第1章矢量分析與場(chǎng)論1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算

1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

1.3矢量場(chǎng)

1.4標(biāo)量場(chǎng)

1.5亥姆霍茲定理

習(xí)題1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量

電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量，能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱(chēng)為標(biāo)量，例如，電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。實(shí)際上，所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。一個(gè)有大小和方向的物理量稱(chēng)為矢量，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢A可以表示成：

A=aA(1-1-1)

其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=，其大小等于1。

一個(gè)大小為零的矢量稱(chēng)為空矢(NullVector)或零矢(ZeroVector)，一個(gè)大小為1的矢量稱(chēng)為單位矢量(UnitVector)。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向?？臻g中的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱(chēng)為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為

r=axX+ayY+azZ(1-1-2)式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影

任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、az可以將矢量A表示成：

A=axAx+ayAy+azAz

(1-1-3)

矢量A的大小為A：(1-1-4)1.1.2矢量的代數(shù)運(yùn)算

1.矢量的加法和減法任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即

C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)(1-1-5)

任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加，即

D=A－B=A+(－B)=ax(Ax－Bx)+ay(Ay－By)+az(Az－Bz)(1-1-6)

2.矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。

1)標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，記為

A·B=ABcosθ(1-1-7)

標(biāo)量積也稱(chēng)為點(diǎn)積(DotProduct)，如果兩個(gè)不為零的矢量的標(biāo)量積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互垂直，或者說(shuō)兩個(gè)互相垂直的矢量的點(diǎn)積一定為零，而兩個(gè)相互平行的單位矢量的點(diǎn)積等于1。圖1-2標(biāo)量積的圖示

例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ax·ay=ay·az=az·ax=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1

任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為

A·B=AxBx+AyBy+AzBz (1-1-9)

標(biāo)量積服從交換律和分配律，即

A·B=B·A (1-1-10)

A·(B+C)=A·B+A·C (1-1-11)(1-1-8)2)矢量積任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積(VectorProduct)是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖1-3所示，記為

C=A×B=anABsinθ(1-1-12)

an=aA×aB (右手螺旋)

矢量積又稱(chēng)為叉積(CrossProduct)，如果兩個(gè)非零矢量的叉積等于零矢量，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零矢量。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=－B×A (1-1-13)

A×(B+C)=A×B+A×C (1-1-14)圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋(a)矢量積的圖示；(b)右手螺旋

直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ax×ay=az,ay×az=ax,

az×ax=ay

ax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為

=ax(AyBz－AzBy)+ay(AzBx－AxBz)+az(AxBy－AyBx)(1-1-16)

矢量的其他運(yùn)算詳見(jiàn)附錄1。(1-1-15)1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

1.2.1圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(ρ,φ,z)來(lái)表示，如圖1-4所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖1-4可以看出，圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為

x=ρcosφ

y=ρsinφ

z=z(1-2-1)圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影圖1-5圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面如同直角坐標(biāo)系一樣，圓柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面，如圖1-5所示。坐標(biāo)面

(1-2-2)

表示一個(gè)以z軸為軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變化范圍為0≤ρ<∞。坐標(biāo)面

(1-2-3)

表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ<2π。

坐標(biāo)面

z=常數(shù)(1-2-4)

表示一個(gè)平行于xy平面的平面。z的變化范圍為－∞<z<+∞。由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸：ρ、φ和z，相應(yīng)的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。應(yīng)該指出：圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量(與直角坐標(biāo)系的不同)除az外，aρ和aφ都不是常矢量，它們的方向隨P點(diǎn)的位置不同而變化，但aρ、aφ和az三者始終保持正交關(guān)系，并遵循右手螺旋法則，即

aρ×aφ=az,aφ×az=aρ,az×aρ=aφ

aρ×aρ=aφ×aφ=az×az=0

aρ·aφ=aφ·az=az·aρ=0

aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1

圓柱坐標(biāo)系的位置矢量r可以表示為

r=aρρ+azz (1-2-7)

圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量aρ和aφ在單位矢量ax和ay上的投影示于圖1-6，顯然

aρ=axcosφ+aysinφ

aφ=ax(－sinφ)+aycosφ(1-2-5)(1-2-6)(1-2-8)圖1-6圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換因此，直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式為將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為式(1-2-9)和式(1-2-10)表明：如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式(1-2-10可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；反之，若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的，則根據(jù)式(1-2-9)可以得到圓柱坐標(biāo)系的表達(dá)式。(1-2-9)(1-2-10)

圓柱坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P沿ρ、φ和z方向的長(zhǎng)度增量分別為

dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz(1-2-11)它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為

(1-2-12)

通常將h1、h2、h3稱(chēng)為拉梅常數(shù)(ＬameＣonstant)。圓柱坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量分別為

dSρ=aρdlφdlz=aρρdφdz (1-2-13)dSφ=aφdlρdlz=aφdρdz (1-2-14)dSz=azdlρdlφ=azρdφdρ(1-2-15)

體積元為

dV=dlρdlφdlz=ρdφdρdz (1-2-16）1.2.2球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，空間一點(diǎn)P唯一地用三個(gè)坐標(biāo)變量(r,θ,φ)來(lái)表示，如圖1-7所示。此處，位置矢量r又稱(chēng)為矢徑(RadiusVector)，r是其大小，θ是位置矢量r與z軸的夾角，φ是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影OM之間的夾角。由圖1-7可以看出，球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

同樣，球坐標(biāo)也有三個(gè)坐標(biāo)面，如圖1-8所示。圖1-7球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影圖1-8球坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面

坐標(biāo)面

(1-2-18)表示一個(gè)半徑為r的球面，r的變化范圍為0≤r<∞。坐標(biāo)面

θ=常數(shù)表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、以z軸為軸線的圓錐面，θ的變化范圍為0≤θ≤π。坐標(biāo)面

(1-2-19)表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ<2π。

球坐標(biāo)系的位置矢量可以表示為

r=arr (1-2-20)

球坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P(r,θ,φ)的三個(gè)單位矢量為ar、

aθ和aφ，它們互相正交且遵循右手螺旋法則，即

ar×aθ=aφ,aθ×aφ=ar,aφ×ar=aθ

ar×ar=aθ×aθ=aφ×aφ=0

ar·aθ=aθ·aφ=aφ·ar=0

ar·ar=aθ·aθ=aφ·aφ=1

單位矢量ar、aθ和aφ在單位矢量ax、ay和az上的投影分別示于圖1-9(a)、(b)和(c)。由圖1-9可以得到直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到球坐標(biāo)的表達(dá)式為(1-2-21)(1-2-22)

將上式求逆即可得到球坐標(biāo)中的單位矢量變換到直角坐標(biāo)的表達(dá)式為(1-2-23)(1-2-24)圖1-9球坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量在ax、ay和az上的投影

式(1-2-23)和(1-2-24)表明：如果矢量A是在球坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式(1-2-24)可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；反之，若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的，則根據(jù)式(1-2-23)可以得到球坐標(biāo)系的表達(dá)式?？臻g一點(diǎn)P沿r、θ和φ方向的長(zhǎng)度增量分別為

dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ(1-2-25)

則球坐標(biāo)中的拉梅常數(shù)為(1-2-26)而沿球面、θ=常數(shù)平面和φ=常數(shù)平面的三個(gè)面元矢量分別為

dSr=ardlθdlφ=arr2sinθdθdφ(1-2-27)dSθ=aθdlrdlφ=aθrsinθdrdφ(1-2-28)dSφ=aφdlrdlθ=aφrdrdθ(1-2-29）球坐標(biāo)的體積元為

dV=dlrdlθdlφ=r2sinθdrdθdφ(1-2-30)

解由題設(shè)可知矢量在圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)分量為將其代入式(1-2-10)中，得【例1-1】將圓柱坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系的表達(dá)形式。再根據(jù)因此，矢量在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為1.3矢量場(chǎng)1.3.1矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)空間中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式：

A=A(x,y,z)(1-3-1)

設(shè)Ax、Ay、Az為矢性函數(shù)A在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量，且假定它們都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則A又可以表示為

