，為軸負半軸上一點，、是函數(shù)的圖像上的兩個動點，且．若的最小值為10，則點的坐標為______．7．（江蘇淮安·中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）8．（江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．9．（江蘇無錫·中考真題）如圖，已知銳角中，．（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，的半徑為5，則________．（如需畫草圖，請使用圖2）10．（江蘇南通·中考真題）A，B兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品．暑假期間兩家超市都進行促銷活動，促銷方式如下：A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；B超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折．例如，一次購物的商品原價為500元，去A超市的購物金額為：（元）；去B超市的購物金額為：（元）．（1）設商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關于x的函數(shù)解析式；（2）促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請說明理由．11．（江蘇鹽城·二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0）．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接PC．當∠PCB＝∠ACB時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在對稱軸上是否存在一點Q，連接PQ，將線段PQ繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點P恰好落在拋物線上？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．（江蘇徐州·二模）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠AOB＝60°，AB＝2，將一張和△ABC一樣大的紙片和△ABC重疊放置，點E是邊BC上一點（不含點B、C），將△OCE沿著OE翻折，點C落在點P處．(1)直接寫出∠OBC、∠OCB的數(shù)量關系是．(2)連接DE，設△OPE的面積為S1，△ODE的面積為S2，在點E取邊BC上每一點（除點B、C）的過程中，S1+S2的值是否變化？如果變化，請求出它的取值范圍；如果不變，請求出S1+S2的值；(3)分別連接PD、PC，當點P與點B重合時，易知PO?PC＝PE?PD，當點P不與點B重合時，PO?PC＝PE?PD是否成立？請在圖3、圖4中選一種情況進行證明．初三數(shù)學中難題綜合復習一解析1．（江蘇蘇州·二模）用一段長為20m的籬笆圍成一個矩形菜園，設菜園的對角線長為xm，面積為ym2，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】設矩形的長為am，寬為bm，可得a+b＝10（m），由菜園的對角線長為xm，根據(jù)勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立條件與兩數(shù)差平方非負性可得，由公式配方可得即可．【詳解】解：設矩形的長為am，寬為bm，根據(jù)題意，得a+b＝20÷2＝10（m），∵菜園的對角線長為xm，∴a2+b2＝x2，∵x，，∴x2=a2+b2≥,僅當取等號，∴x2≥2×5×5，∴x≥，，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴102＝x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x＝時，y＝25，∴y與x函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開口方向向下的拋物線．故選：B．【點睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積，掌握列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積是解題關鍵．2．（江蘇淮安·二模）電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關密不可分的動人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達10億元．若把增長率記作x，則方程可以列為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)增長率為x，得出第二天為3（1+x），第三天為3（1+x）2，根據(jù)三天累計為10，即可得出關于x的一元二次方程．【詳解】解：設平均每天票房的增長率為x，根據(jù)題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．3．（江蘇徐州·模擬預測）已知，是關于的方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，，再逐個判斷即可．【詳解】解：，是關于的方程的兩個實數(shù)根，，，＞0，∴不論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，即，故A選項符合題意；∵不論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，且，∴不一定大于0，故B選項不符合題意；∵＜0，∴，，故C，D選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，能熟練記住根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.4．（江蘇常州·二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，2），B（﹣2，3）兩點，且不經(jīng)過第一象限，設l＝a+b﹣c，則l的取值范圍是_______．【答案】l≤﹣3【解析】【分析】將A、B兩點的坐標代入得出關于a、b、c的方程組，將a看作常數(shù)解此方程組得，將其代入得l=a+b-c=2a-2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知a＜0、c=2a+1≤0，據(jù)此得出a的范圍，繼而可得l的范圍，即可得出答案．【詳解】由題意，得，解得，則l＝a+b﹣c＝a+（3a﹣1）﹣（2a+1）＝2a﹣2，由拋物線過點A（﹣1，2），B（﹣2，3）兩點，且不經(jīng)過第一象限知a＜0，c＝2a+1≤0，解得a≤，∴l(xiāng)＝2a﹣2≤﹣3，故答案為：l≤﹣3．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．5．（江蘇揚州·一模）n是自然數(shù)，我們稱n的非0數(shù)字的乘積為n的“指標數(shù)”，如1的指標數(shù)是1，27的指標數(shù)是14，40的指標數(shù)為4，則1～99這九十九個自然數(shù)的指標數(shù)的和是______．【答案】2115【解析】【分析】先分別求出1～9的指標數(shù)之和，10～19的指標數(shù)之和，20～29的指標數(shù)之和，…，90～99的指標數(shù)之和，再將它們相加即可．【詳解】解：1～9的指標數(shù)之和為；10～19的指標數(shù)之和為；20～29的指標數(shù)之和為；30～39的指標數(shù)之和為；40～49的指標數(shù)之和為；50～59的指標數(shù)之和為；60～69的指標數(shù)之和為；70～79的指標數(shù)之和為；80～89的指標數(shù)之和為；90～99的指標數(shù)之和為．所以1～99的指標數(shù)之和為．故答案為：2115．