2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第01講集合(精講)

考點(diǎn)歸納

①集合的含義及其表

示

②集合間的基本關(guān)系

③集合的交并補(bǔ)運(yùn)算

④加m圖的應(yīng)用

⑤集合新定義問題

一、必備知識(shí)整合

一、集合的有關(guān)概念

1.集合元素的三個(gè)特性：確定性、無序性、互異性.

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

3.元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為￡;不屬于，記為W.

4.五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N'或N+表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集(或自然廣,

數(shù)集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

二、集合間的基本關(guān)系

(I)子集：一般地，對于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素，都是集合8中的元素，就稱集合A

為集合B的子集.記作AG8(或心A).

(2)真子集：如果集合4G&但存在元素且就稱集合4是集合B的真子集，記作A臬注

(3)用等：若AG8,且BGA,則A=8.

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

符號(hào)表示AUBAC\B若全集為U,則集合

A的補(bǔ)集為CM

圖形表示JO

AU/J

集合表示{x|xGA,或工￡用{巾￡4,且{巾￡U,且xCA)

常用結(jié)論

(1)若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子

集有2"-2個(gè).

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

(3)Aq8。4r=A=8=8。QBqQA.

二、考點(diǎn)分類精講

【迓型一集合的含義及其表示】

解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路

看元素構(gòu)成一；確定集合是數(shù)集還是點(diǎn)集；

他兼戴藤居隘莞集蒼m葩完篆最消

明限制條件

;參數(shù)的值：

檢元素特性IT汪叁窠谷,元素的克棄桂...........：

【典例1](單選題)若集合A={xcZ|〃?<x<4}中有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為()

A.r-kO)B.(-1,0]C.(-1,0)D.[-2,-1)

【典例2】(單選題)已知集合S={)，|y=/-1},7={0,刈工+)，=0},下列關(guān)系正確的是()

A.-2eSB.(2,—2)任7C.一1史SD.(-1,1)GT

【典例3】(單選題)已知集合4={1,/+4凡〃-2},—3wA,則”()

A.-1B.-3C.-3或-1D.3

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.（23-24高三下.江西撫州.階段練習(xí)）若集合4={123},4={x+y|x￡A），￡A},則B中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

計(jì)算出集合B后可求其含有的元素的個(gè)數(shù).

【詳解】

依題意可得8={2,3,4,5,可,則8中的元素個(gè)數(shù)為5.

故選：B.

2.（23-24高三下?四川雅安?階段練習(xí)）若集合A={-2,1,4,8},8={與，k￡A,），￡A},則B中元素的最小值

為（）

A.-16B.-8C.-2D.32

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，（肛）.=-2x8=76,

所以B中元素的最小值為T6.

故選：A

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合人=口仃=34+9￡2},則下列表示正確的是（）.

A.-2&AB.2023A

C.3k2+\eAD.-35A

【答案】A

【分析】令弘+1分別為選項(xiàng)中不同值，求出k的值進(jìn)行判定.

【詳解】當(dāng)攵=-1時(shí)，x=-2t所以—2cA,故A正確；

當(dāng)上=674時(shí)，x=3x674+l=2023,所以2023sA,故B錯(cuò)誤；

二、填空題

6.（2024高一上?全國?專題練習(xí)）已知集合4=｛。-2M2+4d10｝,且—3?4,則。=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得。的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.

【詳解】因?yàn)?3cA，所以。-2=-3或"+4a=-3,解得。=-1或。=-3，

當(dāng)。二一1時(shí)，"2=3,/+4〃=一3,集合A不滿足元素的互異性，所以。=-1舍去；

當(dāng)。=-3時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以。=-3.

故答案為：-3.

7.（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知集合4二｛乂工>。（〃-1）｝,OeA,則。的取值范圍是

【答案】0<?<1

【分析】由題意可得。（。-1）<0,解之即可得解.

【詳解】因?yàn)榧?=3%>。（。一1）｝,OeA,

所以a（a-l）<0,解得Ovacl.