A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)(1-3-2)圖1–10力線圖

所謂矢量線(ＶectorLine)，乃是這樣一些曲線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上(如圖1-10所示)，像靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等，都是矢量線的例子?，F(xiàn)在我們來(lái)討論矢量線方程的表達(dá)式。設(shè)P為矢量線上任一點(diǎn)，其矢徑為r，則根據(jù)矢量線的定義，必有

A×dr=0(1-3-3）在直角坐標(biāo)系中，矢徑r的表達(dá)式為

r=axx+ayy+azz(1-3-3）將其代入式(1-3-3)即得矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為

(1-3-5)

上式表明：如果已知矢量場(chǎng)的表達(dá)式，解式(1-3-5)即可得到其矢量線的表達(dá)式。矢量場(chǎng)的矢量線可以使我們直觀、形象地了解矢量場(chǎng)在空間的分布狀況。

【例1-2】設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

式中，q、ε0均為常數(shù)，r=axx+ayy+azz為P點(diǎn)的位置矢量。求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。

解由式(1-3-5)簡(jiǎn)化得矢量線方程為

此方程的解為

y=C1x

z=C2y式中，C1,C2為任意常數(shù)。電場(chǎng)的矢量線如圖1-11所示。由圖1-11可見(jiàn)，電力線是一簇從點(diǎn)電荷出發(fā)向空間發(fā)散的徑向輻射線，它形象地描繪出點(diǎn)電荷的電場(chǎng)在空間的分布狀況。圖1-11點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線1.3.2矢量場(chǎng)的通量及散度

1.矢量場(chǎng)的通量在矢量場(chǎng)A中取一個(gè)面元dS及與該面元垂直的單位矢量n(外法向矢量，如圖1-12所示)，則面元矢量表示為

dS=ndS(1-3-6)

由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)A的值相同，A與面元dS的標(biāo)量積稱(chēng)為矢量場(chǎng)A穿過(guò)dS的通量(Ｆlux)，記作

A·dS=ＡcosθdS(1-3-7)

因此矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為(1-3-8)圖1-12面元矢量

如果S是一個(gè)閉曲面，則通過(guò)閉合曲面的總通量可表示為

假定矢量場(chǎng)A為流體的速度，則式(1-3-9)的物理意義為：通量表示在單位時(shí)間內(nèi)流體從閉合曲面內(nèi)流出曲面S的正流量與流入閉合曲面S內(nèi)部的負(fù)流量的代數(shù)和，即凈流量。若Φ>0，則表示流出多于流入，說(shuō)明此時(shí)在S內(nèi)必有產(chǎn)生流體的正源(Source)；若Φ<0，則表示流入多于流出，此時(shí)在S內(nèi)必有吸收流體的負(fù)源，我們稱(chēng)之為溝(Sink)；當(dāng)Φ=0，則表示流入等于流出，此時(shí)在S內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零，或者說(shuō)S內(nèi)沒(méi)有源。(1-3-9)

矢量場(chǎng)在閉合面S上的通量是由S內(nèi)的源決定的，它是一個(gè)積分量，因而它描繪的是閉合面較大范圍內(nèi)的源(我們把該類(lèi)源稱(chēng)為發(fā)散源)的分布情況，而我們往往需要知道場(chǎng)中每一點(diǎn)上源的性質(zhì)，為此，引入矢量場(chǎng)散度的概念。

2.矢量場(chǎng)的散度

1)散度的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:（1-3-10）

如果上式的極限存在，則稱(chēng)此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度(Divergence)，記作顯然，式(1-3-11)的物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為(1-3-11)(1-3-12)2)哈米爾頓(Hamilton)算子為了方便，我們引入一個(gè)矢性微分算子，在直角坐標(biāo)系中有：式(1-3-13)稱(chēng)作哈米爾頓算子，記號(hào)(讀作del)是一個(gè)微分符號(hào)，同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可以寫(xiě)為(1-3-13)即(1-3-14)

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為若采用拉梅系數(shù),上兩式可以統(tǒng)一表示為

