廣東省深圳市2024-2025學年高一下學期期末調研考試

數學試卷

一、單選題

1.在復平面內，復數對應的點的坐標是(L2),則的共輾復數”()

A-l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

2.已知集合A={2,4,6,8,10},B=[x\2x>9},則AB=()

A.{8,10}B.{6,8,10)C.[4,6,8,10)D.[2,4,6,8,10)

3.已知tana=-2,ae(0,2,則sina=()

-正

A.-2B.「L.-小-D.2

5555

4.若。力是夾角為120°的兩個單位向量，則|。-2川=()

A.5B,2c.加D.幣

5.下列函數中，既是偶函數，又在(0,+8)上單調遞減的是()

A./(%)=e|x|B./(x)=ln|x|C.f(x)=x~2D./(x)=sin|x|

6.已知a知,7是三個不同的平面,且a",則“///ar”是J_￡”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.若函數/(x)=log2(f-依)在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則的取值范圍是()

A.(FjB.(—8,2]C.(0,1]D.(0,2]

8.已知A,B為樣本空間。中的兩個隨機事件，其中〃(。)=24,“(A)=12,“(3)=8,n(A3)=16,則(

——1

A.事件與互斥B.P(AB)=-

-2

C.事件與相互獨立D.P(A8+A8)=3

二、多選題

9.已知a>6>l,c>0,貝!]()

12abcc

A.ac>beB.c>cC.a>bD.logac>logfec

10.已知函數/(%)=gsing+cos7，貝1J()

A./(0)=l

B.7(x)的最小正周期為4兀

c.7(X)的圖象關于點(吟o］對稱

27r

D.為了得到函數/(x)的圖象，只需把函數y=2cosx3的圖象向右平移T個單位

11.已知正方體A88-4gGR的棱長為2,￡為A。上一動點，/為棱A8的中點，貝U()

A.四面體耳庭戶的體積為定值

B.存在點E，使EF1平面4c4

C.二面角A-￡>尸-A的正切值為更

5

D.當￡為A。的中點時，四面體砂的外接球表面積為5兀

三、填空題

12.已知向量a=(5,-l),b=(3,2),且(a+46)_L6,則/{,=.

13.已知圓臺的上下底面半徑分別為2,3,側面積為5后，則該圓臺的體積為.

14.在V4BC中，角A氏C所對的邊分別為a,0,c,c=2A,則丁的最小值為_______.

bsmB

四、解答題

2

15.已知函數/(x)=a-k二為奇函數.

2+1

⑴求的值；

2

(2)若/(x)<§,求的取值范圍.

16.為檢驗甲、乙兩家企業(yè)生產的產品質量，現從兩家企業(yè)生產的產品中分別隨機抽取100件，并分析其

質量指標值.經檢測，甲企業(yè)生成的產品質量指標值的頻數分布表如下表所示，乙企業(yè)生成的產品質量指標

值的頻率分布直方圖如下圖所示.

質量指標值[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

頻數2030301010

;檄率/組距

o\100110120130140150質量指標值

(1)求頻率分布直方圖中的值，并比較甲、乙兩家企業(yè)生產的產品質量指標值的平均數大小(同一組中的數

據用該組區(qū)間的中間值作代表);

(2)現采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，從乙企業(yè)生產的產品質量指標值在口20,130)和［130,140)兩組中

抽取5件產品，再從中隨機抽取2件進行分析，求這2件產品均來自同一組的概率.

17.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，平面平面BCG片,Ng8c=6o。，點M為BC中點.

(1)證明：45//平面4知6；

(2)若AB=AC=BC=2CC),求直線AC與平面AMQ所成角的正弦值.

18.在V4BC中，BC,AC邊上的兩條中線40,8N相交于點，若AB:AM:4C=6:7:10.

(1)用AB,AC表示AM,BN■

⑵求/胡C；

⑶若AM.BN=-2,求四邊形PMCN的面積.

19.已知函數/'(x)=sin2x+2acosx-1-%.

(1)當q=g時，/(X)>0,求匕的取值范圍；

⑵求人龍)的值域；

7T

(3)當xe0,-時，|/(x)|<2,求b-q的最大值.

