高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】直線垂直于軸，所以其傾斜角為.故選：B2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其方程是，符合題意;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，可得：，解得：，所以方程是.故選：C.4.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】方程表示雙曲線，則，解得或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C.6.已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，由，得，所以，解得（負(fù)根舍去），當(dāng)直線與半橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖象，的取值范圍為.故選：A.7.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，的焦距為2c，連接，則，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故選：D.8.已知圓，過軸上的點(diǎn)作直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若存在直線使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】結(jié)合圖像易知對(duì)于給定的點(diǎn)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，最大，最小，此時(shí)有最大值，又，所以，所以，即，解得.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.平行六面體的底面ABCD是正方形，，則下列說法正確的是（）A.B.C.四邊形的面積為D.若，則點(diǎn)在平面內(nèi)【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，，故A正確;因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，四邊形為矩形，其面積，故C正確；因?yàn)?，由于，所以四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），D（0,1），E為上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.滿足為直角三角形的點(diǎn)有且僅有2個(gè)B.過點(diǎn)且與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有3條C.若在直線上的射影為，則D.若直線的傾斜角為，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，顯然滿足的點(diǎn)恰有1個(gè)，又以DF為直徑的圓與拋物線在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以滿足為直角三角形的點(diǎn)恰有3個(gè)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消得，當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，過點(diǎn)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故B正確;對(duì)于C，如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)且僅當(dāng)在線段DF上時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立得，解得，所以，則，故D正確.故選：BCD.11.關(guān)于曲線，下列說法正確的是（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線圍成的區(qū)域面積小于2C.曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積的最大值是D.曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最大值是【答案】ABC【解析】對(duì)于方程，以代替，同時(shí)以代替方程不變，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，設(shè)分別為與圖象上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，則，所以在的下方，所以曲線圍成的面積小于圍成的面積，圍成的面積為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋忍?hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積，故C正確;對(duì)于D，因?yàn)?，所以，等?hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量是實(shí)數(shù)，則的最小值是___________.【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為3.故答案為：313.如圖是正在施工建設(shè)的濟(jì)新黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨(dú)塔地錨式回轉(zhuǎn)纜懸索橋，大橋主跨長(zhǎng)約500米，主塔的高約100米.纜懸索是以為頂點(diǎn)并開口向上的拋物線的一部分，則主塔頂端點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為_________米.【答案】725【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且與主塔AB平行的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，則100，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故答案為：72514.設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，在軸上存在定點(diǎn)，使得的平分線在軸上，則的值為______.【答案】3【解析】設(shè)，由題得，即，整理得，又，所以，整理得，由聯(lián)立得，所以，代入①并整理得，此式對(duì)任意的都成立，所以.故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線方程為.（1）證明：無論取何值，直線必過第三象限；（2）若點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求的值.（1）證明：直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)槲挥诘谌笙?，所以無論取何值，直線必過第三象限.（2）解：法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知：，即，所以或，解得或.法二：若點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，則直線或直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，當(dāng)直線經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，，解得，綜上，或.16.已知拋物線與圓相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）若直線與相交于、兩點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，根?jù)圓與拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得（負(fù)值舍去），所以的方程是.（2）由消去并整理得，設(shè)Mx1,y1、則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以的周長(zhǎng)為.17.設(shè)，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個(gè)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若圓經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線上，不符合圓在軸正半軸；根據(jù)題意得圓只能過點(diǎn)A，B，D三點(diǎn)，因?yàn)椋缘闹悬c(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率為，利用互相垂直的兩直線斜率之積為，可知兩點(diǎn)的中垂線斜率為，所以由點(diǎn)斜率式可得線段AB的垂直平分線的方程為，整理得：又因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率不存在，所以線段AD的垂直平分線的方程為聯(lián)立方程組解得所以圓心為，即圓心到點(diǎn)的距離為半徑，即半徑為2，所以圓的方程為（2）設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)椋杂?，化?jiǎn)得，所以，且滿足這個(gè)方程的點(diǎn)可以理解為一個(gè)圓上的點(diǎn)，而點(diǎn)又在圓上且有兩個(gè)點(diǎn)，所以這兩個(gè)圓應(yīng)該是相交，此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，而兩圓的半徑分別為和2，則有，解得.18.已知是橢圓上的一點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程;（2）是上的四個(gè)點(diǎn)，與相交于點(diǎn).①若分別為與軸的正半軸的交點(diǎn)，求直線的斜率;②若直線的斜率為，求面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.解：（1）因?yàn)槭菣E圓上的一點(diǎn)，所以，即，又，又，所以，故的方程為（2）①若A，B分別為橢圓與x，y軸的正半軸的交點(diǎn)，則，則直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因?yàn)椋?，則，即，直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因?yàn)椋?，則，即，所以.②因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以可設(shè)直線AB的方程為，代入消去并整理得，設(shè)Ax1,y1,B又點(diǎn)到直線AB的距離，所以的面積，等號(hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，顯然滿足，所以面積的最大值是1.此時(shí)，直線AB的方程是，即或19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.