【點睛】本題考查了自然數(shù)的“指標數(shù)”，注意分類思想及整體思想，有一定的難度．6．（江蘇·南師附中新城初中二模）如圖，為軸負半軸上一點，、是函數(shù)的圖像上的兩個動點，且．若的最小值為10，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】取MN的中點為B，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：AB最小值，由AB⊥MN時，AB最小，再通過即可求出AC的長，從而得出A點的坐標．【詳解】假設中點為點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得∵∴（即定點A到直線上動點的最短距離為5）∵的圖象與x、y軸交于C、D兩點，∴C(0，3)，D(4，0)，根據(jù)垂線段最短可得，直線時，如圖所示在中，由勾股定理得：中，中，∴，∴∵點A在軸的負半軸∵∴∴點A的縱坐標為．故答案為：【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標，以及垂線段最短和三角函數(shù)等知識，得出垂線段AB長是解決問題的關鍵．7．（江蘇淮安·中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】68.5m【分析】過A作AE⊥CD，垂足為E．分別在Rt△AEC和Rt△AED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長，然后相加即可．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥CD，垂足為E．則AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．答：鐵塔CD的高度約為68.5m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關鍵．8．（江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【分析】（1）連接DO，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由∠BDC＝90°，E為BC的中點得到DE＝CE＝BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切；（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解:（1）證明：連接DO，如圖，∵∠BDC＝90°，E為BC的中點，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE與⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝5，∴BD＝＝＝4，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴⊙O直徑的長為．【點睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．9．（江蘇無錫·中考真題）如圖，已知銳角中，．（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，的半徑為5，則________．（如需畫草圖，請使用圖2）【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作的平分線，作出AC的中垂線交CD于點O，再以點O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，進而即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）連接OA，∵，的平分線，∴AD=BD=，CD⊥AB，∵的半徑為5，∴OD=，∴CD=CO+OD=5+=，∴BC=，∴．故答案是：．【點睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關鍵．10．（江蘇南通·中考真題）A，B兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品．暑假期間兩家超市都進行促銷活動，促銷方式如下：A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；B超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折．例如，一次購物的商品原價為500元，去A超市的購物金額為：（元）；去B超市的購物金額為：（元）．（1）設商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關于x的函數(shù)解析式；（2）促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請說明理由．【答案】（1）A商場y關于x的函數(shù)解析式：；B商場y關于x的函數(shù)解析式：；（2）當時，去B超市更省錢；當時，去A、B超市一樣省錢；當時，去A超市更省錢．【解析】【分析】（1）利用促銷方式，分別寫出A、B兩商場促銷活動的情況，注意需要寫出分段函數(shù);（2）小剛一次購物的商品原價超過200元,則可以確定B的函數(shù)解析式，再分段求出A函數(shù)的解析式，比較兩函數(shù)值即可，注意分段討論．【詳解】解：（1）A商場y關于x的函數(shù)解析式：，即：；B商場y關于x的函數(shù)解析式：，即：；（2）∵小剛一次購物的商品原價超過200元∴當時，，令，，所以，當時，即，去B超市更省錢；當時，，令，，所以，當時，即，此時去A、B超市一樣省錢；當時，即，去B超市更省錢；當時，即，去A超市更省錢；綜上所述，當時，去B超市更省錢；當時，去A、B超市一樣省錢；當時，去A超市更省錢．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，讀懂題目信息，理解兩家商場的讓利方法是解題的關鍵，要注意B商場根據(jù)商品原價的取值范圍分情況討論．11．（江蘇鹽城·二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0）．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接PC．當∠PCB＝∠ACB時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在對稱軸上是否存在一點Q，連接PQ，將線段PQ繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點P恰好落在拋物線上？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=x2-4x+3，頂點（2，-1）；（2）（，）；（3）（2，）或（2，）【解析】【分析】（1）由對稱軸為直線，點的坐標為，得出，通過交點式得出函數(shù)關系式；（2）作于，可知在對稱軸上，求出的坐標，得出直線的關系式與拋物線求交點即可；（3）分在上方和下方兩種情況，當在上方時，構(gòu)造出，得代入拋物線即可，當在上方時，得出．【詳解】解：（1）對稱軸為直線，點的坐標為，，，當時，，頂點，（2）作于，交于，，，，，，，，，，直線的關系式為：，，（舍，，，（3）點旋轉(zhuǎn)后的對應點為，作對稱軸于，對稱軸于，當在上方時，則，設，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，∴∠PQP′=90°，則∠PQD+∠P′QE=90°，又∠PQD+∠DPQ=90°，∴∠P′QE=∠DPQ，又PQ=P′Q，∠PDQ=∠QEP′=90°，（AAS），，，，恰好落在拋物線上，，解得，（舍），∴點Q的縱坐標為；，當在上方時，作對稱軸于，可知：△PQP′為等腰直角三角形，∴，∴點Q的縱坐標為，，綜上：或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關系式、等腰直角三角形的性質(zhì)以及運算能力，用數(shù)形結(jié)合的