第9章規(guī)則金屬波導(dǎo)9.1矩形波導(dǎo)

9.2圓波導(dǎo)

9.3同軸線及其高次模

9.4波導(dǎo)的激勵與耦合

9.1矩

形

波

導(dǎo)

矩形波導(dǎo)（rectangularwaveguide）是截面形狀為矩形的金屬波導(dǎo)管，如圖9-1所示。a、b分別表示波導(dǎo)內(nèi)壁寬邊和窄邊尺寸，管壁材料一般用銅、鋁等金屬制成，有時其壁上鍍有金或銀，波導(dǎo)內(nèi)通常充以空氣。矩形波導(dǎo)是最早使用的導(dǎo)行系統(tǒng)之一，至今仍是使用最廣泛的導(dǎo)行系統(tǒng)，特別是高功率系統(tǒng)、毫米波系統(tǒng)和一些精密測試設(shè)備等，主要是采用矩形波導(dǎo)。

本節(jié)中，我們首先分析矩形波導(dǎo)中的導(dǎo)模模式及其場結(jié)構(gòu)，然后研究矩形波導(dǎo)中波的傳輸特性，并著重分析TE10模的特性。圖9-1矩形波導(dǎo)

9.1.1矩形波導(dǎo)中的導(dǎo)模及其場分量如圖9-1所示，矩形波導(dǎo)采用直角坐標(biāo)系（x,y,z），拉梅系數(shù)h1=h2=h3=1，則沿波導(dǎo)正z方向傳播的導(dǎo)波場可以寫成（略去時間因子ejωt）可寫出直角坐標(biāo)系中軸向場分量所滿足的導(dǎo)波方程：

（9-1）

（9-2）

應(yīng)用分離變量法求解，

即令

（9-3）

代入式（9-2），

得到

（9-4）

式中X″和Y″分別是X、Y對x、y的二階導(dǎo)數(shù)。式(9-4)要成立，則左邊兩項應(yīng)分別等于常數(shù)。令（9-5）和

（9-6）

顯然

（9-7）式（9-6）和式（9-7）的通解分別為

（9-8）（9-9）

因此得到

（9-10）

同理可以求得

（9-11）結(jié)合邊界條件確定積分常數(shù)，利用橫向場分量與縱向場分量的關(guān)系即可求出所有場分量。由式(8-24a)可寫出直角坐標(biāo)系中橫向場分量與縱向場分量之間的關(guān)系式，

即

（9-12）

1.TE模（TEmodes）

對于TE模，Ez=0，Hz≠0。邊界條件要求在管壁處切向電場為零，由式（8-28）或式（9-12）可知在x=0和a處：

在y=0和b處：

由式（9-10）得到

代入邊界條件，

由x=0處 ，

應(yīng)有

由此得到

又由x=a處，

應(yīng)有

則得到

或者

由y=0處

，

應(yīng)有

由此得到

由y=b處

，

應(yīng)有

則得到

或者

最后得到Hz的基本解為

（9-13）

式中，Hmn=A1B1為任意振幅常數(shù)，m、n可取任意非負(fù)整數(shù)，稱為波型指數(shù)。任意一對m、n值對應(yīng)一個基本波函數(shù)。這些基本波函數(shù)的組合也是式（9-2）的解。故Hz的一般解為（9-14）

將式（9-14）代入式（9-12），

最后可得矩形波導(dǎo)中傳輸型TE導(dǎo)模場分量為

（9-15）

式中

（9-16）

可見，矩形波導(dǎo)中的TE導(dǎo)模有無窮多個，以TEmn表示。最低次的TE模是TE10模(a>b)。需要指出的是，m和n不能同時為零。因為當(dāng)m=0且n=0時，由式（9-15）可知，只有一恒定磁場Hz，而其余場分量均不存在，所以m和n同時為零時的解無意義。

2.TE模（TEmodes）

對于TE模，Ez=0，Hz≠0。邊界條件要求在管壁處切向電場為零，由式（8-28）可知在x=0和a處：

在y=0和b處：

由式（9-11）得到

于是得到Ez的基本解為

（9-17）

式中，Emn=A4B4為任意振幅常數(shù)，m、

n可取任意正整數(shù)。Ez的一般解為（9-18）

將式（9-18）代入式（9-12），

最后可以得到矩形波導(dǎo)中傳輸型TM導(dǎo)模的場分量為

（9-19）

式中

可見，矩形波導(dǎo)中的TM導(dǎo)模也有無窮多個，以TMmn表示，

最低次模為TM11模。

9.1.2矩形波導(dǎo)中導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)

1.TE10模與TEm0模的場結(jié)構(gòu)將m=1及n=0代入式（9-15），得到TE10模的場分量：（9-20）

可見TE10模只有Ey、Hx和Hz三個分量，且均與y無關(guān)。這表明電磁場沿y方向無變化，為均勻分布。各場分量沿x軸和z軸(波導(dǎo)寬壁中心)的變化規(guī)律分別為電場只有Ey分量，它沿x方向呈正弦變化，在a邊上有半個駐波分布，即在x=0和x=a處為零，在x=a/2處最大，如圖9-2(a)、(b)所示，Ey沿z方向按正弦變化，如圖9-2(c)所示。圖9-2TE10模的電場結(jié)構(gòu)（a）