（1）若不過原點(diǎn)的直線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;（2）已知伸縮比時(shí)，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個(gè)交點(diǎn)（在的左側(cè)），過點(diǎn)且斜率為的直線與在軸的右側(cè)有，兩個(gè)交點(diǎn).①求的取值范圍;②若直線的斜率分別為，證明：為定值.（1）證明：設(shè)不過原點(diǎn)的直線的方程是都是常數(shù)，且a，b不同時(shí)為，則曲線的方程是，且，即，因?yàn)槎际浅?shù)，且a，b不同時(shí)為，所以曲線是一條直線，且與直線平行（2）①解：伸縮比時(shí)，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，所以曲線的方程是，即.與軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，因?yàn)橹本€點(diǎn)，斜率為，所以直線的方程為，代入，消去并整理得，設(shè)，則，，因?yàn)榕c在軸的右側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，且，解得或，所以的取值范圍是.②證明:由①知或，所以，，，所以為定值.河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】直線垂直于軸，所以其傾斜角為.故選：B2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其方程是，符合題意;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，可得：，解得：，所以方程是.故選：C.4.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】方程表示雙曲線，則，解得或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C.6.已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，由，得，所以，解得（負(fù)根舍去），當(dāng)直線與半橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖象，的取值范圍為.故選：A.7.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，的焦距為2c，連接，則，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故選：D.8.已知圓，過軸上的點(diǎn)作直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若存在直線使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】結(jié)合圖像易知對(duì)于給定的點(diǎn)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，最大，最小，此時(shí)有最大值，又，所以，所以，即，解得.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.平行六面體的底面ABCD是正方形，，則下列說法正確的是（）A.B.C.四邊形的面積為D.若，則點(diǎn)在平面內(nèi)【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，，故A正確;因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，四邊形為矩形，其面積，故C正確；因?yàn)?，由于，所以四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），D（0,1），E為上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.滿足為直角三角形的點(diǎn)有且僅有2個(gè)B.過點(diǎn)且與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有3條C.若在直線上的射影為，則D.若直線的傾斜角為，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，顯然滿足的點(diǎn)恰有1個(gè)，又以DF為直徑的圓與拋物線在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以滿足為直角三角形的點(diǎn)恰有3個(gè)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消得，當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，過點(diǎn)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故B正確;對(duì)于C，如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)且僅當(dāng)在線段DF上時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立得，解得，所以，則，故D正確.故選：BCD.11.關(guān)于曲線，下列說法正確的是（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線圍成的區(qū)域面積小于2C.曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積的最大值是D.曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最大值是【答案】ABC【解析】對(duì)于方程，以代替，同時(shí)以代替方程不變，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，設(shè)分別為與圖象上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，則，所以在的下方，所以曲線圍成的面積小于圍成的面積，圍成的面積為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，等?hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積，故C正確;對(duì)于D，因?yàn)?，所以，等?hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量是實(shí)數(shù)，則的最小值是___________.【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為3.故答案為：313.如圖是正在施工建設(shè)的濟(jì)新黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨(dú)塔地錨式回轉(zhuǎn)纜懸索橋，大橋主跨長(zhǎng)約500米，主塔的高約100米.纜懸索是以為頂點(diǎn)并開口向上的拋物線的一部分，則主塔頂端點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為_________米.【答案】725【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且與主塔AB平行的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，則100，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故答案為：72514.設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，在軸上存在定點(diǎn)，使得的平分線在軸上，則的值為______.【答案】3【解析】設(shè)，由題得，即，整理得，又，所以，整理得，由聯(lián)立得，所以，代入①并整理得，此式對(duì)任意的都成立，所以.故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線方程為.（1）證明：無論取何值，直線必過第三象限；（2）若點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求的值.（1）證明：直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)槲挥诘谌笙?，所以無論取何值，直線必過第三象限.（2）解：法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知：，即，所以或，解得或.法二：若點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，則直線或直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，當(dāng)直線經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，，解得，綜上，或.16.已知拋物線與圓相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）若直線與相交于、兩點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋鶕?jù)圓與拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得（負(fù)值舍去），所以的方程是.（2）由消去并整理得，設(shè)Mx1,y1、則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以的周長(zhǎng)為.17.設(shè)，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個(gè)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若圓經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線上，不符合圓在軸正半軸；根據(jù)題意得圓只能過點(diǎn)A，B，D三點(diǎn)，因?yàn)椋缘闹悬c(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率為，利用互相垂直的兩直線斜率之積為，可知兩點(diǎn)的中垂線斜率為，所以由點(diǎn)斜率式可得線段AB的垂直平分線的方程為，整理得：又因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率不存在，所以線段AD的垂直平分線的方程為聯(lián)立方程組解得所以圓心為，即圓心到點(diǎn)的距離為半徑，即半徑為2，所以圓的方程為（2）設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)?，所以有，化?jiǎn)得，所以，且滿足這個(gè)方程的點(diǎn)可以理解為一個(gè)圓上的點(diǎn)，而點(diǎn)又在圓上且有兩個(gè)點(diǎn)，所以這兩個(gè)圓應(yīng)該是相交，此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，而兩圓的半徑分別為和2，則有，解得.18.已知是橢圓上的一點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，為坐