故答案為：

【邈型二集合間的基本關(guān)系】

依類宵通判斷集合關(guān)系的三種方法

觀察法IT二二別摹規(guī)豪....................：

清憲明濡集各的垸素亮件么；弄蒲凰

元素由征法|T合的元素特征，再利用集合元素的特:

:征判斷集合關(guān)系，

數(shù)形羹合法H徭訪羲編蓑詬；畝...............：

【典例1】（單選題）已知集合A^=｛x|2<x<6｝,若NgM,則，的取值范圍是（）

A.{?|a>6|B.{a|a>6}

C.{a|a<6}D.{布<6}

【典例2］（單選題）集合keN|-lWxG}的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.（2024?陜西西安?三模）設(shè)集合A={04},B={\,a-2,a-\}t若A=B,則〃=（）

A.2B.3C.1D.I或2

【答案】C

【分析】依題意可得0￡8，貝Ija-2=O或〃-1=0,求出。的值，再檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性.

【詳解】因?yàn)?={04},4HlM-2,々-1}且A=8,

所以0e8,貝!1。一2=0或〃一1二0,

解得。=2或。=1,

當(dāng)。=2時(shí)=不滿足集合元素的互異性，故舍去；

當(dāng)a?l時(shí)8={1,-1,0},符合題意.

綜上可得4=I.

故選：C

2.（2024.全國?模擬預(yù)測）若集合4=卜￡w），=6=7},B={0.1},則集合Ac3的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先求集合A,確定AcB即可求解.

【詳解】因?yàn)锳={XWN|3—XN0}={0,123},B={（）,!）,所以4「8={0,1},

所以集合AC8的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3.

故選:D.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合A=怦0gxK2},8=卜〃}.若AB=B,則/〃的取值范圍是（）

A.(f2]B.[-2,2]

C.（e,2）J（2,y）D.[-2,0）U（0,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A,由題意可知B=即可得結(jié)果.

（詳解】由題意可得A={x\0<X2<22}=[-2,0）O（0,2],

因?yàn)?則80所以〃ZC|-2,0）D（0,2].

故選：D.

4.（2024.四川.模擬預(yù)測）已知集合A=[xeN=<0「則集合A的子集有（）個(gè)

x+1

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】

先求解集合A中元素的個(gè)數(shù)，再求解子集個(gè)數(shù)即可.

【詳解】^=-1xeN^^<0f-={xeN|（x-3）（x+l）<0}={xeN-l<x<3}={0,l,2）,

XI1

故集合A的子集有2,=8個(gè).

故選：D

5.（23-24高一下?北京.階段練習(xí)）設(shè)集合M={x|x吟次ez},N=}|x=E+/ez},則M、N的

關(guān)系是（）

A.M=NB.MyNC.McN=0D.MnN

【答案】D

【分析】用列舉法表示出集合M、N,即可判斷M、N的關(guān)系.

史,kwZ5n_3n兀兀3幾

【詳解】因?yàn)镸="|x=-,-7T,

222222

l.兀,5n3nnn3n5兀77t

x\x=kn+—,ekZ>=、一‘一、“’一,二,—,—八,、

f2222222

所以M2N,McN=N.

故選：D

二、填空題

6.（2024高三.全國?專題練習(xí)）滿足{1}Aq{123}的集合A的個(gè)數(shù)是.

【答案】3

【分析】

借助真子集與集合包含關(guān)系的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】

由題知leA,則A={1,2},{1,3},{1,23},

故集合A的個(gè)數(shù)為3.

故答案為：3.

7.（2024?廣西?二模）已知集合同=*〃+2,1,4},8H評,1},若BgA,則實(shí)數(shù).

【答案】-2

【分析】根據(jù)子集關(guān)系求出可能解，再利用集合中元素的互異性求出不能取的值即可得出m的值.

【詳解】因?yàn)樗?〃?+2或>=4,=〃7=-1或根=±2,

又由集合中元素的互異性可知〃?+2=1且〃?+2工4且〃p/1,=>〃7±±1且，,

綜上tn=-2.

故答案為：-2.

8.（23-24高三下.上海.階段練習(xí)）設(shè)〃>0,若關(guān)于“的不等式M一3<0的解集是區(qū)間（04）的真子集，則。

的取值范圍是.

【答案】（0,1）

【分析】

解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.