題號12345678910

答案BBDDCAACACABD

題號11

答案ABD

1.B

根據復數的幾何意義，得到z=l+2i，結合共輾復數的概念，即可求解.

【詳解】由復數對應的點的坐標是(1,2),可得z=l+2i，所以的共軌復數為1=1-2i.

故選：B.

2.B

解出集合2,再求交集即可.

［詳解］因為A={2,4,6,8,10},6={T2x>9}=1%卜,

所以AB={6,8,10),

故選：B.

3.D

sinn

由tana=-2,aw(0,兀)知角在第二象限，所以sina>0,結合tana=——以及sida+cos2a=1解出sin。即

cosa

可.

【詳解】因為tana=-2,。￡(0㈤,所以角在第二象限，則sina>0,

sina_

由tana=------=-2①

cosa

sin2a+cos2a-\②

聯(lián)立解得：sina—，

2’5

故選：D.

4.D

求出a?b即可求解.

r「rr11

【詳解】因為〃力二|。|?2|(05120。二卜卜(_5)=-耳，

所以|a-2b［=+|2匕F-2-a，2b=+2?xl?-4x(-g)=幣.

故選：D.

5.C

由函數的奇偶性、基本初等函數的性質再結合復合函數的單調性逐一判斷即可.

【詳解】對于A,由r=|x|在(0,+8)上遞增，>=1在定義域上遞增，故丫=小在(0,+8)上遞增，故A不

滿足題意；

對于B,由，=|X|在(0,+8)上遞增，y=lnr在定義域上遞增，故/(尤)=ln|x|在(0,+8)上單調遞增函數,

故B不滿足題意；

對于C,/(尤)=一為偶函數，由暴函數的性質知/ah-在(o,+8)上遞減，故c滿足題意；

對于D,y=kinx|為偶函數，在(0,+8)上為周期函數，故D不滿足題意.

故選：C.

6.A

由面面的位置關系以及充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若///?,則/，尸，故是充分條件，

反之，若則///0或與，相交，故不是必要條件.

所以“7//0”是“7，4”的充分不必要條件.

故選：A

7.A

首先根據對數函數的單調性確定函數8(幻=￡-"的單調區(qū)間，結合對數函數的定義域可求出答案.

【詳解】因為函數/(力=1暇12-砌在區(qū)間(1,2)上單調遞增，

所以g(x)=Y一方在區(qū)間(1,2)上單調遞增，且g(x)>0在區(qū)間(1,2)上恒成立.

fW<1

所以2~,解得aWl.

故選：A.

8.C

根據互斥事件、相互獨立事件的概念以及相關性質，結合古典概型概率公式逐項分析即可.

【詳解】A選項：由〃(AuB)=〃(A)+〃(B)-〃(AB),

則有16=12+8-w(AB),所以力(A3)=4w0,

即ABW0,故A不正確；

B選項：因為無巨=AB,所以“(麗)="(人口3),

X?（AuB）=n（Q）-n（AuB）=24-16=8,

一n(AB)811

所以“而)=8,所以尸(48)==7———=一豐一

2432

故B選項不正確;

C選項：由尸(&)=醬I-尸(B)=喘=5-31,

nn

n(AB}41

n246'

所以P(AB)=尸⑷?尸(3),

所以事件與相互獨立故c正確；

D選項：因為九(和)=九(6)一H(AB)=8—4=4,

n(AB)=?(A)-n(AB)=12-4=8,

_n{AB\41-n(AB\81

所以尸(43)=-^=上=±,p(AB)=^--^=—=-f

〃(Q)246”(Q)243

由事件與相互獨立，

____ill?

所以P(A5+A5)=P(A5)+P(AB)=一+—二—w—,

6323

故D選項不正確，

故選：C.

9.AC

根據不等式的性質可判斷A,根據基函數的單調性可判斷C,取特殊值可判斷BD.

【詳解】因為。＞八1,。＞0,所以歷2,故A正確;

當a=3,b=2,c=!時，W=L［工］ca<cb,故B錯誤;

28UJ4

因為/(元)=X。在(0,+8)單調遞增，所以優(yōu)＞6。，故C正確;

當4=3,b=2,C=2時，log32<log22=1,故D錯誤;

故選：AC.