BB′橫剖面；

（b）AA′縱剖面；

（c）

CC′縱剖面

磁場有Hx和Hz兩個分量。Hx沿a邊呈正弦分布，有半個駐波分布，即在x=0和x=a處為零，在x=a/2處最大；Hz沿a邊呈余弦分布，即在x=0和x=a處最大，在x=a/2處為零，如圖9-3(a)所示。Hx沿z方向按正弦變化，Hz沿z方向按余弦變化。Hx和Hz在xy平面內(nèi)合成閉合曲線，類似橢圓形狀，如圖9-3(b)所示。可見，Ey和Hx沿z方向反相（兩者振幅同時達(dá)到最大或最小，但差一負(fù)號），它們與Hz沿z方向則有90°相位差(即橫向電磁場最大時縱向場為零；而橫向電磁場為零時縱向場最大），這是傳輸模的特點。圖9-3TE10模的磁場結(jié)構(gòu)（a）

EE′橫剖面；

（b）DD′縱剖面

圖9-4TE10模電磁場結(jié)構(gòu)

2.TE01模與TE0n模的場結(jié)構(gòu)

TE01模只有Ex、Hy和Hz三個分量。TE01模的場結(jié)構(gòu)與TE10模的差異只是波的極化面(即通過電場矢量與波導(dǎo)軸的平面)旋轉(zhuǎn)了90°，即場沿a邊無變化，沿b邊有半個駐波分布，如圖9-5(c)所示。

仿照TE01模的場結(jié)構(gòu)，TE02、TE03、…、TE0n模的場結(jié)構(gòu)便是場沿a邊無變化，沿b邊有2個、3個、…、n個半駐波分布，或者說是沿a邊無變化，沿b邊分布有2個、3個、…、n個TE01模場結(jié)構(gòu)“小巢”。TE02模的場結(jié)構(gòu)如圖9-5(d)所示。圖9-5矩形波導(dǎo)中TE模和TM模場結(jié)構(gòu)截面圖

3.TE11模與TEmn(m、n>1)模的場結(jié)構(gòu)

m和n都不為零的TE模有五個場分量，其中最簡單的是TE11模，其場沿a邊和b邊都有半個駐波分布，如圖9-5(e)所示。仿照TE11模，m和n都大于1的TEmn模的場結(jié)構(gòu)便是沿a邊分布有m個TE11模場結(jié)構(gòu)“小巢”，沿b邊分布有n個TE11模場結(jié)構(gòu)“小巢”。TE21模的場結(jié)構(gòu)如圖9-5(f)所示。

4.TM11模與TMmn模的場結(jié)構(gòu)

TM模有五個場分量，其中最簡單的是TM11模，其磁力線完全分布在橫截面內(nèi)，且為閉合曲線，電力線則是空間曲線。其場沿a邊和b邊均有半個駐波分布，如圖9-5(g)所示。仿照TM11模，m和n都大于1的TMmn模的場結(jié)構(gòu)便是沿a邊和b邊分別有m個和n個TM11模場結(jié)構(gòu)“小巢”。TM21模的場結(jié)構(gòu)如圖9-5(h)所示。需要指出的是，并非所有的TEmn模和TMmn模都會在波導(dǎo)中同時傳播，波導(dǎo)中存在什么模，由信號頻率、波導(dǎo)尺寸與激勵方式來決定。9.1.3矩形波導(dǎo)的管壁電流當(dāng)波導(dǎo)中傳輸電磁波時，在金屬波導(dǎo)內(nèi)壁表面上將感應(yīng)產(chǎn)生電流，稱之為管壁電流。在微波頻率下，由于趨膚效應(yīng)，管壁電流集中在波導(dǎo)內(nèi)壁表面流動，其趨膚深度δ的典型數(shù)量級是10-4cm（例如銅波導(dǎo)，f=30GHz時，δ=3.8×10-4cm<0.5μm），因此管壁電流可看成面電流，通常用電流線描述電流分布。管壁電流由管壁附近的切向磁場決定，

滿足關(guān)系

（9-21）

式中，en是波導(dǎo)內(nèi)壁的單位法線矢量，

Ht為內(nèi)壁附近的切向磁場，如圖9-6所示。

圖9-6管壁內(nèi)的表面電流

矩形波導(dǎo)幾乎都是工作在TE10模式。由式(9-20)和式(9-21)可求得其管壁電流密度分別如下：在波導(dǎo)下底面(y=0)和上頂面(y=b)，en=±ey，則有和

在左側(cè)壁（x=0）上，en=ex，則有

在右側(cè)壁（x=a）上，

en=-ex，則有

結(jié)果表明，當(dāng)矩形波導(dǎo)中傳輸TE10模時，在左、右側(cè)壁內(nèi)只有Jy分量電流，且大小相等方向相同；上、寬壁內(nèi)的電流由Jy和Jz合成，同一x位置的上、下寬壁內(nèi)的電流大小相等方向相反，如圖9-7所示。圖9-7TE10模的管壁電流與管壁上的槽縫

