河北省邢臺市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期7月期末測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合4={、x<8},3={x|x=2左，左eN},則Ap|3=（）

A.{0,2,4,6,8}B.{2,4,6,8}C.{2,4,6}D.{0,2,4,6}

2.已知某批零件的直徑X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（10,b2）.若尸（9WXWll）=0.7,則從這批零件

中任意抽取1個零件，該零件的直徑大于11毫米的概率為（）

A.0.35B.0.15C.0.3D.0.175

3.（2〃+3加6的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.C^X22X34B.C^X23X33C.C：D.C^X24X32

7

4.用最小二乘法得到的一組數(shù)據(jù)（%,%）（，=1,2,3,4,5,6,7）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=3尸5.若）&=21,則

Z=1

￡7%=（）

i=l

A.63B.21C.28D.49

5.設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下表所示，貝!|。=（）

12

P4a-15a24〃

D-鴻

6.己知函數(shù)=一在R上單調(diào)遞增，貝M的取值范圍是（）

[lwc-a,x>l

A.(1,3]B.[3,6)C.(3,6)D.[2,6)

7.“加>0”是“函數(shù)/（x）=x（x-〃。2在工="，處取得極小直,的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.某校組織學(xué)生參加羽毛球、乒乓球、網(wǎng)球三種球類比賽，該校某班要求每個學(xué)生只能報(bào)名其中一種球類比

賽，且每種球類比賽至少有1人參加.若該班有5名學(xué)生報(bào)名，其中甲、乙都不參加網(wǎng)球比賽，則該班這5

名學(xué)生不同的報(bào)名方案共有（）

A.72種B.62種C.60種D.48種

二、多選題

9.（2x+l*=4+q（%+1）+。2（%+1）2+??，+q8（x+l）i8,則（）

A.%=1B.4+。2+?,,+%8=0

18

3-118

C.CLQ+〃2+&+,，，+8=--------D.alg=2

Ini*

10.己知函數(shù)/（力=丁+2,則（）

A./（尤）在（0,e）上單調(diào)遞增B./（e）＞/（3）＞/（2）

C.的最大值為e+2D./（x）有唯一零點(diǎn)

11.A民CD,E五人進(jìn)行丟骰子游戲,最后統(tǒng)計(jì)每人所丟骰子的點(diǎn)數(shù)之和，點(diǎn)數(shù)之和最大的獲勝.已知每

人每次丟完后都等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人.第1次由A將骰子傳出，記第〃次傳骰子之后骰子在

?；駿手上的概率為可，記第〃次傳骰子之后骰子在C手上的概率為a，則（）

三、填空題

12.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P（X=l）=0.56.若y=4X-3,貝|尸（丫=-3）=.

171

13.^a>0,b>--,S.a+b=l,則一+7；—7的最小值為______.

2a2b+l

14.已知函數(shù)〃x）=10-黑.若方程--）=10有3個實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍為

四、解答題

15.現(xiàn)有8款不同的高難度智力扣，每名學(xué)生隨機(jī)抽取3款進(jìn)行破解.已知甲學(xué)生只能破解其中的4款,

設(shè)甲學(xué)生抽到能破解的智力扣的數(shù)量為X.

⑴求尸（X22）；

（2）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

16.已知函數(shù)=jvina-xlnx-e』?

⑴討論〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：/(x)<0.

17.甲、乙兩人進(jìn)行賽馬，比賽規(guī)則如下：甲、乙各挑選3匹馬(馬匹各不相同)，每場比賽甲、乙均從各自

挑選的馬匹中挑選一匹本次比賽未上場的馬進(jìn)行比賽，三場比賽結(jié)束即為本次比賽結(jié)束，三場比賽依次進(jìn)

行，勝利場數(shù)多的一方獲得本次比賽的勝利，每場比賽均只有勝負(fù)，且勝利與否互不影響.在所有馬匹中,

有一匹快馬，記為K馬.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在所有比賽中，參賽者的勝負(fù)情況和選擇K馬與否的情況如下表所示.

單位：場

參賽者的勝負(fù)情況

選擇K馬與否合計(jì)

勝負(fù)

選擇12

未選擇22

合計(jì)30100

(1)完成2x2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參賽者的勝負(fù)和選擇K馬與否有關(guān)聯(lián)？

(2)由于馬匹的不同，K馬參加比賽的場次會進(jìn)行調(diào)整.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，參賽者選擇K馬參與比賽時,

安排K馬參加第一場、第二場、第三場比賽的概率分別為§,于5,相應(yīng)參賽者獲得本次比賽勝利的概率分別

為:352當(dāng)參賽者選擇K馬參加比賽時，在參賽者獲得本次比賽勝利的條件下，求參賽者安排K馬參加

463

的是第一場比賽的概率.

n(ad-bc)2

附：z2=n=a+b+c+d.

