2/30專題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）】 2【題型2判斷不含參函數(shù)的單調(diào)性】 4【題型3含參函數(shù)討論單調(diào)性】 5【題型4根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 9【題型5函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系】 12【題型6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】 15【題型7函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】 18【題型8導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】 191、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)結(jié)合實例，借助幾何直

觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

(2)能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)

(3)會利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡單應(yīng)用2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第10題，6分2024年北京卷：第20題，15分2025年全國二卷：第18題，17分導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高考常考的熱點內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，本節(jié)內(nèi)容在高考中常涉及的問題有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小、解不等式、求參數(shù)范圍等；此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，此類問題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中時往往在第一小問中呈現(xiàn)，此時試題整體難度較大，復(fù)習(xí)要加強訓(xùn)練.知識點1導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略1．確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.2．含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負(fù)及兩根的大?。蝗舨荒芤蚴椒纸?，則需討論判別式Δ的正負(fù)，二次項系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).3．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=f(x)在(a,b)上單調(diào)，則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f'(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.知識點2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1．比較大?。豪脤?dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2．解不等式：與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f'(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.【解題方法與技巧】導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的一些常見結(jié)構(gòu)：(1)對于不等式f'(x)+g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x).(2)對于不等式f'(x)-g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).特別地，對于不等式f'(x)>k，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx.(3)對于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)·g(x).(4)對于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(5)對于不等式xf'(x)+nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(6)對于不等式f'(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(7)對于不等式f'(x)+kf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.【題型1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）】【例1】（2025·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)y=lnx+1x的單調(diào)增區(qū)間為（