9.1.4矩形波導(dǎo)的傳輸特性

1.導(dǎo)模的傳輸條件與截止由式(8-21)和式（9-16）可以得到矩形波導(dǎo)中每個導(dǎo)模的傳播常數(shù)為相位常數(shù)：

(9-22)對于傳輸模，β應(yīng)為實數(shù)，即要求k2>k2c；β為虛數(shù)時，波不能傳輸；β=0時，是波導(dǎo)中波能否傳輸?shù)呐R界狀態(tài)。而對于尺寸一定的波導(dǎo)和一定的模式，k2c為一常數(shù)，如果介質(zhì)一定，k2的值就取決于頻率的高低。由式（8-37）和式（8-38）可計算得到導(dǎo)模的截止頻率和截止波長：

（9-23）

（9-24）

由上述分析可以得到如下重要結(jié)論：

1）導(dǎo)模的傳輸條件某導(dǎo)模在波導(dǎo)中能夠傳輸?shù)臈l件是該導(dǎo)模的截止波長λc大于工作波長λ，或截止頻率fc小于工作頻率f，即λ<λc或f>fc。因而金屬波導(dǎo)具有“高通濾波器”的性質(zhì)。

2）導(dǎo)模的截止由式（9-22）可知，λc<λ或fc>f的導(dǎo)模其β為虛數(shù)，相應(yīng)的模式稱為消失模（evanescentmode）或截止模（cut－offmode）。其所有場分量的振幅均按指數(shù)規(guī)律衰減，該衰減是由于截止模的電抗反射造成的。工作在截止模式的波導(dǎo)稱為截止波導(dǎo)（cutoff

waveguide），其傳播常數(shù)為衰減常數(shù)，

即

利用一段截止波導(dǎo)可做成截止衰減器。

3）導(dǎo)模的簡并現(xiàn)象波導(dǎo)中不同的模具有相同截止波長(或截止頻率)的現(xiàn)象，稱為波導(dǎo)模式的“簡并”現(xiàn)象。在矩形波導(dǎo)中，TEmn模和TMmn模(m、n均不為零)互為簡并模，它們具有不同的場分布，但是縱向傳輸特性完全相同。矩形波導(dǎo)中TEm0模和TE0n模式非簡并模式（并不絕對）。

4）主模TE10模波導(dǎo)中截止波長λc最長(或截止頻率fc最低)的模稱為該導(dǎo)行系統(tǒng)的主模（dominantmode），或稱基模、最低型模。其他的模則稱為高次模（high－ordermode）。將不同的m和n值代入式（9-24），便可得到不同模式截止波長的計算公式，見表9-1。表中同時列出以BJ-100型矩形波導(dǎo)（a=2.286cm，b=1.016cm）為例計算的部分模式的截止波長。將表中λc值按大小順序排在一橫坐標(biāo)軸上，就得到如圖9-8所示的截止波長分布圖。表9-1BJ-100型矩形波導(dǎo)不同波型的截止波長

由圖9-8可見，矩形波導(dǎo)中的主模是TE10模(如果a>b)，其截止波長最長，等于2a，它右邊標(biāo)有斜線的區(qū)域是截止區(qū)。在本例中，當(dāng)工作波長λ=5cm時，波導(dǎo)對所有模式都截止，工作在這種情況下的波導(dǎo)稱為“截止波導(dǎo)”。當(dāng)λ=4cm時，波導(dǎo)只能傳輸TE10模，工作在這種情況下的波導(dǎo)稱為“單模波導(dǎo)”。當(dāng)λ=1.5cm時，波導(dǎo)同時允許TE10、TE20、TE01、TE11、TM11、TE30、TE21及TM21等模式傳輸，工作在這種情況下的波導(dǎo)稱為“多模波導(dǎo)”。圖9-8矩形波導(dǎo)不同波型截止波長分布圖（BJ-100型波導(dǎo)）

2.相速度和群速度由式（8-40），矩形波導(dǎo)導(dǎo)模的相速度為

(9-25)式中v和λ分別表示同一媒質(zhì)中平面波的速度（)，c為自由空間中的光速）和波長（，λ0為自由空間波長），G為波型因子。由此可見，波導(dǎo)中傳輸模的相速度大于同一媒質(zhì)中的光速。主模TE10模的相速度為(9-26)由式（8-41），矩形波導(dǎo)導(dǎo)模的群速度為

(9-27)