:a+b)(c+d)(a+c)(Z?+dy

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

18.某產(chǎn)品生產(chǎn)共有2〃-1(〃eN+)道工序，每道工序優(yōu)秀的概率均為p(0<p<1),各道工序之間相互獨(dú)立.當(dāng)

該產(chǎn)品有不少于"道工序優(yōu)秀時，該產(chǎn)品為優(yōu)品.記產(chǎn)品為優(yōu)品的概率為p..

⑴設(shè)。=；，力=3.

①求該產(chǎn)品優(yōu)秀工序的道數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②求。3?

(2)若該產(chǎn)品現(xiàn)共有7道工序，每件優(yōu)品的利潤為90元.因市場上產(chǎn)品更新?lián)Q代的速度很快，工廠決定優(yōu)化

該產(chǎn)品，每件產(chǎn)品增加2道工序，增加工序后，單位時間內(nèi)的產(chǎn)量是原來產(chǎn)量的2倍，并將優(yōu)品分為一級

優(yōu)品和二級優(yōu)品，二級優(yōu)品產(chǎn)量占優(yōu)品總產(chǎn)量的g,且每件二級優(yōu)品的利潤是90元，每件一級優(yōu)品的利潤

是180元.

①設(shè)該產(chǎn)品增加工序前單位時間內(nèi)的產(chǎn)量為無件，記該產(chǎn)品增加工序后單位時間內(nèi)生產(chǎn)的優(yōu)品利潤之和為y

元，試用x,ps表示E(y)；

②若該產(chǎn)品增加2道工序后產(chǎn)品為優(yōu)品的概率變大，求P的取值范圍.

19.若函數(shù)〃尤)滿足定義域?yàn)镹+，VxeN+，W(x)Wl,且由eR,Vxe=(x+f)ln(x+l)-ln(x!),

Z=1

則稱/(X)為“對乘函數(shù)”，/為“X)的“對乘系數(shù)”.

⑴試判斷函數(shù)〃x)="+￡|,xeN+是否為“對乘函數(shù)”.若是，求出“X)的“對乘系數(shù)”；若不是，請說明

理由.

⑵己知〃尤)是'對乘系數(shù)”為機(jī)的“對乘函數(shù)”，證明：2m+1<e.

參考答案

1.D

【詳解】因?yàn)榧螧表示非負(fù)偶數(shù)集，所以4門3={0,2,4,6}.

故選：D

2.B

【詳解】根據(jù)題意可得〃=1。,MP（9<X<ll）=0.7,

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,可得尸（X>11）=1-尸（9；XW11）=（）15_

故選：B

3.B

【詳解】（2a+36）6的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)是C：X23X33.

故選：B

4.C

21

【詳解】根據(jù)題意可得了=7=3,所以歹=3x3—5=4,

7

則Z*=79=7x4=28.

1=1

故選：C

5.C

4a-15a2>0,

【詳解】由題意可得，加>0,解得

4a-15a2+4〃=1,

故選：C.

6.B

[6—a>0

【詳解】由題意得、乙。，解得3K"6.

\-a>6-a-2a

故選：B

7.A

【詳解】由題意得（X）=（尤-〃?）2+2x（x-m）=（x-m）（3x-m）.

若根>0,則當(dāng)根時，/'（x）<0J（x）單調(diào)遞減，當(dāng)了>加時，/'（x）>0J（x）單調(diào)遞增，〃x）在戶“

處取得極小值;

若切=0,則尸(x)“J(x)在R上單調(diào)遞增,無極值；

若加<0,則當(dāng)x<，〃時，尸(x)>0"(x)單調(diào)遞增，當(dāng)〃?〈尤<￡時，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，〃尤)在戶"，

處取得極大值.

故“m>0”是“函數(shù)"X)=x(x-機(jī)了在x=帆處取得極小值”的充要條件.

故選：A

8.B

【詳解】這5名學(xué)生中，若網(wǎng)球比賽只有1人報(bào)名，則報(bào)名方案有C(C；+等卜=42種；

若網(wǎng)球比賽有2人報(bào)名，則報(bào)名方案有C；C；A；=18種；

若網(wǎng)球比賽有3人報(bào)名，則報(bào)名方案有C；A；=2種.

故該班這5名學(xué)生不同的報(bào)名方案共有42+18+2=62種.

故選：B

9.ABD

【詳解】令x=-L則(—2+1尸=%=1,A正確.

1

令％=0,貝|ao+%+%H--F〃i8=l，所以"+的"----F6z18=0,B正確.

下8]

令尤=-2,貝U+%—〃3---1~卬8=318，所以％+%+。4+?一+〃18=~，C錯誤.

[8=C；8218=218,D正確.