A．?∞,1 B．0,1 C．1,e【答案】B【解題思路】先確定函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【解答過程】函數(shù)的定義域為0,+∞因為y=lnx+1x令y′>0，即?lnxx所以函數(shù)y=lnx+1x故選：B.【變式1-1】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)y=12xA．?1,1 B．?1,1 C．1,+∞ D．【答案】D【解題思路】先得出函數(shù)的定義域，再令f′【解答過程】函數(shù)fx的定義域為0,+∞，f′x=x?多取一個端點不影響單調(diào)性，所以fx在0,1故選：D.【變式1-2】（2025·浙江·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=lnA．0,1 B．1C．1?22,【答案】D【解題思路】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再令f′【解答過程】函數(shù)fx=ln且f′令f′x>0所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為1故選：D.【變式1-3】（2025·四川成都·三模）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，fx=x1?lnx，則當(dāng)A．?∞,?eC．?∞,0 【答案】D【解題思路】首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)在?【解答過程】當(dāng)x>0時，fx=x1?所以當(dāng)0<x<1時f′x>0，當(dāng)x>1所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+又函數(shù)fx是定義在R所以fx在?1,0上單調(diào)遞增，在?故選：D.【題型2判斷不含參函數(shù)的單調(diào)性】【例2】（2025·湖北黃岡·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A．fx=lnC．fx=ln【解題思路】由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)逐一判斷即可.【解答過程】對于A，由題意可得1+x1?x>0，解得?1<x<1，所以定義域為又f′對于B，f?x=ln二者不相等，所以不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，定義域需滿足ex?e對于D，定義域為R，f?xf′故選：D.【變式2-1】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）下列函數(shù)在0,+∞上是單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A．fx=xC．fx=?e【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性判斷A，C，D，根據(jù)對數(shù)復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性判斷B.【解答過程】對于A，f′x=3對于B．當(dāng)x∈0,1時，t=x?1單調(diào)遞減，y=lnt單調(diào)遞增，所以當(dāng)對于C．f′x=?ex對于D．f′x=1+故選：D．【變式2-2】（2025·湖北·模擬預(yù)測）下列函數(shù)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增的是（

）A．fx=12?x B．fx=【答案】C【解題思路】對A，根據(jù)解析式判斷單調(diào)性得解；對B，C，D，求導(dǎo)，利用判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)得解.【解答過程】對于A，fx=12?x的定義域為?∞,2∪2,+∞對于B，f′x=1?xe對于C，f′x=對于D，f′x=1?2x=x?2故選：C.【變式2-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=lnA．是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增 【答案】A【解題思路】借助函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)奇偶性，借助導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.【解答過程】∵fx的定義域為R，f∴fx當(dāng)x>0時，f′x=故選：A.【題型3含參函數(shù)討論單調(diào)性】【例3】（2025·河北保定·一模）已知函數(shù)f(x)=3(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【答案】(1)2x?y?4=0；(2)答案見解析.【解題思路】（1）把a=2代入，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.【解答過程】（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f(x)=3x2?5x+lnx，求導(dǎo)得f所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y+2=2(x?1)，即2x?y?4=0.（2）函數(shù)f(x)=32a求導(dǎo)得f′當(dāng)a≤0時，由f′(x)>0，得0<x<13；由函數(shù)f(x)在(0,13)當(dāng)0<a<3時，由f′(x)>0，得0<x<13或x>1函數(shù)f(x)在(0,13),(當(dāng)a=3時，f′(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=13時取等號，函數(shù)當(dāng)a>3時，由f′(x)>0，得0<x<1a或x>1函數(shù)f(x)在(0,1a),(所以當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,13)當(dāng)0<a<3時，函數(shù)f(x)在(0,13),(當(dāng)a=3時，函數(shù)f(x)在(0,+∞當(dāng)a>3時，函數(shù)f(x)在(0,1a),(【變式3-1】（2025·浙江紹興·三模）已知函數(shù)fx=aln(1)若y=fx在x=e處的切線方程為y=2(2)討論fx【答案】(1)m=?2(2)答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意和切線方程列方程求解實數(shù)a、m的值．