高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省沅澧共同體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，則．故選：A.2.已知向量，，則“”的一個(gè)充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，且，則，即，解得或，所以，“”的一個(gè)充分條件“”.故選：A.3.已知一個(gè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：B．4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?；?所以，.所以.故選：B5.已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.20 D.40【答案】D【解析】，的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)是.故選：D．7.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則（）A.18 B.33C.36 D.40【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，可得，所以，解?故選：B.8.如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗.已知該碗高10cm，口徑26cm，底徑10cm，該碗的軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以該碗軸截面的對稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)該拋物線的方程為（的單位均為cm），點(diǎn)縱坐標(biāo)為（單位：cm），則，，于是，解得，故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)事件滿足，下列說法正確的是（）A. B.事件與事件相互獨(dú)立C. D.【答案】AB【解析】對于A，因?yàn)?，所以，A正確；對于B，因?yàn)?，故事件與事件相互獨(dú)立，B正確；對于C，因?yàn)镃錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)镈錯(cuò)誤.故選：AB.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確；故選：ACD.11.如圖，在四面體中，，，，,，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值為 B.平面C.直線與面所成角為 D.四面體的體積為【答案】BCD【解析】對于B，由，得，由，平面，得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，平面，故為直線與面所成角，為，C正確；對于D，由得，由得，因?yàn)?，所以，所以四面體的體積為，D正確；對于A，如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開在同一平面內(nèi)，由題意得，，過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的最小值為，A錯(cuò)誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且，則______.【答案】0.04【解析】因?yàn)椋?，所?故答案：.13.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖象，得到，，則，即，則，則，則.故答案為：.14.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作另一條漸近線的垂線，點(diǎn)恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】如圖，設(shè)為與漸近線的交點(diǎn)，由題意：，，所以Q是線段的中點(diǎn)，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，所以，所以，所以，所以離心率.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，分別是角的對邊，且.（1）求角的大?。唬?）若，且，求的值.解：（1）由和正弦定理，可得∴∵，∴，∴，又∵，∴.（2）由余弦定理，，∴，解得，由可得，代入上式可得，解得：或（此時(shí)，不合題意，舍去）所以，.16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求函數(shù)在的最大值和最小值；（3）若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．解：（1）,因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為所以有所以解得（2）由(1)可得當(dāng)或單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛?jì)算可得，所以在的最大值為，最小值為（3）由（2）可知，的極大值為，極小值為當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根.17.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.解：（1），又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得：，.（3）由（2）得：.18.在平面四邊形中,，，，，將沿AC翻折至，且滿足.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.解：（1），.又平面，平面，平面.（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于AB的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，.，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故可取，設(shè)二面角的平面角為，則，故，所以二面角的正弦值為.19.已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，若為直角三角形，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作斜率互為相反數(shù)的兩條直線與分別交橢圓于兩點(diǎn)，①求證：通過點(diǎn)的直線的斜率為定值，并求出該定值；②求的最大值.解：（1）由題意，則是等腰直角三角形，即得，從而.又橢圓過點(diǎn)則有解得.橢圓的方程：.（2）①由（1）知橢圓方程為，設(shè)直線的方程：，則的方程是.令，由可得則有，同理得，.即直線的斜率為定值，且定值為1.②由①知，則又，當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即的最大值為4.湖南省沅澧共同體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，則．故選：A.2.已知向量，，則“”的一個(gè)充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，且，則，即，解得或，所以，“”的一個(gè)充分條件“”.故選：A.3.已知一個(gè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：B．4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?；?所以，.所以.故選：B5.已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.20 D.40【答案】D【解析】，的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)是.故選：D．7.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則（）A.18 B.33C.36 D.40【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋傻?，所以，解?故選：B.8.如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗.已知該碗高10cm，口徑26cm，底徑10cm，該碗的軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以該碗軸截面的對稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)該拋物線的方程為（的單位均為cm），點(diǎn)縱坐標(biāo)為（單位：cm），則，，于是，解得，故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)事件滿足，下列說法正確的是（）A. B.事件與事件相互獨(dú)立C. D.【答案】AB【解析】對于A，因?yàn)?，所以，A正確；對于B，因?yàn)?，故事件與事件相互獨(dú)立，B正確；對于C，因?yàn)镃錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)镈錯(cuò)誤.故選：AB.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確；故選：ACD.11.如圖，在四面體中，，，，,，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值為 B.平面C.直線與面所成角為 D.四面體的體積為【答案】BCD【解析】對于B，由，得，由，平面，得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，平面，故為直線與面所成角，為，C正確；對于D，由得，由得，因?yàn)?，所以，所以四面體的體積為，D正確；對于A，如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開在同一平面內(nèi)，由題意得，，過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的最小值為，A錯(cuò)誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且，則______.【答案】0.04【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案：.13.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖象，得到，，則，即，則，則，則.故答案為：.14.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作另一條漸近線的垂線，點(diǎn)恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】如圖，設(shè)為與漸近線的交點(diǎn)，由題意：，，所以Q是線段的中點(diǎn)，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，所以，所以，所以，所以離心率.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，分別是角的對邊，且.（1）求角的大?。唬?）若，且，求的值.解：（1）由和正弦定理，可得∴∵，∴，∴，又∵，∴.（2）由余弦定理，，∴，解得，由可得，代入上式可得，解得：或（此時(shí)，不合題意，舍去）所以，.16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求函數(shù)在的最大值和最小值；（3）若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．解：（1）,因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為所以有所以解得（2）由(1)可得當(dāng)或單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛?jì)算可得，所以在的最大值為，最小值為（3）由（2）可知，的極大值為，極小值為當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根.17.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.解：（1），又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得：，.（3）由（2）得：.18.在平面四邊形中,，，，，將沿AC翻折至，且滿足.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.解：（1），.又平面，平面，平面.（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于AB的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，.，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故可取，設(shè)二