故選：ABD

10.ABD

【詳解】由〃力=螞+2,得/(司=男/，當(dāng)0<x<e時，/'(x)>0J(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，A正確.

XX

當(dāng)x>e時，/'(x)<0J(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減,所以/(e)>〃3)><(4),

因?yàn)?(4)=苧+2=等+2=手+2=/⑵,所以〃e)>/(3)>〃2),B正確.

易得了(X)在x=e處取得最大值，最大值為/仁)=華+2=：+2,C錯誤.

令/(%)=0，得lnx=-2x,函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=-2x兩函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，所以/(%)有唯一零點(diǎn)，D

正確.

故選：ABD

11.AC

【詳解】由題意可得，第1次由A將骰子傳出，傳到?；駿手上的概率為故A正確;

設(shè)第22,neN*)次傳到?；駿手上的概率為，則"次傳到。或E手上的概率為4，

則〃〃=；4-1+1(1-4-1)，即4=-^n-l+~，

…21(2、

因?yàn)?_g=卜,一「二卜

所以數(shù)列14-是以々為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)歹!J,

I5J104

1(]A?3

當(dāng)〃=2時，=7ZX~~7+T="o,故B錯誤；

1U14)3o

同理第〃-1(〃22,〃eN*)次傳到C手上的概率為,貝打z次傳到C手上的概率為a,

貝Ibn=bn_tx0+(1—)x(,即,

因?yàn)?=；，么一丁―/，

所以數(shù)列1"-U是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)歹U,

I5J204

所以'即"=9臼+r故口錯誤.

故選：AC

12.0.44

【詳解】由題意可得尸(y=-3)=p(x=0)=1—P(X=l)=0.44.

故答案為：0.44

13.3

【詳解】因?yàn)椤?6=1,所以2+9T=U+$=/2a+26+l)[U+?T)=?4+l+見”@+熟

〃2。+12。2。+1312。2。+1J32a2。+1

因?yàn)樗曰?a

>0,>0,

2/?+1

則”+舞舊學(xué)瑩.當(dāng)且僅當(dāng)片辿即"1小。時’等號成立'

2121

則二罰卻,即丁藥的最小值為3.

故答案為：3

14.10,口

【詳解】根據(jù)題意可得〃T)=10^=10-黑=￡,所以〃x)+/(—x)=10.

因?yàn)?(元)在R上單調(diào)遞增，且/[￡]+/(3-X2)=10,所以￡+3一工2=0,

則a=(f—3)e\令〃(x)=(尤2-39，則>與耳尤)有三個交點(diǎn),

7/(元)=(爐+2九一3)e"=(X—1)(%+3)e”,

當(dāng)％<-3時，單調(diào)遞增；當(dāng)一3V尤<1時，"(X)vO,/z(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時，/(X)>0,/z(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xv-3時，/z(x)>0./z(-3)=烏,力⑴二一2匕,

畫出秋x)的大致圖象，如圖所示，所以〃的取值范圍為[。，攝；

3

(2)分布列見解析；期望為1

C1c23c31

【詳解】⑴根據(jù)題意可得P(X=2)=-^=；p尸(X=3)=消=7P

/514

311

所以P(XN2)=尸(X=2)+P(X=3)=,+q=子

(2)由題意知X所有可能的取值為01,2,3.

P(x=o)=|p>P(x=i)=等<

3i

由(1)得尸(x=2)=i,尸(X=3)=森，所以X的分布列為

X0123

1221

P

147714

3

E（X）=Ox±1X^21

14+7+2X7+3X142

16.⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(0,￡

,單調(diào)遞減區(qū)間為+8

(2)證明見解析

【詳解】(1)由題意得“X)的定義域?yàn)?0,+8),M?>o,/,(x)=lna-lnx-l=ln—,

當(dāng)昌時,廣(彳)>0,〃外在(0,3上單調(diào)遞增,

時，/'(力<。，/(*)在］"|，+8

當(dāng)上單調(diào)遞減,

綜上可知，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為［。,?,單調(diào)遞減區(qū)間為+。卜

(2)由(1)易得〃力在x=?處取得極大值，即最大值,

2

設(shè)g(a)=@-e(a>0),則^Va)=l_J_xe?=￡z￡￡?

當(dāng)“e(0,e3時，g，(a)>O,g(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)ae(e:+8)時，g<a)<O,g(a)單調(diào)遞減，

g(a)<g(e2)=^--ec2=0>即

由⑴知所以

17.(1)填表見解析；認(rèn)為參賽者的勝負(fù)和選擇K馬與否有關(guān)

63

(2)---

187

【詳解】(1)補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下.

單位：場

參賽者的勝負(fù)情況

選擇K馬與否合計(jì)

勝負(fù)

選擇481260

未選擇221840

合計(jì)7030100

零假設(shè)為H。：參賽者的勝負(fù)和選擇K馬與否無關(guān).