（2）首先求出f′(x)=a【解答過程】（1）由f'(x)=a依題意，f′解得a=2m=?2（2）fx的定義域為0,+∞，當(dāng)a≤0時，恒有f′x<0，故f②當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，得由f′x>0，得0<x<a；由f故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a,+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為0,a綜上所述，當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a,+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為0,a【變式3-2】（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）已知函數(shù)fx=1(1)若fx的圖象在0,f0處的切線經(jīng)過點12(2)討論fx【答案】(1)a=?2(2)答案見解析【解題思路】（1）求導(dǎo)求出切線的斜率和切點坐標(biāo)，由直線的點斜式方程求出切線方程，再代入經(jīng)過點的坐標(biāo)可得答案；（2）求導(dǎo)，分a≤0、0<a<2、a=2、a>2討論，可得答案.【解答過程】（1）f′因為f0=?a?1所以fx的圖象在0,f0處的切線方程為將12,0代入得a+1（2）f′當(dāng)a≤0時，ex?a≥0，令f′x>0，得x>所以fx在ln2,+∞當(dāng)a=2時，f′x=ex當(dāng)a>2時，令f′x>0，得x>lna或x<所以fx在?∞,ln2當(dāng)0<a<2時，令f′x>0，得x>ln2或x<所以fx在?∞,lna綜上，當(dāng)a≤0時，fx在ln2,+∞當(dāng)0<a<2時，fx在?∞,lna當(dāng)a=2時，fx在?當(dāng)a>2時，fx在?∞,ln2【變式3-3】（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在e(2)若a≥0，gx=ax【答案】(1)e(2)答案見解析【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，結(jié)合切點易求得切線方程；（2）將函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)a進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)的單調(diào)性.【解答過程】（1）fx=x?lnx?2，則f′(e故切線方程為y?(e?3)=e（2）函數(shù)gx=ax2?g′當(dāng)a=0時，g′x=1?xx當(dāng)0<x<1時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)在當(dāng)x>1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在當(dāng)a>0時，g'①當(dāng)0<a<12時，12a>1，當(dāng)0<x<1或即函數(shù)g(x)在(0,1)和(1當(dāng)1<x<12a時，g′(x)<0，即函數(shù)②當(dāng)a=12時，則對任意的x>0,g′(x)=③當(dāng)a>12時，當(dāng)0<x<12a或x>1時，g′(x)>0，即函數(shù)g(x)在當(dāng)12a<x<1時，g′(x)<0，即函數(shù)綜上所述，當(dāng)a=0時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞當(dāng)0<a<12時，函數(shù)g(x)在(0,1)和(1當(dāng)a=12時，函數(shù)g(x)在當(dāng)a>12時，函數(shù)g(x)在(0,12a)【題型4根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例4】（2025·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)f(x)=ax?loga(x+1)(a>1)在A．(1,e] B．(1,e) C．【答案】B【解題思路】求導(dǎo)，由題意將問題轉(zhuǎn)換成ax(x+1)lna2【解答過程】求導(dǎo)可得f′由題意f′即ax即ax令gx因為a>1，易知gx=a此時g0=ln又a>1，lna>0所以0<lna<1，解得：所以a的取值范圍是(1,e故選：B.【變式4-1】（2025·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=(x?a?1)ex?x2A．a(chǎn)=b B．a(chǎn)=1b C．a(chǎn)=ln【答案】C【解題思路】由題意可得f′x≥0恒成立，進(jìn)而分b≤0【解答過程】由fx得f′因為fx是R上的增函數(shù)，則f即x?ae當(dāng)b≤0時，ex?b>0，此時當(dāng)b>0時，等價于x?ax?lnb則a=ln故選：C.【變式4-2】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知fx=x2?mx，gx=A．?2,4 B．?3,0 C．?3,?2 D．?3,4【答案】D【解題思路】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)fx在1,2上不單調(diào)時，求得m的取值范圍，再由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)gx在1,2上不單調(diào)時，求得【解答過程】由函數(shù)fx=x若fx在1,2上不單調(diào)，則滿足?1<m2又由函數(shù)gx=x+m若gx在?1,2上不單調(diào)，則滿足?1<?m?1<2，解得?3<m<0所以兩個函數(shù)圖象至少有一個在區(qū)間?1,2上不單調(diào)，則有?2<m<4或?3<m<0，可得?3<m<4，所以實數(shù)m的取值范圍為?3,4.故選：D.【變式4-3】（2025·河北張家口·三模）已知函數(shù)fx=5x2+2a?1x,x≥1,aex?1+4x,x<1,A．0,12 B．0,1 C．1,2 【答案】B【解題思路】結(jié)合條件根據(jù)單調(diào)性的定義可得函數(shù)gx=fx【解答過程】?x1，x2∈R，且x1記gx則由單調(diào)性的定義知，函數(shù)gx在R則需滿足：?x=xtx=ae且t1=ae對于①，要使?x=x則?′x=x2?2a?1所以2a?1≤x2min，因為x2≥1對于②，因為y=ex?1在所以tx=aex?1在對于③，a≤2a，所以a≥0；所以a≤1a>0a≥0，解得0<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：B.【題型5函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系】【例5】（24-25高二下·廣東·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若y=xf′

