專題18立體幾何初步（I）（六大題型+模擬精練）

01

目錄：

?依『01概念、截面、展開圖

?除電02直觀圖

?獨(dú)型03表面積和體積

?孰型04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

??1305立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

??員06多面體的切接問題

一、單選題

??R01概念、截面、展開圖

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）有下列命題：

①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線：

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)--周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺(tái)的上、卜底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等；

④底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐.

其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【詳解】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸線時(shí)才是國(guó)?線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)

軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；

③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、卜底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定

相等；④錯(cuò)誤，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.

【考查意圖】空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

2.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知在正方體45co5GA中，E,F,G分別是從民理，

的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】分別取AC、4D的中點(diǎn)H、M、N,連接GH、HM、

.在正方體.4耳他中，BtF,G分別是皿典，8C的中點(diǎn)，

HOUEN,HMIIEF,FGIIMN,

二六邊形即G/ftW是過尻尸，G這三點(diǎn)的截面圖，

過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.

故選：D

3.（22-23高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知正四面體的D的棱長(zhǎng)為a,￡為CD上一點(diǎn)，且

CE勖?2:1,則截面△四E的面積是（）

3B.4

A.4C.

【答案】D

【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.

因?yàn)閊-2:1,所以"田處立

所以在正三角形月CD中，由余弦定理可知：

AE:-AC2^CZ:-2ACCEcosZACD

*2口.2a17,

-Gy）-_a3；,尸.

因?yàn)橐籗CQ和二ACO都是正三角形，

所以AADS?XBDE、AD■BD,DX■DE

所以所以即?雨，

所以二是等腰三角形，取從3中點(diǎn)尸，則月B1EF,

所以9I”36,

也.??13斯=*腎=普爐

故選:D.

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）己知圓錐的側(cè)面積是且它的側(cè)面展開圖是?個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切

球半徑為（）

6273瓜

A.3B.3c.3D.3

【答案】B

【分析】先畫出圖形，設(shè)圓錐底面圓的半徑為「，高為K,母線長(zhǎng)為,,并由題意聯(lián)立方程組求出；再由特殊的

直角三角形的性質(zhì)解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.

【詳解】如圖所示圓錐和側(cè)面展開圖.

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，高為卜，母線長(zhǎng)為"由題意知：而■?匚，

兩式相除解得r=1,/二;

n

所以圓錐的頂角為軸截面為等邊三角形，圓錐的高力??療,

■…OS-^-AOR.且

設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為R,Rk/°S中，2，即2，解得3.

故選:B.

5.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）圓錐的高為2,底面半徑為1,則以I員1錐的高為直徑的球°表面與該圓錐側(cè)面

交線長(zhǎng)為（）

耳x2的x竺8x

A.5B.'C.5D.5

jv/-4x

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，高為卜，母線長(zhǎng)為：，由題意知：工、工7

兩式相除解得W

所以圓錐的頂角為行，軸截面為等邊三角形，圓錐的高'價(jià),

設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為R,（"叫,解得人■亍

故選：D.

7.（2024?廣東汕頭?一模）已知圓錐的頂點(diǎn)為s,°為底面圓心，母線￡4與S8互相垂直，ASIB的面

積為8,￡4與圓錐底面所成的角為3丁，則（）

A.圓錐的高為1

B.圓錐的體積為ME

C.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為F-

D.二面角$_幺8—0的大小為，5.

【答案】D

【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐SO的母線長(zhǎng)，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項(xiàng)：利用圓錐的體

積公式可判斷B選項(xiàng)；利用扇形的弧長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)镾°與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則

所以，S4與圓錐底面所成的角為N￡4O?3（T,

-SA

又因?yàn)镾A1國(guó)，所以，△15的面積為22,解得&?4,

S0?￡4sin30*=4xL=2

所以，該圓錐的高為-,A錯(cuò)；

04=￡48$3（T=4X正=?0

對(duì)于B選項(xiàng)，該圓錐的底面半徑為2,

112

F=LxxO^-x5,O=lKx|2V3fx2=8x

故咳圓錐的體積為33,B錯(cuò)；

對(duì)于c選項(xiàng)，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為？

底面圓周長(zhǎng)為2「'40'4代，則=SA=4"',C錯(cuò):

對(duì)于D選項(xiàng)，取A8的中點(diǎn)E,連接C￡、3E,

因?yàn)椤??SS,后為AB的中點(diǎn)，則SE14B,由垂徑定理可得。出,AB.