式中，q1、q2和q3在圓柱坐標(biāo)系中分別代表ρ、φ和z，在球坐標(biāo)系中分別代表r、θ和φ。(1-3-16)(1-3-15)(1-3-17)

由上述分析可見(jiàn)：divA為一標(biāo)量，它表示場(chǎng)中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率，也就是在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿出的通量，稱(chēng)為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。它描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。因此，矢量場(chǎng)的散度用于研究矢量場(chǎng)標(biāo)量源在空間的分布狀況。當(dāng)divA的值不為零時(shí)，其符號(hào)為正或?yàn)樨?fù)。當(dāng)divA的值為正時(shí)，表示矢量場(chǎng)A在該點(diǎn)處有散發(fā)通量之正源，稱(chēng)為源點(diǎn)(SourcePoint)；當(dāng)divA的值為負(fù)時(shí)，表示矢量場(chǎng)A在該點(diǎn)處有吸收通量之負(fù)源，稱(chēng)之為匯點(diǎn)(SinkPoint)；當(dāng)divA的值等于零時(shí)，則表示矢量場(chǎng)A在該點(diǎn)處無(wú)源。我們稱(chēng)divA≡0的場(chǎng)是連續(xù)的(Continuous)或無(wú)散的(螺線管式)矢量場(chǎng)(SolenoidalVectorField)。將在第4章中講的磁場(chǎng)就是連續(xù)的或無(wú)散的矢量場(chǎng)。3)高斯散度定理（DivergenceTheorem）在矢量分析中，一個(gè)重要的定理是

(1-3-18)

上式稱(chēng)為散度定理。它說(shuō)明了矢量場(chǎng)散度的體積分等于矢量場(chǎng)在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分。散度定理廣泛地用于將一個(gè)封閉面積分變成等價(jià)的體積分，或者將一個(gè)體積分變成等價(jià)的封閉面積分。有關(guān)它的證明這里略去。【例1-3】在矢量場(chǎng)A=axx2+ayxy+azyz中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上，如圖1-13所示。試求：(1)矢量場(chǎng)A的散度;(2)從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。

解(1)根據(jù)公式(1-3-14)，矢量場(chǎng)A的散度：

(2)從單位立方體內(nèi)穿出的通量:

可見(jiàn)，從單位立方體內(nèi)穿出的通量為2，且高斯散度定理成立。圖1-13單位立方體1.3.3矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度

1.環(huán)量的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線積分為該矢量的環(huán)量(Circulation)，記作如圖1-14所示)

可見(jiàn)，矢量的環(huán)量也是一標(biāo)量。如果矢量的環(huán)量不等于零，則在l內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場(chǎng)的旋渦源；如果矢量的環(huán)量等于零，則我們說(shuō)在l內(nèi)沒(méi)有旋渦源。矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場(chǎng)A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。(1-3-19)圖1-14矢量場(chǎng)的環(huán)量2.矢量場(chǎng)的旋度

1)旋度的定義設(shè)P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元ΔS，其周界為l，它的正向與面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系(如圖1-15所示)。當(dāng)曲面ΔS在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點(diǎn)，若其極限存在，則稱(chēng)矢量場(chǎng)A沿l之正向的環(huán)量與面積ΔS之比為矢量場(chǎng)在點(diǎn)P處沿n方向的環(huán)量面密度(亦即環(huán)量對(duì)面積的變化率)。(1-3-20)圖1-15閉合曲線方向與面元的方向示意圖不難看出，環(huán)量面密度與l所圍成的面元ΔS的方向有關(guān)。例如，在流體情形中，某點(diǎn)附近的流體沿著一個(gè)面呈旋渦狀流動(dòng)時(shí)，如果l圍成的面元矢量與旋渦面的方向重合，則環(huán)量面密度最大；如果所取面元矢量與旋渦面的方向之間有一夾角，得到的環(huán)量面密度總是小于最大值；若面元矢量與旋渦面方向相垂直，則環(huán)量面密度等于零。可見(jiàn)，必存在某一固定矢R，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度，R的方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。我們稱(chēng)固定矢量R為矢量A的旋度(Curl或Rotation)，記作

rotA=R(1-3-21)式(1-3-20)為旋度矢量在n方向的投影，如圖1-16所示，即

因此，矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為(1-3-22)(1-3-23)