A．?3,?1和0,1 B．?3,?1C．?4,?3和?1,1 D．?3,?1和1,2【答案】A【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與單調(diào)性關(guān)系，結(jié)合圖像逐個判斷.【解答過程】根據(jù)xf′x的圖象可知，當(dāng)x∈當(dāng)x∈?4,?3∪?1,0所以fx在?3,?1,0,1故BCD錯誤，A正確.故選：A.【變式5-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=xα(x>0)，α為實數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，在同一直角坐標(biāo)系中，f(x)A． B．C． D．【答案】C【解題思路】先通過特值代入易得A項符合，對于B,C,D項，通過圖象觀察分析可得α>1，結(jié)合兩函數(shù)圖象交點的位置舍去C項.【解答過程】由f(x)=xα對于A，當(dāng)α=?1時，在第一象限上f(x)=x?1遞減，對應(yīng)對于B,C,D,在第一象限上fx與f′(x)的圖象在又由fx=f′x可得x=α>1故選：C.【變式5-2】（24-25高二下·江西·期末）若fx是定義在區(qū)間?3,2上的函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，則A．?2,?1∪1,2 C．?3,?2∪0,1 【答案】B【解題思路】結(jié)合圖象，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得f′x<0和f【解答過程】由圖可知fx的減區(qū)間為?3,?1，1,2，增區(qū)間為?1,1所以當(dāng)x∈?3,?1∪1,2時，f′x又由圖知，當(dāng)x∈?3,?2∪0,2時，fx>0所以fxf′故選：B.【變式5-3】（2025·山東濟南·模擬預(yù)測）已知在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)A．函數(shù)y=ex?f(x)B．函數(shù)y=ex?f(x)C．函數(shù)y=e?x?f(x)D．函數(shù)y=e?x?f(x)【答案】C【解題思路】首先分析哪一個函數(shù)圖象為y=f(x)、y=f【解答過程】如圖，不妨令上面的曲線為C1，C1與x的軸交點橫坐標(biāo)分別為e，d下面的曲線為C2，C2與x的軸交點橫坐標(biāo)為由C2的圖象可知，當(dāng)0<x<c時函數(shù)值小于0，當(dāng)x>0時函數(shù)值大于0，且C由C1的圖象可知，當(dāng)e<x<d時函數(shù)值小于0，當(dāng)x>d或0<x<e時函數(shù)值大于0，且C又這兩個函數(shù)圖象為函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f所以y=f(x)對應(yīng)的是C1，y=f′所以當(dāng)a<x<c時f′(x)<0，fx當(dāng)c<x<b時f′(x)>0，fx單調(diào)遞增，且當(dāng)c<x<d時fx<0對于A、B：由y=ex?f(x)顯然ex>0，當(dāng)a<x<c時fx+f′x當(dāng)d<x<b時fx+f′x>0，所以對于C、D：y=e?x?f(x)顯然e?x>0，且當(dāng)a<x<b時f′所以y′>0，所以y=e故選：C.【題型6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】【例6】（2025·山西·三模）設(shè)a=e24?ln4，b=2ln2，c=eA．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<c C．c<a<b D．b<c<a【答案】C【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性比較大小.【解答過程】設(shè)fx則a=e22lne因為f′x=lnx?1lnx2，當(dāng)又e<e2故選：C.【變式6-1】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知a=e110?1，b=ln1917，c=19A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a【答案】D【解題思路】構(gòu)造f(x)=ex?x?1，先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性，得出f(x)單調(diào)性，再令x=110，比較a,c.再構(gòu)造g(x)=ln(x+1)?【解答過程】令f(x)=ex?x?1，則f′(x)=令f′(x)<0，則x<0，令f′(x)>0，則x>0，故f(x)在區(qū)間(?∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+∞即ex≥x+1，即e?x當(dāng)0<x<1時，由e?x>1?x>0，得ex<11?x，所以令g(x)=ln(x+1)?2xx+2所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，即g(x)>g(0)=0，即所以ln1917=ln217+1>故選：D．【變式6-2】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）已知函數(shù)fx=ex?x2A．b>a>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．b>c>a【答案】D【解題思路】先判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，再分析其在x≥0時的單調(diào)性，同時分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而比較自變量的大小，最后根據(jù)f(x)的單調(diào)性得出函數(shù)值的大小關(guān)系．