所以，二面角S-4B-0的平面角為乙次，

因?yàn)?。1平面。4￡,?！鲐纹矫鍭OE,則S0106,

因?yàn)镾4J.密，SA-SB,則△S4B為等腰直角三角形，

則48,《SA+Sff-《4：.4.4。,所以，S"

anZOTO---^=-—

所以，SE壽：,

因?yàn)門4NS/°W9（T,故NSEO-4S,所以，二面角S-48-0的大小為45e,D對(duì).

故選：D.

8.（2024?四川自貢?三模）已知球O半徑為4,圓°】與圓.為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長(zhǎng)為

4,若卬卜3,做卜電則兩截面圓的圓心距|QQ卜（）

4b

A./B.3c.3+/D.

【答案】D

【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面.，求得兩個(gè)圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形以及勾股定理

求解即可.

【詳解】設(shè)圓°】與圓Q公共弦為48,其中點(diǎn)為&,

則l°d|■招/卜修小■川一3?■夕，=J網(wǎng)-poj=&=屈,

所以Rg卜R力砧“一|四=癡==3,

所以在Rt-兇月中，國(guó)/所以N。皿=60e,

在曲口逐中，13nz耽邛，所以/。%?3匚

所以在°。骰中，“即=g（r,所以的卜尼而西=師=功

故選：D.

9.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）正方體/5cD-Aqqn外接球的體積為4辰，E、F、G分別為楂

44、4耳、4。的中點(diǎn)，則平面?2截球的截面面積為（）

5x4x2Tx

A.3B.3C.3D.3

【答案】A

【分析】由已知，得到正方體力5rD-A及6A外接球的半徑，進(jìn)而得到正方體的棱長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)

算出平面KFG截球的截面圓的半徑，即可得到截面面積.

【詳解】

設(shè)正方體/5cD-4弓4為外接球的半徑為R,棱長(zhǎng)為a,

因?yàn)檎襟w/3cD-A及外接球的體積為4店x,

?次一4信匚

所以3,則八⑸

產(chǎn)呻可，得3,

設(shè)球心。到平面屈2的距離為卜，平面團(tuán)2截球的截面I員1的半徑為「，

設(shè)4到平面KTO的距離為廳，

因?yàn)?、尸、G分別為棱以、4耳.4A的中點(diǎn),

所以二詆是邊長(zhǎng)為J5的正三角形，

由匕“”匕武,得33…”',

lxi-x^2//?—X—xjxlxl

則32232

h*?OA=—AC=-J3

解得3,又2,

jh*--OA.

所以4到平面衣2的距離為3

則333,

r-h?i-JI|一（2^^?j

,5

KT'=—X

所以平面及。一:截球的截面面積為,3

故選：A.

10.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知球0的半徑為5,點(diǎn)A到球心0的距離為3,則過點(diǎn)A的平面a被球0

所截的截面面積的最小值是（）

A.B.1上c..D.

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面小圓半徑即得.

【詳解】由點(diǎn)A到球心。的距離為3,得球心0到過點(diǎn)A的平面a距離的最大值為3,

因此過點(diǎn)A的平面a被球°所截的截面小圓半徑最小值為斤萬?4,

所以過點(diǎn)A的平面a被球0所截的截面面積的最小值是4：x?16x.

故選：C

?融牛02直觀圖

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）用斜二測(cè)畫法畫出的水平:放置的J慶*的直觀圖如圖所示，其中D'是EC的

那么S.w=（）

c."D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法確定原圖形，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示,

其中4D=24D'=4,BC?&U?2,

『2x4=4

原平面圖形的面積為

故選：D.

12.（23?24高一下?山東聊城?階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫三角形的直觀圖如圖所示，已知

C.2D.4

【答案】B

【分析】由題意，借助于等腰直角三角形1E’,求得再根據(jù)在F軸上即可求得其長(zhǎng).

［洋解】在斜坐標(biāo)系中，因0^-1,且/斤0才?45?，則

因0B在V軸上，故緲在F軸上，且。

故選：B.