由此可見，波導(dǎo)中傳輸模的群速度小于同一媒質(zhì)中的光速。主模TE10模的群速度為

(9-28)顯然有

（9-29）3.波導(dǎo)波長由式（8-44），矩形波導(dǎo)導(dǎo)模的波導(dǎo)波長為

（9-30）

主模TE10模的波導(dǎo)波長為

（9-31）

4.波阻抗由式（8-47b），矩形波導(dǎo)中TE模的波阻抗為

（9-32）

主模TE10模的波阻抗為

（9-33）

可見，TE10模的波阻抗與波導(dǎo)窄邊尺寸b無關(guān)。矩形波導(dǎo)通常都以TE10模式工作，由式（9-33），寬邊尺寸a相同而窄邊尺寸b不同的兩段矩形波導(dǎo)的波阻抗相等。但是，將這兩段波導(dǎo)連接時，在連接處必將產(chǎn)生波的反射而得不到匹配。為了處理波導(dǎo)的匹配問題，就需要引入波導(dǎo)的等效特性阻抗。關(guān)于矩形波導(dǎo)的等效特性阻抗問題，我們將在《微波技術(shù)》中微波網(wǎng)絡(luò)一章中討論。由式（8-47c），矩形波導(dǎo)中TM模的波阻抗為(9-34)

5.傳輸功率矩形波導(dǎo)引導(dǎo)電磁波沿正z軸傳播（行波工作狀態(tài)），傳輸?shù)钠骄β士捎刹▽?dǎo)橫截面上的坡印廷矢量的積分求得

（9-35）

矩形波導(dǎo)工作在TE10模式下的傳輸功率為

（9-36）

式中E0是TE10模電場分量的振幅常數(shù)，對于空心矩形波導(dǎo)，有

則由式（9-36）可以得到矩形波導(dǎo)傳輸TE10波的傳輸功率為

（9-37）

矩形波導(dǎo)能夠承受的極限傳輸功率稱為矩形波導(dǎo)的功率容量，一般用Pc表示。如果矩形波導(dǎo)內(nèi)媒質(zhì)的擊穿場強為Ec，由式（9-37），矩形波導(dǎo)的功率容量為

（9-38）

對于空心波導(dǎo)，已知空氣的Ec=30kV/cm，對于截面尺寸為a×b=7.214cm×3.404cm（BJ-32）的波導(dǎo)，當(dāng)傳輸電磁波的波長λ=9.1cm時，波導(dǎo)傳輸?shù)墓β嗜萘繛槭剑?-38）表明，矩形波導(dǎo)尺寸越大，頻率越高，矩形波導(dǎo)功率容量就越大。當(dāng)λ/λc>0.9時，功率容量急劇下降；當(dāng)λ/λc=1時，Pc=0；當(dāng)λ/λc<0.5時有可能出現(xiàn)高次模，既要兼顧功率容量，又要使矩形波導(dǎo)單模傳輸電磁波，一般情況下我們選取0.5<λ/λc<0.9。對于傳輸TE10模，其λc=2a，則要求a<λ<1.8a。功率容量與波長的關(guān)系如圖9-9所示。圖9-9功率容量與波長的關(guān)系

矩形波導(dǎo)的功率容量較大，適合大功率微波傳輸，其中一個主要原因是矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸比一般的微波傳輸線的截面尺寸大。需要說明的是，微波導(dǎo)行系統(tǒng)的功率容量除了與傳輸線的尺寸結(jié)構(gòu)有關(guān)外，還與導(dǎo)行系統(tǒng)所連接的負(fù)載有關(guān)。我們這里討論的是導(dǎo)行系統(tǒng)工作在行波工作狀態(tài)，即導(dǎo)行系統(tǒng)末端所接的負(fù)載將傳輸線傳輸?shù)墓β嗜课?，傳輸線上只有入射波，沒有反射波。這時，在導(dǎo)行系統(tǒng)的尺寸和介質(zhì)填充情況不變的情況下功率容量最大。但實際應(yīng)用中，導(dǎo)行系統(tǒng)上總有反射波，也就是工作在行駐波工作狀態(tài)，這時矩形波導(dǎo)傳輸TE10模的功率容量為

（9-39）

6.損耗

1）介質(zhì)損耗金屬波導(dǎo)中填充均勻介質(zhì)的損耗引起的導(dǎo)波的衰減常數(shù)為

TE導(dǎo)波或TM導(dǎo)波

（9-40）

一般情況下波導(dǎo)內(nèi)是空氣，介質(zhì)損耗可以忽略。

2）導(dǎo)體損耗將TE10模的電磁場表達(dá)式代入式（8-50c），得到導(dǎo)體損耗引起的衰減常數(shù)為

（9-41）

其他導(dǎo)模衰減常數(shù)的計算可以參照TE10模衰減常數(shù)的計算方法，金屬導(dǎo)體的表面電阻見附錄F。

圖9-10

衰減常數(shù)αc隨頻率f變化的曲線

7.矩形波導(dǎo)截面尺寸的設(shè)計考慮波導(dǎo)的尺寸設(shè)計是指根據(jù)給定的工作頻率來確定波導(dǎo)橫截面的尺寸。設(shè)計原則：工作頻帶內(nèi)單模傳輸；損耗盡可能?。还β嗜萘勘M可能大；尺寸盡可能小；制造盡可能簡單。單模傳輸?shù)臈l件為（9-42）

再綜合考慮功率容量和損耗兩方面的要求，一般取

（9-43）實用時通常按照工作頻率和用途，選用標(biāo)準(zhǔn)波導(dǎo)。國產(chǎn)波導(dǎo)尺寸見附錄G。波導(dǎo)尺寸確定后，便可確定其工作頻率范圍。由式（9-43）可知一般情況下，a>2b，為保證單模傳輸，λ>a，保守計算λ≥1.05a；矩形波導(dǎo)的工作波長接近截止波長λc時傳輸功率急劇下降，衰減也急劇上升，通常選擇λ≤0.8λc，因此矩形波導(dǎo)的工作波長范圍為（9-44）