【詳解】

因?yàn)椤?gt;0,所以f一ai<o=o<x<。，

又不等式丁一?<。的解集是區(qū)間（0.1）的真子集，則ae（0,l）.

故答案為：（0,1）.

9.（2024.山東濟(jì)寧?一模）設(shè)集合4=1|/_―6<0},B={x\-a<x<a},若則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【答案】艮~)

【分析】求解一元二次不等式解得集合A,再根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式求解即可.

【詳解】集合4={X|/-X-6<0}={M(X-3)(X+2)<0}={X|-2<XV3},

又8={工|-,且AgB,

—(14—2a22

故可得，~，即J，，解得aw[3,+oo).

a>3?>3

故答案為：[3,y).

【題型三集合的交并補(bǔ)運(yùn)算】

集合運(yùn)算三步驟

確定」確定集合中的元素及其滿足的條件，如函數(shù)

|元素|一I的定義域、值域，一元二次不等式的解集等

g|J版福元賽滿定而泰祥至歷口晟示拳,，得田元豪

|集合|一：滿足的最簡條件.將集合清晰地表示出來

拜利同交集晟舁集而定父兼瓦，必更好同應(yīng)河

求解尸數(shù)軸或Venn圖來直觀解決

【典例1】(單選題)已知集合力={1,2,3},8={x|(x+3)(x-2)v0},則AfW=()

A.{1}B,{1,2}C.{1,2,3}D.0

【典例2】(單選題)設(shè)集合A={0J2},A={)")，=2、”小則Au8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,4}D.{0,1,2,4}

【典例3】(單選題)已知集合。={0,123,4,5},4HxeN】eN,則Q,A=()

A,{0.1,3,5}R.{1.3.5}C.{0,2.45}D.[2.4.5}

題型訓(xùn)練

一、單選題

1.(2024高三下.北京?專題練習(xí))已知集合A=h]lvxv3},8=卜|0cx<2},則()

A.{x|l<x<2}B.x{x|l<X<3}

C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<3}

【答案】D

【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)锳={x|lvx<3},B={x\0<x<2}t

所以4=4={x|0<x<3).

故選：D

2.(23?24高三下.云南.階段練習(xí))設(shè)集合4={鄧Wx<3},5={0,1,2,3,4},則低A)cB=()

A.{0,1,3,4}B.{0,3,4}C.{0,4}D.{0,1,4)

【答案】B

【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.

【詳解】傘4=何X<1或xN3},故&A)B={0,3,4).

故選：B.

3.(2024.陜西西安?模擬預(yù)測)設(shè)全集U=R,集合A={xwN|f-2x—3W0},8=Ul|2x7|v3},則=

()

A.{1}B.{x\-\<x<2]C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析】分別求出集合A和B,利用交集的定義求出AcB.

【詳解】因?yàn)?={0J2,3}l={x_l<x<2},故44={0,1}.

故選：c.

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知集合"=伊d-4x>0},N={x|2vx<8},則（）

A.（-oo,0）U（2,+oo）B.（0,+a）C.（4.8）D.（2,4）

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡M={x|x>4或x<0},即可由交集求解.

【詳解】由"={工|“2-44>0},可得“=卜卜>4或x<0},

又N={x|2<x<8},所以MuN=（—,0）11（2,+oo）,

故選：A

5.（2024?四川德陽?二模）已知集合4=卜|/一公220},8=3），=1詞，則（％4）cB=（）

A.{x|0<x<l}B.{A-|0<X<2}

C.{x|-l<x<2}D.卬>2}

【答案】B

【分析】將集合AB化簡，再由集合的運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳={x，r-2N0}={x|xN2或三-1},

則&A={x|_l<x<2},又8={x|y=lnx}={x|x>0},

所以（即4卜8=何0<%<2}.

故選：B

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合4={1,16,8a},8={1"4},則滿足4=3的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)集合運(yùn)算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類討論求解即可.

【詳解】依題意，BUA,若/=16,解得。=-2（。=2時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），

若/=8a,解得。=。（。=2時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），

綜上所述，。=0或〃=-2.

故選：B

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知集合M={x|2x-3>0},N=W)，=e'+l},則()

A."N=(6)B.WJN嗚，+oo)C.?也=0目D.MqN

【答案】D

【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合M,N的范圍，再根據(jù)交并補(bǔ)和集合間的關(guān)系的定義分別判

斷各選項(xiàng)即得.