為方便起見(jiàn)，也引入算子，則旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為(1-3-24)圖1-16旋度及其投影

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為(1-3-25)(1-3-26)若采用拉梅系數(shù),上兩式可以統(tǒng)一表示為

式中，q1、q2和q3在圓柱坐標(biāo)系中分別代表ρ、φ和z，在球坐標(biāo)系中分別代表r、θ和φ。由上述分析可見(jiàn)：一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度表示該矢量場(chǎng)單位面積上的環(huán)量，它描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。矢量場(chǎng)的旋度為一矢量，它用以研究矢量場(chǎng)的矢量源在空間的分布狀況。若矢量場(chǎng)的旋度不為零，則稱(chēng)該矢量場(chǎng)是(1-3-27)有旋的(Ｒotational)。水從槽子流出或流入是流體旋轉(zhuǎn)速度場(chǎng)最好的例子。若矢量場(chǎng)的旋度等于零，即×A=0，則稱(chēng)此矢量場(chǎng)是無(wú)旋的(Irrotational)或保守的(Conservative)。靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度就是一個(gè)保守場(chǎng)。旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零,即

(1-3-28)這就是說(shuō)，如果有一個(gè)矢量場(chǎng)B的散度等于零，則該矢B就可以用另一個(gè)矢量A的旋度來(lái)表示，即當(dāng)

則有

(1-3-29)2)斯托克斯定理(Stokes’Theorem)

矢量分析中另一個(gè)重要定理是式(1-3-30)稱(chēng)為斯托克斯定理，其中S是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。式(1-3-30)表明：矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分(證明從略)。(1-3-30)【例1-4】已知一矢量場(chǎng)F=axxy－ay2x,試求：

(1)該矢量場(chǎng)的旋度;(2)該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤(pán)邊界的線積分，如圖1-17所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。

解(1)圖1-17四分之一圓盤(pán)(2)矢量沿四分之一圓盤(pán)邊界的線積分：

由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

x=rcosφ,y=rsinφ

dl=aφ

rdφ=[ax(－rsinφ)+ay(rcosφ)］dφ可見(jiàn)，斯托克斯定理成立。1.4標(biāo)量場(chǎng)

1.4.1標(biāo)量場(chǎng)的等值面一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中，可將u表示為

u=u(x,y,z)(1-4-1)令

u(x,y,z)=C,C為任意常數(shù)(1-4-2)式(1-4-2)在幾何上一般表示一個(gè)曲面，在這個(gè)曲面上的各點(diǎn)，雖然坐標(biāo)(x,y,z)不同，但函數(shù)值相等，稱(chēng)此曲面為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如圖1-18所示。同理，對(duì)于由二維函數(shù)v=v(x,y)所給定的平面標(biāo)量場(chǎng)，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值線。標(biāo)量場(chǎng)的等值面或等值線，可以直觀地幫助我們了解標(biāo)量場(chǎng)在空間中的分布情況。例如，根據(jù)地形圖上等高線及其所標(biāo)出的高度，我們就能了解到該地區(qū)的高低情況，根據(jù)等高線分布的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個(gè)方向上地勢(shì)的陡度。圖1-18標(biāo)量場(chǎng)的等值面值和二維等值1.4.2方向?qū)?shù)

1.方向?qū)?shù)的定義設(shè)P0為標(biāo)量場(chǎng)u=u(P)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)P0出發(fā)引出一條射線l，如圖1-19所示。在l上P0點(diǎn)鄰近取一點(diǎn)P，記線段P0P=Δl，如果當(dāng)P→P0時(shí)，的極限存在，則稱(chēng)它為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)(DirectionalDerivative)，記作

由此定義可知，方向?qū)?shù)是函數(shù)u(P)在一個(gè)點(diǎn)處沿某一方向?qū)嚯x的變化率，故當(dāng)時(shí)，u沿l方向是增加的;當(dāng)時(shí)，u沿l方向是減少的。(1-4-3)圖1–19u沿不同方向的變化率2.方向?qū)?shù)的計(jì)算公式在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)處可微，則有