13.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ON'?是水平放置的二口空用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中

虛線分別與X'軸和/軸平行），0'3'?？如'?6.O（T?8,則二G43的面積為（）

A.8A

C.24D.48

【答案】D

【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)，最后由面枳公式計(jì)算可得.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：

其中。8?。片?6,0D?OD'?3,OC?20C?16,夕軸，且4。?0€-16,

X6X,648

所以JM>-T-

14.（22-23高一下?湖北武漢?期中）如圖，四邊形兒文?的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形/gC'O.己

知4'g?4,CD=2,則下列說法正確的是（）

B.AD76

C.四邊形45cp的周長(zhǎng)為4+1/+2.

D.四邊形488的面積為6A

【答案】D

【分析】利用斜二測(cè)畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長(zhǎng)以及相關(guān).

【詳解】如圖可知AB,4,#D'=r，4D=2A,

]x（4+,）/

四邊形值D的周長(zhǎng)為"】小"，四邊形的D的面積短--

故選:D.

?題型03表面積和體積

1S.（XP4?全國(guó)?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等.且它們的高均為萬，則圓錐

的體積為（）

A.B.3Ac.6而D.9A

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑『的方程，求出解后可求圓錐的

體積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為『，則圓錐的母線長(zhǎng)為3,

而它們的側(cè)面積相等，所以xJik即2"-阮a,

,litx9xJ3=3J5X

故「■七故圓錐的體積為3

故選:B.

16.（2024,河北?模擬預(yù)測(cè)）過圓錐8高的中點(diǎn)0r作平行于底面的截面，則截面分圓錐汽＞上部分圓錐

與下部分圓臺(tái)體積比為（）

1111

A.TB.3C.5D.7

【答案】D

【分析】利用圓錐、圓臺(tái)的體積公式求得圓錐與圓臺(tái)的體積關(guān)系.

【詳解】設(shè)截面圓半徑為廠，圓錐的高為心圓錐的體積為則圓臺(tái)下底面圓的半徑為2r,圓臺(tái)的高為

h,圓臺(tái)的體積為7,

V,-+2r+4r1=二BIT

所以.3'3,

匕1

可得，亍.

故選：D.

17.（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）若三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上,

S3為球0的直徑，且月。?1力，則該三棱錐的最大體積為（）

48”

A.3B.3C.3D.3

【答案】B

S=Lo400=2

【分析】由勾股定理逆定理得到。乂1。0,故-,要想該三棱錐的體積最大，則SB±

平面45?,從而求出最大體積.

【詳解】SB的中點(diǎn)為0,連接則

因即4C7故

S^-OA00^2

故叫空…2,

要想該三棱錐的體積最大，則S51平面40C,

y-'rS55--x2*4——

故最大體積3?33

故選：B

18.（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的體積為3,母線長(zhǎng)為3,高為萬，則圓臺(tái)的側(cè)

面積為（）

A.361cB.31c.181cD.

【答案】D

【分析】利用母線長(zhǎng)和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下

底面半徑的另一個(gè)等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.

設(shè)上底面半徑為「，下底面半徑為R,

如圖，根據(jù)題意4cBC.8「瓜CQ-BO-r.AO?RAB?R-r

在RtZUBC中，-3-即-------i,

13屆，=!斤用用+用+「1=!￥.—）＜（*+旨+/）=^^

又因?yàn)閳A臺(tái)的體積為3,所以

即？+R"+r.=13------

由①②方程可得：五』工『7,

x/1^4-r)-?x3x(341|-12x

所以圓臺(tái)的側(cè)面積為

故選：D.

19.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知某圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為母線與軸所在直線的夾角是46，且

上、下底面的面積之比為1：%則該圓臺(tái)外接球的表面積為（）

A.40nB.64nc.80xD.1以

【答案】c

【分析】在軸截面中根據(jù)長(zhǎng)度和角度關(guān)系以及三角形相似可得圓臺(tái)的上底面半徑和下底面半徑及高，利用

勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半徑，進(jìn)而求得其表面積.

【詳解】如圖：上，下底面圓心分別為“小‘，外接球球心為O,

連演0CQ8如圖所示：

因?yàn)樯?、下底面的面枳之比?：4,則上底面半徑與下底面半徑之比為I：,即"①,

又母線與軸所在直線的夾角是4s，故乙BCW?45?，結(jié)合5C?

