4/7一道典型題解法的遷移及拓廣演變【引例】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F，且BD=6，AD=4，求⊙O的半徑為r.(義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(江蘇科學(xué)技術(shù)出版社)九年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)第137頁第13題)1.問題的解法探究1.1根據(jù)直角三角形的勾股定理作為相等關(guān)系構(gòu)造關(guān)于內(nèi)切圓半徑的一元二次方程求解.連結(jié)OE、OF，根據(jù)“切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”可知OE⊥BC、OF⊥AC又∠ACB=90°所以四邊形OECF是矩形，又OE=OF，所以四邊形OECF是正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，則CE=CF=r，根據(jù)“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等”，所以AF=AD=4，BE=BD=6，在Rt△ABC中由勾股定理得：，即，解之，得，(不合題意，舍去)所以⊙O的半徑為2.1.2根據(jù)直角三角形的面積作為相等關(guān)系構(gòu)造關(guān)于內(nèi)切圓半徑的一元二次方程求解.連結(jié)OA、OB、OC將Rt△ABC分成3個(gè)三角形，分別為△OAB、△OBC、△OCA它們的高都是內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)整體等于部分之和(設(shè)r為內(nèi)切圓的半徑)可得：S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA=++==又S△ABC==所以=解之，得，(不合題意，舍去)所以⊙O的半徑為2.2.反思問題思路的探究過程，遷移類比探究拓展延伸的數(shù)學(xué)問題從上述解法1.2的探究過程中，可以發(fā)現(xiàn)其中隱含了一種重要的數(shù)學(xué)解題的思維方法——有些圖形的面積可以通過適當(dāng)?shù)姆指?，分割為若干個(gè)可求圖形的面積，利用整體等于各個(gè)部分面積之和(“同一個(gè)圖形分割后整體的面積等于各個(gè)部分之和”)從而獲得一種行之有效的解決問題的策略.2.1類比推廣我們知道直角三角形是特殊的三角形，而三角形又是多邊形中最簡(jiǎn)單的一種圖形，而且任意的三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，但四邊形不一定存在內(nèi)切圓，假若四邊形存在一個(gè)內(nèi)切圓上述結(jié)論成立嗎？對(duì)于任意的n邊形呢？【拓展1】閱讀材料：如圖2-1，△ABC的周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓O的半徑為r,連結(jié)OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形，用S△ABC表示△ABC的面積圖2-1∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA圖2-1又∵S△OAB=，S△OBC=，S△OCA=∴S△ABC=++=(可作為三角形內(nèi)切圓半徑公式)(1)理解與應(yīng)用：利用公式計(jì)算邊長(zhǎng)分為5、12、13的三角形內(nèi)切圓半徑；(2)類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓，如圖2-2且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；(3)拓展與延伸：若一個(gè)n邊形(n為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a1、a2、a3、…、an，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式(不需說明理由)．分析：本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)以“閱讀材料—三角形的面積與內(nèi)切圓半徑及周長(zhǎng)之間關(guān)系”的問題背景，其中的巧妙之處在于分割后3個(gè)三角形的高均為內(nèi)切圓的半徑，因而三角形的面積等于三角形的周長(zhǎng)之半與內(nèi)切圓半徑之積.O圖2-2(1)首先根據(jù)三邊之間關(guān)系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知：邊長(zhǎng)分為5、12、13的三角形，所以S△ABC==30，O圖2-2設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則有30=，所以r=2(2)設(shè)四邊形內(nèi)切圓的圓心為點(diǎn)O，分別連接OA、OB、OC、OD，將四邊形ABCD分割為4個(gè)三角形△AOB、△BOC、△COD、△DOA，它們的高視為四邊形ABCD的內(nèi)切圓半徑，則有S=·r，所以(3)根據(jù)閱讀材料及問題(2)的解答過程，進(jìn)行類比推理，不難猜想：面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a1、a2、a3、…、an的n邊形(n為不小于3的整數(shù))內(nèi)切圓半徑公式.評(píng)注：本題是提供的是“一個(gè)多邊形如果存在內(nèi)切圓，那么這個(gè)多邊形的面積如何用多邊形的周長(zhǎng)及內(nèi)切圓的半徑來表示”的研究課題，試題首先從最簡(jiǎn)單三角形的內(nèi)切圓入手讓學(xué)生通過閱讀獲得問題的解題方法，經(jīng)歷解決問題的過程并掌握得到問題的結(jié)論，然后讓學(xué)生類比遷移問題的處理方法，去解決四邊形內(nèi)切圓問題，然后從特殊到一般讓學(xué)生猜想對(duì)任意的n邊形的內(nèi)切圓的半徑與n邊形的面積與各邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.