【詳解】???〃={根-3>0}=俘+8)，N={y|y>l}=(l,+8),

因MCN=(T，+8)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

由MDN=(1,+8),知B項(xiàng)錯(cuò)誤；

由與”=(1,|，知C項(xiàng)錯(cuò)誤；

因M=故D項(xiàng)正確.

故選：D.

8.(2024.全國.模擬預(yù)測)若集合4=1€2,+工一2?0},8={電>1},則A"=()

A.{1}B.{0,1}C.(0J]D.[-2,1]

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求解集合A,解指數(shù)函數(shù)不等式求解集合B,再利用交集運(yùn)算求解即可.

[詳解]因?yàn)锳={xeZk2+x_2W0}={xeZ|-2VxWl}={_2,_l,0,l},

B=[,>1=2。}={#>0}=(0,+8),

所以AcB={l}.

故選：A

9.(2024?遼寧?三模)已知集合A={x|ln(x-2)K0},3={My=2-l,x￡A},則ADA=()

A.(2,3]B.(2,7]C.(-L7]D.(-1,+功

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)式有意義、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)值域的解法，結(jié)合并集的定義即可求解.

【詳解】要使函數(shù)y=ln3-2)有意義，則工-2>0,解得4>2,

顯然函數(shù)y-ln(x-2)在區(qū)間上(2,4-00)上單調(diào)遞增，且In1=0,

所以A={x|ln（.r-2）K0},只需0<x-2?l,解得2〈工43

另函數(shù)），=2'-1在區(qū)間（2,3］上單調(diào)遞增，

貝！|3=22-1<），423-1=7,

所以8={x|3vxW7},

所以4B={x|2<x<3}{x|3<x^7}={x|2<x<7}.

故選：B.

10.（2024.廣東佛山.二模）已知集合人二卜尸一工之。},B={x\x<a},且41B=R,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是（）

A.a>0B.?>0C.a>\D.a>\

【答案】D

【分析】先計(jì)算出集合A后，借助并集定義計(jì)算即可得.

【詳解】由f一XN0,可得或xKO,即4={巾21或x?0},

由Al?=R,8=次,〈力，貝IJaNl.

故選：D.

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合人={（乂?僅=1},集合八{(lán)（乂），）/+（），-1）2=9，則AcB的子集

個(gè)數(shù)為（）

A.8B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】集合4B都是點(diǎn)集，根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系得到直線與圓相切，所以有一個(gè)交

點(diǎn)，有21=2個(gè)子集.

【詳解】集合A表示直線x-），=0上的所有點(diǎn)的集合，集合B表示圓上所有點(diǎn)的集合，

因?yàn)閳A心（0,1）到直線工-），=0的距離為坐，等于圓的半徑，故直線與圓相切，

故Ac8中只有一個(gè)元素，故AcB的子集個(gè)數(shù)為2=2.

故選：C.

二、多選題

12.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知集合M=3xv3},N=（x，-3xN0},則（）

A.McN=0B.MuN=RC.QMqND.N)=(0,+8)

【答案】BCD

【分析】先求解不等式W—3x20得集合N,利用集合的交集、并集、補(bǔ)集定義運(yùn)算和集合間的包含關(guān)系即

可一一判斷正誤.

【詳解】由犬-31之0可得xKO或即N="|xW0或XN3}.

對于A項(xiàng)，McN={x|x<3}c{x|xW0或XN3}={X|X4O}H0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng)，加2"={)1%<3}={."%<。或X23}二氏故B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng)，因QM={x|xN3}a{x|xK?；騒N3},故。加￡%,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，額MIN)=(RM)5%N)={X|XN3}5X|0<X<3}={X|X>0},故D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

13.(2023?山東濰坊?一模)若非空集合”,MP滿足：McN=N、M3=P,則()

A.P三MB.MlP-M

C.NuP=PD.Wc%N=0

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意可得：NJM、MJP,然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.

【詳解】由McN=N可得：NqM,由知10=。，可得MqP,則推不出。三例，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由WqP可得“IP=M,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)镹qM且用口尸，所以NqP,則N=P=P,故選項(xiàng)C正確；

由N=M可得：Mc%N不一定為空集，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：BC.