式(1-4-4)中，當(dāng)Δl→0時(shí)，δ→0。將上式兩邊同除以Δl并取極限得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式：

式中，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦。(1-4-4)(1-4-5)1.4.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度

1.梯度的定義

方向?qū)?shù)為我們解決了函數(shù)u(P)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問(wèn)題。然而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)P出發(fā)，標(biāo)量場(chǎng)u在不同方向上的變化率一般說(shuō)來(lái)是不同的，那么，可以設(shè)想，必定在某個(gè)方向上變化率為最大。為此，我們定義一個(gè)矢G，其方向就是函數(shù)u在點(diǎn)P處變化率為最大的方向，其大小就是這個(gè)最大變化率的值，這個(gè)矢量G稱(chēng)為函數(shù)u在點(diǎn)P處的梯度(Gradient)，記為

算子與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，梯度又可以表示為(1-4-6)

另外，以后我們還經(jīng)常用到標(biāo)量拉普拉斯算子(LaplaceOperator)，即(1-4-7)(1-4-8)在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式為(1-4-9)標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為(1-4-10)(1-4-11)

標(biāo)量函數(shù)u在球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為(1-4-12)(1-4-13)

圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式，采用拉梅系數(shù)可以統(tǒng)一表示為(1-4-14)(1-4-15)2.梯度的性質(zhì)梯度有以下重要性質(zhì)：

(1)方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即(1-4-16)(2)標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向。也就是說(shuō)，梯度就是該等值面的法向矢量。

(3)

式(1-4-17)表明：如果一個(gè)矢量場(chǎng)F滿足×F=0，即F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則矢量場(chǎng)F可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度來(lái)表示，即F=u，該標(biāo)量函數(shù)稱(chēng)為勢(shì)函數(shù)(PotentialFunction)，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)稱(chēng)為有勢(shì)場(chǎng)。如靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示。(1-4-17)3.梯度的積分設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則由斯托克斯定理知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零，即而(如圖1-20所示)，即圖1-20無(wú)旋場(chǎng)沿不同路徑的積分這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。又

假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)(參考點(diǎn))，P2點(diǎn)為任意動(dòng)點(diǎn)，則P2點(diǎn)的函數(shù)值可表示為

式(1-4-18)表明：如果已知一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，選定一個(gè)參考點(diǎn)，就可由式(1-4-18)求得其標(biāo)量場(chǎng)u。如在靜電場(chǎng)中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度，就可求得電位函數(shù)?？傊?，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u，求其梯度得到的矢量場(chǎng)一定為無(wú)旋場(chǎng),無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分一定為零,因此也稱(chēng)無(wú)旋場(chǎng)為保守場(chǎng)。(1-4-18)1.5亥姆霍茲定理前面我們介紹了矢量分析中的一些基本概念和運(yùn)算方法，其中矢量場(chǎng)的散度、旋度和標(biāo)量場(chǎng)的梯度都是場(chǎng)的重要量度，或者說(shuō)，一個(gè)矢量場(chǎng)的性質(zhì)，完全可以由它的散度和旋度來(lái)表明；一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的性質(zhì)則完全可由它的梯度來(lái)表明。如果一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度為零，則稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)；如果一個(gè)矢量場(chǎng)的散度為零，則稱(chēng)為無(wú)散場(chǎng)。但就矢量場(chǎng)的整體而言，無(wú)旋場(chǎng)的散度不能處處為零；同樣，無(wú)散場(chǎng)的旋度也不能處處為零，否則矢量場(chǎng)就不存在。因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理矢量場(chǎng)(Field)都必須有源(Source)。假如我們把源看做是場(chǎng)的起因，矢量場(chǎng)的散度便對(duì)應(yīng)于一種源，稱(chēng)為發(fā)散源(DivergenceSource)；而矢量場(chǎng)的旋度則對(duì)應(yīng)另一種源，稱(chēng)為旋渦源(RotationalSource)。

