江蘇省東臺市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計40分.每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）

I.若復(fù)數(shù)z=l+2i（i為虛數(shù)單位），則Z的虛部是（）

A.2B.2iC.-2D.-2i

【答案】A

【解析】復(fù)數(shù)z=l+2，的虛部為2.

故選：A

2.已知向量萬不共線，〃?二〃一3囚，〃=2。一式心若〃?〃〃，則工=（

,22

A.―6B.-C.6D.

33

【答案】C

【解析】因為/〃二〃一3坂，相=2。一H且〃?//〃，

所以3=〃百，BP2a-xb=t{a-3b^=ta-3tb,

2=t[/=2

又向量Z，分不共線，所以{「，解得1/.

-x=-3r[x=6

故選：C

3.已知cos(a+/?)=q,sinasin〃=j^,則cos(a-〃)=(

)

A.-B.—C.-D.

2343

【答案】D

【解析】因為cos(a+/)=cosacos/-sinasin/?=，，又sinasin￡='，

所以cosacos/?=—,所以cos(a-7?)=cosacos/?+sinasin/?=—+-=i

故選：D

4.已知點A（T,1）,8（2,-1）,若直線4B上的點D滿足而=2而，則D點坐標(biāo)為

()

A.(5,-2)B.(6,-2)C.(4,-3)D.(5,-3)

【答案】D

【解析】令坐標(biāo)原點為。，由4萬=2&5,得益一3=2（而一麗），則麗=2礪-麗,

而點B（2,-l）,因此而=（4,一2）-（一1,1）=（5,-3）,所以。點坐標(biāo)為（5,-3）.

故選：D

5.已知向量￡=（-5,0）,6=（2,-4），則向量Z在向量石上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A.(-2,4)B.(-1,2)C.(4,-8)D.(2,-4)

【答案】B

【解析】向量3=（—5,0）,1=（2,-4）,則H=—10，|昨々+（-4）2=2逐，

a.b——10—1

所以向量Z在向量B上的投影向量為而〃=W匕=—5（2,T）=（—1,2）.

故選：B

6.如圖，兩座山峰的高度AM=CN=200m,為測量峰頂M和峰頂N之間的距離，測

量隊在4點（A艮C在同水平面上）測得"點的仰曲為45°,N點的仰角為30T且

/MBN=45。,則兩座山峰峰頂之間的距離MV=（）

A.2(X)mB.4(X)mc.200x/2mD.400鬲

【答案】C

AM200

【解析】在中BM==20()V2(m),

sin/ABMsin45°

CN200

在R^BCN中8N二=400(m),

sin/CBNsin30°

在△BMN中MN=[BM?+BN?-2BM?BN8s4MBN

*2

=200&J+400-2X200>/2x400x乎=200及(m).

故選：C

___I_9,

7.在VABC中，AN=-NC,尸是直線BN上的一點，若而="通+—正，則實數(shù)

27

用的值為（）

3C3_1、1

A.-B.一一C.-D.一一

7777

【答案】C

【解析】由而=■!■正，得衣=3俞，則Q=〃?而+2/=小麗而7,

277

而A,P,N三點共線，則加+9=1,所以"7=4.

77

故選：C

8.若VA8C的三個內(nèi)角均小于120。，點M滿足NAM8=NAMC=N8WC=120。，則

點M到三角形三個頂點的距離之和最小，點M被人們稱為費(fèi)馬點.根據(jù)以下性質(zhì)，已知￡

是平面內(nèi)的任意一個向量，向量B，2滿足且|B|=|Z|二JL則|￡—向+|￡|

+|3+小的最小值為（）

A.2夜B.V3+1c.辿D.V2+1

3

【答案】B

【解析】作向量加=）,而=反近二_2,由6_1工，|B|=|2|二JL得△O8C是腰長為

及的等腰三角形，|a—N+IJI+IJ+ZR^I+IOAI+ICA],而△OBC的所有內(nèi)角均

小于120°,因此|￡-石|+|3|+|￡+"|取得最小值的點A是△05C的費(fèi)馬點,

ABAC=ZOAC=ZOAB=120°,則A8=A。，點A在斜邊8c的中線上，如圖,

NB4O=60°,AC=AB=2AD=BCtan30°=,AO=AD-OD=\--

33

所以|3—B|+|￡|+|￡+2|的最小值為鋁+空+1-走=6+1.