例如BJ-32波導(dǎo)（72.14mm×34.04mm），由式（9-44）算得其工作波長范圍為75.75mm<λ<115.42mm，相應(yīng)的頻率范圍為2.599~3.96GHz。

【例9-1】空氣銅制BJ-100型（a=2.286cm，b=1.016cm）波導(dǎo)，試問：（1）工作波長為1.5cm時，波導(dǎo)中能傳輸什么模？（2）工作波長為3cm時，求波導(dǎo)中傳輸電磁波的vp、vg、ZTE，以及1m長波導(dǎo)的dB衰減值（1Np=8.686dB）。

解

(1)矩形波導(dǎo)模式的截止波長計算公式為模式能夠傳輸?shù)臈l件是λc>1.5cm，按照由長至短的順序計算各導(dǎo)模的截止波長如下：

λC（TE10）=2a=4.572cmλC（TE20）=a=2.286cmλC（TE30）=2a/3=1.524cmλC（TE40）=a/2=1.143cmλC（TE01）=2b=2.032cmλC（TE02）=b=1.016cmλC（TE11、TM11）=1.857cmλC（TE21、TM21）=1.519cm λC

（TE31、TM31）=1.219cm可見，此波導(dǎo)中能夠傳輸TE10、TE20、TE30、TE01、TE11、TM11、TE21和TM21共8種模式。

（2）λ=3cm時只能傳輸TE10模，則有

銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m，則 。由式（9-41）計算得到

9.2圓波導(dǎo)

圓形波導(dǎo)（circularwaveguide）簡稱圓波導(dǎo)，是截面形狀為圓形的空心金屬波導(dǎo)管，如圖9-11所示，其內(nèi)壁半徑為R。與矩形波導(dǎo)一樣，圓波導(dǎo)也只能傳輸TE和TM導(dǎo)波。圓波導(dǎo)具有加工方便、損耗較小與雙極化特性，常用在天線饋線中；圓波導(dǎo)段還可廣泛用作微波諧振腔、波長計。本節(jié)將討論圓波導(dǎo)中的導(dǎo)模及其傳輸特性，著重分析三個常用主要模式(TE11、TM01和TE01模)的特點及其應(yīng)用。

圖9-11圓波導(dǎo)及其坐標(biāo)系

9.2.1圓波導(dǎo)中的導(dǎo)模如圖9-11所示，圓波導(dǎo)分析采用圓柱坐標(biāo)系(r,φ,z)，其度量系數(shù)h1=1，h2=r，h3=1。沿波導(dǎo)正z方向傳播的導(dǎo)波場可以寫成（略去時間因子ejωt）由式（8-20）可寫出圓柱坐標(biāo)系中軸向場分量所滿足的導(dǎo)波方程：

（9-45）

（9-46）

與矩形波導(dǎo)一樣，我們也是用分離變量法求解出Ez和Hz，用邊界條件確定積分常數(shù)，然后再利用橫向場分量與縱向場分量的關(guān)系求出所有場分量。由式(8-24a)可寫出圓柱坐標(biāo)系中橫向場分量與縱向場分量之間的關(guān)系式：（9-47）

1.TE模（TEmode）

對于TE模，Ez=0，故只需求Hz。應(yīng)用分離變量法求解式(9-46)，即令

（9-48）

代入式（9-46），得到方程

此式要成立，則等式兩邊須等于一個共同的常數(shù)。令此常數(shù)為m2，得到

（9-49）

（9-50）

式（9-49）的通解為

m=0,1,2,…（9-51）

式中，B為積分常數(shù)。因圓波導(dǎo)結(jié)構(gòu)呈軸對稱，分布函數(shù)沿坐標(biāo)φ既可以按cosmφ變化，也可以按sinmφ變化，也就是說場的極化方向具有不確定性。為了滿足場量沿φ方向的變化周期為2π，m應(yīng)為整數(shù)，一般取非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)的結(jié)果也一樣。式（9-50）的通解為

（9-52）

式中，A1、A2為積分常數(shù)；Jm(kcr)是第一類m階貝塞爾函數(shù)，Nm(kcr)是第二類m階貝塞爾函數(shù)，其變化曲線如圖9-12所示。圖9-12將式(9-51)和式(9-52)代入式(9-48)，得到

（9-53）

邊界條件要求：0≤r≤R，Hz應(yīng)為有限值。由式（9-53），因r→0時，Nm(kcr)→-∞，而圓波導(dǎo)中心處的場應(yīng)該是有限的，故須令A(yù)2=0。在r=R處，Eφ=Ez=0。由式（8-28）或式(9-47)可知，有即

