高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，則設(shè)，即，，，2，，則有，則，，則，，，故；故選：A．3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)不變，坐標(biāo)相反，因此所求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．4.設(shè)分別是空間中直線的方向向量，則直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，設(shè)所成角為，則，故故所成角，故選：C.5.過(guò)和兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由和可得直線斜率為，故傾斜角為，故選：D.6.“”是“直線與平行”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線，則，解得：.所以“”是“直線的充分必要條件.故選：C.7.在平行六面體中，，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，則到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，作，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，即的長(zhǎng)即為到平面的距離，在直角中，，，則，，故選：B．9.在正方體中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為1，的最小值為，的最大值為，所以與平面所成角的正弦值的最大值為1，最小值為，所以正弦值的范圍是，.故選：A.10.已知點(diǎn)，直線，若直線上至少存在三個(gè)，使得為直角三角形，直線傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，直線上不存在，使得為直角三角形，當(dāng)，如圖，過(guò)或作軸平行線，它們一定與直線相交，這就是符合題意的兩個(gè)，因?yàn)橹辽儆腥齻€(gè)，使得為直角三角形，所以直線與以為直徑的圓有公共點(diǎn)，圓心是原點(diǎn)，半徑為，由，解得或，設(shè)直線的傾斜角為，則或，所以或，所以傾斜角范圍是，故選：B．第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】，所以.12.已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，且,即，即，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.13.若平面，平面的法向量為，平面的法向量為，寫出平面的一個(gè)法向量______.【答案】（不唯一，共線即可）【解析】由平面，則，滿足條件，所以平面的一個(gè)法向量為.故答案為：（不唯一，共線即可）.14.已知點(diǎn)，直線與線段無(wú)交點(diǎn)，則直線在軸上的截距為_(kāi)_________；的取值范圍是__________.【答案】【解析】直線在軸上的截距為，表示直線的斜率，直線恒過(guò)點(diǎn)，，，若直線與線段無(wú)交點(diǎn)，則的取值范圍是.15.如圖：在直三棱柱中，，.記，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得任意，都有；②對(duì)于任意點(diǎn)，都不存在點(diǎn)，使得平面平面；③的最小值為3；④當(dāng)取最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)作三棱柱的截面，則截面周長(zhǎng)為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①③④【解析】對(duì)于①，因?yàn)槿忮F為直三棱錐,故,又.由，，平面，故平面，平面，故,故對(duì)任意，取位于處，則始終有故①正確；對(duì)于②，因?yàn)槿忮F為直三棱錐，所以面，又面，所以，又，所以，所以，由，，面，故面，面，所以面面，而，且都在面內(nèi)，由于面即為面，要使面面，只需面面，綜上，面時(shí)，面，此時(shí)面面，即面面，對(duì)于任意點(diǎn)，只需對(duì)應(yīng)平行于△中邊上的高時(shí)，均滿足要求，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，將△繞翻折到平面內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，又，，，所以，所以到直線的距離為3，所以的最小值為3，③正確；對(duì)于④，當(dāng)取最小時(shí)，為的中點(diǎn)，因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以為的重心，故，在平面中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因，，，所以△△，故，取中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，則，，又，，所以，所以，故過(guò)點(diǎn)，，的三棱柱的截面為梯形，，，，，則梯形的周長(zhǎng)為，④正確；故答案為：①③④.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程；（3）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）直線的斜率過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的斜率為過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為即（2）設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)的坐標(biāo)為，即，，所以邊的中線所在直線方程為，即.（3）因?yàn)?，所以邊的高線所在直線的斜率為，因此邊的高線所在直線方程為，即.17.如圖，在三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接，設(shè)，連接，由為三棱柱，得.又是的中點(diǎn)，所以是的中位線，.平面平面，平面；（2）解：底面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為由，得；設(shè)直線與平面所成角為.則.直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：設(shè)平面與平面所成角為為銳角，平面的法向量為，，平面與平面所成角余弦值為.18.設(shè)的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）從下列三個(gè)條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一，并求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件使不存在或不唯一，第（2）問(wèn)得0分.解：（1），由正弦定理，得，在中，，，.（2）若選①，則由余弦定理，得，解得.若選條件②：由可得，解得，此時(shí)三角形不唯一，若選③，，故,，由正弦定理可得：，.19.已知函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在上與直線有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值及此時(shí)的值.解：（1）由題意由題意，，解得.，的最小正周期；由，得，所以的單調(diào)減區(qū)間為；（2）函數(shù)在區(qū)間上與直線有交點(diǎn)所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，又因?yàn)樗?，解?實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值，結(jié)合圖象，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.20.如圖，已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面是正三角形，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.（1）證明：因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以面；?）解：因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的法向量為，由，得，，點(diǎn)到平面的距離.（3）解：設(shè)，，所以點(diǎn)到面的距離為定值，.，，解得：或.21.給定正整數(shù)，設(shè)集合.對(duì)于集合中的任意元素和，記.設(shè)，且集合，對(duì)于中任意元素，若則稱具有性質(zhì).（1）判斷集合是否具有性質(zhì)，集合是否具有性質(zhì)；（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）（2）判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；（3）若集合具有性質(zhì)，證明：.解：（1）集合具有性質(zhì)，集合B不具有性質(zhì).