2/30第一章集合與常用邏輯用語、不等式（舉一反三綜合訓(xùn)練）（全國通用）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（2025·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=a?2,a2+4a,12，且?3∈A，則A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列式求解，再代入檢驗(yàn)即可.【解答過程】因?yàn)榧螦=a?2,a2則a?2=?3或a2+4a=?3，所以a=?1或當(dāng)a=?1時(shí)，a?2=a當(dāng)a=?3時(shí)，A=?5,?3,12故選：B.2．（5分）（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）“1x>x”是“xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由充分、必要條件的判斷，結(jié)合不等式求解即可判斷.【解答過程】由1x>x可得：1x>x>0，也即x2可得0<x<1，可得x<1若x<1，取x=?12故“1x>x故選：A.3．（5分）（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=x∣x≥a,B=1,2,3.若B?A，則aA．0,+∞ B．3,+∞ C．2,+∞【解題思路】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式即可.【解答過程】由題意B?A，可得，a≤1.故選：D.4．（5分）（2025·山西臨汾·二模）若3≤a≤5,?2≤b≤1，則2a?b的范圍是（

）A．8,9 B．4,8 C．5,8 D．5,12【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過程】由3≤a≤5,?2≤b≤1可得6≤2a≤10,故5≤2a?b≤12，故選：D.5．（5分）（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）若命題p:?x>1,x2?3x+2>0A．p是真命題，且?p:?x>1,B．p是真命題，且?p:?x≤1,C．p是假命題，且?p:?x>1,D．p是假命題，且?p:?x≤1,【解題思路】由命題的否定的定義以及命題真假性的定義即可求解.【解答過程】當(dāng)x=32時(shí)，x2?3x+2=?1故選：C.6．（5分）（2025·安徽蚌埠·三模）已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={x∣x=2n+1,n∈N}，則?UA．{1} B．{3,5} C．{1,3,5} D．{1,3,4,5}【解題思路】由集合的基本運(yùn)算即可求解.【解答過程】因?yàn)榧蟄={1,2,3,4,5},A={1,2},B={x∣所以?UA=3,4,5故選：B.7．（5分）（2025·安徽合肥·三模）已知正數(shù)a、b滿足1a+2b=1A．4 B．6 C．8 D．9【解題思路】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.【解答過程】由題意得a+2b=a+2b當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab1故選：D.8．（5分）（2025·陜西渭南·二模）若關(guān)于x的不等式2ax2?4x<ax?2有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)aA．1,2 B．[1,2) C．0,2 D．0,2【解題思路】分類討論，進(jìn)行求解即可.【解答過程】當(dāng)a=0時(shí)，解得：x>1故a≠0，關(guān)于x的不等式2ax2?4x<ax?2所以2x?1ax?2<0，即方程2x?1x?2a當(dāng)a<0時(shí)，不等式可化為2x?1x?2a解集為：?∞當(dāng)a>0時(shí)，不等式可化為2x?1x?當(dāng)x1>x2時(shí)，則12要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則?1≤2a<0當(dāng)x1=x2時(shí)，則當(dāng)x1<x2時(shí)，則12要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則1<2a≤2故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[1,2).故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（2025·山東臨沂·二模）已知a>b>c，則下列不等式正確的是（

）A．1a?c<1a?b B．a(chǎn)b2【解題思路】對(duì)于A，可以用作差法判斷，對(duì)于BC，舉反例判斷即可，對(duì)于D，分b>0,b=0,b<0三種情況討論即可判斷.【解答過程】對(duì)于A，1a?c?1所以c?b<0,a?c>0,a?b>0，即c?ba?ca?b<0對(duì)于B，取a>b=0>c，此時(shí)ab對(duì)于C，取a=?1>b=?2>c=?3，則a+b=c=?3，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若a>b=0>c，則a2若a>b>0>c，則a2若a>0>b>c，則a2綜上所述，只要a>b>c，就一定有a2故選：AD.10．（6分）（2025·河南·三模）已知全集U=xx<4,x∈Z，集合M=?1,2,a2，N=?1,1,2,aA．a(chǎn)的取值有3個(gè) B．M∩P=C．P∪N=?3,?1,0,1,2,3 D．?U【解題思路】利用集合的包含關(guān)系結(jié)合集合元素的互異性可求出a的值，可判斷A選項(xiàng)；利用交集的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并集的定義可判斷C選項(xiàng)；利用集合的運(yùn)算結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式可判斷D選項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)镸=?1,2,a2，N=則a2=1或a2=a，且a≠±1，a≠2，解得a=0，故對(duì)于B選項(xiàng)，M=?1,2,0，P=?3,?1,2,3，所以對(duì)于C選項(xiàng)，N=?1,1,2,0，P∪N=對(duì)于D選項(xiàng)，U=x所以?UM=?3,?2,1,3，?其?UM∩故選：BCD.11．（6分）（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b為正實(shí)數(shù)，ab+a+2b=14，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)+b<21 B．a(chǎn)?6b+1C．a(chǎn)+4b的最小值為12 D．