由表中的數(shù)據(jù)得70M十7.143>6.635,

則依據(jù)c=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷假設(shè)不成立，即認(rèn)為參賽者的勝負(fù)和選擇K馬與否有關(guān).

(2)設(shè)事件A="參賽者安排K馬參加第一場比賽"，事件&="參賽者安排K馬參加第二場比賽”，事件

4="參賽者安排K馬參加第三場比賽”，事件3="參賽者獲得本次比賽的勝利”.

尸(A)=g，尸(4)=*尸(4)=卷，尸(劑A)=j尸34)=|，尸(川A)=|.

當(dāng)參賽者安排K馬參加第一場比賽時，參賽者獲得本次比賽勝利的概率為

1Q1

尸0y)=尸(A)尸(劇

當(dāng)參賽者安排K馬參加第二場比賽時，參賽者獲得本次比賽勝利的概率為

P(AB)=P(A)P(B|A)=|X|=A;

當(dāng)參賽者安排K馬參加第三場比賽時，參賽者獲得本次比賽勝利的概率為

p(48)=p(4)p(川4)=1|唱.

當(dāng)參賽者選擇K馬參加比賽時，參賽者獲得本次比賽勝利的概率為

P(B)=P(A)P(BIA)+P(4)尸(冽4)+尸(A)尸(面=t，

當(dāng)參賽者選擇K馬參加比賽時，在參賽者獲得比賽勝利的條件下，參賽者安排K馬參加的是第一場比賽的

1

463

概率為尸(46=9胃=

187=187

252

517

18.(1)①分布列見解析；期望為?；②久

Jol

⑵①E⑺=300中5；②（別

【詳解】（1）①因?yàn)椤?3,所以該產(chǎn)品的優(yōu)秀工序的道數(shù)X的所有可能取值為0」,2,3,4,5.因?yàn)槊康拦ば?/p>

之間相互獨(dú)立，且優(yōu)秀的概率均為g,所以X~B15,g

蓋‘尸（x=1）=c；

p(X=2)=C；P（X=3）=C；

p(X=4)=C；xx*梟尸"=5)=C

X的分布列為

X012345

32808040101

p

243243243243243243

E(X)=5x*.

p=p(X=3)+尸(X=4)+尸(X=5)=膽+也+L=U.

3v7v7v724324324381

（2）①該產(chǎn)品增加2道工序后單位時間內(nèi)優(yōu)品產(chǎn)量的期望為2尤?2+0,（1-。5）=2必5,

12

貝!]E（K）=90x§x2皿$+180x§x2印§=300阻.

②）該產(chǎn)品增加工序前至少有5道工序優(yōu)秀的概率為P&-O4（l-p）3；

該產(chǎn)品增加工序前恰好有4道工序優(yōu)秀，新增的2道工序中至少有1道工序優(yōu)秀，

概率為C%4（1-p）3.[1_（1_p）2]=C力5.（1_03（2_°）；

該產(chǎn)品增加工序前恰好有3道工序優(yōu)秀，新增的2道工序全部優(yōu)秀，

概率為C?3（1-p）4.p2=C；p5（1-P）4.

P5=P「C；p4（1-pF+C"?（1一°）30_同+C；p5（1_p）4

4

=A+cy（i-jP）（2p-i）,

則P5-P4=C；/（1-P）4（2P-1）,

根據(jù)題意可得P5-P4>。，解得g<P<l，

所以當(dāng)該產(chǎn)品增加2道工序后產(chǎn)品為優(yōu)品的概率變大時，P的取值范圍為M-

19.⑴是“對乘函數(shù)”，“對乘系數(shù)”為0

（2）證明見解析

【詳解】（1）F（x）是“對乘函數(shù)”.理由如下:

由〃x)J1+：,xeN+，得/(x)>0,則lM(x)=xln1+J.

11_r

令g(x)=lnx-x+l,貝"=

當(dāng)xe(O,l)時,g,x)>O,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+oo)時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(x)4g(l)=0,所以InxW尤一1,

所以1堀'(尤)=xln(l+：

<xl1+--1=1.

23243(x+Diij/x(x+ir_(x+ir

因?yàn)椤?)/(2)…〃x)=ix級x于x...xx

123Xxl

(x+1)'

,即In[/⑴/⑵.../(Mbxln(尤+l)-ln(x!),

所以當(dāng)f=0時，VxeN+,/(l)/(2).../(%)=

xl

x

則^ln/(/)=xln(x+l)-ln(x!).故/⑴二

1+-,%eN+是“對乘函數(shù)”且“對乘系數(shù)”為0.

i=lX

(2)證明：3meR,VxeN+,ln/(O=(x+m)ln(x+1)-ln(.x!).

Z=1

(x+l)t+ffl

即⑵…/(尤