則有小?圍，?2乂"?2,故西琳/?2,岫

記圓臺(tái)外接球半徑為尺加?力，

在直角二OCW和直角二08W中由勾股定理知：0Ar”仍=OR,QM+NC：=0。：，

則有匯十丁■（?-%）.+4?，解可得人.4,

故圓臺(tái)外接球的半徑R-4+，

則咳圓臺(tái)外接球的表面積S-4武-SOn

20.（2024,天津河西?三模）如圖，在三棱柱45c-44C中，E,尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，平面

回a尸將三棱柱分成體枳為匕，匕兩部分，則不匕■（）

【答案】D

【分析?】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)三棱柱-43。的高為力，上下底面面積均為￡體積為匕

貝廣■%?匕■勖

因?yàn)镋,尸分別為A8,AC的中點(diǎn)，故’4,

結(jié)合題意可知幾何體.即T8C為棱臺(tái)，

V^-h，5.$邛$$]=白1

則3N丫41,

V^Sn-Lsh^Lshuv-

故'12H,故W：5,

故選：D

21.（2024?河北滄州?三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體.正六面體

（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體尸一"比的棱

長(zhǎng)為L(zhǎng),A/為楂月4上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐”-43C的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐M-43C的體枳

為

4a

A.3B.4企C.WD.8"

【答案】A

【分析】由題意確定三棱錐A'-4BC的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐M-43c的

高，利用體積公式，即可求得答案.

【洋解】如圖，在正四面體尸-力比中，假設(shè)所，底面4比，則點(diǎn)目為[左外心.

在力/上取一點(diǎn)O,滿足O/.CA/,則

則。為三棱錐”-ABC的外接球球心，

,當(dāng)04取得最小值時(shí)，最小，三棱錐M-48C的外接球體積最小，

此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)H重合.作垂足為N,⑷〃PH,

A"為三棱錐的高.

P

由正四面體P-4BC?的棱長(zhǎng)為久后，知以,2",鏟

PH?"PA-AH7?

AN=@

設(shè)則而一兩，故MM?

由的?郎:，得+（?-叮

解得3.3,

「L&（麗晨邁=祖

Kttw皿34\I33

故選：A.

?施“#04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

22.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇〃與

“善”諧音，折扇也寓意“善良〃“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千

里、大智大勇的象征（如圖①），圖②是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧而、記所

在圓的半徑分別是3和6,且乙48c=120。,則下列關(guān)于該圓臺(tái)的說法錯(cuò)誤的是（）

B.母線長(zhǎng)為3

C.表面積為14兀D.體積為3n

【答案】D

【詳解】

2n21t

設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為廣,下底面半徑為及，則2b=3x3,即r=l；2nR=3x6,即R=2.又圓臺(tái)的母線

長(zhǎng)為/=6—3=3,所以圓臺(tái)的高力=幟（A-r>'=26,

故A,8正確.圓臺(tái)的表面積S=4l+2）x3+

1r14-

^,X12+^x22=14^,,故C正確；圓臺(tái)的體積1，=3C2寸卜（22+12+2x1）=1元,故。錯(cuò)誤.故選D

23.（2024,山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）荷澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)

展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉貂出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為

北加，把該驍器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為尤61,下底直徑約為

)

c.16S00itcm:D.33600xcm

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺(tái)體積公式求解.

，36

V.2K..2ix_x10;+10x?0+201-8400s

【詳解】根據(jù)題意，“32

故選：B

24.（2024,天津北辰?三模）中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國(guó)家能夠獨(dú)立開展載

人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代"萬戶飛天”，從詩詞"九天攬?jiān)隆钡奖诋?仕女飛天”……千百年來，中國(guó)

人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以

看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為

4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

76n215x325n

B.C.D.16

【答案】A

。尸=3

【分析】結(jié)合軸截面分析可知Q"二°=6,00廣：，1,再利用圓柱以及圓臺(tái)的體積公

式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái),

取軸截面，如圖所示，GCQ，分別為REC的中點(diǎn),

可知：451|CD||IF,且Q8=CC=2,OB=6QJ=4.qq=lQP=3,

O.F。/33

7TF-。3.彳

可得"5尸，即

3251

所以該容器中液體的體積為

故選：A.