三、填空題

14.(2024.全國?模擬預(yù)測)已知集合"={-2,-1,0,1},N={x\a-3<x<l}t若McN中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)

〃的取值范圍是.

【答案】［1,2)

【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算及集合中的元素的個(gè)數(shù)，列不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)镸={—2,7,0/},N={x\a-3<x<\}t若McN中有2個(gè)元素，

所以McN={-1,0},所以-解得Mav2,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［L2）.

故答案為：［1,2）.

15.（2024?遼寧?二模）已知集合人={-1,0,1,2,3},4=,卜一1|<小，若4=3=8.則機(jī)的取值范圍是.

【答案】m>2

【分析】由題意可得AU3,再列出不等式組，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)樗怨?工0,

所以〃?>0且8={xk一1|<〃?}={A|1-mvXv1+,

］一〃?<_1.

所以I2,解得/心2.

故答案為：tn>2.

16.（2024?吉林白山?二模）已知集合A={x|xT<0},B={x|），=lg（2x-3）},若Ac8=0,則實(shí)數(shù)4的取

值范圍為.

【答案】（口，|

【分析】

根據(jù)題意求集合A8,根據(jù)AC5=0分析求解.

【詳解】由題意可知：A={A|X<A},^={X|2A-3>0}=P|X>||,

3

因?yàn)锳c3=0,則4K5，

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍為（F，|.

故答案為：.

【邈型四/加圖的應(yīng)用】

【典例1】（單選題）如圖，已知集合A={x|lQg2XVl}1={xbvl},則陰影部分表示的集合為（）

AB

A.(1,2)B.[1,2)C.(0.1]D.(0,1)

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.（2024高三.全國?專題練習(xí)）已知全集〃={小>0},集合A={x|3vx<8},B={x|x-1>5）,則圖中陰

<x<6}C..r|6<x<8}D.{x[6<x<8}

【答案】A

【分析】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為A再根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可得解.

【詳解】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為448,

因?yàn)閁={x|x>0},A={x|3<x<8},B={x|x-1>5}={x|.v>6>,

所以Q,,B={H()<XW6},貝！jAc68={H3<xW6}.

故選：A.

2.（2023?廣東?模擬預(yù)測）已知全集。=1^,集合4={x|x24或x<0},8或x?2},則圖中陰影

部分表示的集合為（）

A.(-2,0]B.[-2,0]

C.[-2,0]LJ{4}D.(-2,0]kj{4}

【答案】D

【分析】

利用集合的交并補(bǔ)的定義，結(jié)合13〃7圖即可求解.

【詳解】因?yàn)锳=U|x24或XVO},8={八|工〉4或x?2）,

所以4°8={目工24或X40}D{4V>4或“<-2}={琲124或xWO},

AcB={.g4或xWO}c小>4或xW-2}={小>4或x?2}.

由題意可知陰影部分對于的集合為（e（Ac/3））c（A=4）,

所以e（Ac5）={x|-2<xW4},

（6（AcB））c（A=8）={乂-2vx?0或x=4}.

故選：D.

3.（2024?廣西柳州?二模）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)

生喜歡足球，80%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.70%B.60%C.50%D.40%

【答案】C

【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可.

【詳解】由題意可得如下所示韋恩圖：

所求比例為：60%+80%-90%=50%.

故選：C.

4.（2024.山東煙臺(tái).一模）已知集合。=乩集合A={X|X2+2X-3VO},8={/）KXW2},則圖中陰影部分表

示的集合為（）

A.(-3,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,3)

【答案】A

【分析】解不等式化簡集合A,再結(jié)合韋恩圖，利用交集的定義求解即得.

【詳解】解不等式f+2x—3<0,得一3<xvl,即A=(-3,l),

由B=[0,2],得68=(-oo,0—,

所以圖中陰影部分表示的集合為4@，砌=(-3,0).