10.ABD

直接計算即可判斷A；化簡了(無)的表達式，即可求函數的最小正周期，判斷B；代入驗證可判斷C；根據三

角函數的圖象平移變換結合誘導公式化簡可判斷D.

【詳解】因為/(x)=5^sin5+COS],故/'(0)=A/^sinO+cosO=1,A正確；

(、2兀.

又/(x)=^sin3+cos2=2sin3+F，則最小正周期為丁=,兀，B正確;

22VZO/

2

/(—?)=2sin'S+?]=2sin^w0,則/⑶的圖象不關于點(-%。)對稱，C錯誤;

6y126J12V67

把函數y=2cos彳X的圖象向右平移T?71個單位，得到函數y=2cos-|=2cosgx-力的圖象,

2J/

而ya)=2cos

故選：ABD

11.ABD

A選項利用等體積法進行轉化即可判斷；B選項找到點E的位置再進行證明；C選項作出二面角A.-DF-A

的平面角進行求解；D選項利用直接法找到外接球的球心位置進行求解即可.

【詳解】對于A選項，在正方體中，ABJ/AB,AB//CD,44=AB,AB=CD

:.\BJ!CD,\BX=CD,四邊形448是平行四邊形，:.A,D//BXC,

平面尸，4Cu平面4。廣，平面4c尸，

==

￡為A。上一動點，???vs1—CEFVE—BQF=VD-BQFVB1—CDF，

正方體A68-A4GR的棱長為2,

1114

「?%—COF=]SCDF-BBX=-x-x2x2x2=J,

四面體B.CEF的體積為定值;，故A正確；

對于B選項，當￡為AQ中點時，斯1平面AC4,證明如下：

取AO的中點M，AA的中點N,4EM,NE,MF,NF、BDAB,

”,￡分別為人。，4￡）中點，二股。/441,

Mb分別為AD,AB中點，；.MF〃即，

在正方形A8CD中，AC1BD,:.MF1AC,

MFME=M,“/,用￡(=平面〃￡尸，

，AC1平面MEF，EFu平面MEF，：.AC1EF,

ME分別為A4,，AQ中點，.?.NE//AD,

，AD_L平面ABgA，A?_L平面ABgA，AB^U平面ABgA，NEJ_AB1,

N,廠分別為M.AB中點，，NF/M18,

在正方形中，AB,±A,B,..AB^NF,

NE「NF=N,NE,NFu平面NEF,；^AB]^L平面NEF,

,EFu平面NEF,ABJEF,

ABjAC=A,A4,ACu平面ACS],郎_L平面ACBJ,

即存在點E，使EFl平面AC4，故B正確；

對于C選項，過a作AJ'LD尸于點p,過作AP1DF于點,

在直角三角形△ADb中，AD=2，AF=b:.DF=#,

ADAF22

,AP=.-.PF=^AF-AP=^-,

DF55

在-AjDF中，AD=2也,DF=0同/=有，

mDF-+F^-A,D21276

)2DFFA,5,A5，

:.SF^-sinZAlFD=^DF-AiP',-,AXP'=^^-,

：.P'F=JAF—A1H=手，點與P'重合，

??.NAPA是二面角\-DF-A的平面角,

.?.tanNAPA=*=6,故C錯誤;

對于D選項，取Q尸的中點0,連接。

在直角三角形△ADb中，OD=OF=AO=M

2

又由B選項中可知，平面ABCD,MOu平面ABCD,

：.ME1MO,

EM=1,MO=!，，EO=@,，o為四面體ADEF的外接球的球心,

22

外接球半徑為g,外接球的表面積為4r9]=5兀，故D正確.

D)

j

c

/F.bB^

故選：ABD.

12.-1

由向量的線性運算結合坐標表示垂直可得.

【詳解】a+2&=(5,-1)+(32,22)=(5+32,22-1),

因為(0+46)，

所以15+92+42—2=0,解得4=-1.

故答案為：-1.