333

故選：B

二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，請在答題紙的

對于C：設(shè)Z2=x+），i（x,yeR）,由|z2+1=l,所以++），=1,

即（x+l『+y2=i,則尸=]_（x+]『之0,解得一24xW0,

所以Iz2-1]=^（x-1）2+y2=^（x-1）2+l-（x+l）2=\J\-4xe[1,3]?

所以憶2-1|的最小值為1，故C錯誤.

故選：BD

11.如圖，正方形48c力的邊長為1,M,N分別為邊BC,CO上的點（不含端點），

且DN+BM=MN,AE1MN,E為垂足，記8M="z,DN=n,下列說法正確的

MNr-

C./%+〃+〃"？=1D.——的最小值為2(2-J2)

AE

【答案】BC

【解析】對于A,CM=T-m,CN=l-&MN=m+n,則^CMN的周長為2,A錯誤;

對于C,由CM?+CN?=MN?,得(1一〃if+(1-〃『=(加+〃尸，整理得〃z+"+〃〃7=1,

C正確：

"2+n

對于B,tan/MAB=/??,tan/NAD=n,則tan(NMA8+Z.NAD)=-----=1,

\-mn

而NM4B+/N4。為銳角，則/M4B+NMU)=45。，NM4N=90°-45°=45。，B正確；

對于D,由S&AMN=1-SqtN-S^BAM-s?AN?,

乙乙乙乙

777?4-〃

整理得（m+〃）AE=1-〃!〃=〃?+〃，即AE=1，而+=〃?〃〈（-----）:

2

即（加+〃）2+4（〃?+〃）-4N0,又加+〃>0,解得〃z+〃22（、反一1）,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)二〃

MNMN-

時取等號，又一^="2+〃，因此一二的最小值為2（。2-1）,D錯誤.

AEAE

故選：BC

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，計15分.不需寫出解答過程，請把答案寫在

答題紙的指定位置上.）

12.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù))=

【答案】1+i

20-i)

【解析】因為(l+i)z=2,所以z=二1一i,所以z=l+i?

O+i)(l)

故答案為：1+i

13.已知sina+cosa='，貝ij2cos?71

—a-1=

414

【答案】卡

11

【解析】因為sincr+cosa=一,所以(sina+cosax2)=—

416

即sin2a+2sinacosa+cos2a=—,所以sin2a=一"

1616

7115

所以2cos2--a-1=cos2——a=cos—~2aI=sin2(z=

144u16

故答案為：-與

16

14.若VA8c外接圓的圓心。，半徑為2百，且3sin2RA?+3sin2c

=sinBsinCAO,則邊5c長為

【答案】立

3

【解析】在VA3C中，令內(nèi)角A3,C所對邊分別為其外接圓半徑為R,

abci?_______

則^--==2/?,由3sin28?A8+3sin2cAe=sin8sinCAO，

sinAsinBsinC

6sinBcosB-AB+6sinCcosC?AC=sinB?sinCA0，

sinZ?>0,sinC>0,則1心==8?而十cos。",

6sinCsinB

不是1/75彳gcos§?福2cosCABAC即［11廿二c%os8JccosAcosC

6sinCsinB62sinCsinB

,1ccoaBccosAcosCrl?一—，「.，.一

貝!J——c=------+------；--------,即14——sinc=-cos(A+C)+cosAcosC=sinAsinC,

12sinCsinC12

因此sinA=G，所以BC=。=2RsinA=.

123

故答案為：立

3

四、解答題(本大題共5小題，計77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).)

15.己知復(fù)數(shù)2=(機(jī)2-5加+6)+(〃7-3)i(〃?wR),其中i為虛數(shù)單位.

(1)求〃?為何值時，z為純虛數(shù)；

(2)若狂數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，求，〃的取值范圍.

解：(1)因為z=(〃-56+6)+(〃-3)i(〃2eR)為純虛數(shù),

nv-5w+6=0

所以《解得機(jī)=2；

—3w0

(2)復(fù)數(shù)z=(〃『-5〃7+6)+(加-3*/〃€均在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(〃?2-5m+6,團(tuán)-3b

,一〃/-5w+6<0、,

依題意J,解得2<3即切的取值范圍為(2,3).

m-3<0

16.設(shè)％為實數(shù)，已知向量2=(44),^=(2+4,1).

(1)若公/"，求「的值;

(2)設(shè)-向量Z與萬的夾角為6,求。的大小.