故選：A

5.(23-24高三上山東聊城.期末)已知全集"二乩集合4=卜卜(工-3)>()},?={x|log2(x-l)<2},則圖

中陰影部分所表示的集合為()

A.(x|3<x<5}B.{x|0<.v<3|C.{x|l<X<3}D.{X|1<X<3}

【答案】D

【分析】分別求出集合A和B,然后根據(jù)圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合即可得出答

案.

【詳解】Mx-3)>0=x((域*3,所以A=(-匕0)=(3,+8),^A={x\0<x<3}

log2(x-l)<2=log,4,所以0<人一1<4=l<x<5,所以4=(1,5),

圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合，即={.r|l<x<3},

故選：D.

6.(2023?湖南邵陽?模擬預(yù)測)如圖，集合AA均為U的子集，(Q/)rA表示的區(qū)域?yàn)?)

【答案】B

【分析】根據(jù)集合間的運(yùn)算分析判斷.

【詳解】因?yàn)楸硎境螧以外的所有部分，即為I和n,

所以@8尸4表示電8與集合A的公共部分，即為n.

故選：B.

7.（23-24高三上?湖北?期末）某校高一年級有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇，要求每個(gè)同學(xué)

至少選擇一?種參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%,選擇另一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)

占50%到55%,則下列說法正確的是（）

A.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人

B.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人

C.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人

D.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人

【答案】B

【分析】根據(jù)換算關(guān)系可得同時(shí)選兩項(xiàng)的人數(shù)的范圍，故可得正確的選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，60%+50%-1=10%,65%+55%-1=20%,

則同時(shí)選A,3的人數(shù)在10%到20%之間，換算成人數(shù)為1200xl0%=120,1200x20%=240,即120到240

之間，

因此符合題意的選項(xiàng)只有B.

故選：B.

8.12023高三?全國?專題練習(xí)）“匹書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書''指《大

學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》.某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀

過《大學(xué)》的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大

學(xué)》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)

生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【答案】A

【分析】根據(jù)描述，應(yīng)用容斥原理畫韋恩圖，求出該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的

學(xué)生人數(shù)，即可得結(jié)果.

【詳解】如下圖，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》的人數(shù)是160+60-180=40,

閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40—20=20,

由樣本估計(jì)總體，得所求比值為券=0.1.

故選：A

【題型五集合新定義問題】

觸類旁通解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路

解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：

(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用

到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；

(2)用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處

用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).

【典例1】對于正整數(shù)集合4=｛八％…q｝(〃eN,〃N3),如果任意去掉其中一個(gè)元素3(i=l,2,㈤之

后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就

稱集合A為“可分集合”；

⑴判斷集合｛2.4.6.8.10｝和｛357911,13,15｝是否是“可分集合”(不必寫過程)：

(2)求證：四個(gè)元素的集合4={4多，%，}一定不是“可分集合”；

⑶若集合4={6,生,…"/"}(〃6^,〃23)是“可分集合”，證明：〃為奇數(shù).

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.(2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)如圖所示的Venn圖中，A、8是非空集合，定義集合A(S>8為陰影部分表示

的集合.^A={XGZ|X2-3X-4<0},?={xeZ||x|<2},則()

A.{—1,0,3}B.1-2,—1,2}

C.{-2,-1,2,3}D.{-2,—1,3}

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算結(jié)合的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳={xwZ|f-3工-4<0}={0,1,2,3},

B={XGZ||X|<2)=(-2,-1,0J,2},

則A2?={0,l,2},AuB={-2-l,0,l,2,3},

由集合4合8的運(yùn)算可知，A?8表示中去掉4c8的部分,

所以A38={-2,—l,3}.

故選：D

2.(23-24高三下.湖南長沙?開學(xué)考試)若集合M滿足：例蠱,若aeM,則-aw”,則稱集合用是一

個(gè)“偶集合”.已知集合4={上<-1},B={x|.rKl},那么下列集合中為“偶集合”的是(）

A.AcBB.AuBC.4他4)D.（44）06

【答案】D

【分析】分別求出AcB,A（。8）,再利用“偶集合”的定義判斷即得.

【詳解】集合A={x"<-1},B={X|A<1},則AQ8={X|X<T},

顯然一2eAB,而2足AcB,A不是；

AB={A|X<1},顯然一3WAB,而3/4B,B不是；

^B={x\x>\]t則4c（QB）=0,不符合題意，C不是；

^A={4V>-I},貝IJ（QA）門8={H|-14X41},

對Va€[[A）nB],有-”[（QAmB],即@A）IB是一個(gè)“偶集合%D是.