（2）當(dāng)時(shí)，集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.由題設(shè).假設(shè)集合A具有性質(zhì)，則①當(dāng)時(shí)，，矛盾.②當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾.③當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹椭炼嘁粋€(gè)在A中；和至多一個(gè)在A中；和至多一個(gè)在A中，故集合A中的元素個(gè)數(shù)小于4，矛盾.④當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾.⑤當(dāng)時(shí)，，矛盾.綜上，不存在具有性質(zhì)的集合.（3）記，則.若，則，矛盾.若，則，矛盾.故.假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即.當(dāng)時(shí)，有或成立.所以中分量為1的個(gè)數(shù)至多有.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).因?yàn)?，所以的各分量有個(gè)1，不妨設(shè).由時(shí)，可知，中至多有1個(gè)1，即的前個(gè)分量中，至多含有個(gè)1.又，則的前個(gè)分量中，含有個(gè)1，矛盾.所以.因?yàn)椋?所以.北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，則設(shè)，即，，，2，，則有，則，，則，，，故；故選：A．3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)不變，坐標(biāo)相反，因此所求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．4.設(shè)分別是空間中直線的方向向量，則直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，設(shè)所成角為，則，故故所成角，故選：C.5.過(guò)和兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由和可得直線斜率為，故傾斜角為，故選：D.6.“”是“直線與平行”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線，則，解得：.所以“”是“直線的充分必要條件.故選：C.7.在平行六面體中，，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，則到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，作，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，即的長(zhǎng)即為到平面的距離，在直角中，，，則，，故選：B．9.在正方體中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為1，的最小值為，的最大值為，所以與平面所成角的正弦值的最大值為1，最小值為，所以正弦值的范圍是，.故選：A.10.已知點(diǎn)，直線，若直線上至少存在三個(gè)，使得為直角三角形，直線傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，直線上不存在，使得為直角三角形，當(dāng)，如圖，過(guò)或作軸平行線，它們一定與直線相交，這就是符合題意的兩個(gè)，因?yàn)橹辽儆腥齻€(gè)，使得為直角三角形，所以直線與以為直徑的圓有公共點(diǎn)，圓心是原點(diǎn)，半徑為，由，解得或，設(shè)直線的傾斜角為，則或，所以或，所以傾斜角范圍是，故選：B．第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】，所以.12.已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，且,即，即，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.13.若平面，平面的法向量為，平面的法向量為，寫出平面的一個(gè)法向量______.【答案】（不唯一，共線即可）【解析】由平面，則，滿足條件，所以平面的一個(gè)法向量為.故答案為：（不唯一，共線即可）.14.已知點(diǎn)，直線與線段無(wú)交點(diǎn)，則直線在軸上的截距為_(kāi)_________；的取值范圍是__________.【答案】【解析】直線在軸上的截距為，表示直線的斜率，直線恒過(guò)點(diǎn)，，，若直線與線段無(wú)交點(diǎn)，則的取值范圍是.15.如圖：在直三棱柱中，，.記，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得任意，都有；②對(duì)于任意點(diǎn)，都不存在點(diǎn)，使得平面平面；③的最小值為3；④當(dāng)取最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)作三棱柱的截面，則截面周長(zhǎng)為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①③④【解析】對(duì)于①，因?yàn)槿忮F為直三棱錐,故,又.由，，平面，故平面，平面，故,故對(duì)任意，取位于處，則始終有故①正確；對(duì)于②，因?yàn)槿忮F為直三棱錐，所以面，又面，所以，又，所以，所以，由，，面，故面，面，所以面面，而，且都在面內(nèi)，由于面即為面，要使面面，只需面面，綜上，面時(shí)，面，此時(shí)面面，即面面，對(duì)于任意點(diǎn)，只需對(duì)應(yīng)平行于△中邊上的高時(shí)，均滿足要求，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，將△繞翻折到平面內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，又，，，所以，所以到直線的距離為3，所以的最小值為3，③正確；對(duì)于④，當(dāng)取最小時(shí)，為的中點(diǎn)，因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以為的重心，故，在平面中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因，，，所以△△，故，取中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，則，，又，，所以，所以，故過(guò)點(diǎn)，，的三棱柱的截面為梯形，，，，，則梯形的周長(zhǎng)為，④正確；故答案為：①③④.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程；（3）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）直線的斜率過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的斜率為過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為即（2）設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，，所以邊的中線所在直線方程為，即.（3）因?yàn)?，所以邊的高線所在直線的斜率為，因此邊的高線所在直線方程為，即.17.如圖，在三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接，設(shè)，連接，由為三棱柱，得.又是的中點(diǎn)，所以是的中位線，.平面平面，平面；（2）解：底面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為由，得；設(shè)直線與平面所成角為.則.直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：設(shè)平面與平面所成角為為銳角，平面的法向量為，，平面與平面所成角余弦值為.18.設(shè)的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）從下列三個(gè)條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一，并求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件使不存在或不唯一，第（2）問(wèn)得0分.解：（1），由正弦定理，得，在中，，，.（2）若選①，則由余弦定理，得，解得.若選條件②：由可得，解得，此時(shí)三角形不唯一，若選③，，故,，由正弦定理可得：，.19.已知函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在上與直線有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值及此時(shí)的值.解：（1）由題意由題意，，解得.，的最小正周期；由，得，所以的單調(diào)減區(qū)間為；（2）函數(shù)在區(qū)間上與直線有交點(diǎn)所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，又因?yàn)樗裕獾?實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），當(dāng)時(shí)，取最大值，