則

令Jm′(kcR)的第n個根為umn′，即得到

（9-54）

最后得到Hz的基本解為

（9-55a）

式中，Hmn=A1B為任意振幅常數(shù)。m可取任意非負(fù)整數(shù)，n可取任意正整數(shù)，稱為波型指數(shù)。任意一對m、n值對應(yīng)一個基本波函數(shù)，這些基本波函數(shù)的組合也是式（9-46）的解。故Hz的一般解為（9-55b）

將式（9-55b）代入式（9-47），最后可得圓波導(dǎo)中傳輸型TE導(dǎo)模場分量為

（9-56）2.TM模（TMmode）對于TM模，Hz=0，Ez≠0。用同樣的方法可以求得

（9-57）

邊界條件要求：0≤r≤R,Ez為有限值，則A4=0；r=R，Eφ=Ez=0，即令Jm(kcR)的第n個根為umn，則得到

（9-58）

最后得到Ez的基本解為

（9-59a）

式中，Emm=A1C為任意振幅常數(shù)。m可取任意非負(fù)整數(shù)，n可取任意正整數(shù)，稱為波型指數(shù)。任意一對m、n值對應(yīng)一個基本波函數(shù)，這些基本波函數(shù)的組合也是式（9-45）的解。故Ez的一般解為（9-59b）將式(9-59b)代入式(9-47)，最后可得圓波導(dǎo)中傳輸型TM導(dǎo)模場分量為

（9-60）

9.2.2圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸特性

圓波導(dǎo)與矩形波導(dǎo)一樣同屬空心金屬波導(dǎo)，因而，它們的縱向傳輸特性基本一致。下面將圓波導(dǎo)中TE模和TM模的傳輸特性列入表9-2中。

表9-2圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸特性

表9-3

umn′值與相應(yīng)TEmn模的λc值

表9-4

umn值與相應(yīng)TMmn模的λc值

由上面的分析和計算結(jié)果可知：

(1)圓波導(dǎo)和矩形波導(dǎo)一樣，也具有高通特性，傳輸模的相位因數(shù)也需滿足關(guān)系β2=ω2με-k2c。因此圓波導(dǎo)中也只能傳輸λ<λc的模，且因λc與圓波導(dǎo)的半徑R成正比，故尺寸越小，λc越小。

(2)圓波導(dǎo)有兩種簡并現(xiàn)象：一種是TE0n模和TM1n模簡并，這兩種模的λc相同；另一種是特殊的簡并現(xiàn)象，即所謂“極化簡并”。這是因為場分量沿φ方向的分布存在著cosmφ和sinmφ兩種可能性。這兩種分布模的m、n和場結(jié)構(gòu)完全一樣，只是極化面相互旋轉(zhuǎn)了90°，故稱為極化簡并。除TE0n模和TM0n模外，每種TEmn和TMmn模(m≠0)本身都存在著簡并現(xiàn)象，而極化簡并現(xiàn)象實際上也是存在的。因為圓波導(dǎo)加工總不可能保證完全是個正圓，如稍微出現(xiàn)有橢圓度，則其中傳輸?shù)哪＞蜁至殉裳貦E圓長軸極化和沿短軸極化的兩個模，從而形成極化簡并現(xiàn)象，如圖9-13所示。另外，波導(dǎo)中總難免出現(xiàn)不均勻性，或在波導(dǎo)壁上開孔或槽等，這也會導(dǎo)致模的極化簡并，故圓波導(dǎo)通常不宜用作傳輸系統(tǒng)。但有時我們又需要利用圓波導(dǎo)的這種極化簡并現(xiàn)象來做成一些特殊的微波元件。圖9-13

TE11模的極化簡并

(3)比較表9-3和表9-4可以看出，圓波導(dǎo)中的主模是TE11模，其截止波長最長，；圓波導(dǎo)模式的截止波長分布圖如圖9-14所示。由圖可見，當(dāng) 時，圓波導(dǎo)中只能傳輸TE11模，可以做到單模工作。若同時考慮傳輸功率大和損耗小的要求，一般選取R=λ/3。圖9-14圓波導(dǎo)的模式截止波長分布圖

9.2.3圓波導(dǎo)中三個主要導(dǎo)模及其應(yīng)用圓波導(dǎo)中實際應(yīng)用較多的模是TE11、TM01和TE01三個模。利用這三個模的場結(jié)構(gòu)和管壁電流分布的特點可以構(gòu)成一些特殊用途的波導(dǎo)元件，以用于微波天線饋線系統(tǒng)中。下面分別加以討論。

1.主模TE11模（λc=3.41R）

將m=1，n=1代入式(9-56)可以得到TE11模場分量為（取sinφ）

（9-61）

TE11模有五個場分量，其場結(jié)構(gòu)及管壁電流分布圖如圖9-15所示。由圖可見，其場結(jié)構(gòu)與矩形波導(dǎo)主模TE10

模的場結(jié)構(gòu)相似，實際應(yīng)用中，圓波導(dǎo)的TE11模便是由矩形波導(dǎo)的TE10模激勵，將矩形波導(dǎo)的截面逐漸過渡成圓形，則TE10模便會自然過渡到TE11模，如圖9-16所示。