故選：D

3.（23-24高三下?甘肅?階段練習(xí)）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱為不交）的

非空子集A，4，、A（kwN",kN2）,且滿足AU&ULU&=U,那么稱子集組A，Az,…構(gòu)成集合U的

一個(gè)女劃分.若集合/中含有4個(gè)元素，則集合/的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）

A.7個(gè)B.9個(gè)C.10個(gè)D.14個(gè)

【答案】D

【分析】分別計(jì)算2劃分，3劃分和4劃分的個(gè)數(shù)，再相加即可.

【詳解】不妨設(shè)1={1，2設(shè),4},則:

/的2劃分有{2,3,4}U{1},{1,3,4}J{2},{124}⑶，{1,2,3}{4},{1,2}U{3,4},{1,3}{2,4},{1,4}I.{2,3}；

/的3劃分有{1,2}{3}）{4},{1,3},{2}1{4},{1,4}「{2}」{3},{2,3}I{1}）{4},{2,4}{1}{3},

{3,4}U{1}U{2}；

/的4劃分只有{1}U{2}U{3}U{4}.

綜上，/的劃分共有7+6+1=14個(gè)，D正確.

故選：D.

4.（2024?上海靜安?二模）如果一個(gè)非空集合G上定義了一個(gè)運(yùn)算*,滿足如下性質(zhì)，則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)

成一個(gè)群.

（1）封閉性，即對于任意的a,〃eG,有

（2）結(jié)合律，即對于任意的。也ceG,有（a*/?）*c=a*S*c）；

（3）對于任意的方程x*〃=〃與〃在G中都有解.

例如，整數(shù)集Z關(guān)于整數(shù)的加法（+）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對于

任意的Z,方程=〃與"+）=力都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集R關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（x）不構(gòu)成群，因?yàn)榉?/p>

程Oxy=l沒有實(shí)數(shù)解.

以下關(guān)于''群"的真命題有（）

①自然數(shù)集N關(guān)于自然數(shù)的加法（+）構(gòu)成群；

②有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的乘法（x）構(gòu)成群；

③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量枳L）構(gòu)成群；

④復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（+）構(gòu)成群.

A.0個(gè)；B.1個(gè)；C.2個(gè)；D.3個(gè).

【答案】B

【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.

【詳解】對于①，x4-3=2,在自然數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；

對于②，Oxy=l,在有理數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；

對于③，是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；

對于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，

且對任意的eC,方程x+〃=6與〃+），=〃有復(fù)數(shù)解，正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的

3個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.

5.（23-24高一上.上海.期末）已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若acS,則當(dāng)且僅當(dāng)〃=

（其中正整數(shù)陽、,?eS且〃?工〃）或。=〃+4（其中正整數(shù)〃、“父S且〃現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①5eS；

②集合Wx=3/M2￡N?qS.則下列判斷正確的是（）

A.①對②對B.①對②錯(cuò)C.①錯(cuò)②對D.①錯(cuò)②錯(cuò)

【答案】A

【分析】根據(jù)集合S的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合S的定義先判斷5wS,3〃wS,再由有

x=3n+5,3neSf5wS且3〃/5,所以xeS,可判斷②是真命題.

【詳解】因?yàn)槿鬭eS,則當(dāng)且僅當(dāng)。=〃?+〃(其中，小〃eS且〃"〃)，或。=〃+“(其中p,qwS,p,q￡Z,且

八“)，

且集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，

所以MS,2史S,

因?yàn)?=1+2,滿足+4(其中p,q史S,p,geZ?且〃工〃)，所以3wS,

因?yàn)?=1+3,且1任S,3cS,所以4/S,

因?yàn)?=1+4,1史S,4wS,所以5wS,故①對；

下面討論元素3〃(〃21)與集合S的關(guān)系，

當(dāng)〃=1時(shí)，3wS；

當(dāng)〃=2時(shí)，6=2+4,2任S,4^5,所以6ES；

當(dāng)〃一3時(shí)，9-3+6,3eS,6eS,所以9亡S；

當(dāng)〃=4時(shí)，12=3+9,3eS,9eS,所以12sS；依次類推，

當(dāng)〃之3時(shí)，3〃=3+3(〃-1),3eS,3(/z-l)eS,

所以3〃wS,則{Mx=3〃,〃￡N}qS,故②對.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷10S,2史S,3wS,4星S,再根據(jù)集合S的定義求解.