設(shè)一個(gè)矢量場(chǎng)A既有散度，又有旋度，則可將其分解為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)分量A1和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)分量A2之和，即

A=A1+A2(1-5-1)其中無(wú)旋場(chǎng)分量A1的散度不等于零，設(shè)為ρV，無(wú)散場(chǎng)分量A2的旋度不等于零，設(shè)為J，因此有

如上可見(jiàn)，矢量場(chǎng)A的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源——標(biāo)量源ρV，而矢量場(chǎng)A的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的另一種源——矢量源J。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類(lèi)源(ρV,J在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱(chēng)為亥姆霍茲定理(HelmholtzTheorem)。(1-5-2)(1-5-3)

亥姆霍茲定理告訴我們，研究任意一個(gè)矢量場(chǎng)(如電場(chǎng)、磁場(chǎng)等)都應(yīng)該從散度和旋度兩個(gè)方面去進(jìn)行，其中稱(chēng)此為矢量場(chǎng)基本方程的微分形式?；蛘邚氖噶繄?chǎng)的通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)方面去研究，即(1-5-4)(1-5-5)上式稱(chēng)為矢量場(chǎng)基本方程的積分形式。

應(yīng)該指出，只有在矢量函數(shù)A連續(xù)的區(qū)域內(nèi)，·A和

×A才有意義，也就是說(shuō)，不能利用散度和旋度來(lái)分析不連續(xù)表面鄰近的場(chǎng)的性質(zhì)，此時(shí)一般用其積分形式來(lái)分析?？傊?，任意矢量場(chǎng)都可分為由標(biāo)量源產(chǎn)生的無(wú)旋場(chǎng)和由矢量源產(chǎn)生的無(wú)散場(chǎng)兩部分，其中無(wú)旋場(chǎng)一定是有勢(shì)場(chǎng)，也稱(chēng)為保守場(chǎng)；無(wú)散場(chǎng)一定是有旋場(chǎng)，也稱(chēng)為連續(xù)的場(chǎng)。習(xí)題

1.1已知A、B和C為任意矢量，

(1)若A·B=A·C,則是否意味著B(niǎo)總等于C呢？試討論之；

(2)試證明：A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)1.2給定三個(gè)矢量A、B和C如下：

A=ax+2ay－3az

B=－4ay+az

C=5ax

－2az求:(1)矢量A的單位矢量aA；

(2)矢量A和B的夾角θAB

；(3)A·B和A×B;(4)A·(B×C)和(A×B)·C；

(5)A×(B×C)和(A×B)×C。

1.3有一個(gè)二維矢量場(chǎng)F(r)=ax(－y)+ay(x)，求其矢量程，并定性畫(huà)出該矢量場(chǎng)圖形。

1.4已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P1(－3,1,4)和P2(2,－2,3):(1)在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出點(diǎn)P1、P2的位置矢量r1和r2；

(2)求點(diǎn)P1到P2的距離矢量的大小和方向;(3)求矢量r1在r2的投影。

1.5寫(xiě)出空間任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的位置矢量表達(dá)式，并將此位置矢量分別變換成在圓柱坐標(biāo)系中和球坐標(biāo)系中的位置矢量。

1.6求數(shù)量場(chǎng)ψ=ln(x2+y2+z2)通過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)的等值面方程。1.7用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)，求:(1)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(－3,4,－5)處的|E|和Ez；

(2)E與矢量B=2ax

－2ay+az之間的夾角。

1.8試計(jì)算的值，式中的閉合曲面S是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的單位立方體，r為空間任一點(diǎn)的位置矢量。

1.9求標(biāo)量場(chǎng)ψ(x,y,z)=6x2y3+ez在點(diǎn)P(2,－

1,0)的梯度。

1.10在圓柱體x2+y2=9和平面x=0、y=0、z=0及z=2所包圍的區(qū)域，設(shè)此區(qū)域的表面為S:(1)求矢量場(chǎng)A沿閉合曲面S的通量，其中矢量場(chǎng)A的表達(dá)式為

A=ax3x2+ay(3y+z)+az(3z－x)(2)驗(yàn)證散度定理。

1.