19

13.—71

3

由圓臺的側面積公式得圓臺的母線長，由勾股定理得圓臺的高，再由圓臺的體積公式得圓臺的體積.

【詳解】圓臺的上底面半徑r=2,下底面半徑R=3,設圓臺的母線長為/,高為h,

由圓臺的側面積公式得S側=兀伊+)=5就=5也兀，解得/=Q,

由勾股定理得h=#_(R_r)2=1,

由圓臺的體積公式得丫=；兀(片+]+樣)%=+(22+32+2x3)x1=17^

19

故答案為：—71.

14.3

首先根據余弦定理和角的范圍求出sinB,然后用將所求式子表示出來并化簡，最后利用二次函數的最

值可求得原式的最小值.

【詳解】根據余弦定理得,因為0<6<兀，所以sinB>0,

儲+3〃2

所以sin5=A/1—cos2B=

4ab

16

b

10\-1-9

aa]

取最小值為，償=3

此時品

9

故答案為：3.

15.(1)?=1

(2)(-?,log25)

(1)由奇函數性質求得參數，反過來驗證一下即可;

(2)將不等式進行變形，結合指數函數單調性即可求解.

【詳解】(1)由題意/(x)的定義域為R且/(x)是奇函數，故/(0)=。-1=0,解得q=l,

當a=l時，==

'72X+12X+1

此時〃T)=|^m=-|^m=_〃x),且/(X)的定義域為R,

所以此時/(x)是R上的奇函數，

故4=1滿足題意；

2721

(2)/(x)=1-----<—=>----->—=>2"+1<6=>2"<5=>x<

')2"+132X+13

2

所以滿足/(%)的的取值范圍為(-8,1*25).

16.(1)答案見解析

(2)0.4

(1)根據面積之和為1,求得，根據平均數的計算公式進行計算并比較大小即可得解；

(2)應在口20,130)中抽取5x件,記這三件產品為。也。，在口30,140)中抽取5-3=2件，記

0.03+0.02

這兩件產品為1,2,結合古典概型概率計算公式即可求解.

【詳角軍】(1)由題意(2“+0.02+0.03+0.04)x10=1,解得。=0.005,

甲企業(yè)生產的產品質量指標值的平均數為：105x0.2+115x0.3+125x0.3+135x0.1+145x0.1=121,

乙企業(yè)生產的產品質量指標值的平均數為：105x0.05+115x0.4+125x0.3+135x0.2+145x0.05=123,

所以甲企業(yè)生產的產品質量指標值的平均數要比乙企業(yè)生產的產品質量指標值的平均數??；

(2)從乙企業(yè)生產的產品質量指標值在［120,130)和［130,140)兩組中抽取5件產品，

則應在［120,130)中抽取5x.，°：一=3件，記這三件產品為“涉，。，

在［130,140)中抽取5-3=2件，記這兩件產品為1,2,

則再這5件產品中隨機抽取2件進行分析，

抽到的組合可能為:,{??c},{a,1},{a,2},{b9c},{b,1},{b,2},{c,1},{c,2},{1,2},共10種可能，

這2件產品均來自同一組的可能情況為：{a,b},{a9c}9{b,c},{l,2}9共4種可能，

4

故所求為而=04.

17.(1)證明見解析

(1)連接4C,由三角形中位線可證得MV//A3,根據線面平行判定定理可證得結論；

(2)先利用面面垂直的性質定理得AM1平面BCG4,進而利用線面垂直的性質和判定定理得CO，平面

根據線面角定義可知所求角為/C4O,在直角三角形中由長度關系求解即可.