圖9-15

TE11模的電磁場結(jié)構(gòu)及管壁電流分布圖

圖9-16

由矩形波導(dǎo)的TE10模過渡到圓波導(dǎo)的TE11模

2.軸對稱TM01模（λc=2.62R）

TM01模是圓波導(dǎo)中的最低型橫磁模，并且不存在簡并。將m=0，n=1代入式（9-60），得到TM01模的場分量為（9-62）

TM01模有三個場分量，其場結(jié)構(gòu)及管壁電流分布圖如圖9-17所示。由圖可見，其場結(jié)構(gòu)特點是：①電磁場沿φ方向不變化，場分布具有軸對稱性；②電場相對集中在中心線附近；③磁場相對集中在波導(dǎo)壁附近，且只有Hφ分量，因而管壁電流只有縱向分量Jz。圖9-17

TM01模的電磁場結(jié)構(gòu)及管壁電流分布圖

3.低損耗TE01模（λc=1.64R）

TE01模是圓波導(dǎo)的高次模。將m=0和n=1代入式(9-56)可以得到其場分量為（9-63）

TE01模有三個場分量，其場結(jié)構(gòu)及管壁電流分布圖如圖9-18所示。由圖可見，其場結(jié)構(gòu)有如下特點：①電磁場沿φ方向不變化，場分布具有軸對稱性；②電場只有Eφ分量，電力線都是橫截面內(nèi)的同心圓，且在波導(dǎo)中心和波導(dǎo)壁附近為零；③在管壁附近只有Hz分量，管壁電流只有Jφ分量。因此，當(dāng)傳輸功率一定時，隨著頻率的升高，其功率損耗反而單調(diào)下降。這一特點使TE01模適于用作高Q圓柱諧振腔的工作模式和毫米波遠(yuǎn)距離低耗傳輸。在毫米波段，TE01模圓波導(dǎo)的理論衰減約為矩形波導(dǎo)衰減的1/4～1/8。但TE01模不是主模，因此在使用時需要設(shè)法抑制其他模。圖9-18

TE01模的電磁場結(jié)構(gòu)及管壁電流分布圖

圖9-19圓波導(dǎo)三種主要模式的導(dǎo)體衰減頻率特性

表9-5圓波導(dǎo)中的三個主要波型比較

【例9-2】求半徑為0.5cm、填充εr為2.25的介質(zhì)（tanδ=0.001）的圓波導(dǎo)前兩個傳輸模的截止頻率；計算工作頻率為13.0GHz時50cm長波導(dǎo)的介質(zhì)衰減。

解前兩個傳輸模是TE11模和TM01模，其截止頻率分別為

顯然，當(dāng)工作頻率f=13.0GHz時，該波導(dǎo)只能傳輸TE11模，其波數(shù)為

TE11模的傳播常數(shù)為

介質(zhì)衰減常數(shù)為

由于1Np=8.686dB，因此50cm長波導(dǎo)的衰減值為

【例9-3】用半徑R=2cm的圓波導(dǎo)作截止衰減器，如果使工作波長為10cm的TE11模衰減25dB，求圓波導(dǎo)的長度？

解圓波導(dǎo)截止衰減器的原理是使TE11模截止。圓波導(dǎo)TE11模的截止波長為λc=3.41R=6.82cm<10cm，即TE11模截止，此時由此可求出α≈67.38Np/m，由于1Np=8.686dB，因此則

9.3同軸線及其高次模

如圖9-20所示，同軸線（coaxialline）是由兩根共軸的圓柱導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)行系統(tǒng)，a、b分別為內(nèi)導(dǎo)體外半徑和外導(dǎo)體內(nèi)半徑，兩導(dǎo)體之間可填充空氣（硬同軸），也可填充相對介電常數(shù)為εr的高頻介質(zhì)（軟同軸）。圖9-20同軸線及其坐標(biāo)系

9.3.1同軸線的主模TEM模

如圖9-20所示，同軸線分析采用圓柱坐標(biāo)系（r,φ,z）。對于TEM模，Ez=Hz=0。由第8章的分析可知，TEM導(dǎo)波場滿足二維拉普拉斯方程（8-29），在柱坐標(biāo)系下，該方程變?yōu)椋?-64）

即TEM模在同軸線橫截面上的場分布與靜電場的分布相同，可用位函數(shù)方法求解。仿照式（8-31），可寫出圓柱坐標(biāo)系下用標(biāo)量位函數(shù)Φ(r,φ)的梯度表示的橫截面內(nèi)的電場：

（9-65）

式中ET(r,φ)表示同軸線橫截面上的電場，僅為r、φ的函數(shù)。仿照式（8-32），可寫出圓柱坐標(biāo)系下標(biāo)量位函數(shù)Φ(r,φ)所滿足的二維拉普拉斯方程：（9-66）

即

（9-67）

因為同軸線結(jié)構(gòu)具有軸對稱性，并且有

于是式(9-67)變成

（9-68）

其解為

（9-69）設(shè)邊界條件為

（9-70）V0的大小由激勵源決定，將邊界條件代入式（9-69），有

由此解得A和B，代入式（9-69）得到Φ的解為

（9-71）

將其代入式（9-65），得到

（9-72）

說明同軸線傳輸TEM模時，電場只有Er分量。由此可得傳輸型的電場為

（9-73）

式中，β為傳播常數(shù)，即

（9-74）

由式（8-34），求出磁場為

（9-75）式中

圖9-21同軸線中TEM模電磁場結(jié)構(gòu)