二、解答題

6.(23-24百三下.北京.階段練習(xí))設(shè)后是正整數(shù)，4是N*的非空子集(至少有兩個(gè)元素)，如吳對于A中的

任意兩個(gè)元素-都有11->1工攵，則稱4具有性質(zhì)尸(幻.

⑴試判斷集合5={1,2,3,4}和。={1,4,7,10}是否具有性質(zhì)尸(2)?并說明理由.

⑵若A={qg,…，42}U"，2,…,20}.證明:A不可能具有性質(zhì)P⑶.

(3)若Ac{1,2，….2023)且A具有性質(zhì)尸(4)和P(7).求A中元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】(1)8不具有性質(zhì)P(2),C具有性質(zhì)P(2),理由見解析

(2)證明見解析

(3)920

【分析】（1）根據(jù)定義判斷B,C是否具有性質(zhì)P（2）即可；

（2）將{1,2,,20}分為11個(gè)子集，結(jié)合抽屜原理證明結(jié)論；

（3）先證明連續(xù)11個(gè)自然數(shù)中至多有5個(gè)元素屬于A,由此可得集合A中元素個(gè)數(shù)不超過920個(gè)，再舉例

說明存在含有920個(gè)元素的滿足要求的集合A.

【詳解】（1）因?yàn)?={1,2,3,4},又1CN”,2CN\3CN，,4CN，，

?|4-2|=2,所以集合B不具有性質(zhì)P（2）,

因?yàn)镃={l,4,7,10},又1€N\4GN\7€N\10GN*,

{H|4-l|=3,|7-l|=6,|10-l|=9,|7-4|=3,|10-4|=6,|10-7|=3,

所以集合C具有性質(zhì)P（2）.

（2）將集合{1,2,,,,20}中的元素分為如下11個(gè)集合，

{1,4},{2,5},{3,6},{7,10},{8,11},{9,12},{13,16},{14,17},{15,18},{19},{20},

所以從集合{1,2,,20}中取12個(gè)元素，則前9個(gè)集合至少要選10個(gè)元素，

所以必有2個(gè)元素取自前9個(gè)集合中的同一集合，即存在兩個(gè)元素其差為3,

所以A不可能具有性質(zhì)P（3）.

（3）先說明連續(xù)11項(xiàng)中集合A中最多選取5項(xiàng)，

以1,2,3…,11為例.

構(gòu)造抽屜{1,8},{2,9},{3,10},（4,11）,{5},{6},{7}.

①5,6,7同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)P（4）和P（7）,

所以選5則不選1,9；選6則不選2,10；選7則不選3,11；

則只剩4,8.故1中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).

②5,6,7選2個(gè)，

若只選5,6,則129,10,7不可選，又{4,11}只能選一個(gè)元素，

3,8可以選，故1,2,3…,11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).

若選5,7,則只能從2,4,8,10中選，但4,8不能同時(shí)選，

故1,2,3…,11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).

若選6,7,則2,3,10」1,5不可選，又（1,8}只能選一個(gè)元素，

4,9可以選，故1,2,3…,11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).

③5,6,7中只選1個(gè)，

又四個(gè)集合{1,8},{2,9},{3,10},{4,11}每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，

故1,2,3…11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).

由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合A的元素至多只有5個(gè)，

如取1,4,6,7,9.

因?yàn)?023=183x11+10,則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項(xiàng)；

從2014開始，最后10個(gè)數(shù)至多選取5項(xiàng)，故集合A的元素最多有184x5=920個(gè).

給出如下選取方法：從L2,3…,11中選取1,4,6,7,9；

然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11,構(gòu)造183次.

此時(shí)集合A的元素為：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；……；

2014,2017,2019,2020,2022,共920個(gè)元素.

經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求，故集合A的元素最多有920個(gè).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