二、多選題

???05立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

25.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）圖柱的軸截面為正方形，則下列結(jié)論正確的有（）

A.圓柱內(nèi)切球的半徑與圖柱底面半徑相等

2

B.圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱表面積比為？

C.圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比為可

2

D.圓柱內(nèi)切球的體積與圓柱體積比為5

【答案】ABD

【分析】圓柱內(nèi)切球半徑等于圓柱底面半徑，再利用即可得到ABD,圓柱內(nèi)接圓錐半徑圓柱底面半徑，高

等于圓柱的高即可得到C.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為R，則圓柱的高為2R，所以內(nèi)切球的半徑為R，A正確；

圓柱的表面積為s-"R'URiA-sN,內(nèi)切球的表面積為4萬R,所以圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱

2

表面積比為1，B正確；

圓柱內(nèi)接圓錐的表面積為2,圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比

"匚

為6’錯(cuò)誤；

圓柱內(nèi)切球的體積，圓柱的體積'所以,D正確.

故選：ABD.

26.（2024?河北衡水?三模）已知在正方體9co.4瓦Q5中，44.2,點(diǎn)時(shí)為4。的中點(diǎn)，點(diǎn)p為正

方形4SC。內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且即〃平面月球0為正方體/角D-A及42的內(nèi)切球，下

列說法正確的是（）

4n

A.球。的體積為了B.點(diǎn)P的枕跡長(zhǎng)度為2a

C.異面直線與8P所成角的余弦值取值范圍為13’」D.三棱錐”一四"外接球與球

。內(nèi)切

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球的性質(zhì)判斷A；利用面面平行確定點(diǎn)P的軌跡，即可求得其長(zhǎng)度，判斷B；根

據(jù)異面直線所成角的概念，確定該角取到最值時(shí)的位置，即可判斷C；根據(jù)圓內(nèi)切的判斷條件可判斷D.

4n

【詳解】由題意知球°的半徑為1,故其體積為了，故A選項(xiàng)正確：

取5。的中點(diǎn)為"，

連結(jié)即HN,易知吶〃駟，"Na平面期KWU平面仰/

故吶〃平面的/,

連接MMwAR"心網(wǎng)"AR”心,即四邊形4馬皿為平行四邊形,

則Wa平面明”，仙u平面期M,所以即〃平面期M.

又因?yàn)榫W(wǎng)cD、N=N,W.DNu平面邱應(yīng)，

故平面即A〃平面網(wǎng)"，平面副A仆平面43cA?印，結(jié)合即//平面盟M

故點(diǎn)P的軌跡為線段-石，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)镃Vf/BBf故異面直線e與8P所成角等于二E曲或其補(bǔ)角,

8-嚕■半;

當(dāng)尸位于N點(diǎn)時(shí)，得耳'’取得最小,

cosZB5V=->—

當(dāng)P位于Q：點(diǎn)時(shí)，乙3B口取得最大,BD、3故C選項(xiàng)正確;

由正方體幾何性質(zhì)易知/血?奴?2田?%,

故8M為三棱錐兒'一兒43外接球的直徑，取0'為BM的中點(diǎn)，

即?！癁槿忮F44B外接球的球心，由題意知。為融的中點(diǎn),

Ar1zvr.?lBW?lj,-r=00

因?yàn)榍?的半徑為'=?,球二的半徑為-

故三棱錐乂衛(wèi)外接球與球°內(nèi)切，D正確

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類題目的關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，依據(jù)相關(guān)定

理以及性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷，即可求解.

27.（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,A8為底面直徑,

乙38?1：;『?4?2,點(diǎn)。在底面圓周上，且二面角2.40?0的大小為45。，則（）

A.一外。的面積為百B.該圓錐的側(cè)面積為？A

C.D.該圓錐的體積為71

【答案】BD

【分析】根據(jù)二面角的定義與圓錐的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【洋解】如圖，取4c中點(diǎn)Q,則QDJ_RC,PD_LRC,

由二面角定義可知，乙以＞。?45?.

對(duì)于A,在二R4s中，所以8=0。.1,CO?V3,

所以如?萬，AC?H0C：-0D：”xg?2￡故c錯(cuò)誤；

所以?？，故A錯(cuò)誤；

S.rKjx”？后，故B正確：

K-i3x1-x

,故D正確.

故選：BD.