【解答過程】因為f?x=e當(dāng)x≥0時，則fx=e令φx=f令φ′x<0，解得0≤x<ln2所以φx在0,ln2上單調(diào)遞減，在ln2,+∞上單調(diào)遞增，可得φx≥φln2令gx=lnxx，則g′x=1?lnxx2又e<π<4，所以g所以e1e>π1故選：D.【變式6-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=f′1A．fa<fbC．fb<fa【答案】D【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)值，求出函數(shù)解析式，通過導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)比較三個數(shù)值的大小，通過函數(shù)單調(diào)性，寫出三個函數(shù)值的大小關(guān)系.【解答過程】由題意得，f′(x)=?f′(1)e1?x?1x，代入令g(x)=xe1?x?2可知在(0,1)上，g′(x)>0，g(x)在在(1,+∞)上，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞所以在(0,+∞)上g(x)<0，則f′(x)<0，所以設(shè)?(x)=x+ln(1?x)(x<1)，可知則當(dāng)x<0時，?′(x)>0，當(dāng)0<x<1時，?′(x)<0，所以?(x)在所以?(0.2)=0.2+ln0.8<?(0)=0，所以令φ(x)=xex+令t(x)=(1?x2)當(dāng)0<x<2?1時，t′(x)>0，t(x)在(0,2?1)上單調(diào)遞增，當(dāng)2?1<x<1由t(0)=0可知，當(dāng)0<x<2?1時，t(x)>t(0)=0，即φ′(x)>0，所以φ(x)在(0,2綜上可知，c>b>a>0，由fx在(0,+∞)故選：D.【題型7函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】【例7】（2025·山東聊城·二模）函數(shù)f(x)定義域為R，且滿足f(?x)=?f(x)，若y=f(x)?x+ex是偶函數(shù)，則不等式fxA．(?2,0) B．(?∞,?2)∪(0,+∞) C．【答案】B【解題思路】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)列式得出函數(shù)解析式，再應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，最后結(jié)合單調(diào)性計算求解.【解答過程】因為f(?x)=?f(x)，且y=f(x)?x+e所以f(?x)+x+e所以fx=x+e則不等式fxex所以xex?2>x?所以x>0或x<?2.故選：B.【變式7-1】（2025·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)fx=3x3?sinx+xA．1,+∞ B．?∞,1 C．2,+【答案】C【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得.【解答過程】fx=3xf?x又f'x=9x2所以fx+f4?3x即x的取值范圍是2,+∞故選：C.【變式7-2】（2025·河南·二模）已知函數(shù)fx=xlnx2+3A．1,+∞ B．2,+∞ C．3,+∞【答案】B【解題思路】根據(jù)解析式得到f(2?x)=f(x)，即f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，利用對稱性、單調(diào)性解不等式求參數(shù)范圍.【解答過程】若x>1，則2?x<1，故f(2?x)=[2?(2?x)]ln[7?4(2?x)+(2?x)所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，當(dāng)x≥1，有y=xln(x所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故在對于f5?a<fa+1，則|5?a?1|<|a+1?1|所以(4?a)2故選：B.【變式7-3】（24-25高二下·湖南婁底·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+f′x>1A．2,+∞ B．1,+∞ C．?∞【答案】B【解題思路】設(shè)gx=exfx?【解答過程】設(shè)gx則g′因為fx+f′x>1，所以所以y=gx在定義域R故原不等式可轉(zhuǎn)化為exfx?e所以gx>g1，所以x>1，故不等式e故選：B.【題型8導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】【例8】（2025·湖南·三模）已知y=fx是定義在1,+∞上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為y=f′x，若xf′A．1,3 B．3,e2 C．1,e【答案】D【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=fxxx>1，根據(jù)條件得【解答過程】令gx=f因為xf′x<fx則gx=f又f3=6，由flnx>2解得e<x<故選：D.【變式8-1】（2024·吉林長春·一模）已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，滿足xf′A．(0,1) B．(0,2) C．(1,+∞) 【答案】D【解題思路】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x2，由導(dǎo)數(shù)確定g(x)【解答過程】設(shè)g(x)=f(x)x2因為x>0，xf′(x)?2f(x)<0，所以g′(x)<0不等式f(2x)>4x，即f因為g(x)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以2x<2所以不等式的解集為：(?∞故選：D.【變式8-2】（2024·廣東佛山·一模）設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f1?x+f1+x=0，f2=0，當(dāng)x>1A．0,1∪1,2 B．0,1∪2,+∞ 【答案】C【解題思路】令gx=fxx?1，求導(dǎo)，得到gx在1,+∞上單調(diào)遞增，且g2=0，由f1?x+f1+x=0得到g1?x=g1+x，得到gx的對稱性，故gx在?