【詳解】(1)連接A。，交AG于N,連接肱V,四邊形ACGA為平行四邊形，所以N為4。中點,

又點M為8C中點，所以MV//A3,

因為MVu平面AMG，4BU平面A/G，所以48//平面AMG；

(2)因為AB=AC=6C,點M為BC中點，所以4W1BC,

又平面ABC,平面8CG4,平面ABC平面3。。心=3。，AMLBC,

又AMu平面ABC，所以AMI平面BCG4,

取C”的中點為0,連接CO,A。，

由題意CG=CN，NGCM=120°,則CO±CXM,

由AMI平面8CG4，COu平面8CG4,得川人C。，

因為CtM=M,且A/，G/u平面AMG,所以C01平面A^G，

所以直線AC與平面AMG所成角即為NC40,AOu平面A/q,COLAO,

^AB=AC=BC=2CQ=2a,則CM=a,所以CO=axsin30=q,

2

在RtZ\CQ4中，sin/C40=g=!，即直線AC與平面AMG所成角的正弦值為］

AC44

18.(1)AM=^AB+^AC,BN=-AB+^AC

叫

(3)20A/3

⑴由40,BN為BC,AC邊上的中線即可得出答案

（2）由A〃=g（A2+AC）,兩邊平方，設AB=6NA〃=7￡AC=10左次>0）,化簡計算后即可得出答案

（3）由是重心，得出SpMCN=gs枷「再由（2）即可得出答案

【詳解】（1）因為h為加邊上的中線，所以A〃=；A8+；AC

因為8N為AC邊上的中線，所以3N=gBA+；8C=-;AB+；（Ae—A3）=-AB+gAC

（2）因為AM=；（AB+AC）

所以

AM2=AB2+AC2+2AB-AC）=i（|AB|2+|AC|2+21AB|-|AC|?cosNBAC）

因為AB:AM:4C=6:7:10

所以設A3=6左,AM=7k,AC=10k（k>0）

所以（7k）2=；（（6左）2+（10上7+2?6hlOhcosZBAC）

所以cos/BAC=—

2

又因為^BACG（0,萬）

所以㈤C=9

（3）AM.3N=［；A3+；Ac）（；AC—A“=—；卜-|ABAC+|ACI2

已知AMB/V=-2,設AB=6k,AM=7匕47=10左（左>0）,結合NBAC=3，

AB-AC=|AB||AC|cos-=30k2,代入得：

3

一;（36二卜；（30/）+1（100F）=-2

-18父一”上2+25%2=-2

2

解得k2=4,k=2（k>0）

TT

則AB=12,AC=20,ZBAC=-

3

S=-AB-AC-sin^BAC=-xl2x20x—=60A/3

ABKCr222

=

因為是重心，則SpMC=~SAMC，SAMC—SABC

所以S.MC=：S,，同理刀…卜樹

SPMCN=SPMC+SpNC=§SABC=206

19.(1)&<-1

(2)答案見解析

3

(1)由由/(冗)20,可得bW-cos02%+cos%+：,結合二次函數性質即可求得答案；

(2)令/=cosx/e[Tl],化簡可得g⑺=-?-/+]_打€卜1』],分類討論，討論對稱軸和已知區(qū)間的

位置關系，即可求得答案；

(3)討論“的取值范圍，結合題意可得相應不等式組，進而求出關于6的不等關系，從而可得匕-a的不等

式，繼而求得答案.

113

【詳解】(1)a=一時，/(x)=sin2x+cosx----Z?=-cos2x+cosx+——b,

244

3

由/(X)>0,得Z?V—COS?X+COSX+—,

4

31

而—cos2X+COSx+~1COSX-5VI+1,COSXe[—1,1],

當cosx=-l時，-卜osx-；j+1取最小值

故

4

(2)f(x)=sin2x+2acosx—a2—b=—cos2x+2acosx+1—a2—b

=-(cosX-6Z)2+1-Z7,COS%G[-1,1],

令r=cosx"e[—1,1],則g(/)=_(/_+1_bJg[_],]],

當a<T時，g⑺在[Ti]上單調遞減，

則/(X)max=g(-l)=-2a-a2-b,=g(1)=2a-a2-b,

故函數值域為[2。-a2-b,-2a—/一可；

同理，當一時，/Wmax=1-^,/(%)min=2々一。2一人，

此時函數值域為[2〃一一81一4，

當0<〃?1時，/(X)max=l一b，/(x)min=—2。一。2—6，

止匕時函數值域為［一2。一/_41_可,

1

當〃〉]時，/'(x)max=2。一。2—b,/(x)min=~2a-a-b,

故函