28.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一個(gè)棱臺(tái)形的容器/TD-A及Q2（上底面"40口無蓋），其四

AB-^-50——ABt--BC-1m

條惻棱均相等，底面為矩形，--4,容器的深度為1m,容器壁的厚度忽略不

計(jì)，則下列說法正確的是（）

B.該四棱臺(tái)的側(cè)面積為凹+力向

c.若將一個(gè)半徑為09m的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面

D.若一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著容器外壁爬到點(diǎn)C,則其艇行的最短路程為

【答案】BD

【分析】由勾股定理即可判斷A,由梯形的面積公式代入計(jì)算:，即可判斷B,做出軸截面圖形代入計(jì)算,

即可判斷C,將四棱臺(tái)展開，然后代入計(jì)算，即可判斷D

【詳解】

圖(1)圖(2)圖(3)

.卜（冶仔）Y

對(duì)于A,由題意可得<

扃可二五

對(duì)于B,梯形"DDA的高為VI"-,

所以梯形4DDR的面積為

梯形的高為

lllx瓜迪

所以梯形4Md的面積為2-,

T年?期?3近.3拈

故該四棱臺(tái)的側(cè)面積為I-?1，故B正確；

對(duì)于C,若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當(dāng)球的半徑最大時(shí)，

球恰好與面“DD4、面的0石、面的。均相切，

過三個(gè)切點(diǎn)的截面如圖（1）所示，由題意可知極臺(tái)的截面為等腰梯形，

導(dǎo)2

較長(zhǎng)的底邊上的底角的正切值為2,則忸皿公'-一?,

由于互補(bǔ)，故tanZMON.2,

1_

3K

4

21apz^°射TtanzWOP.而一'后-'

則l-tan：NM?P,所以2（負(fù)值舍），從而球的半徑為

所以將半徑為09cm的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,將平面49cp與平面D0c。展開至同一平面,

如圖（2）,則VI"I,

將平面A5CD與平面口展開至同一平面，如圖⑶，

JC=+'=欄+而去而-仔+4孫3?而-4力＜0

所以最短路程為3'而,故D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將幾何體

側(cè)面展開，將折線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，即可求解.

三、填空題

?景里06多面體的切接問題

29.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體45ra-454〃棱長(zhǎng)為2,若點(diǎn)°是線段A。的中點(diǎn)，則三

棱錐。-"的外接球的表面積為.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意，取人口中點(diǎn)5、可證點(diǎn)S為三楂錐的外接球的球心，從而得解.

【詳解】根據(jù)題意，取人口中點(diǎn)￡心中點(diǎn)P,連接$286°,

則即=18=1,結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征易得SP_LOP,所以SO?6,

又SD?S乂所以點(diǎn)S為三棱錐二-以Q的外接球的球心，且半徑r?。，

所以其表面積為"*（.）=舐

故答案為：Src

30.（23-24高二下?浙江寧波?期末）已知四棱錐尸?［武的底面是矩形，平面RIB1平面兒S8,

尸3=4,CD-5.若四棱錐P-4A?D內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個(gè)面均相切），則

慶?—，該內(nèi)切球的表面積為一.

【答案】7奴

【分析】根據(jù)內(nèi)切球在等邊三角形尸,48內(nèi)的“正投影”求得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切球的表面積，利用

等體積法，即可求解友V

【詳解】由于平面月151平面加2),PA-3,所=4,出為直角三角形，底面的D為矩

形，

所以四棱錐的內(nèi)切球在&P/4S的“正投影〃是的內(nèi)切圓，

設(shè);R48的內(nèi)切圓半徑為，,

X--M(3414*5)XT-Lx3?4

則--?

解得r=1,

所以內(nèi)切球的半徑為1,其表面積為4rl：=4!