∞【解答過程】令gx=f因為x>1時，x?1f′x?fx故gx在1,+∞上單調(diào)遞增，且因為f1?x+f1+x即?x?g1?x+x?g1+x故gx關(guān)于直線x=1對稱，故gx在?∞當(dāng)x<0時，gx>0，則當(dāng)1<x<2時，gx<0，則所以使得fx<0成立的x的取值范圍是故選：C．【變式8-3】（2025·貴州畢節(jié)·二模）已知函數(shù)fx是定義域為R的奇函數(shù)，f′x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f1=0，當(dāng)x<0時，A．?∞,?1∪C．?∞,?1∪【答案】D【解題思路】當(dāng)x<0時，xf′x+3fx>0，可得gx=x【解答過程】令gx=x由題意知當(dāng)x<0時，g′x>0，故g因為函數(shù)fx是定義域為R所以f?x所以g?x所以gx是定義域為R所以gx在0,+又因為f1=0，所以所以g1所以當(dāng)x∈?∞,?1時，g當(dāng)x∈?1,0時，gx=當(dāng)x∈0,1時，gx=當(dāng)x∈1,+∞時，gx則不等式fx<0的解集為故選：D.一、單選題1．（2025·湖南長沙·二模）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx+ax(a∈R)在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)A．[2,+∞) B．(?∞,【答案】D【解題思路】首先對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)題意導(dǎo)數(shù)小于0，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定其最值即可求出a的取值范圍.【解答過程】由題意得f′(x)=cos則a≤sin因為sinx?要使得不等式恒成立，則a≤?2故選：D.2．（2025·北京海淀·三模）下列函數(shù)中，在?∞,0上時單調(diào)遞增函數(shù)的是（A．fx=1x B．fx=【答案】A【解題思路】由冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷AC；對fx【解答過程】對于A，因為x<0，fx=1對于B，fx當(dāng)x<0時，f′所以fx=e對于C，fx=xf?x=3因為23>0，所以由冪函數(shù)的性質(zhì)知fx由偶函數(shù)的性質(zhì)可得：fx=x對于D，當(dāng)x<0時，fx由y=sinx的單調(diào)性知，y=sin所以fx=sin故選：A.3．（2025·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<π2)

A．13 B．12 C．23【答案】B【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到函數(shù)的最小值和導(dǎo)函數(shù)的最大值即可求解.【解答過程】觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)在x0的左側(cè)，f'(x)>0在x0的右側(cè)，f'(x)<0

所以由圖函數(shù)fx=Asinωx+φ的最小值為故fx=sin由圖可知f'(x)max故選：B.4．（2025·北京·三模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增的是（

A．fx=?lnC．fx=x【答案】B【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義，和函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)在區(qū)間0,+∞【解答過程】已知fx=?ln已知fx=3x?3x，定義域為f′x=3+3x已知fx=x?1已知fx=x3?3x，則f′x所以fx=x故選：B.5．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知a=ln1.2,b=0.2,c=1.2?1，則A．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a(chǎn)<b<c【答案】B【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx=x?ln1+xx>0，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性即可得出b>a【解答過程】構(gòu)造函數(shù)fx當(dāng)x>0時，f′x>0，故f所以f0.2構(gòu)造函數(shù)gx則g′當(dāng)x∈0,2,g所以g0.2=ln所以c<a<b.故選：B．6．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2a?1lne?x,x<0,A．12,1 B．12,2 【答案】C【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合fx在R上單調(diào)遞減，得1?2a<0【解答過程】由題意有：當(dāng)x<0時，fx=2a?1所以1?2a<0，當(dāng)x≥0時，fx=2?a2又fx在R上單調(diào)遞減，所以1?2a<0aa?2a+故選：C.7．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）定義在0,?+∞上的可導(dǎo)函數(shù)fx，滿足f′x+2fxx=lnxx2，且fA．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得fx在0,+∞上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷a、b、【解答過程】由已知可得：x2f′則g′且fx再令?x=xln∴當(dāng)x∈0,e時，?′x>0當(dāng)x∈e,+∞時，?′x∴?x∴f′x≤0在0,+∞∵2<e<3，∴f2故選：C.8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域都是R，若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f′(x)+ex+xA．?∞,12 B．