通過本題的解答讀者應(yīng)該掌握“學(xué)會(huì)從‘特殊情況、簡(jiǎn)單情況’入手，觀察分析推理，得出規(guī)律后再向‘一般情況’推廣的研究問題“的數(shù)學(xué)方法【拓展2】(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.ABCO1圖3-1(1)如圖3-1，若半徑為r1的⊙ABCO1圖3-1(2)如圖3-2，若半徑為的兩個(gè)等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求；(3)如圖3-3，當(dāng)n是大于2的正整數(shù)時(shí)，若半徑為的n個(gè)等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙ON依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均與AB邊相切，求.ABABCOnO3O2O1…圖3-3ABCO2O1圖3-2圖3-4ABCO1EFD解圖3-4ABCO1EFD如圖3-4，設(shè)⊙O1與Rt△ABC的邊AB、BC、CA分別切于點(diǎn)D、E、F，連接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1.于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1=×AC×O1F=×AC×r1=3r1，=×BC×O1E=×BC×r1=4r1，=×AB×O1D=×AB×r1=5r1，=×AC·BC=24.ABCO2O1NM圖3-5又∵=++，∴24=3r1+4r1ABCO2O1NM圖3-5(2)如圖3-5連接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，則=×AC·r2=3r2，=×BC·r2=4r2，∵等圓⊙O1、⊙O2外切，∴O1O2=2r2，且O1O2∥AB.過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，交O1O2于點(diǎn)N，則CM==，CN=CM－r2=—r2，∴=O1O2·CN=(—r2)r2,∴=(2r2+10)r2=(r2+5)r2∵=+++∴24=3r2+4r2+(—r2)r2+(r2+5)r2.解得r2=如圖3-6，連接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，則=×AC·rn=3rn，=×BC·rn=4rn，∵等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙ON依次外切，且均與AB邊相切，∴⊙O1、⊙O2、…、⊙ON均在直線O1On上，且O1On∥AB.∴O1On=(n－2)2rn+2rn=2(n－1)rn，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交O1ON于點(diǎn)K，則CH=，CK=—rn，∴=O1On,CK=(n－1)(—rn)rn,∴=[2(n－1)rn+10]rn=[(n—1)rn+5]rn∵=+++,∴24=3rn+4rn+(n－1)(—rn)rn+[(n—1)rn+5]rn,解得rn=評(píng)注：本題是探索相切圓的半徑規(guī)律型問題，要求同學(xué)們善于觀察圖形，能從最簡(jiǎn)單情況探究問題的解法中得到啟示，從而根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行分解計(jì)算與探究，找出其中的隱含變化規(guī)律，從而遷移問題的解法推廣得一般的結(jié)論.2.2將直角三角形改換成等腰三角形，并變換問題的情景——放置到平面直角坐標(biāo)系中研究?jī)?nèi)切圓圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而拓廣探究其旁切圓圓心坐標(biāo).【拓展3】(09福建省莆田)(1)已知，△ABC的周長(zhǎng)為，面積為S，其內(nèi)切圓的圓心為Q，半徑為r，求證：.(2)如圖，△ABC中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,0)、B(3,0)、C(0,4)，若△ABC的內(nèi)心為D，求內(nèi)心點(diǎn)D的坐標(biāo).(3)與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓，叫旁切圓，圓心叫旁心.請(qǐng)求出條件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標(biāo).分析：(1)見拓展1閱讀材料.(2)方法一：由于點(diǎn)D在y軸上，且與x軸相切，故點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，r)，因而只需求出⊙D的半徑r即可，受(1)的啟發(fā)可以利用面積作為相等關(guān)系列出關(guān)于r的方程.由已知得AB=6,AC=5，所以，即，解之，得r=.方法二：(利用相似三角形的性質(zhì))設(shè)BC切⊙D于E，連接DE則DE⊥BC，顯然Rt△CED∽R(shí)t△COB∴，∴解之，得r=.方法三：(利用銳角三角函數(shù))在中,由銳角三角函數(shù)的定義知：xCBA圖3-3PEFDOxCBA圖3-3PEFDO(3)根據(jù)旁切圓的定義分別作∠BAC的平分線及∠BCA的外角的平分線設(shè)它們相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是第一象限內(nèi)旁切圓的圓心.過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，連接BD、BP，設(shè)點(diǎn)P(a，b)方法一、利用相似三角形性質(zhì)列出關(guān)于a、b的方程組求解即可.由Rt△AOD∽R(shí)t△AEP得，化簡(jiǎn)得……①由BD平分∠ABC，BP平分∠ABCD的外角，所以∠PBD=90°根據(jù)等角的余角相等可知∠OBD=∠EPB，∠BOD=∠PEB=90°，所以Rt△BOD∽R(shí)t△PEB得……②，聯(lián)立①②解方程組得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，4).方法二：可以證明等腰△CAB頂角∠ACB的外角平分線與底邊AB平行即PC//AB，又點(diǎn)P在射線AD上，所以P可以看作是直線CP與射線AD的交點(diǎn).由待定系數(shù)法可以求得直線AD的解析式為y=，顯然直線CP的解析式為y=4，聯(lián)立方程組解之，得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，4)評(píng)注：本題又見于人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第106頁練習(xí)題2，命題專家以獨(dú)特的視角將△ABC特殊化成為等腰三角形，并將其放置于平面