設(shè)則平面P4B1平面的且交線為48,嵐??L48,BCu平面40CD,

所以平面R43,同理平面月4B,以，由13平面R45,故友*1「8/°?1外,故

PC=Ja：.16,PD=J屋+9

/

/+9+/+】6-5‘a(chǎn)2

由余弦定理可得Na+9ja+16ja、9ja：+16,

sn"PD---co-，CPD-虐。嚴(yán)4=

進(jìn)而可得加'+9&+16,

由等體積法可得

ifl,.1t1.v1r^—z/?I-).11,4

XT一，。乂一----,-----|乂,匕?.”?憶.■

-3---c--*3x4+_2?s+—2&+5?+//r+9v+164+93旬1……-F=2*_3?_2.3x4xa

化簡(jiǎn)可得出?勿?°,故。?7(0，。舍去)，

故答案為：7,41

31.(2024,湖南長(zhǎng)沙?三模)在直三棱柱45c-44C中，4c.sc羔TMlEd是棱e上

一點(diǎn),平面月8酒將直三棱柱'8-480分成體積相等的兩部分若九弟4/四點(diǎn)均在球°的球面上，

則球。的體積為.

SOOn

【答案】丁

【分析】由平面“BE將直三棱柱“BC-48,分成體積相等的兩部分，確定&點(diǎn)為uu的中點(diǎn)，再確定

二必與的外心以及三棱錐的高卜，最后求三楂錐聲

5-448：的外接圓半徑即可.

【詳解】如圖，連接4c4G.

因?yàn)?…2",

V，，-?，

,；-I.MXR；1I，"T?3

且?

V

所以

vtMV'少M(fèi)”，,u.

所以

?-ne

所以'a.?D_3,

因此I典卜2CHcci,即目為e的中點(diǎn).

取4封的中點(diǎn)””的中點(diǎn)M連接“mwm,

叫I

則-,且WCE,

所以四邊形⑷PE為平行四邊形，

所以M"6r.

因?yàn)榘哆殿?/p>

所以。71/18,

又因?yàn)槠矫妗奔?1平面48,

且平面的d「平面45c-AB,

所以avi平面,明A,

則ME1平面^58/.

因?yàn)锳/是二及4的外心，

T=|MAp--------------------J

且右4AA4D5的外接圓半徑2

p力邛伍1=網(wǎng)1

三凌錐萬的高

設(shè)球。的半徑為R,則「、6-盼?尤,

R=H二

則工5,

所以球。的體積33.

500n

故答案為：

A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.

（1）通過平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分可確定點(diǎn)&的位置;

（2）求三棱錐*"3的外接球半徑R,先確定底面三角形一448的外接圓半徑「及高h(yuǎn),再通過

即可求解.

32.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）稱四面體的棱切球?yàn)榕c該四面體的每條棱內(nèi)部都相切的球.已知四面體

加Z）存在棱切球，目/B=4D=6MC=8=8,則該四面體的體積為,棱切球的半徑為.

673913/13V

【答案】

【分析】先根據(jù)切線長(zhǎng)公式求得發(fā)現(xiàn)該四面體的對(duì)棱長(zhǎng)度之和相等得五'?a&?.8,進(jìn)而得該四面體是

一個(gè)底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為8的正三棱錐，再結(jié)合體積公式與棱切球的知識(shí)求解即可.

【詳解】設(shè)棱切球的球心為/,棱切球的半徑為，，

該棱切球/與棱他皿ODBC,皿4c的切點(diǎn)分別承

則M=W=IP=IQ=N=IK=r,

因?yàn)榇蜫./U/SJ?月D,W_LA8,

所以，根據(jù)切線長(zhǎng)公式得加二?4-

同理可得戊=0=CP、BM=蛻=W.ZW=DP=DS,

設(shè)AK■-Ahf■x,

因?yàn)锳B=AD=6,AC=CD=S,

所以CT=C0=C尸=8-x,BA/=8Q=W=6-i,IW=DP=D5=6-i,

所以CD?CP*DP?（8T）+（67）?8,解得工?3,

所以也■即十川“/。?電+（72?8,且M為45中點(diǎn),

所以，該四面體是?個(gè)底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為8的正三棱錐.

設(shè)C在底面ED的投影為“，則w是底面三角形ABD的中心，

則,MH?3,

所以該四面體的高力.AY&'―呵

因?yàn)榈酌嫒切蔚拿娣e為4,

F--x9^3x2^13-6739

所以，四面體的體積為3

另一方面，由正三棱錐性質(zhì)可知，棱切球球心/在線段8上，

因?yàn)锳CKJsXCHA,

空-0■史」ALCK.叵CJ-Ar

所以而=位=每，即%T布8,解得：>/3,忑,

因?yàn)樘锵喙?/p>

所以C”整理得:學(xué):-喑⑻=。,解得「■身一?嗜