解：(1)向量4=(44),1=(4+4,1),由Q//B，得4(幾+4)=1?丸，

所以a二一二.

3

(2)依題意，?-/；=(-4,3),由Z_L(￡—5),得-U+3X4=0,解得4=3,

因此〃=(3,4),Z?=(7,1),|。|=5,||=5>/^,〃?/?=3x7+4x1=25,

則cos6=-2==正，而0<。〈兀，所以8=色.

\a\\b\5-5^224

17已知函數(shù)/(.r)=>/3sin2.r—cos2.r+l(.r?=R).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及對稱中心；

(2)若函數(shù)/(/)在區(qū)間號,，"上的值域為[Tl+6],求，〃的取值范圍.

([j]A

解：(I)因為/(x)=\/^sin2x-cos2ji+l=2—sin2^--cos2x+1

=2sin(2x-J|+l,所以函數(shù)/(x)的最小正周期7二”二兀；

、6J2

令2x-'=E,kwZ,解得x=E+如，kwZ.

6122

j1\

所以/(x)的對稱中心為1~+—,1(%￡Z).

5兀1,?！?兀八兀

(2)當(dāng)人w——,tn時，2A——e—-,2rn——,

L12J636j

n.2兀,7TT5/3.3兀

又sin——=sin——=——，sin—=-1,

3322

27r3兀37r77r

且〉=$m^■在—上單調(diào)遞減，在—上單調(diào)遞增，

因為“X)在Y|,/?Z的直域為［-1,1+可

所以包w2〃7-工工乂，解得2工,〃42,

26364

5兀5TT

即機(jī)的取值范圍為—.

_64

18.在VA8C中，已知D為邊8。上一點，滿足8萬=goC,AD二瓜

（1）若NB4C=2,^ABD=~,求△ABD的面積:

26

(2)若N84C+ND4C=兀，求A3的長.

解：（1）因為NB4C=E,ZABD=-,所以N4CB='，且福./=0，

263

所以9=tan/A8O=火，即。=麻，

c3

y.BD=-DC,所以而=通+加=而+1比=麗」（配-麗）=2通+!/,

23333

所以而=(押+岡2=河+”取浮/西W網(wǎng),

所以6=6(64+’,解得八產(chǎn)(負(fù)值已舍去)，

c

(2)因為。為BC上一點，滿足麗二」反,

2

3131

所以S八ABC=-，所以一A比ACsinZBAC=-x-AD-ACsinZ1DAC，

因為/84C+ND4C=7i,所以sin/84C=sinND4C,

33

所以A5=-AZ),乂AD二瓜,所以43=一卡；

22

19.在銳角VA8C中，內(nèi)角A8,。所對的邊分別為。、b、c,G為VA8C的重心，己

知c=2,sinC(^cosC-?-ccosz4)=/?cos^C--

(1)求/C的大??；

(2)若國=￥，求畫.函；

(3)求15|司卜3圍的取值范圍.

兀

解：(1)由正弦定理得，sinC(sinAcosC+sinCcosA)=sin^cos(C——),

6

得sinCsin(A+C)=sinBcos(C-￥),

6

得sinCsinB=sinBcos(C--),

6

因為3￡(0,兀)，所以sinB>0,

得sinC=cos(C-F),^sinC=^^cosC+—sinC，

622

得:sinC二且cosC，即lanC=JJ，

22

因為?！辏?,兀），所以C=1.

（2）如圖：連接CG，并延長CG交A8為點M，

一2-----

因為G為VA8C的重心，所以M為A8的中點，且CG=-CM,

3

而兩=g（5+而），得石=

,即CG2+2CACS+CB2^

因為1力卜孚，所以竽—I護(hù)+2abcos—+a2

9(3

即。2+從=12"，

由余弦定理得，c2=cr-vb2-labcos—,而c=2,得"+從=4+出?，

3

故12—。/?=4+々〃，得。/?=4,

..7TI

故CACB=Q/?COS—=4x—=2.

32

(3)由(2)知，|M『=g(c/+2cA?C6+C&2)=4a2+Z?2+a3，

得|CG|=—+b2+ab,而〃2+從=4+(山,

得|CS|=」j4+2H?,故151ss卜3麗?C%=5j4+2〃。一),必,

_______產(chǎn)_4

令/=4t4+2〃4,得ab=---,

得15|且|一3而.eX=5-3x=±=-。/十5/+3,

I?224

a_b_c_2_

由正弦定理得sinAsinBsinC&3，

2

4a