9.3.2同軸線的高次模

1.TE模分析同軸線中TE模的方法與圓波導(dǎo)中TE模的方法相似。因為r=0不屬于波的傳播區(qū)域，所以Hz的解為（9-76）

邊界條件要求在r=a和b處， ，于是得到

由此得到?jīng)Q定TE模本征值kc的方程：

（9-77）

此為超越方程，有無限多個解，每個解的根決定一個kc值，即確定一個截止波長λc。滿足此式的kc值決定同軸線的TEmn模。該式無解析解，一般用圖解法或數(shù)值法求解。最低型的TE11模的近似解可求得為（9-78）

由此可得TE11模的截止波長近似為

（9-79）

2.TM模分析同軸線中TM模的方法與分析圓波導(dǎo)中TM模的方法相似。因為r=0不屬于波的傳播區(qū)域，所以Ez的解為（9-80）

邊界條件要求在r=a和b處，Ez=0，于是得到

由此得到?jīng)Q定TM模本征值kc的方程:（9-81）

該式同樣是個超越方程，滿足此式的kc值決定同軸線的TMmn模，用數(shù)值法求得式（9-81）的近似解為（9-82）

其中最低次TM01模的近似解為

（9-83）

由此可得TM01模的截止波長近似為

（9-84）

9.3.3主模TEM模的傳輸特性

1.相速度、群速度和波導(dǎo)波長對于TEM模，kc=0,λc=∞,β=k,G=1，則由式（8-43）可得到相速度及群速度的計算公式為

（9-85）

式中c為自由空間光速。由式（8-46）可得到波導(dǎo)波長的計算公式為

（9-86）

式中λ0為自由空間波長。

2.特性阻抗傳輸線上行波的電壓與電流之比定義為傳輸線的特性阻抗（characteristicimpedance），用Z0表示。在本章的分析中一直假設(shè)傳輸線上只有沿正z方向傳播的電磁波，即行波。由磁場的表達(dá)式可求出同軸線內(nèi)導(dǎo)體上的軸向電流為（9-87）

由電場的表達(dá)式可求出同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為

（9-88）

于是得到特性阻抗為

（9-89）

同軸線特性阻抗與尺寸的關(guān)系曲線如圖9-22所示。

圖9-22同軸線的特性阻抗與尺寸的關(guān)系曲線

3.衰減常數(shù)

傳輸TEM模時，空氣同軸線的導(dǎo)體衰減常數(shù)為

（9-90）

式中，RS=1/(σδ)為金屬導(dǎo)體的表面電阻。介質(zhì)衰減常數(shù)為

（9-91）

4.傳輸功率同軸線傳輸TEM模時的功率容量為

（9-92）

式中Ec為媒質(zhì)的擊穿場強。我們已經(jīng)知道空氣的擊穿場強約為30kV／cm。例如內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為3.5mm和8mm的空氣同軸線，其功率容量為760kW。分析式（9-92）可知，b/a一定，似乎選用實際尺寸較大的同軸線可增大功率容量。但是，在增大到一定尺寸時，會出現(xiàn)高次模，從而限制了其最高工作頻率。因此，對于給定的最高工作頻率fmax，存在一個功率容量上限Pmax的問題，可由下式計算：

（9-93）

5．同軸線的尺寸選擇

尺寸選擇的原則是：①保證在給定工作頻帶內(nèi)只傳輸TEM模；②滿足功率容量要求，即傳輸功率盡量大；③損耗盡量小。

(1)為保證只傳輸TEM模，必須滿足條件

通常要求

因此得到

（9-94）

(2)功率容量最大的條件是

即假定b不變，只對a求導(dǎo)（反之也一樣），可以求得功率容量最大的尺寸條件是

（9-95）

與該尺寸相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為30Ω。

(3)損耗最小的條件是

即假定b不變，只對a求導(dǎo)（反之也一樣），可以求得損耗最小的尺寸條件是

（9-96）

與該尺寸相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為76.71Ω。若采用這種尺寸的同軸線作振蕩回路，其回路品質(zhì)因數(shù)Q最高。

(4)若兼顧功率和損耗的要求，則一般取

（9-97）

與該尺寸相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為50Ω。在微波波段，同軸線的特性阻抗通常選用50Ω和75Ω兩種標(biāo)準(zhǔn)值。與金屬波導(dǎo)一樣，同軸線的尺寸也已標(biāo)準(zhǔn)化，見附錄H。

【例9-4】已知同軸線的功率容量為

式中a、b為同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體半徑，Ec為介質(zhì)擊穿場強，保持b不變，確定b/a的值使功率容量達(dá)到最大。

解由于已知保持b不變，有解得

9.4波導(dǎo)的激勵與耦合

波導(dǎo)中的能量是通過電磁激勵方法產(chǎn)生的。所謂激勵，就是