1a+2+【解題思路】根據(jù)題意，化簡得到(a+2)(b+1)=16，令x=a+2,y=b+1，得到a+b=x+16x?3，結(jié)合函數(shù)fx=x+16x單調(diào)性，可判定A正確；由b+1=16a+2【解答過程】由ab+a+2b=14，可得(a+2)(b+1)=16，對(duì)于A中，令x=a+2,y=b+1，則a=x?2,b=y?1且xy=16，可得2<x<16，則a+b=x+y?3=x+16因?yàn)楹瘮?shù)fx=x+16x在可得fx<f16對(duì)于B中，由(a+2)(b+1)=16，可得b+1=16則a?6b+1當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，a?6b+1取得最小值?1對(duì)于C中，由a+4b=(x?2)+4(y?1)=x+4y?6≥2x?4y當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)，即x=8,y=2時(shí)，即a=6,b=1時(shí)，等號(hào)成立，所以C不正確；對(duì)于D中，由(a+2)(b+1)=16，可得1a+2當(dāng)且僅當(dāng)1a+2=1所以1a+2+1故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2025·上海金山·二模）已知集合A=x∣x2?5x+6=0,B=2,4,6【解題思路】根據(jù)交集的定義求解即可.【解答過程】因?yàn)锳=x∣所以A∩B=2故答案為：2.13．（5分）（2025·上海浦東新·三模）設(shè)x為實(shí)數(shù)，則不等式x?25?x≥0的解集是[2,5)【解題思路】根據(jù)分式不等式解法求解即可.【解答過程】因?yàn)閤?25?x解得2≤x≤5且x≠5，即2≤x<5，所以不等式x?25?x≥0的解集是故答案為：[2,5).14．（5分）（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)minP表示數(shù)集P中最小的數(shù)，若4b>a>b>0，則min1a【解題思路】由基本不等式可得a4b?a≤4b2，4ba?b【解答過程】設(shè)min1則1a2≥t，14b因?yàn)?b>a>b>0，所以a4b?a≤a+4b?a當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)兩個(gè)不等式同時(shí)取等號(hào)，所以4t≤1又1a當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=12時(shí)取等號(hào)，所以4t≤4，則t≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，故min1故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（24-25高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知A=x?2≤x≤5，(1)若a=3時(shí)，求A∩B、A∪?(2)若B∩?RA【解題思路】（1）當(dāng)a=3時(shí)，求出集合B，利用交集的定義可得出集合A∩B，利用補(bǔ)集和并集的定義可求得集合A∪?（2）由題意可知B?A，分B=?、B≠?兩種情況討論，在第一種情況下，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式；在第二種情況下，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過程】（1）當(dāng)a=3時(shí)，B=xa+1≤x≤2a?1=4,5，所以?RB=?（2）因?yàn)锽∩?RA當(dāng)B=?時(shí)，a+1>2a?1，解得a<2，合乎題意；當(dāng)B≠?時(shí)，即a≥2時(shí)，有a+1≥?22a?1≤5，解得?3≤a≤3，即2≤a≤3綜上，a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞16．（15分）（24-25高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足x2?2ax?3a2<0a>0，(1)若a=1，且p,q都為真命題，求x的取值范圍；(2)若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】(1)分別解出不等式，求出兩個(gè)命題的范圍,求交集即可.(2)根據(jù)充分不必要條件與集合的關(guān)系，可知q所代表的范圍是p所代表的范圍的真子集，列出不等式組，進(jìn)而即得.【解答過程】（1）a=1時(shí)，x2?2x?3<0，即p:?1<x<3，由q得(x?4)(x?2)<0，解得2<x<4又q:2<x<4，而p，q都為真命題，所以2<x<3；（2）a>0，x2?2ax?3a由q是p的充分不必要條件，則?a≤23a≥4等號(hào)不同時(shí)成立，又因?yàn)閍>0所以a≥417．（15分）（2024·全國·二模）已知實(shí)數(shù)a>0,b>0，滿足a+b=43(1)求證：a2(2)求a2【解題思路】（1）將a+b=43（2）將a2【解答過程】（1）由a+b=43得48=當(dāng)且僅當(dāng)a=b=23所以a2（2）由已知a>0,b>0，則ab>0，則a=ab+49當(dāng)且僅當(dāng)ab=49aba+b=43，即a,b一個(gè)為所以a2+1b18．（17分）（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx(1)求fx(2)若fx+4x?2【解題思路】（1）分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值號(hào)求解即可；（2）求出gx【解答過程】（1）當(dāng)x≥2時(shí)，fx=2x+1?2x?4=5，當(dāng)?12≤x<2時(shí)，fx=2x+1+2x?4=4x?3解得34當(dāng)x<?12時(shí)，fx綜上，不等式fx>0的解集為（2）令gx則gx當(dāng)且僅當(dāng)2x+12x?4≤0時(shí)，即即gx的值域?yàn)?,+所以不等式gx>2m即2m2?3m?5<0即實(shí)數(shù)m的取值范圍為?1,519．（17分）（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知集合M=1,2,?,n，n∈N?，A、B是M的非空子集.記集合A+B=x+y除以n的余數(shù)x∈A,y∈B.若正整數(shù)n滿足：存在非空集合A、B，使得A+B兩兩的交集為空集，且(1)設(shè)A=1，B=2,4，當(dāng)n=5時(shí)，求A+B，并直接判斷(2)證明：n=8是“好的”，n=16是“好的”；(3)求所有“好的”正整數(shù).【解題思路】（1）根據(jù)題中定義可求出集合A+B，并由此作出判斷；（2）當(dāng)n=8時(shí)，取集合A=1,2，B=3,6；當(dāng)n=16時(shí)，取集合A=1,2,9,10（3）先證明出：若正整數(shù)n是“好的”，則2n也是“好的”，再證：n≥3為奇數(shù)是“好的”，n=4不是“好的”，同理易知n=1，2不是“好的”，由此可得出結(jié)論.【解答過程】（1）當(dāng)n=5時(shí)，由題中定義可得A+B=0,3，且A∪B∪A+B=（2）n=8時(shí)，取A=1,2，B=3,6，則x+y的值為4、7、5、所以A+B=4,5,7,0，此時(shí)A∪B∪n=16時(shí)，取A=1,2,9,10，B=x+y的值分別為4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余數(shù)為4，7，12，15，5，8，13，0.所以A+B=4,5,7,8,12,13,15,0，則A∪B∪故n=8是“好的”，n=16是“好的