12,+【答案】D【解題思路】由偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出f′x=?f′?x，由已知可得出f'x+ex+x=f'?x【解答過程】因為fx為偶函數(shù)，則fx=f因為函數(shù)f'x+聯(lián)立①②可得f'令gx=f′x所以，函數(shù)gx在R上為減函數(shù)，即函數(shù)f′x故當(dāng)x>0時，f'x<f'由f(a)>f(3a?1)可得f(a所以，a<3a?1，整理可得8a2?6a+1>0故選：D.二、多選題9．（2025·新疆·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=13x3?A．?4 B．?3 C．3 D．4【答案】ACD【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)fx的增區(qū)間和減區(qū)間，結(jié)合題意可得出區(qū)間的包含關(guān)系，可求出實數(shù)m【解答過程】因為fx=1由f′x<0可得?1<x<2，由f′x所以，函數(shù)fx的增區(qū)間為?∞,?1和2,+若函數(shù)fx在m?1,m+3上單調(diào)遞減，則m?1,m+3且m?1<m+3成立，則m?1≥?1m+3≤2若函數(shù)fx在m?1,m+3則m?1,m+3??∞即m+3≤?1或m?1≥2，解得m≤?4或m≥3，故選：ACD．10．（2025·山東威?！と＃┮阎猣(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x)可導(dǎo)，f(x?1)為奇函數(shù)，記函數(shù)g(x)=(x+1)f(x),f′(x),g′(x)A．g′(?1)=0 C．g′(x?1)=g【答案】ABD【解題思路】根據(jù)f(x?1)為奇函數(shù)可得f?1=0及gx?1=g?x?1，求導(dǎo)后可判斷AC的正誤，對于B，由f(?x?1)+fx?1=0【解答過程】因為f(x?1)為奇函數(shù)，故f(?x?1)+fx?1=0，令x=0則因為g(x)=(x+1)f(x),故g′故g′對于B，因為f(?x?1)+fx?1=0，則故f′對于C，因為gx?1=xfx?1故gx?1=g?x?1對于D，因為fx為R上的增函數(shù)，故f而f?1=0，故當(dāng)x>?1時，fx>0，當(dāng)故當(dāng)x>?1時，g′(x)>0，當(dāng)x<?1時，故gx在?∞,?1而gx?1=g?x?1，故x=?1故g(?1?1.04設(shè)sx=?1+1+2xs故s′x為0,1上的增函數(shù)，故故?1+1+2x>ln故?1+1.04>即g(ln故選：ABD.11．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx為定義在R上的連續(xù)函數(shù)，f′x為fx的導(dǎo)函數(shù)，f2+x?f2?xA．fx在2,+B．fC．若x1<D．?a∈R,【答案】ACD【解題思路】由f(2+x)?f(2?x)=0，即f(2+x)=f(2?x)，可知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，f(x)在(?∞,2)上單調(diào)遞減，根據(jù)對稱性可得在(2,+∞)上單調(diào)遞增.對于A選項：根據(jù)單調(diào)性分析，該選項正確.對于B選項：對f(2+x)?f(2?x)=0求導(dǎo)后令x=?1，判斷該選項錯誤.對于C選項：分x1<x2≤2【解答過程】因為f2+x?f2?x=0，所以因為fx在?∞,2上單調(diào)遞減，所以f對f2+x?f2?x=0兩邊求導(dǎo)得f′對于x1<x2,fx1<fx當(dāng)2≤x1<x2時，因為fx在當(dāng)x1<2<x2時，因為f2+x?f2?x=0，所以f2+x因為x1<2<x2，所以4?x1>2，又f因為fx在?∞,2上單調(diào)遞減，在2,+∞上單調(diào)遞增，所以當(dāng)當(dāng)x∈2,+∞時，f′x≥0，且f′2故選：ACD.三、填空題12．（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）函數(shù)fx=x+2cos【答案】π6,5π6（寫成π6,【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解.【解答過程】因為fx=x+2cos令f′x≤0，得sin所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間是π故答案為：π613．（2025·山西·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x3+ax2【答案】?3,+【解題思路】先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性得出a≥?3【解答過程】f′令f′x≥0，則當(dāng)x∈又因為?3當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，且當(dāng)a=?3時，f′故a的取值范圍是?3,+∞故答案為：?3,+∞14．（2025·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，且f′x【答案】?1,+【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx【解答過程】設(shè)gx=e故gx在R且e2x+2fx+2即gx+2故x+2>?x?x>?1.故不等式e2x+2fx+2故答案為：?1,+∞四、解答題15．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=fx在點e(2)若函數(shù)fx為增函數(shù)，求a【答案】(1)e(2)1【解題思路】（1）簡化函數(shù)表達(dá)式，計算fe，求導(dǎo)函數(shù)并計算f（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間的符號，建立不等式求解參數(shù)范圍；【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，fx=1所以f′所以fe所以曲線y=fx在點e,f（2）f=x?2a因為函數(shù)fx為增函數(shù)，所以f′x當(dāng)1>x>0時，lnx<0，不等式x?2a所以x?2a≤0?x≤2a，又1>x>0，所以2a≥1?a≥1當(dāng)x>1時，lnx>0，不等式x?2a所以x?2a≥0?x≥2a，又x>1